CAPÍTULO 6 RESUMEN. f5ángulo entre F S y S

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1 CAPÍTULO 6 RESUMEN Trabajo efectuado por una fuerza: Cuando una fuerza W 5 F # S S s 5 Fs cos f S (6.2), (6.3) constante F actúa sobre una partícula que sufre un desplazaiento rectilíneo S s, el trabajo realizado por la fuerza f5ángulo entre F S y S s sobre la partícula se define coo el producto escalar de F S y S s. La unidad de trabajo en el SI es joule 5 newton-etro ( J 5 N ). El trabajo es una cantidad escalar, ya que puede ser positivo o negativo, pero no tiene dirección en el espacio. (Véanse los ejeplos 6. y 6.2.) F ' S F f F i 5 F cosf W 5 F i s 5 (F cosf)s Energía cinética: La energía cinética K de una partícula es igual a la cantidad de trabajo necesario para acelerarla desde el reposo hasta la rapidez v. Tabién es igual al trabajo que la partícula puede efectuar en el proceso de detenerse. La energía cinética es una cantidad escalar sin dirección en el espacio; siepre es positiva o cero, y sus unidades son las isas que las del trabajo: J 5 N # 5 kg # 2 /s 2. K 5 2 v2 (6.5) S v 2 Al auentar al doble se duplica K. S v v S 2v S v al doble se cuadruplica K. El teorea trabajo-energía: Cuando actúan fuerzas sobre una partícula ientras sufre un desplazaiento, la energía cinética de la partícula cabia en una cantidad igual al trabajo total realizado sobre ella por todas las fuerzas. Esta relación, llaada teorea trabajo-energía, es válida para fuerzas tanto constantes coo variables, y para trayectorias tanto rectas coo curvas de la partícula; sin ebargo, sólo es aplicable a cuerpos que pueden tratarse coo partículas. (Véanse los ejeplos 6.3 a 6.5.) W tot 5 K 2 2 K 5DK (6.6) v K 5 v 2 2 W tot 5 trabajo total efectuado sobre la partícula en la trayectoria. K 2 5 v 2 v K W 2 tot Trabajo efectuado por una fuerza variable o en una trayectoria curva: Si la fuerza varía durante un desplazaiento rectilíneo, el trabajo que realiza está dado por una integral [ecuación (6.7)]. (Véanse los ejeplos 6.6 y 6.7.) Si la partícula tiene una trayectoria curva, el trabajo efectuado por una fuerza F S está dado por una integral en la que interviene el ángulo f entre la fuerza y el desplazaiento. Esta expresión es válida aun cuando la agnitud de la fuerza y el ángulo f varían durante el desplazaiento. (Véanse los ejeplos 6.8 y 6.9.) x 2 W 5 3 F x dx x P 2 W 5 3 P 2 F cos f dl 5 3 Fi dl P P P F # S S d l P (6.7) (6.4) O F x Área 5 trabajo efectuado por la fuerza durante el desplazaiento. x x 2 x Potencia: La potencia es la rapidez con que se efectúa trabajo. La potencia edia P ed es la cantidad de trabajo DW realizada en un tiepo Dt dividida entre ese tiepo. La potencia instantánea es el líite de la potencia edia cuando Dt se acerca a cero. Cuando una fuerza F S actúa sobre una partícula que se ueve con velocidad S v, la potencia instantánea (rapidez con que la fuerza efectúa trabajo) es el producto escalar de F S y S v. Al igual que el trabajo y la energía cinética, la potencia es una cantidad escalar. Su unidad en el SI es watt 5 joule>segundo ( W 5 J>s). (Véanse los ejeplos 6.0 y 6..) P ed 5 DW Dt DW P 5 lí 5 dw DtS0 Dt dt P 5 F S # v S (6.5) (6.6) (6.9) t 5 5 s t 5 0 Trabajo que usted efectúa sobre la caja para levantarla en 5 s: W 5 00 J Su potencia producida: W t P W 00 J 5 s 202

2 Preguntas para análisis 203 Térinos clave trabajo, 82 joule, 82 energía cinética, 87 teorea trabajo-energía, 87 constante de fuerza, 93 ley de Hooke, 93 potencia, 99 potencia edia, 99 potencia instantánea, 99 watt, 99 Respuesta a la pregunta de inicio de capítulo? Es verdad que el proyectil efectúa trabajo sobre los gases. Sin ebargo, dado que el proyectil ejerce una fuerza hacia atrás sobre los gases, ientras los gases y el proyectil se ueven hacia delante por el cañón, el trabajo efectuado por el proyectil es negativo. (Véase la sección 6..) Respuestas a las preguntas de Evalúe su coprensión 6. Respuesta: iii) El electrón tiene velocidad constante, por lo que su aceleración es cero y (por la segunda ley de Newton), la fuerza neta sobre el electrón tabién es cero. De esta anera, el trabajo total efectuado por todas las fuerzas (igual al trabajo realizado por la fuerza neta) tabién debe ser cero. Las fuerzas individuales pueden efectuar trabajo diferente de cero, pero ésa no es la cuestión que se pregunta. 6.2 Respuesta: iv), i), iii), ii) El cuerpo i) tiene energía cinética K 5 2 v kg 25.0 /s J. El cuerpo ii) tiene inicialente energía cinética cero y después tiene 30 J de trabajo realizado sobre él, de anera que su energía cinética final es K 2 5 K W J 5 30 J. El cuerpo iii) tenía energía cinética inicial K 5 2 v kg 24.0 /s J y luego tenía 20 J de trabajo realizado sobre él, por lo que su energía cinética es K 2 5 K W J 20 J 5 28 J. El cuerpo iv) tenía inicialente energía cinética K 5 2 v kg 20 /s J; cuando efectuó 80 J de trabajo sobre otro cuerpo, éste realizó 280 J de trabajo sobre el cuerpo iv), así que la energía cinética final del cuerpo iv) es K 2 5K W 5 00 J 280 J J. 6.3 Respuestas: a) iii), b) iii) En cualquier instante del oviiento de la lenteja del péndulo, tanto la fuerza de tensión coo el peso actúan de fora perpendicular al oviiento, es decir, perpendicular a un desplazaiento infinitesial d S l de la lenteja. (En la figura 5.32b, el desplazaiento d S l estaría dirigido hacia fuera del plano del diagraa de cuerpo libre.) Por lo tanto, para cualquier fuerza el producto escalar dentro de la integral de la ecuación (6.4) es F S S # d l 5 0, y el trabajo realizado en cualquier parte de la trayectoria circular (incluyendo un círculo copleto) es W 5 F S S # d l Respuesta: v) El avión tiene una velocidad horizontal constante, así que la fuerza horizontal neta sobre él debe ser cero. Entonces, la fuerza de arrastre hacia atrás debe tener la isa agnitud que la fuerza hacia delante debida al epuje cobinado de los dos otores. Esto significa que la fuerza de arrastre debe efectuar trabajo negativo sobre el avión con la isa tasa con que la fuerza de epuje cobinada realiza trabajo positivo. El epuje cobinado efectúa trabajo a una tasa de 2(66,000 hp) 5 32,000 hp, por lo que la fuerza de arrastre debe realizar trabajo a una tasa de 232,000 hp. PROBLEMAS Para las tareas asignadas por el profesor, visite Preguntas para análisis P6.. El signo de uchas cantidades físicas depende de la elección de las coordenadas. Por ejeplo, el valor de g puede ser negativo o positivo, según si elegios coo positiva la dirección hacia arriba o hacia abajo. Lo iso es válido para el trabajo? En otras palabras, podeos hacer negativo el trabajo positivo con una elección diferente de las coordenadas? Explique su respuesta. P6.2. Un elevador es subido por sus cables con rapidez constante. El trabajo realizado sobre él es positivo, negativo o cero? Explique. P6.3. Se tira de una cuerda atada a un cuerpo y éste se acelera. Según la tercera ley de Newton, el cuerpo tira de la cuerda con una fuerza igual y opuesta. Entonces, el trabajo total realizado es cero? Si así es, cóo puede cabiar la energía cinética del cuerpo? Explique su respuesta. P6.4. Si se requiere un trabajo total W para darle a un objeto una rapidez v y una energía cinética K, partiendo del reposo, cuáles serán la rapidez (en térinos de v) y la energía cinética (en térinos de K) del objeto, si efectuaos el doble de trabajo sobre él partiendo del reposo de nuevo? P6.5. Si hubiera una fuerza neta distinta de cero sobre un objeto en oviiento, el trabajo total realizado sobre él podría ser cero? Explique, ilustrando su respuesta con un ejeplo. P6.6. En el ejeplo 5.5 (sección 5.), copare el trabajo realizado sobre la cubeta por la tensión del cable y el trabajo realizado sobre el carro por dicha tensión. P6.7. En el péndulo cónico del ejeplo 5.2 (sección 5.4), qué fuerza realiza trabajo sobre la lenteja confore ésta gira? Figura 6.29 Pregunta P6.8. P6.8. En los casos que se uestran en la figura 6.29, el objeto se suelta desde el reposo en la parte superior y no sufre fricción ni resistencia del aire. En cuál situación, si acaso, la asa tendrá i) la ayor rapidez en la parte de inferior y ii) el ayor trabajo efectuado sobre ella en el tiepo que tarda en llegar a la parte inferior? P6.9. Una fuerza F S sobre el eje x tiene agnitud que depende de x. Dibuje una posible gráfica de F contra x tal que la fuerza no realice trabajo sobre un objeto que se ueve de x a x 2, aunque la agnitud de la fuerza nunca sea cero en este intervalo. P6.0. La energía cinética de un autoóvil cabia ás al acelerar de 0 a 5 >s o de 5 a 20 >s? Explique su respuesta. P6.. Un ladrillo con asa de.5 kg cae verticalente a 5.0 >s. Un libro de física de.5 kg se desliza sobre el piso a 5.0 >s. Un elón de.5 kg viaja con una coponente de velocidad de 3.0 >s a la derecha y una coponente vertical de 4.0 >s hacia arriba. Todos estos objetos tienen la isa velocidad? Tienen la isa energía cinética? Para cada pregunta, justifique su respuesta. a) b) c) 2 h h h

3 204 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética P6.2. El trabajo total efectuado sobre un objeto durante un desplazaiento puede ser negativo? Explique su respuesta. Si el trabajo total es negativo, su agnitud puede ser ayor que la energía cinética inicial del objeto? Explique su respuesta. P6.3. Una fuerza neta actúa sobre un objeto y lo acelera desde el reposo hasta una rapidez v, efectuando un trabajo W. En qué factor debe auentarse ese trabajo para lograr una rapidez final tres veces ayor, si el objeto parte del reposo? P6.4. Un caión que va por una autopista tiene ucha energía cinética relativa a una patrulla detenida, pero ninguna relativa al conductor del caión. En estos dos arcos de referencia, se requiere el iso trabajo para detener el caión? Explique su respuesta. P6.5. Iagine que usted sostiene un portafolios por el asa, con el brazo recto a su costado. La fuerza que la ano ejerce efectúa trabajo sobre el portafolios a) cuando usted caina con rapidez constante por un pasillo horizontal y b) cuando usa una escalera eléctrica para subir del prier al segundo piso de un edificio? Justifique su respuesta en cada caso. P6.6. Si un libro se desliza sobre una esa, la fuerza de fricción realiza trabajo negativo sobre él. Existe algún caso en que la fricción realice trabajo positivo? Explique su respuesta. (Sugerencia: piense en una caja dentro de un caión que acelera.) P6.7. Tóese el tiepo al subir corriendo una escalera y calcule la tasa edia con que efectúa trabajo contra la fuerza de gravedad. Exprese su respuesta en watts y en caballos de potencia. P6.8. Física fracturada. Muchos térinos de la física se utilizan de anera inadecuada en el lenguaje cotidiano. En cada caso, explique los errores que hay. a) A una persona fuerte se llaa llena de potencia. Qué error iplica este uso de potencia? b) Cuando un trabajador carga una bolsa de horigón por una obra en construcción horizontal, la gente dice que él realizó ucho trabajo. Es verdad? P6.9. Un anuncio de un generador eléctrico portátil asegura que el otor a diesel produce 28,000 hp para ipulsar un generador eléctrico que produce 30 MW de potencia eléctrica. Es esto posible? Explique su respuesta. P6.20. Un autoóvil auenta su rapidez ientras el otor produce potencia constante. La aceleración es ayor al inicio de este proceso o al final? Explique su respuesta. P6.2. Considere una gráfica de potencia instantánea contra tiepo, cuyo eje P vertical coienza en P 5 0. Qué significado físico tiene el área bajo la curva P contra t entre dos líneas verticales en t y t 2? Cóo podría calcular la potencia edia a partir de la gráfica? Dibuje una curva de P contra t que conste de dos secciones rectas y dónde la potencia áxia sea igual al doble de la potencia edia. P6.22. Una fuerza neta distinta de cero actúa sobre un objeto. Alguna de las cantidades siguientes puede ser constante? a) La rapidez del objeto; b) la velocidad del objeto; c) la energía cinética del objeto. P6.23. Cuando se aplica cierta fuerza a un resorte ideal, éste se estira una distancia x desde su longitud relajada (sin estirar) y efectúa trabajo W. Si ahora se aplica el doble de fuerza, qué distancia (en térinos de x) se estira el resorte desde su longitud relajada y cuánto trabajo (en térinos de W) se requiere para estirarlo esta distancia? P6.24. Si se requiere un trabajo W para estirar un resorte una distancia x desde su longitud relajada, qué trabajo (en térinos de W) se requiere para estirar el resorte una distancia x adicional? Ejercicios Sección 6. Trabajo 6.. Un viejo cubo de roble con asa de 6.75 kg cuelga en un pozo del extreo de una cuerda, que pasa sobre una polca sin fricción en la parte superior del pozo, y usted tira de la cuerda horizontalente del extreo de la cuerda para levantar el cubo lentaente a) Cuánto trabajo efectúa usted sobre el cubo al subirlo? b) Cuánta fuerza gravitacional actúa sobre el cubo? c) Qué trabajo total se realiza sobre el cubo? 6.2. Un caión de reolque tira de un autoóvil 5.00 k por una carretera horizontal, usando un cable cuya tensión es de 850 N. a) Cuánto trabajo ejerce el cable sobre el auto si tira de él horizontalente? Y si tira a sobre la horizontal? b) Cuánto trabajo realiza el cable sobre el caión de reolque en abos casos del inciso a)? c) Cuánto trabajo efectúa la gravedad sobre el auto en el inciso a)? 6.3. Un obrero epuja horizontalente una caja de 30.0 kg una distancia de 4.5 en un piso plano, con velocidad constante. El coeficiente de fricción cinética entre el piso y la caja es de a) Qué agnitud de fuerza debe aplicar el obrero? b) Cuánto trabajo efectúa dicha fuerza sobre la caja? c) Cuánto trabajo efectúa la fricción sobre la caja? d) Cuánto trabajo realiza la fuerza noral sobre la caja? Y la gravedad? e) Qué trabajo total se efectúa sobre la caja? 6.4. Suponga que el obrero del ejercicio 6.3 epuja hacia abajo con un ángulo de 308 bajo la horizontal. a) Qué agnitud de fuerza debe aplicar el obrero para over la caja con velocidad constante? b) Qué trabajo realiza esta fuerza sobre la caja si se epuja 4.5? c) Qué trabajo realiza la fricción sobre la caja en este desplazaiento? d) Cuánto trabajo realiza la fuerza noral sobre la caja? Y la gravedad? e) Qué trabajo total se efectúa sobre la caja? 6.5. Un pintor de 75.0 kg sube por una escalera de 2.75 que está inclinada contra una pared vertical. La escalera fora un ángulo de con la pared. a) Cuánto trabajo realiza la gravedad sobre el pintor? b) La respuesta al inciso a) depende de si el pintor sube a rapidez constante o de si acelera hacia arriba de la escalera? 6.6. Dos botes reolcadores tiran de un buque tanque averiado. Cada uno ejerce una fuerza constante de N, uno 48 al oeste del norte y el otro 48 al este del norte, tirando del buque tanque 0.75 k al norte. Qué trabajo total efectúan sobre el buque tanque? 6.7. Dos bloques están conectados por un cordón uy ligero que pasa por una polea sin asa y sin fricción (figura 6.30). Al viajar a rapidez constante, el bloque de 20.0 N se ueve 75.0 c a la derecha y el bloque de 2.0 N se ueve 75.0 c hacia abajo. Durante este proceso, cuánto trabajo efectúa a) sobre el bloque de 2.0 N, i) la gravedad y ii) la tensión en el cordón? b) sobre el bloque de 20.0 N, i) la gravedad, ii) la tensión en el cordón, iii) la fricción y iv) la fuerza noral? c) Obtenga el trabajo total efectuado sobre cada bloque. Figura 6.30 Ejercicio N 2.0 N 6.8. Un carrito de superercado cargado rueda por un estacionaiento por el que sopla un viento fuerte. Usted aplica una fuerza constante F S 5 30 N 2d^ 2 40 N 2 e^ al carrito ientras éste sufre un desplazaiento S s d^ e^. Cuánto trabajo efectúa la fuerza que usted aplica al carrito? 6.9. Una pelota de kg se ata al extreo de un cordón de.60 de longitud y se hace girar en un circulo vertical. a) Durante un círculo copleto, contando a partir de cualquier punto, calcule el trabajo total efectuado sobre la pelota por: i) la tensión en el cordón; ii) la gravedad. b) Repita el inciso a) para el oviiento a lo largo del seicírculo que va del cénit al nadir de la trayectoria.

4 Ejercicios 205 Sección 6.2 Energía cinética y teorea trabajo-energía 6.0. a) Cuántos joules de energía cinética tiene un autoóvil de 750 kg que viaja por una autopista coún con rapidez de 65 i>h? b) En qué factor diinuiría su energía cinética si el auto viajara a la itad de esa rapidez? c) A qué rapidez (en i>h) tendría que viajar el auto para tener la itad de la energía cinética del inciso a)? 6.. Cráter de eteorito. Hace aproxiadaente 50,000 años, un eteorito se estrelló contra la Tierra cerca de lo que actualente es la ciudad de Flagstaff, en Arizona. Mediciones recientes (2005) estian que dicho eteorito tenía una asa aproxiada de kg (unas 50,000 toneladas) y se ipactó contra el suelo a 2 k>s. a) Cuánta energía cinética pasó este eteorito al suelo? b) Cóo se copara esta energía con la energía liberada por una boba nuclear de.0 egatones? (Una boba de un egatón libera la isa energía que un illón de toneladas de TNT, y.0 ton de TNT libera J de energía.) 6.2. Algunas energías cinéticas failiares. a) Cuántos joules de energía cinética tiene una persona de 75 kg al cainar y al correr? b) En el odelo atóico de Bohr, el electrón del hidrógeno en estado fundaental tiene una rapidez orbital de 290 k>s. Cuál es su energía cinética? (Consulte el Apéndice F) c) Si usted deja caer un peso de de.0 kg (aproxiadaente 2 lb) desde la altura del hobro, cuántos joules de energía cinética tendrá cuando llegue al suelo? d) Es razonable que un niño de 30 kg pueda correr lo suficienteente rápido para tener 00 J de energía cinética? 6.3. La asa de un protón es 836 veces la asa de un electrón. a) Un protón viaja con rapidez V. Con qué rapidez (en térinos de V) un electrón tendría la isa energía cinética que un protón? b) Un electrón tiene energía cinética K. Si un protón tiene la isa rapidez que el electrón, cuál es su energía cinética (en térinos de K)? 6.4. Una sandía de 4.80 kg se deja caer (rapidez inicial cero) desde la azotea de un edificio de 25.0 y no sufre resistencia del aire apreciable. a) Calcule el trabajo realizado por la gravedad sobre la sandía durante su desplazaiento desde la azotea hasta el suelo. b) Justo antes de estrellarse contra el suelo, cuáles son i) la energía cinética y ii) la rapidez de la sandía? c) Cuál de las respuestas en los incisos a) y b) sería diferente si hubiera resistencia del aire considerable? 6.5. Use el teorea trabajo-energía para resolver los siguientes probleas. Usted puede utilizar las leyes de Newton para coprobar sus respuestas. Ignore la resistencia del aire en todos los casos. a) Una raa cae desde la parte superior de una secuoya de 95.0 de altura, partiendo del reposo. Con qué rapidez se ueve cuando llega al suelo? b) Un volcán expulsa una roca directaente hacia arriba 525 en el aire. Con qué rapidez se ovía la roca justo al salir del volcán? c) Una esquiadora que se ueve a 5.00 >s llega a una zona de nieve horizontal áspera grande, cuyo coeficiente de fricción cinética con los esquís es de Qué tan lejos viaja ella sobre esta zona antes de detenerse? d) Suponga que la zona áspera del inciso c) sólo tiene 2.90 de longitud. Con qué rapidez se overía la esquiadora al llegar al extreo de dicha zona? e) En la base de una colina congelada sin fricción que se eleva a sobre la horizontal, un trineo tiene una rapidez de 2.0 >s hacia la colina. A qué altura vertical sobre la base llegará antes de detenerse? 6.6. Se lanza una piedra de 20 N verticalente hacia arriba desde el suelo. Se observa que, cuando está 5.0 sobre el suelo, viaja a 25.0 >s hacia arriba. Use el teorea trabajo-energía para deterinar a) su rapidez en el oento de ser lanzada y b) su altura áxia Iagine que pertenece a la Cuadrilla de Rescate Alpino y debe proyectar hacia arriba una caja de suinistros por una pendiente de ángulo constante a, de odo que llegue a un esquiador varado que está una distancia vertical h sobre la base de la pendiente. La pendiente es resbalosa, pero hay cierta fricción presente, con coeficiente de fricción cinética k. Use el teorea trabajo-energía para calcular la rapidez ínia que debe ipartir a la caja en la base de la pendiente para que llegue al esquiador. Exprese su respuesta en térinos de g, h, k y a Una asa baja deslizándose por un plano inclinado liso que fora un ángulo a con la horizontal, desde una altura vertical inicial h. a) El trabajo efectuado por una fuerza es la suatoria del trabajo efectuado por las coponentes de la fuerza. Considere las coponentes de la gravedad paralela y perpendicular al plano. Calcule el trabajo efectuado sobre la asa por cada coponente y use estos resultados para deostrar que el trabajo efectuado por la gravedad es exactaente el iso que efectuaría si la asa cayera verticalente por el aire desde una altura h. b) Use el teorea trabajo-energía para deostrar que la rapidez de la asa en la base del plano inclinado es la isa que tendría si se hubiera dejado caer desde la altura h, sea cual fuere el ángulo a del plano. Explique cóo esta rapidez puede ser independiente del ángulo del plano. c) Use los resultados del inciso b) para obtener la rapidez de una piedra que baja deslizándose por una colina congelada sin fricción, partiendo del reposo 5.0 arriba del pie de la colina Un autoóvil es detenido en una distancia D por una fuerza de fricción constante independiente de la rapidez del auto. Cuál es la distancia en que se detiene (en térinos de D) a) si el auto triplica su rapidez inicial; y b) si la rapidez es la isa que tenía originalente, pero se triplica la fuerza de fricción? (Utilice étodos de trabajo-energía.) Un electrón en oviiento tiene energía cinética K. Después de realizarse sobre él una cantidad neta de trabajo W, se ueve con una cuarta parte de su rapidez anterior y en la dirección opuesta. a) Calcule W térinos de K. b) Su respuesta depende de la dirección final del oviiento del electrón? 6.2. Un trineo con asa de 8.00 kg se ueve en línea recta sobre una superficie horizontal sin fricción. En cierto punto, su rapidez es de 4.00 >s; 2.50 ás adelante, su rapidez es de 6.00 >s. Use el teorea trabajo-energía para deterinar la fuerza que actúa sobre el trineo, suponiendo que tal fuerza es constante y actúa en la dirección del oviiento del trineo Un balón de fútbol sóquer de kg se ueve inicialente con rapidez de 2.00 >s. Un jugador lo patea, ejerciendo una fuerza constante de 40.0 N en la dirección del oviiento del balón. Durante qué distancia debe estar su pie en contacto con el balón para auentar la rapidez de éste a 6.00 >s? Un 2-pack de Oni-Cola (asa de 4.30 kg) está en reposo en un piso horizontal. Luego, un perro entrenado que ejerce una fuerza horizontal con agnitud de 36.0 N lo epuja.20 en línea recta. Use el teorea trabajo-energía para deterinar la rapidez final si a) no hay fricción entre el 2-pack y el piso; b) el coeficiente de fricción cinética entre el 2-pack y el piso es de Un bateador golpea una pelota de béisbol con asa de 0.45 kg y la lanza hacia arriba con rapidez inicial de 25.0 >s. a) Cuánto trabajo habrá realizado la gravedad sobre la pelota cuando ésta alcanza una altura de 20.0 sobre el bate? b) Use el teorea trabajo-energía para calcular la rapidez de la pelota a esa altura. Ignore la resistencia del aire. c) La respuesta al inciso b) depende de si la pelota se ueve hacia arriba o hacia abajo cuando está a la altura de 20.0? Explique su respuesta Un vagón de juguete con asa de 7.00 kg se ueve en línea recta sobre una superficie horizontal sin fricción. Tiene rapidez inicial de 4.00 >s y luego es epujado 3.0, en la dirección de la velocidad inicial, por una fuerza cuya agnitud es de 0.0 N. a) Use el teorea trabajo-energía para calcular la rapidez final del vagón. b) Calcule la aceleración producida por la fuerza y úsela en las relaciones de cineática del capítulo 2 para calcular la rapidez final del vagón. Copare este resultado con el calculado en el inciso a).

5 206 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética Un bloque de hielo con asa de 2.00 kg se desliza hacia abajo por un plano inclinado a un ángulo de bajo la horizontal. Si el bloque parte del reposo, cuál será su rapidez final? Puede despreciarse la fricción Distancia de paro. Un autoóvil viaja por un caino horizontal con rapidez v 0 en el instante en que los frenos se bloquean, de odo que las llantas se deslizan en vez de rodar. a) Use el teorea trabajo-energía para calcular la distancia ínia en que puede detenerse el auto en térinos de v 0, g y el coeficiente de fricción cinética k entre los neuáticos y el caino. b) En qué factor cabiaría la distancia ínia de frenado, si i) se duplicara el coeficiente de fricción cinética, ii) se duplicara la rapidez inicial, o iii) se duplicaran tanto el coeficiente de fricción cinética coo la rapidez inicial? Sección 6.3 Trabajo y energía con fuerzas variables Se requiere un trabajo de 2.0 J para estirar un resorte 3.00 c respecto a su longitud no estirada. a) Cuál es la constante de fuerza de este resorte? b) Qué fuerza se necesita para estirar 3.00 c el resorte desde su longitud sin estirar? c) Cuánto trabajo debe efectuarse para copriir ese resorte 4.00 c respecto a su longitud no estirada, y qué fuerza se necesita para estirarlo esta distancia? Una fuerza de 60 N estira un resorte ás allá de su longitud no estirada. a) Qué fuerza se requiere para un estiraiento de 0.05 de este resorte? Y para copriirlo 0.020? b) Cuánto trabajo debe efectuarse para estirar el resorte 0.05 ás allá de su longitud no estirada? Y para copriirlo 0.20 desde su longitud sin estirar? Una niña aplica una fuerza F S paralela al eje x a un trineo Figura 6.3 Ejercicios 6.30 de 0.0 kg que se ueve sobre y 6.3. la superficie congelada de un estanque pequeño. La niña controla la rapidez del trineo, y la F x (N) 0 coponente x de la fuerza que aplica varía con la coordenada x del trineo, coo se uestra en 5 la figura 6.3. Calcule el trabajo efectuado por F S cuando el trineo se ueve a) de x 5 0 a x ; x () b) de x a x ; c) de x 5 0 a x Suponga que el trineo del ejercicio 6.30 está inicialente en reposo en x 5 0. Use el teorea trabajo-energía para deterinar la rapidez del trineo en a) x 5 8.0, y b) x Puede despreciarse la fricción entre el trineo y la superficie del estanque Una vaca terca intenta salirse del establo ientras usted la epuja cada vez con ás fuerza para ipedirlo. En coordenadas cuyo origen es la puerta del establo, la vaca caina de x 5 0 a x 5 6.9, ientras usted aplica una fuerza con coponente xf x 52[20.0 N (3.0 N/)x]. Cuánto trabajo efectúa sobre la vaca la fuerza que usted aplica durante este desplazaiento? Una caja de 6.0 kg que se ueve a 3.0 >s, sobre una superficie horizontal sin fricción, choca con un resorte ligero cuya constante de fuerza es de 75 N>c. Use el teorea trabajo-energía para deterinar la copresión áxia del resorte Press de piernas. Coo parte de su ejercicio diario, usted se acuesta boca arriba y epuja con los pies una platafora conectada a dos resortes rígidos paralelos entre sí. Al epujar la platafora, usted coprie los resortes. Realiza 80.0 J de trabajo al copriir los resortes con respecto a su longitud no copriida. a) Qué fuerza debe aplicar para antener la platafora en esta posición? b) Cuánto trabajo adicional debe realizar para over la platafora otros 0.200, y qué fuerza áxia debe aplicar? a) En el ejeplo 6.7 (sección 6.3), se calcula que, con el riel de aire apagado, el deslizador viaja 8.6 c antes de parar instantáneaente. Qué tan grande debe ser el coeficiente de fricción estática s para evitar que el deslizador regrese a la izquierda? b) Si el coeficiente de fricción estática entre el deslizador y el riel es s , qué rapidez inicial áxia v puede ipriirse al deslizador sin que regrese a la izquierda luego de detenerse oentáneaente? Con el riel de aire apagado, el coeficiente de fricción cinética es k Un bloque de hielo de 4.00 kg se coloca contra un resorte horizontal que tiene fuerza constante k N>, y está copriido El resorte se suelta y acelera al bloque sobre una superficie horizontal. Pueden despreciarse la fricción y la asa del resorte. a) Calcule el trabajo efectuado por el resorte sobre el bloque, durante el oviiento del bloque desde su posición inicial hasta que el resorte recupera su longitud no copriida. b) Qué rapidez tiene el bloque al perder contacto con el resorte? A un autoóvil a escala de 2.0 kg, controlado por radio, se aplica una fuerza F S paralela al eje x; ientras el auto se ueve por una pista recta. La coponente x de la fuerza varía con la coordenada x del auto, coo se indica en la figura Calcule el trabajo efectuado por la fuerza F S cuando el auto se ueve de a) x 5 0 a x ; b) x a x ; c) x 5 4 a x ; d) x 5 0 a x ; e) x a x Figura 6.32 Ejercicios 6.37 y F x (N) x () Suponga que el auto a escala de 2.0 kg del ejercicio 6.37 está inicialente en reposo en x 5 0 y que F S es la fuerza neta que actúa sobre él. Use el teorea trabajo-energía para deterinar la rapidez del auto en a) x ; b) x ; c) x En un parque acuático, trineos con pasajeros se ipulsan por una superficie horizontal resbaladiza liberando un resorte grande copriido. El resorte, con constante de fuerza k N>c y asa despreciable, descansa sobre la superficie horizontal sin fricción. Un extreo está en contacto con una pared fija; un trineo con pasajero (cuya asa total es de 70.0 kg) se epuja contra el otro extreo, copriiendo el resorte Luego se libera el trineo con velocidad inicial cero. Qué rapidez tiene el trineo cuando el resorte a) regresa a su longitud no copriida? y b) está aún copriido 0.200? La itad de un resorte. a) Suponga que usted corta a la itad un resorte ideal sin asa. Si el resorte copleto tiene una constante de fuerza k, cuál es la constante de fuerza de cada itad, en térinos de k? (Sugerencia: piense en el resorte original coo dos itades iguales, y que cada itad produce la isa fuerza que el resorte copleto. Nota usted por qué las fuerzas deben ser iguales?) b) Si ahora corta el resorte en tres segentos iguales, cuál será la constate de fuerza de cada uno en térinos de k? 6.4. Un deslizador pequeño con asa de kg se coloca contra un resorte copriido en la base de un riel de aire inclinado hacia arriba sobre la horizontal. El resorte tiene k N> y asa despreciable. Al soltarse el resorte, el deslizador viaja una distancia áxia de.80 sobre el riel antes de deslizarse hacia abajo. Antes de alcanzar esta distancia áxia, el deslizador pierde contacto con

6 Probleas 207 el resorte. a) Qué distancia se copriió originalente el resorte? b) Cuando el deslizador haya recorrido 0.80 por el riel de aire desde su posición inicial contra el resorte copriido, estará todavía en contacto con el resorte? Qué energía cinética tiene el deslizador en ese punto? Un albañil ingenioso construye un dispositivo para lanzar ladrillos hasta arriba de la pared donde está trabajando. Se coloca un ladrillo sobre un resorte vertical copriido con fuerza constante k N> y asa despreciable. Al soltarse el resorte, el ladrillo es epujado hacia arriba. Si un ladrillo con asa de.80 kg debe alcanzar una altura áxia de 3.6 sobre su posición inicial, qué distancia deberá copriirse el resorte? (El ladrillo pierde contacto con el resorte cuando éste recupera su longitud no copriida. Por qué?) Sección 6.4 Potencia Cuántos joules de energía consue una bobilla eléctrica de 00 watts cada hora? Con qué rapidez tendría que correr una persona de 70 kg para tener esa cantidad de energía cinética? El consuo total de energía eléctrica en Estados Unidos es del orden de J por año. a) Cuál es la tasa edia de consuo de energía eléctrica en watts? b) Si la población de ese país es de 300 illones de personas, deterine la tasa edia de consuo de energía eléctrica por persona. c) El Sol transfiere energía a la Tierra por radiación a razón de.0 kw por 2 de superficie, aproxiadaente. Si esta energía pudiera recolectarse y convertirse en energía eléctrica con eficiencia del 40%, qué área (en k 2 ) se requeriría para recolectar la energía eléctrica gastada por Estados Unidos? Magnetoestrella. El 27 de diciebre de 2004 los astrónoos observaron el destello de luz ás grande jaás registrado, proveniente de afuera del Sistea Solar. Provenía de la estrella de neutrones altaente agnética SGR (una agnetoestrella). Durante 0.20 s, dicha estrella liberó tanta energía coo nuestro Sol liberó durante 250,000 años. Si P es la salida de potencia edia de nuestro Sol, cuál era la salida de potencia edia (en térinos de P) de esta agnetoestrella? Una piedra de 20.0 kg se desliza por una superficie horizontal áspera a 8.0 >s y finalente se para debido a la fricción. El coeficiente de fricción cinética entre la piedra y la superficie es de Cuánta potencia térica edia se produce al detenerse la piedra? Un equipo de dos personas en una bicicleta tánde debe vencer una fuerza de 65 N para antener una rapidez de 9.00 >s. Calcule la potencia requerida por ciclista, suponiendo contribuciones iguales. Exprese su respuesta en watts y en caballos de potencia Cuando el otor de 75 kw (00 hp) está desarrollando su potencia áxia, un pequeño avión onootor con asa de 700 kg gana altitud a razón de 2.5 >s (50 >in, o 500 ft>in). Qué fracción de la potencia del otor se está invirtiendo en hacer que el avión ascienda? (El resto se usa para vencer la resistencia del aire o se pierde por ineficiencias en la hélice y el otor.) Trabajar coo caballo. Iagine que usted trabaja levantando cajas de 30 kg una distancia vertical de 0.90 del suelo a un caión. a) Cuántas cajas tendría que cargar en el caión en in, para que su gasto edio de potencia invertido en levantar las cajas fuera de 0.50 hp? b) Y para que fuera de 00 W? Un elevador vacío tiene asa de 600 kg y está diseñado para subir con rapidez constante una distancia vertical de 20.0 (5 pisos) en 6.0 s. Es ipulsado por un otor capaz de suinistrar 40 hp al elevador. Cuántos pasajeros coo áxio pueden subir en el elevador? Suponga una asa de 65.0 kg por pasajero Potencia autootriz. Es frecuente que un autoóvil de 000 kg rinda 30 i>gal cuando viaja a 60 i>h en una carretera horizontal. Si este auto realiza un viaje de 200 k, a) cuántos joules de energía consue, y b) cuál es la tasa edia del consuo de energía durante el viaje? Observe que.0 gal de gasolina rinde J (aunque esto puede variar). Consulte el Apéndice E El portaaviones John F. Kennedy tiene una asa de kg. Cuando sus otores desarrollan su potencia áxia de 280,000 hp, la nave viaja con su rapidez áxia de 35 nudos (65 k>h). Si el 70% de esa potencia se dedica a ipulsar la nave por el agua, qué agnitud tiene la fuerza de resistencia del agua que se opone al oviiento del portaviones a esta rapidez? Un reolcador de esquiadores opera en una ladera a 5.08 con longitud de 300. La cuerda se ueve a 2.0 k>h y se suinistra potencia para reolcar 50 pasajeros (de 70.0 kg en proedio) a la vez. Estie la potencia requerida para operar el reolcador Un insecto volador coún aplica una fuerza edia igual al doble de su peso durante cada aleteo hacia abajo cuando está suspendido en el aire. Suponga que la asa del insecto es de 0 g y que las alas recorren una distancia edia vertical de.0 c en cada aleteo. Suponiendo 00 aleteos por segundo, estie el gasto edio de potencia del insecto. Probleas Barra giratoria. Una barra delgada y unifore de 2.0 kg y longitud de 2.00 gira uniforeente alrededor de un pivote en un extreo, describiendo 5.00 revoluciones copletas cada 3.00 segundos. Qué energía cinética tiene esta barra? (Sugerencia: los diferentes puntos de la barra tienen diferente rapidez. Divida la barra en segentos infinitesiales de asa d e integre para obtener la energía cinética total de todos estos segentos.) Un asteroide cercano a la Tierra. El 3 de abril de 2029 ( un viernes 3!), el asteroide Apophis pasará a 8,600 illas de la Tierra, aproxiadaente >3 de la distancia a la Luna! Tiene una densidad de 2600 kg> 3, puede oldearse coo una esfera de 320 de diáetro y viajará a 2.6 k>s. a) Si debido a una pequeña perturbación en su órbita, el asteroide fuera a chocar contra la Tierra, cuánta energía cinética produciría? b) El ara nuclear ás grande probada por Estados Unidos fue la boba Castle-Bravo, que produjo 5 egatones de TNT. (Un egatón de TNT libera J de energía.) Cuántas bobas Castle-Bravo serían equivalentes a la energía del Apophis? Un transportador de equipaje tira de una aleta de 20.0 kg, para subirla por una rapa inclinada sobre la horizontal, con una fuerza F S de agnitud 40 N que actúa paralela a la rapa. El coeficiente de fricción cinética entre la rapa y la aleta es k Si la aleta viaja 3.80 en la rapa, calcule el trabajo realizado sobre la aleta por a) F S ; b) la fuerza gravitacional, c) la fuerza noral, d) la fuerza de fricción, e) todas las fuerzas (el trabajo total hecho sobre la aleta). f) Si la rapidez de la aleta es cero en la base de la rapa, qué rapidez tiene después de haber subido 3.80 por la rapa? Doinadas. Al hacer una doinada, un hobre levanta su cuerpo a) Cuánto trabajo efectúa por kilograo de asa corporal? b) Los úsculos que intervienen en el oviiento pueden generar aproxiadaente 70 J de trabajo por kilograo de asa uscular. Si el hobre apenas logra hacer una doinada de 0.40, qué porcentaje de la asa de su cuerpo corresponde a esos úsculos? (Coo coparación, el porcentaje total de úsculo en un hobre coún de 70 kg con el 4% de grasa corporal es cercano al 43%.) c) Repita el inciso b) para el pequeño hijo de tal hobre, cuyos brazos tienen la itad de la longitud pero cuyos úsculos tabién pueden

7 208 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética generar 70 J de trabajo por kilograo de asa uscular. d) Los adultos y niños tienen aproxiadaente el iso porcentaje de úsculo en su cuerpo. Explique por qué para los niños suele ser ás fácil hacer doinadas que para sus padres Máquinas siples. Se instalan rapas para discapacitados porque un gran peso w puede levantarse con una fuerza relativaente pequeña igual a w sen a ás la pequeña fuerza de fricción. Estos planos inclinados son un ejeplo de una clase de dispositivos llaados áquinas siples. Se aplica una fuerza de entrada F en al sistea y produce una fuerza de salida F sal aplicada al objeto que se ueve. En una áquina siple, el cociente F sal >F ent se llaa ventaja ecánica real (VMR). La razón inversa de las distancias que los puntos de aplicación de estas fuerzas se desplazan durante el oviiento del objeto, s ent >s sal, es la ventaja ecánica ideal (VMI). a) Calcule la VMI de un plano inclinado. b) Qué puede decir de la relación entre el trabajo suinistrado a la áquina, W ent, y el producido por ella, W sal, si VMR 5 VMI? c) Dibuje una polea dispuesta para producir VMI 5 2. d) Definios la eficiencia e de una áquina siple coo el cociente del trabajo de salida y el de entrada, e 5 W sal >W ent. Deuestre que e 5 VMR>VMI Considere el bloque del ejercicio 6.7 confore se ueve 75.0 c. Calcule el trabajo total realizado sobre cada uno a) si no hay fricción entre la esa y el bloque de 20.0 N, y b) si s y k entre la esa y el bloque de 20.0 N El transbordador espacial Endeavour, con asa de 86,400 kg, está en una órbita circular con radio de alrededor de la Tierra, y tarda 90. in en copletar una órbita. En una isión de reparación, la nave se acerca cuidadosaente.00 cada 3.00 s a un satélite averiado. Calcule la energía cinética del Endeavour a) relativa a la Tierra, y b) relativa al satélite Un paquete de 5.00 kg baja.50 deslizándose por una larga rapa inclinada 2.08 bajo la horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el paquete y la rapa es k Calcule el trabajo realizado sobre el paquete por a) la fricción, b) la gravedad, c) la fuerza noral, d) todas las fuerzas (el trabajo total sobre el paquete). e) Si el paquete tiene una rapidez de 2.20 >s en la parte superior de la rapa, qué rapidez tiene después de bajar deslizándose.50? Resortes en paralelo. Dos resortes están en paralelo si son paralelos entre sí y están conectados en sus extreos (figura 6.33). Es posible pensar en esta cobinación coo equivalente a un solo resorte. La constante de fuerza del resorte individual equivalente se denoina constante de fuerza efectiva, k efe, de la cobinación. a) Deuestre que la constante de fuerza efectiva de esta cobinación es k efe 5 k k 2. b) Generalice este resultado para N resortes en paralelo Resortes en serie. Dos resortes sin asa están conectados en serie cuando se unen uno después del otro, punta con cola. a) Deuestre que la constante de fuerza efectiva (véase el problea 6.63) de una cobinación en serie está dada por 5. (Sugerencia: para una fuerza dada, k efe k k 2 Figura 6.33 Problea k k 2 la distancia total de estiraiento por el resorte individual equivalente es la sua de las distancias estiradas por los resortes en cobinación. Adeás, cada resorte debe ejercer la isa fuerza. Sabe usted por que? b) Generalice este resultado para N resortes en serie Un objeto es atraído hacia el origen con una fuerza dada por F x 52k>x 2. (Las fuerzas gravitacionales y eléctricas tienen esta dependencia de la distancia.) a) Calcule el trabajo realizado por la fuerza F x cuando el objeto se ueve en la dirección x de x a x 2. Si x 2. x, el trabajo hecho por F x es positivo o negativo? b) La otra fuerza que actúa sobre el objeto es la que usted ejerce con la ano para overlo lentaente de x a x 2. Qué tanto trabajo efectúa usted? Si x 2. x, el trabajo que usted hace es positivo o negativo? c) Explique las siilitudes y diferencias entre sus respuestas a los incisos a) y b) La atracción gravitacional de la Tierra sobre un objeto es inversaente proporcional al cuadrado de la distancia entre el objeto y el centro de la Tierra. En la superficie terrestre, esa fuerza es igual al peso noral del objeto, g, donde g >s 2 ; en tanto que a grandes distancias la fuerza es cero. Si un asteroide de 20,000 kg cae a la Tierra desde un punto uy lejano, qué rapidez ínia tendrá al chocar contra la superficie terrestre y cuánta energía cinética ipartirá a nuestro planeta? Puede ignorar los efectos de la atósfera terrestre Coeficientes de fricción variables. Una caja resbala con una rapidez de 4.50 >s por una superficie horizontal cuando, en el punto P, se topa con una sección áspera. Aquí, el coeficiente de fricción no es constante: inicia en 0.00 en P y auenta linealente con la distancia después de P, alcanzando un valor de en 2.5 ás allá de P. a) Use el teorea trabajo-energía para obtener la distancia que la caja se desliza antes de pararse. b) Deterine el coeficiente de fricción en el punto donde se paró. c) Qué distancia se habría deslizado la caja si el coeficiente de fricción, en vez de auentar, se hubiera antenido en 0.00? Considere un resorte con un extreo fijo que no obedece fielente la ley de Hooke. Para antenerlo estirado o copriido una distancia x, se debe aplicar al extreo libre una fuerza sobre el eje x con coponente F x 5 kx 2 bx 2 cx 3. Aquí k 5 00 N>, b N> 2 y c 5 2,000 N> 3. Observe que x. 0 cuando se estira el resorte y x, 0 cuando se coprie. a) Cuánto trabajo debe realizarse para estirar este resorte con respecto a su longitud no estirada? b) Cuánto trabajo debe realizarse para copriirlo con respecto a su longitud no estirada? c) Es ás fácil estirar o copriir este resorte? Explique por qué en térinos de la dependencia de F x en x. (Muchos resortes reales tienen el iso coportaiento cualitativo.) Un pequeño bloque con asa de 0.20 kg se conecta a un Figura 6.34 Problea cordón que pasa por un agujero en una superficie horizontal sin fricción (figura 6.34). El bloque está girando a una distancia de 0.40 del agujero con rapidez de 0.70 >s. Luego, se tira del cordón por abajo, acortando el radio de la trayectoria del bloque a 0.0. Ahora la rapidez del bloque es de 2.80 >s. a) Qué tensión hay en el cordón en la situación original cuando el bloque tienen una rapidez v >s)? b) Qué tensión hay en el cordón en la situación final cuando el bloque tienen una rapidez v >s? c) Cuánto trabajo efectuó la persona que tiró del cordón? Bobardeo con protones. Un protón con asa de kg es ipulsado con una rapidez inicial de >s directaente hacia un núcleo de uranio que está a El protón es repelido por el núcleo de uranio con una fuerza de agnitud F 5a>x 2, donde x es la separación de los objetos y a52.2 3

8 Probleas N # 2. Suponga que el núcleo de uranio peranece en reposo. el cañón. Éste ide 6.00 c, así que la esfera sale de él en el instante a) Qué rapidez tiene el protón cuando está a del núcleo de uranio? b) Al acercarse el protón al núcleo de uranio, la fuerza de repulsión lo frena hasta detenerlo oentáneaente, después de lo cual el protón se aleja del núcleo de uranio. Qué tanto se acerca el protón al núcleo? c) Qué rapidez tiene el protón cuando está otra vez a 5.00 del núcleo de uranio? 6.7. Un bloque de hielo con asa de 6.00 kg está inicialente en reposo en una superficie horizontal sin fricción. Un obrero le aplica después una fuerza horizontal F S y el bloque se ueve sobre el eje x, de odo que su posición en función del tiepo está dada por x(t) 5at 2 bt 3, donde a >s 2, b >s 3. a) Calcule la velocidad del objeto en t s. b) Calcule la agnitud de F S en t s. c) Calcule el trabajo efectuado por la fuerza F S durante los prieros 4.00 s del oviiento. en que pierde contacto con el resorte. El rifle se sostiene con el cañón horizontal. a) Calcule la rapidez con que la esfera sale del cañón, ignorando la fricción. b) Calcule la rapidez con que la esfera sale del cañón, suponiendo que una fuerza de resistencia constante de 6.00 N actúa sobre la esfera ientras se ueve dentro del cañón. c) Para la situación del inciso b), en qué posición dentro del cañón la esfera tiene ayor rapidez? Deterine tal rapidez. (En este caso, la rapidez áxia no se alcanza en el extreo del cañón.) Un libro de 2.50 kg se epuja contra un resorte horizontal de asa despreciable y fuerza constante de 250 N>, copriiéndolo Al soltarse, el libro se desliza sobre una esa horizontal que tiene coeficiente de fricción cinética k Use el teorea trabajo-energía para averiguar qué distancia recorre el libro desde su posición inicial hasta detenerse El ipacto del Génesis. Cuando la cápsula de 20 kg de la Epujar un gato. Micifuz (asa de 7.00 kg) está tratando de isión Génesis se estrelló (véase el ejercicio 5.7 del capítulo 5) con una rapidez de 3 k>h, se incrustó 8.0 c en el suelo del desierto. Suponiendo una aceleración constante durante el ipacto, con qué tasa edia la cápsula efectuó trabajo sobre el desierto? Un hobre y su bicicleta tienen una asa cobinada de 80.0 kg. Al llegar a la base de un puente, el hobre viaja a 5.00 >s (figura 6.35). La altura vertical del puente que debe subir es de 5.20, y en la cia la rapidez del ciclista disinuyó a.50 >s. Ignore la fricción llegar a la parte ás alta de una rapa sin fricción de 2.00 de longitud, que tiene una inclinación de sobre la horizontal. Puesto que el pobre felino no tiene tracción alguna sobre la rapa, usted lo epuja en todo oento ejerciendo una fuerza constante de 00 N paralela a la rapa. Si Micifuz epieza a correr desde ás atrás, de odo que tenga una rapidez de 2.40 >s en la base de la rapa, qué rapidez tendrá al llegar a la parte ás alta? Use el teorea trabajo-energía. y cualquier ineficiencia de la bicicleta o de las piernas del ciclista Barrera protectora. Un estudiante propone un diseño para a) Qué trabajo total se efectúa sobre el hobre y su bicicleta al subir de la base a la cia del puente? b) Cuánto trabajo realizó el hobre con la fuerza que aplicó a los pedales? una barrera contra choques de autoóviles consistente en un resorte con asa despreciable capaz de detener una vagoneta de 700 kg que se ueve a 20.0 >s. Para no lastiar a los pasajeros, la aceleración del auto al frenarse no puede ser ayor que 5.00g. a) Calcule la constante Figura 6.35 Problea de resorte k requerida, y la distancia que el resorte se copriirá para detener el vehículo. No considere la deforación sufrida por el vehículo ni la fricción entre el vehículo y el piso. b) Qué desventajas tiene este diseño? Un grupo de estudiantes epuja a un profesor de física sentado en una silla provista de ruedas sin fricción, para subirlo 2.50 por una rapa inclinada sobre la horizontal. La asa cobinada del profesor y la silla es de 85.0 kg. Los estudiantes aplican una fuerza horizontal constante de 600 N. La rapidez del profesor en la base de la kg rapa es de 2.00 >s. Use el teorea trabajo-energía para calcular 5.20 su rapidez en la parte superior de la rapa Un bloque de 5.00 kg se ueve con v >s en una Figura 6.36 Problea 6.8. superficie horizontal sin fricción v hacia un resorte con fuerza constante k N> que está unido /s k N/ 5.00 a una pared (figura 6.36). El resorte tiene asa despreciable. kg a) Calcule la distancia áxia Una fuerza en la dirección x tiene agnitud F 5 b>x n, donde b y n son constantes. a) Para n., calcule el trabajo efectuado sobre una partícula por esta fuerza cuando la partícula se ueve sobre el eje x de x 5 x 0 al infinito. b) Deuestre que, para 0, n,, aunque F se acerque a cero al hacerse x uy grande, F realiza un trabajo infinito cuando la partícula se ueve de x 5 x 0 al infinito Iagine que le piden diseñar aortiguadores de resorte para las paredes de un estacionaiento. Un autoóvil de 200 kg que rueda libreente a 0.65 >s no debe copriir el resorte ás de antes de detenerse. Qué constante de fuerza debería tener el resorte? Suponga que la asa del resorte es despreciable El resorte de un rifle de resorte tiene asa despreciable y una fuerza constante k N>. El resorte se coprie 6.00 c y una esfera con asa de kg se coloca en el cañón horizontal contra el resorte copriido. El resorte se libera y la esfera sale por que se copriirá el resorte. b) Si dicha distancia no debe ser ayor que 0.50, qué valor áxio puede tener v 0? Considere el sistea de la figura La cuerda y la polea tienen asas despreciables, y la polea no tiene fricción. Entre el bloque de 8.00 kg y la esa, el coeficiente de fricción cinética es k Los bloques se sueltan del reposo. Use étodos de energía para calcular la rapidez del bloque de 6.00 kg después de descender.50. Figura 6.37 Probleas 6.82 y kg 6.00 kg

9 20 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética Considere el sistea de la figura La cuerda y la polea tienen asas despreciables, y la polea no tiene fricción. El bloque de 6.00 kg se ueve inicialente hacia abajo, y el bloque de 8.00 kg se ueve a la derecha, abos con rapidez de >s. Los bloques se detienen después de overse Use el teorea trabajo-energía para calcular el coeficiente de fricción cinética entre el bloque de 8.00 kg y la esa Arco y flecha. La figura 6.38 uestra cóo la fuerza ejercida por la cuerda de un arco copuesto sobre una flecha varía en función de qué tan atrás se tira de la flecha (la longitud de tensado). Suponga que la isa fuerza se ejerce sobre la flecha cuando ésta se ueve hacia adelante después de soltarse. El tensado áxio de este arco es una longitud de 75.0 c. Si el arco dispara una flecha de Figura 6.38 Problea F x (N) (c) kg con tensado áxio, qué rapidez tiene la flecha al salir del arco? En una pista de hielo horizontal, prácticaente sin fricción, una patinadora que se ueve a 3.0 >s encuentra una zona áspera que reduce su rapidez en un 45% debido a una fuerza de fricción que es del 25% del peso de la patinadora. Use el teorea trabajo-energía para deterinar la longitud de la zona áspera Rescate. Iagine que una aiga (con asa de 65.0 kg) está parada en edio de un estanque congelado. Hay uy poca fricción entre sus pies y el hielo, de odo que no puede cainar. Por fortuna, tiene una cuerda ligera atada a la cintura y usted está en la orilla sosteniendo el otro extreo. Usted tira de la cuerda durante 3.00 s y acelera a su aiga desde el reposo hasta tener una rapidez de 6.00 >s, ientras usted peranece en reposo. Qué potencia edia suinistra la fuerza que aplicó? Se requiere una boba para elevar 800 kg de agua (aproxiadaente 20 galones) por inuto desde un pozo de 4.0, expulsándola con una rapidez de 8.0 >s. a) Cuánto trabajo se efectuará por inuto para subir el agua? b) Cuánto trabajo se efectuará para ipartirle la energía cinética que tiene al salir? c) Qué potencia desarrolla la boba? Calcule la potencia desarrollada por el obrero del problea 6.7 en función del tiepo. Qué valor nuérico tiene la potencia (en watts) en t s? Una estudiante de física pasa una parte del día cainando entre clases o por esparciiento, y durante ese tiepo gasta energía a una tasa edia de 280 W. El resto del día está sentada en clase, estudiando o descansando; durante estas actividades, gasta energía a una tasa edia de 00 W. Si en un día ella gasta en total J de energía, cuánto tiepo dedicó a cainar? Todas las aves, sea cual fuere su taaño, deben desarrollar continuaente una potencia de entre 0 y 25 watts por kilograo de asa corporal para volar batiendo las alas. a) El colibrí gigante de los Andes (Patagona gigas) tiene una asa de 70 g y aletea 0 veces por segundo al quedar suspendido. Estie el trabajo efectuado por ese colibrí en cada aleteo. b) Un atleta de 70 kg puede desarrollar una potencia de.4 kw durante unos cuantos segundos coo áxio; el desarrollo constante de potencia de un atleta coún es sólo del orden de 500 W. Es posible para un avión de propulsión huana poder volar por periodos largos batiendo las alas? Explique su respuesta La presa Grand Coulee tiene 270 de longitud y 70 de altura. La potencia eléctrica producida por los generadores en su base es de aproxiadaente 2000 MW. Cuántos etros cúbicos de agua deben fluir cada segundo desde la parte superior de la presa, para producir esta potencia si el 92% del trabajo realizado sobre el agua por la gravedad se convierte en energía eléctrica? (Cada c 3 de agua tiene 000 kg de asa.) El otor de un autoóvil de asa alienta una potencia constante P a las ruedas para acelerar el auto. Puede ignorarse la fricción por rodaiento y la resistencia del aire. El auto está inicialente en reposo. a) Deuestre que la rapidez del auto en función del tiepo es v 5 (2Pt>) >2. b) Deuestre que la aceleración del auto no es constante, sino que está dada en función del tiepo por a 5 (P>2t) >2. c) Deuestre que el desplazaiento en función del tiepo es x 2 x 0 5 (8P>9) >2 t 3> Potencia del corazón huano. El corazón huano es una boba potente y uy confiable; cada día adite y descarga unos 7500 L de sangre. Suponga que el trabajo que realiza el corazón es igual al requerido para levantar esa cantidad de sangre a la altura edia de una ujer estadounidense (.63 ). La densidad (asa por unidad de voluen) de la sangre es de kg> 3. a) Cuánto trabajo realiza el corazón en un día? b) Qué potencia desarrolla en watts? Seis unidades diesel en serie pueden suinistrar 3.4 MW al prier vagón de un tren de carga. Las unidades diesel tienen una asa total de kg. Los vagones tienen una asa edia de kg y cada uno requiere un tirón horizontal de 2.8 kn para overse a 27 >s (constante) en vías horizontales. a) Cuántos vagones puede tener el tren en estas condiciones? b) En tal caso, no sobraría potencia para acelerar ni para subir cuestas. Deuestre que la fuerza adicional requerida para acelerar el tren es aproxiadaente la isa para lograr una aceleración de 0.0 >s 2, que para subir una pendiente de.0% (ángulo de pendiente a5arctan 0.00). c) Con la pendiente de.0%, deuestre que se necesitan 2.9 MW ás para antener la rapidez de 27 >s de las unidades diesel. d) Con 2.9 MW enos de potencia disponible, cuántos vagones pueden arrastrar las seis unidades diesel subiendo una cuesta de.0% con rapidez constante de 27 >s? Se necesita una fuerza de 53 kn aplicada al prier vagón de un tren de 6 vagones con asa de kg, para tirar de él con rapidez constante de 45 >s (0 i>h) sobre rieles horizontales. a) Qué potencia debe proporcionar la locootora al prier vagón? b) Cuánta ás potencia que la calculada en a) se necesitaría para ipartir al tren una aceleración de.5 >s 2 en el instante en que el tren va a 45 >s sobre vías horizontales? c) Cuánta ás potencia que la calculada en a) se necesitaría para tirar del tren subiendo una cuesta de.5% (ángulo de pendiente a5arelan 0.05) con rapidez constante de 45 >s? Varias fuerzas actúan sobre un objeto. Una de ellas es F S 5 axyi^, una fuerza en la dirección x cuya agnitud depende de la posición del objeto, con a52.50 N> 2. Calcule el trabajo realizado por esta fuerza sobre el objeto para cada uno de los siguientes desplazaientos del objeto: a) El objeto parte del punto x 5 0, y y se ueve paralelo al eje x hasta el punto x , y b) El objeto parte del punto x , y 5 0 y se ueve en la dirección y hasta el punto x , y c) El objeto parte del origen y se ueve sobre la línea y 5.5x hasta el punto x , y Cicliso. Para una ciclista de ruta, el coeficiente de arrastre C f es.00, el área frontal A es de aire 5 2 CArv2 2 y el coeficiente de fricción por rodaiento es de Ella tiene una asa de 50.0 kg, y su bicicleta, 2.0 kg. a) Para antener una rapidez de 2.0 >s (unas 27 i>h) en un caino plano, qué potencia debe suinistrar la ciclista a la rueda trasera? b) En carreras de velocidad, a isa ciclista usa otra bicicleta con coeficiente de fricción por rodaiento de y asa de 9.00 kg. Adeás, la ciclista se encorva para reducir su coeficiente de arrastre a 0.88 y su área frontal a Qué po- Longitud de tensado

10 Probleas de desafío 2 tencia debe suinistrar ahora a la rueda trasera para antener una rapidez de 2.0 >s? c) En la situación del inciso b), qué potencia se requiere para antener una rapidez de 6.0 >s? Considere la gran reducción en la potencia requerida cuando la rapidez sólo se reduce a la itad. (Si desea saber ás acerca de las liitaciones aerodináicas de la rapidez para una aplia variedad de vehículos de propulsión huana, véase The Aerodynaics of Huan-Powered Land Vehicles, Scientific Aerican, diciebre de 983.) Potencia autootriz I. El otor de un caión transite 28.0 kw (37.5 hp) a las ruedas de tracción cuando el caión viaja con velocidad constante de agnitud 60.0 k>h (37.3 i>h) sobre una carretera horizontal. a) Deterine la fuerza de resistencia que actúa sobre el caión. b) Suponga que el 65% de tal fuerza se debe a la fricción por rodaiento, y el resto, a la resistencia del aire. Si la fuerza de fricción por rodaiento es independiente de la rapidez y la fuerza de resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la rapidez qué potencia ipulsará el caión a 30.0 k>h? Y a 20 k>h? Dé sus respuestas en kilowatts y en caballos de potencia Potencia autootriz II. a) Si se requieren 8.00 hp para ipulsar un autoóvil de 800 kg a 60.0 k>h en una carretera horizontal, calcule la fuerza retardante total debida a la fricción, la resistencia del aire, etcétera. b) Qué potencia se requiere para ipulsar el auto a 60.0 k>h hacia arriba en una pendiente de 0.0% (que sube 0.0 por cada 00.0 de distancia horizontal)? c) Qué potencia se requiere para ipulsar el auto a 60.0 k>h en una bajada de.00%? d) Qué inclinación debe tener una pendiente para que el auto avance a 60.0 k>h sin otor? Probleas de desafío En un día invernal en Maine, un bodeguero está epujando cajas hacia arriba, por una tabla áspera inclinada con un ángulo a sobre la horizontal. La tabla está cubierta en parte con hielo, y hay ás hielo cerca de la base de la tabla que cerca del tope, de odo que el coeficiente de fricción auenta con la distancia x a lo largo de la tabla: 5Ax, donde A es una constante positiva y la base de la tabla está en x 5 0. (Para esta tabla, los coeficientes de fricción cinética y estática son iguales, k 5 s 5.) El bodeguero epuja una caja tabla arriba, de odo que sale de la base de la tabla con rapidez v 0. Deuestre que cuando la caja se detiene, peranecerá en reposo si epuja horizontalente una esfera de kg. El trabajo efectuado por la fricción es despreciable. Calcule la rapidez de la esfera cuando el resorte recupera su longitud no copriida b) despreciando la asa del resorte; c) incluyendo, con ayuda de los resultados del inciso a), la asa del resorte. d) En el inciso c), qué energía cinética final tienen la esfera y el resorte? Un avión en vuelo está sujeto a una fuerza de resistencia del aire proporcional al cuadrado de su rapidez v. Sin ebargo, hay una fuerza de resistencia adicional porque el avión tiene alas. El aire que fluye sobre las alas es epujado hacia abajo y ligeraente hacia adelante de odo que, por la tercera ley de Newton, el aire ejerce una fuerza sobre las alas y el avión que es hacia arriba y ligeraente hacia atrás (figura 6.39). La fuerza hacia arriba es la fuerza de sustentación que antiene al avión en vuelo, en tanto que la fuerza hacia atrás se denoina arrastre inducido. A las rapideces de vuelo, el arrastre inducido es inversaente proporcional a v 2, así que la fuerza de resistencia total del aire se puede expresar coo F aire 5av 2 b>v 2, donde a y b son constantes positivas que dependen de la fora y taaño del avión y de la densidad del aire. Para un Cessna 50, un avión pequeño de un solo otor, a50.30 N # s 2 / 2 y b N 2 >s 2. En vuelo estable, el otor debe suinistrar una fuerza hacia adelante que equilibre exactaente la fuerza de resistencia del aire. a) Calcule la rapidez (en k>h) a la que este avión tiene el alcance áxio (es decir, viaja ayor distancia) para una cantidad dada de cobustible. b) Calcule la rapidez (en k>h) con la que el avión tendrá peranencia áxia en el aire. Figura 6.39 Problea de desafío Sustentación Arrastre inducido Fuerza del aire sobre las alas v 2 0 $ 3g sen 2 a A cos a 6.0. Un resorte con asa. Noralente ignoraos la energía cinética de las espiras en oviiento de un resorte; sin ebargo, intenteos obtener una aproxiación razonable de esta cantidad. Considere un resorte de asa M, longitud en equilibrio L 0 y constante de resorte k. El trabajo efectuado para estirar o copriir el resorte en una distancia L es 2 kx2, donde X 5 L 2 L 0. a) Considere que el resorte descrito tiene un extreo fijo y el otro oviéndose con rapidez v. Suponga que la rapidez de los puntos a lo largo del resorte varía linealente con la distancia l edida desde el extreo fijo. Suponga tabién que la asa M del resorte se distribuye uniforeente a lo largo del iso. Calcule la energía cinética del resorte en térinos de M y v. (Sugerencia: divida el resorte en segentos de longitud dl; deterine la rapidez de cada segento en térinos de l, v y L; calcule la asa de cada segento en térinos de dl, M y L, e integre desde 0 hasta L. El resultado no es 2 Mv2, ya que no todo el resorte se ueve con la isa rapidez.) En un rifle de resorte, un resorte de asa kg y fuerza constante 3200 N> se coprie 2.50 c con respecto a su longitud no estirada. Cuando se tira del gatillo, el resorte La figura 6.40 uestra la tasa de consuo de oxígeno de hobres que cainan y corren a diferentes rapideces. El eje vertical indica voluen de oxígeno (en c 3 ) que un hobre consue por kilograo Figura 6.40 Problea de desafío Consuo de oxígeno (c 3 / kg in) Cainando O 0 20 Rapidez (k/h) Corriendo

11 22 CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética de asa corporal por inuto. Observe la transición de cainar a correr que se da naturalente cerca de los 9 k>h. El etaboliso de c 3 de oxígeno libera unos 20 J de energía. Con los datos de la gráfica, obtenga la energía requerida para que un hobre de 70 kg viaje k a pie con cada una de las siguientes rapideces: a) 5 k>h (cainando); b) 0 k>h (corriendo); c) 5 k>h (corriendo). d) Cuál rapidez es la ás eficiente, es decir, requiere enor energía para viajar k? Deostración general del teorea trabajo-energía. Considere una partícula que se ueve siguiendo una trayectoria curva en el espacio desde (x, y, z ) hasta (x 2, y 2, z 2 ). En el punto inicial, la partícula tiene velocidad S v 5 v x d^ v y e^ v z k^. La trayectoria se puede dividir en segentos infinitesiales d S l 5 dxd^ dye^ dzk^. Mientras la partícula se ueve, actúa sobre ella una fuerza neta F S 5 F x i^ F y e^ F z k^. Las coponentes de fuerza F x, F y y F z son, en general, funciones de la posición. Por la isa sucesión de pasos epleada en las ecuaciones (6.) a (6.3), deuestre el teorea trabajoenergía para este caso general. Es decir, deuestre que donde x 2, y 2, z 2 2 W tot 5 3 F # S x 2, y 2, z 2 2 S d l 5 3 F x dx F y dy F z dz 2 x, y, z 2 W tot 5 K 2 2 K x, y, z 2