Diferenciabilidad de funciones de varias variables

Transcripción

1 6 si 6 f si a) Eisten las deriadas parciales de f en (, ). b) f no es continua en (,). 1.- Sea la función,.- Sea la función,,,,,. Probar que: 1 sen si f. si a) Probar que f es continua en (,). b) Es f diferenciable en (, )? (Nota: inestigar la eistencia de deriadas parciales). 3.- Hallar la deriada direccional de según la dirección del ector u (1, ) : 3 si si,,,, en el punto (,), 4.- La fórmula que mide el efecto enfriador del iento iene dada por E =,817 (3,71 +5,81-,5)(T-91,4) + 91,4 donde es la elocidad del iento en millas/h T la temperatura en grados Fahrenheit. Supongamos que la elocidad del iento es 3 3 millas/h la temperatura 8º 1º. Usar de para estimar el error propagado máimo el error relatio al calcular el efecto enfriador E. 5.- La superficie de una montaña admite aproimadamente el modelo: h(, ) Si un montañero se encuentra en el punto (5, 3, 439), En qué dirección debe moerse si desea ascender con la maor rapide posible? 6.- La temperatura en un entorno del origen iene dada por una función de la forma T(, ) T e sen. Hallar la traectoria seguida por una partícula, originada en el origen, que hue del calor. Hallar la ariación de temperatura que eperimentaría la partícula si tomase la dirección del ector u = (1,-). 7.- Un campo escalar diferenciable = f(, ) tiene, en el punto P(1,) las deriadas direccionales + en dirección al punto A(,) en dirección al punto B(1,1). Determinar el ector gradiente en P calcular la deriada direccional en P en dirección al punto C(4,6). 8.- Hallar la constante c tal que en todo punto de la intersección de las dos esferas c ; c 1 3 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

2 los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares entre sí. cost 9.- Un pato está nadando a lo largo de la circunferencia unidad la sent temperatura del agua en el estanque está dada por la epresión T = e 3. Hallar el T coeficiente de ariación de la temperatura que puede sentir el pato: t a) Epresando T en términos de t diferenciando. b) Mediante la regla de la cadena. u 1.- El cambio de ariables transforma = f(,) en = g(u,). Calcular el u f f f f f alor de en el punto u =1, =1, sabiendo que 1 en u dicho punto La ecuación = define implícitamente una función real de dos ariables reales =f(,). a) Hallar el ector gradiente de f en el punto P(-1,1,). b) Calcular la deriada direccional de en P en la dirección de descenso más pronunciado. c) Dar la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P. d) Hallar en P. 1.- Dada la función f(, ) = tg, se pide: a) Hallar el dominio de f. b) Dar las direcciones de máimo nulo crecimiento de f en el punto P,. 4 c) Calcular la deriada direccional h() de f en P en la dirección que forma un ángulo con el eje de abscisas. d) Hallar la aproimación lineal (plano tangente) de f(,) en P. e) Suponiendo que el error estimado al medir la magnitud es de un % el de un 5% cuál es la estimación del error propagado? cos t f) Calcula la deriada de f respecto de t en la circunferencia. sen t La temperatura en un punto (, ) de una lámina metálica es T(, ). a) Hallar la cura de niel (isoterma) que pasa por el punto P(, -1). b) Hallar la dirección de máimo crecimiento de la temperatura en P. c) Hallar el coeficiente de ariación de la temperatura en P en la dirección de la bisectri del primer cuadrante. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

3 d) Hallar, usando la regla de la cadena, el coeficiente de ariación de la temperatura a sent lo largo de la cura. cos t e) Si la cota de error en la medida de es de 1% en la de es de %, hallar el máimo error propagado de T en P. define f, 14.- La ecuación 3 e. Hallar: a) f, siendo P (1,1,). P como función implícita de b) Plano tangente a la superficie en el punto P. c) La deriada direccional de f en el mismo punto P, en la dirección de la bisectri del segundo cuadrante. Decir si f,, en P en esa dirección, es creciente, decreciente, o si está en la dirección de una cura de niel. d) P En una superficie, la temperatura en un entorno del punto P, iene dada por 4 la función T(,)= e cos a) Hallar la dirección de máimo calor seguida por una partícula que parte de P. b) Hallar la ariación de temperatura eperimentada por la partícula si toma, desde P, la dirección del ector u (1,-) Hallar unas ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la cura intersección de las superficies + =, + + =9, en el punto P (,1,-) La ecuación cos e 4 define implícitamente la función f, Suponiendo que se dieran las condiciones de diferenciabilidad adecuadas, calcular: P,1. a) Plano tangente a la superficie en el punto b) Deriada direccional de en P,1 en la dirección. 4 c) Ecuación dibujo aproimado de la cura de niel que pasa por P. d) P Un posible modelo para el consumo de leche per cápita iene dado por la función = -1,83-1,9 +14,7 donde es el consumo de leche desnatada, el de leche semidesnatada el de leche entera. Una empresa láctea estima para el año un consumo per cápita de 35,1 1 litros de leche desnatada 4,1 1 litros de leche semidesnatada. Se pide estimar el máimo error propagado el error porcentual en la predicción sobre el consumo de leche entera. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

4 19.- a) Aplicando la regla de la cadena, calcular la deriada d/dt a lo largo de la cura =cost, =sent, siendo e sen ealuar si, en t=π/, es creciente o decreciente. b) El radio la altura de un cilindro circular recto erifican que: dr dh 6cm/ min, 4cm/ min dt dt Si V=r h es el olumen de dicho cilindro se pide, aplicando la regla de la cadena, dv hallar para r=h=5cm, su ritmo de ariación, es decir, la deriada,. dt 3.- La ecuación ln 1 define de forma implícita a como función de e, se pide: a. La deriada direccional de en el punto P(,1) en la dirección del ector (,-) b. Las direcciones de la cura de niel de en P. c. El plano tangente la recta normal en P. 1.- a) Sea una función diferenciable = f(,) sean = s +, = s, escribir las ecuaciones de un cambio de ariable, en función de, s b) La ecuación de Laplace es la ecuación en deriadas parciales Comprobar que la siguiente función erifica la ecuación de Laplace e sen 6 si,,.- a) Dada la función f(, ) =, se pide calcular f (,) si,, la deriada direccional de f en (1, 1) en la dirección de la cura de niel. b) La caja de cambios automática de un Nissan Qasqhai tiene dos pieas con forma de cono circular recto, aproimar el error propagado el error relatio cometidos en el cálculo del área lateral A r r h de uno de los conos si se han obtenido r=13,5 cm h=,1 cm con un error máimo de medida de mm Sea la función f, 1, se pide: a) Hallar el error porcentual, en la estimación de f(1,-), si se ha medido =1 con un error de ±1% e =- con un error de ±%. b) Hallar la cura de niel correspondiente a = comprobar que es una hipérbola. c) Hallar en P(1,-) la deriada direccional en la dirección de máimo crecimiento. 4.- a) Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a las superficies S = 1 S =, respectiamente, en el punto P(1,1,1). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

5 b) Cuál sería la ecuación de la recta tangente a la cura intersección de las superficies S S. 5.- Sea = f(,) una función con deriadas parciales continuas. Aplicar el cambio de u ariables: probar que u 6.- Sea, sin si,, f. Se pide: 1 si,, a) Dominio f. b) Estudiar la continuidad de f. c) Calcular, si eisten, las deriadas parciales de f en (, ). d) Calcular, si eisten, las deriadas parciales de f en (π, -π). 7.- Al hacer un leantamiento de una porción triangular de terreno se han medido dos lados a=15m b=m, así como el ángulo comprendido C=6º Cuál es el error porcentual que tendrá el área de dicho terreno si la cota de error al medir a b es de cm la de C es de º. 8.- Sea la función f (, ) 4 e 1, hallar: sen(t) a) La deriada de f a lo largo de la cura b) Es f creciente o decreciente en t=? cos t La ecuación define de forma implícita a como función de e, se pide: a) La deriada direccional de en el punto P(1,-1) en la dirección del ector (1,-) b) La dirección en P donde la tiene el máimo decrecimiento el alor del máimo decrecimiento. c) El plano tangente la recta normal en P. 3.- a) Sea una función diferenciable =f(,) sean r las coordenadas polares de cada punto (,), se pide hallar, en función de, r b) Comprobar el resultado anterior considerando el cambio a polares de la función La ecuación 3 - entorno del punto P(1, -). Se pide: define una función f, diferenciable en un U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

6 a) El gradiente de en el punto P la deriada de segundo orden P b) El plano tangente la recta normal en P. c) La deriada direccional en P en la dirección La temperatura en un punto (, ) de una lámina metálica es T(, ). a) Hallar la cura de niel (isoterma) que pasa por el punto P(, -1). b) Hallar la dirección de máimo crecimiento de la temperatura en P. c) Hallar el coeficiente de ariación de la temperatura en P en la dirección de la bisectri del primer cuadrante. d) Hallar, usando la regla de la cadena, el coeficiente de ariación de la sent temperatura a lo largo de la cura. cos t e) Si la cota de error en la medida de es de 1% en la de es de %, hallar el máimo error propagado de T en P Dada la superficie e 3. Se pide: a) Hallar la cura de niel correspondiente a = 1. Qué tipo de cura es? b) Hallar el plano tangente la recta normal a la superficie en P(, ). c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto P (,) al punto (.1, 1.99). 3 si (, ), 34.- Sea la función f (, ). Se pide: si (, ), a) Raonar si esta función es continua en el punto (,)., f ',. b) Hallar, si eisten, las deriadas parciales f ' 35.- a) Hallar la deriada direccional de en el punto (1,), según la dirección del ector u (-1, 1): a 1 ) Aplicando la definición. a ) Mediante la diferencial. b) Cuál es la dirección de máimo crecimiento de en el punto (1, )? 36.- Dada la superficie + + = 1, con, se pide: a) Hallar la cura de niel correspondiente a = 1. Qué tipo de cura es? b) Hallar el plano tangente la recta normal a la superficie en P (, 1). c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto (,1) de su dominio, al (.1,.99). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6

7 37.- a) Deducir cuál es la dirección de máimo crecimiento de una función diferenciable =f(, ) en un punto P(, ). b) Decir si las siguientes afirmaciones son erdaderas o falsas: b 1 ) Si lím f (, ) = L, entonces obligatoriamente eiste el límite a lo largo de,, cualquier camino que pasa por (, ) ale L. b ) Si f es diferenciable en (, ), entonces f es continua en (, ). b 3 ) Si f tiene deriadas parciales en (, ), entonces f es continua en (, ) a) Hallar la deriada direccional de en el punto P(1,), según la dirección del ector u (1, 1) : a 1 ) Aplicando la definición. a ) Mediante la diferencial. b) Raonar si es creciente o decreciente en P en la dirección de u Dada F (,, ) = =, se pide: a) Encontrar las deriadas parciales de primer de la función =f(,) en el punto (,-1,) b) Hallar en (,-1) el alor de d cuando d = d =.. c) Hallar el plano tangente a la superficie F(,,) en el punto (,-1, ) 4.- Usa la regla de la cadena para hallar la deriada de respecto de u siendo = +, con = u + e = u 41.- Sea f:r Rla función: f(,) Estudiar si f es diferenciable en un punto (a,b). 1 ( +3 )sen si (,) (,) si (,) = (,). 4.- Sea f:r Rla función: sen sen ++ si (,) (,) f(,) si (,) = (,). f(,) a) Hallar la deriada u respecto del ector u (cos,sen ) f(,) f(,) deriadas parciales. en particular las b) Estudiar si f es diferenciable en un punto (,). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 7

8 43.- Sea = f(,) una función con deriadas parciales continuas. Aplicar el cambio de u ariables: a la epresión: 44.- Sea 3 si, (, ) si (, ) = (, ) f(,) a) Hallar el dominio de la función f(, ). b) Calcular el límite de f(, ) en (, ) a lo largo del camino =. c) Estudiar la continuidad diferenciabilidad de f en el origen. f, f, d) Calcular en los puntos (,) (, -1). e) Determinar en el punto P(, -1) el alor de la deriada de f(,) en la dirección del u 1, 3. ector 5 si 45.- Consideremos f(,)=. Se pide: 1 si = a) Eiste el límite: lím f(,)?, 1, b) Es continua la función en (1,)? c) Es diferenciable la función en (1,)? 46.- Sea la función f(,) con deriadas parciales continuas sean u las u ecuaciones de un cambio de ariable, se pide demostrar que comprobarlo u para ()sen( ) 47.- Sea la función = sen ( + 3). Se efectúa el cambio de ariables: Hallar u en u u u U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 8

9 6 si Sea la función f, si a) Eisten las deriadas parciales de f en (, ). b) f no es continua en (,). a),,,,. Probar que: 6 h 6 5 f f h, f, h h h f (,), lim lim lim h h h 4 h h 1h f f,kf, k f (,),lim lim lim. k k k k k. lím. Y es que los límites radiales son,, todos nulos, en cambio, el límite a lo largo de la parábola es 1. Límites reiterados en (, ): lim lim f (, ) lim() lim lim f (, ) lim() b) f no es continua en (,) al no eistir el f, Límites radiales en (, ): 6 5 lim f(, ) lim lim (, ), 6 5 m ( m) m m Límite a lo largo de la parábola = : 6 lim (, ) lim f lim1 1 (, ), 6 Luego no eiste el límite lim f (, ) (,),, por tanto, f no es continua en (, ). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 8

10 1 sen si.- Sea la función f,. si a) Probar que f es continua en (,). b) Es f diferenciable en (, )? (Nota: inestigar la eistencia de deriadas parciales). a) Los límites radiales son nulos. 1 r cos rsensen r cos rsen lim g(r) r r cos rsen r cos sen Luego lím f (, ) f (,),, por tanto f es continua en (,).,, r g(r), con b) f, f lim h h, f, h 1 h sen lim h h h lim sen h 1 h No eiste. Luego, f no es diferenciable en (,), a que si lo fuera eistirían las deriadas parciales de f en dicho punto. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 9

11 3.- Hallar la deriada direccional de según la dirección del ector u (1, ) : 3 si si,,,, a) Mediante la definición de deriada direccional. u 1, 1, u h h h 3 f, f, f , lim lim lim h h h 3 u h h 4h h b) Aplicando la regla de la cadena. f t, t f, t t u Recta que pasa por O(, ) tiene de dirección : u en el punto (,), t 5 r, t 5 t t f u, d dt f lim t h, f, h d dt, h Por tanto,, t t f d 1, 1 u dt 5 5 t, d dt 3 h lim h 1; análogamente, h h 1 5,. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

12 c) Mediante la fórmula para calcular deriadas direccionales de funciones diferenciables. f u 1 1, f, 1,, u u A la ista del apartado anterior, es f diferenciable en (, )? f no es diferenciable en (,), a que si lo fuera, deberíamos haber obtenido el mismo f resultado por los tres métodos al calcular,. u U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 11

13 4.- La fórmula que mide el efecto enfriador del iento iene dada por E =,817 (3,71 +5,81-,5)(T-91,4) + 91,4 donde es la elocidad del iento en millas/h T la temperatura en grados Fahrenheit. Supongamos que la elocidad del iento es 3 3 millas/h la temperatura 8º 1º. Usar de para estimar el error propagado máimo el error relatio al calcular el efecto enfriador E. Error propagado máimo d 3, E E E de d dt T dt 1, E 817( E 817( t 1 7 3, T 8 )(5T 457) 581) 3,T 3,T de E de Error relatio % E E U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

14 5.- La superficie de una montaña admite aproimadamente el modelo: h(, ) Si un montañero se encuentra en el punto (5, 3, 439), En qué dirección debe moerse si desea ascender con la maor rapide posible? Debe tomar la dirección dada por el ector: h h h5,3,.,.8 5, 3.1,.4 5,3 Que es lo mismo que seguir la dirección del ector (-1,-4). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 13

15 6.- La temperatura en un entorno del origen iene dada por una función de la forma T(, ) T e sen. Hallar la traectoria seguida por una partícula, originada en el origen, que hue del calor. Hallar la ariación de temperatura que eperimentaría la partícula si tomase la dirección del ector u = (1,-). Representamos la traectoria por unas ecuaciones paramétricas: rt t, t. Un ector tangente a dicha traectoria en cada punto t, t iene dado por d d r` t,. dt dt Como la partícula hue del calor, tomará la dirección de máimo descenso de temperatura, que iene dada por el ector: T T T,, e cos,e sen Por tanto, las direcciones de r` t de e cos, e sen son la misma a lo largo de toda la traectoria. Así pues, d d e cos k e sen k, donde k depende de t. dt dt Despejando k dt en cada ecuación e igualando los resultados, se obtiene: d cos d sen tg d d tg d -ln cos C Como sabemos que la partícula parte del origen, ha de ser: -lncos C C. Por consiguiente, la traectoria seguida por la partícula será: -lncos La figura muestra esa traectoria. Obseración: La traectoria es perpendicular a las curas de niel (isotermas) pues en cada punto su ector tangente es paralelo al ector gradiente en ese punto. La ariación de temperatura que eperimentaría la partícula si tomase la dirección del ector u = (1,-) sería la deriada direccional de T en el (, ) en la dirección de dicho ector: T u 1 1 5, T, 1,, u u U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 14

16 7.- Un campo escalar diferenciable = f(, ) tiene, en el punto P(1,) las deriadas direccionales + en dirección al punto A(,) en dirección al punto B(1,1). Determinar el ector gradiente en P calcular la deriada direccional en P en dirección al punto C(4,6). 6 1 P u B w A C 1 4 Sea f P a, b Vector dirección de P a A: u, 1, 1, Vector dirección de P a B: 1,1 1,, 1 f u f P f P 1, P f P, 1 a,b 1, a a,b a,b, 1 b Vector dirección de P a C: w 4,6 1, 3,4 w f w 3,4 P, f P, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 15

17 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos Hallar la constante c tal que en todo punto de la intersección de las dos esferas 3 c ; 1 c los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares entre sí. Unas ecuaciones implícitas de ambas esferas son, respectiamente: 3 c,, F 1 c,, G Un ector normal al plano tangente a la primera superficie es:,, c F, F, F n 1 Un ector normal al plano tangente a la segunda superficie es:, c, G, G, G n Para que se cumplan las condiciones eigidas en el enunciado del problema, para el punto genérico P(,, ) se ha de erificar: 1) P debe pertenecer a la primera superficie: 3 c ) P debe pertenecer a la segunda superficie: 1 c 3) c c, c,,, c n n 1 Resoliendo con DERIVE el sistema formado por las tres ecuaciones anteriores, se obtiene que ha de ser c.

18 cost 9.- Un pato está nadando a lo largo de la circunferencia unidad la sent temperatura del agua en el estanque está dada por la epresión T = e 3. Hallar el T coeficiente de ariación de la temperatura que puede sentir el pato: t a) Epresando T en términos de t diferenciando. b) Mediante la regla de la cadena. sent 3 a) T(t) cos t e cost sen t dt sent sent 3 cost (-sent)e cos t e cost - (-sent)sen t cos t 3 sen t cost dt sent 3 sent 4 cost sent e cos t e sen t 3 sen t cos t b) T T d T d t t dt dt 3 T e sent e 3 cost sent 3 sent 4 t cost sent e cos t e sen t 3 sen t cos t U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 17

19 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos El cambio de ariables u u transforma = f(,) en = g(u,). Calcular el alor de u en el punto u =1, =1, sabiendo que 1 f f f f f en dicho punto. u g u g f 1 f u f u f u g f f f f f 1 f u g f f f f f f Sustituendo estas dos últimas epresiones en la anterior a ellas, queda: g f f f f f u u, 1,1 f f f f f 1 u 1 u u f g u u f, f u

20 11.- La ecuación = define implícitamente una función real de dos ariables reales =f(,). a) Hallar el ector gradiente de f en el punto P(-1,1,). b) Calcular la deriada direccional de en P en la dirección de descenso más pronunciado. c) Dar la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P. d) Hallar en P. a) F(,, ) = = define implícitamente a la función = f(,). El ector gradiente de f en el punto P es f P, P F 3 1 P 1 F F 1 P 1 F f P 1,1 b) La dirección de descenso más pronunciado iene dada por el ector: u f P 1, 1 La deriada direccional de en P en esta dirección es: f 1, P 1,1 u c) Ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P: f f P P1111 d) P = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 19

21 1.- Dada la función f(, ) = tg, se pide: a) Hallar el dominio de f. b) Dar las direcciones de máimo nulo crecimiento de f en el punto P,. 4 c) Calcular la deriada direccional h() de f en P en la dirección que forma un ángulo con el eje de abscisas. d) Hallar la aproimación lineal (plano tangente) de f(,) en P. e) Suponiendo que el error estimado al medir la magnitud es de un % el de un 5% cuál es la estimación del error propagado? cos t f) Calcula la deriada de f respecto de t en la circunferencia. sen t Solución a) Domf = R - {(, ) tales que = k/, kr} b) La dirección de máimo crecimiento es la del gradiente: f (P) = tan, cos = (1,4). P Análogamente la dirección de nulo crecimiento es u f (P), luego u = (4,-1). c) Un ector en la dirección indicada es u = (cos, sen), además u 1, por tanto, h()= f (P) (cos, sen)= (1,4) (cos, sen)= cos+4sen. d) La ecuación de la aproimación lineal es la del plano tangente en P: f f = + ( ) ( ) P P = f(,/4) = = + 1( ) 4( ) 4 f f e) d= d d el error propagado es P P E1 (,) + 4 (,5) =, df f d f d f) = tan cost sent = dt dt dt cos cos t tansentcos t cos sent sent U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

22 La temperatura en un punto (, ) de una lámina metálica es T(, ). a) Hallar la cura de niel (isoterma) que pasa por el punto P(, -1). b) Hallar la dirección de máimo crecimiento de la temperatura en P. c) Hallar el coeficiente de ariación de la temperatura en P en la dirección de la bisectri del primer cuadrante. d) Hallar, usando la regla de la cadena, el coeficiente de ariación de la temperatura a sent lo largo de la cura. cos t e) Si la cota de error en la medida de es de 1% en la de es de %, hallar el máimo error propagado de T en P. Solución a) Para hallar la cura de niel en P(,-1) calculamos preiamente el alor de T(P) 3 6 = #1: 5 + (-1) La cura de niel en P tiene por ecuación 6 3 = #: 5 + Operando obtenemos + -5/= que corresponde a una circunferencia de centro (5/4,) radio 5/4. b) La dirección de máimo crecimiento sabemos, por teoría que es la del ector gradiente. d 3 3 ( - ) #3: = d + ( + ) d 3 6 = - #4: d + ( + ) El ector gradiente en un punto (,) es: 3 ( - ) 6 #5:, - ( + ) ( + ) Y en P es: 3 ((-1) - ) 6 (-1) 9 1 #6:, - = -, 5 5 ( + (-1) ) ( + (-1) ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

23 c) Se nos pide la deriada direccional de T en P en la dirección α=π/4 9 1 π π 3 #7: -, COS, SIN = d) Aplicamos la regla de la cadena a T a lo largo de la cura =sent, = cost, sustituimos e por las funciones de t que definen e 3 ( - ) 6 #8: ( COS(t)) + - (- SIN(t)) = ( + ) ( + ) 6 ( - ) COS(t) 6 SIN(t) + ( + ) ( + ) 6 COS(t) (1-3 SIN(t) ) #9: (3 SIN(t) + 1) e) El error propagado máimo (en la medición de T) se obtiene a partir de la fórmula de la diferencial total de T d 3 d 3 dt = (d) + (d) #1: d d ( - ) 6 #11: dt = (d) + - (d) ( + ) ( + ) Ahora sustituimos =, =-1,d=±.1, d=±. se obtiene la cota de error que denominamos "error propagado máimo" 3 ((-1) - ) #1: error propagado máimo = (±.1) + - ( + (-1) ) 6 (-1) (±.) ( + (-1) ) #13: error propagado máimo = (-.36) (±.1) +.48 (±.) #14: error propagado máimo = ± #15: error propagado máimo = ±.13 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

24 3 define f, 14.- La ecuación e. Hallar: a) f, siendo P (1,1,). P como función implícita de b) Plano tangente a la superficie en el punto P. c) La deriada direccional de f en el mismo punto P, en la dirección de la bisectri del segundo cuadrante. Decir si f,, en P en esa dirección, es creciente, decreciente, o si está en la dirección de una cura de niel. d) P. Solución a) F(,,) 3 F F F F F F F Sustituendo en P : 1, 1 f, luego, = (-1, -1). P b) Plano tangente a la superficie en el punto P : f f P P 1111 c) Vector unitario en la dirección de la bisectri del segundo cuadrante: u 1 1, u Deriada direccional de f en P, en la dirección de este ector: u 1 1 1,1 1,1 1, 1, u u Luego, en P en esa dirección, está en una cura de niel. d) 1 P U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

25 15.- En una superficie, la temperatura en un entorno del punto P, iene dada por 4 la función T(,)= e cos a) Hallar la dirección de máimo calor seguida por una partícula que parte de P. b) Hallar la ariación de temperatura eperimentada por la partícula si toma, desde P, la dirección del ector u (1,-). Solución T T a) T,, 4, 4 1, 1 T u 1 1, 1, u u 5 5 b) P TP 1 5 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

26 16.- Hallar unas ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la cura intersección de las superficies + =, + + =9, en el punto P (,1,-). Solución La recta tangente es la intersección de los dos planos tangentes a ambas superficies en el punto P. Plano tangente a la primera superficie: f f P P, siendo f(, ) = -. Plano tangente a la segunda superfície: F F F P P P 9, siendo F(,, ) = Ecuación de la recta tangente pedida: t 9 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

27 17.- La ecuación cos e 4 define implícitamente la función f, Suponiendo que se dieran las condiciones de diferenciabilidad adecuadas, calcular: P,1. a) Plano tangente a la superficie en el punto b) Deriada direccional de en P,1 en la dirección. 4 c) Ecuación dibujo aproimado de la cura de niel que pasa por P. d) P. a) F,, cos e 4 Para =, = 1, se obtiene: F F F P F F P P,, sen e F,1,,, F,1,,, e F,1, 1 F Luego, se tiene que: b) Si el ector es unitario: Un ector unitario en la dirección u cos,sen 4 4 F,1, P F,1, u P f P u., es: 4, - ; P F F Por tanto,,1,,1,. P f P u,, - u. P,1 : Se sustitue por en la ecuación de la superficie: e cos 4 cos e 4 c) Cura de niel que pasa por U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6

28 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 7 d) e F F P e e e e Particulariando en P ( =, = 1, = ), se obtiene: P

29 18.- Un posible modelo para el consumo de leche per cápita iene dado por la función = -1,83-1,9 +14,7 donde es el consumo de leche desnatada, el de leche semidesnatada el de leche entera. Una empresa láctea estima para el año un consumo per cápita de 35,1 1 litros de leche desnatada 4,1 1 litros de leche semidesnatada. Se pide estimar el máimo error propagado el error porcentual en la predicción sobre el consumo de leche entera. Solución El error propagado iene dado por la diferencial: d P P #1: = f(, ) = #: f(35.1, 4.1) = = d #3: ( ) = d d #4: ( ) = -1.9 d d P P = (-1.83). 1 + (-1.9) 1 = -.9. Error porcentual: (-1.9) #5: 1 = (-1.9) 1 #6: 1 = (-1.9) 1 #7: 1 = = % U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 8

30 19.- a) Aplicando la regla de la cadena, calcular la deriada d/dt a lo largo de la cura =cost, =sent, siendo e sen ealuar si, en t=π/, es creciente o decreciente. b) El radio la altura de un cilindro circular recto erifican que: dr dh 6cm / min, 4cm/ min dt dt Si V=r h es el olumen de dicho cilindro se pide, aplicando la regla de la cadena, hallar dv para r=h=5cm, su ritmo de ariación, es decir, la deriada,. dt Solución d d d a) dt dt dt #8: = e SIN() d #9: (e SIN()) = e SIN() d d #1: (e SIN()) = e COS() d Lleando estas epresiones a la deriada: #11: d = (e SIN()) (- SIN(t)) + (e COS()) COS(t) dt Sustituendo e en función de t en la epresión anterior: COS(t) COS(t) #1: (e SIN(SIN(t))) (- SIN(t)) + (e COS(SIN(t))) COS(t) = COS(t) e (COS(t) COS(SIN(t)) - SIN(t) SIN(SIN(t))) COS(t) #13: e (COS(t) COS(SIN(t)) - SIN(t) SIN(SIN(t))) Para el alor t=π/: COS(π/) π π π π #14: e COS COS SIN - SIN SIN SIN = -SIN(1) Por ser la deriada d ( π/) <, es decreciente en dicho alor de t. dt b) #15: V = π r h dv V dr V dh Calculemos dt r dt h dt : d d d d d d (π r h) r + (π r h) h = ( π h r) r + (π r ) h dr dt dh dt dt dt dv Sustituendo r h por sus alores concretos, se obtiene (5, 5): dt #17: ( π 5 5) 6 + (π 5 ) (-4) = π U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 9

31 3.- La ecuación ln 1 define de forma implícita a como función de e, se pide: a) La deriada direccional de en el punto P(,1) en la dirección del ector (,-) b) Las direcciones de la cura de niel de en P. c) El plano tangente la recta normal en P. a) Pf Pu u Hemos de hallar el ector gradiente de f en forma implícita: 3 #18: F(,, ) = LN() = d 3 #19: ( LN() ) = LN() d d 3 #: ( LN() ) = + d d 3 #1: ( LN() ) = + 3 d El gradiente de en (, ) es + LN() #: -, Hallemos f(,1), despejando en la ecuación implícita para esos alores de e : 3 #3: SOLVE( LN(1) =, ) #4: = -1 - i = -1 + i = Luego, =. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

32 El gradiente de en (, 1) es: + 1 LN(1) 1 #5: -, LN(1) 1 6 #6: -, - =, Y la deriada direccional pedida es: 6 [, -] 3 #7:, - = 13 [, -] 13 b) Las direcciones de la cura de niel indican crecimiento nulo, es decir, en P en dichas direcciones la deriada es, luego la dirección seguida es ortogonal al ector gradiente, por lo tanto, son las indicadas por los ectores (-1,), (1,). c) La ecuación del plano tangente en el punto P (=, =1, =), es 6 #8: - = ( - ) + - ( - 1) 13 Operando pasando al primer miembro queda: = Un ector ortogonal al plano es (,6,13) por lo que una ecuación de la recta normal en P es #9: = = 6 13 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 31

33 1.- a) Sea una función diferenciable = f(,) sean = s +, = s, escribir las ecuaciones de un cambio de ariable, en función de, s b) La ecuación de Laplace es la ecuación en deriadas parciales Comprobar que la siguiente función erifica la ecuación de Laplace e sen Solución a) s s s s b) No ha más que hallar las deriadas segundas, sustituir en la ecuación er que se cumple: e sen e sen e cos e sen esen esen U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

34 6 si,,.- a) Dada la función f(, ) =, se pide calcular f (,) si,, la deriada direccional de f en (1, 1) en la dirección de la cura de niel. c) La caja de cambios automática de un Nissan Qasqhai tiene dos pieas con forma de cono circular recto, aproimar el error propagado el error relatio cometidos en el cálculo del área lateral A r r h de uno de los conos si se han obtenido r=13,5 cm h=,1 cm con un error máimo de medida de mm. a) Por estar definida la función f(, ) de forma distinta en (,) que en el resto, el cálculo de f f f (,), hemos de hacerlo mediante límites:, 6h f h lím lím lím h h h, h h 6 h f h lím lím lím h h h h h Luego f (,),, La cura de niel es el conjunto de puntos (,) donde la función tiene el mismo alor, luego su dirección indica, en cada punto, la dirección de crecimiento cero, luego la deriada direccional de f en (1,1) en la dirección de la cura de niel es. b) El error propagado es una cota del error obtenida mediante la diferencial de la función A A A r r h, es decir, teniendo en cuenta que da dr dh tomando r=13.5cm r h h=.1cm, dr= dh =,cm. Luego, el error propagado es E p cm. El error relatio es el cociente entre el error propagado el alor (aproimado) del área medida E p E r A U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 33

35 Luego, E r.67, en porcentaje sería un error porcentual del.63% aproimadamente. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 34

36 8 3.- Sea la función f, 1, se pide: a) Hallar el error porcentual, en la estimación de f(1,-), si se ha medido =1 con un error de ±1% e =- con un error de ±%. b) Hallar la cura de niel correspondiente a = comprobar que es una hipérbola. c) Hallar en P(1,-) la deriada direccional en la dirección de máimo crecimiento. 8 #37: a) El error porcentual se estima con (df(1,-)/f(1,-))*1. Los datos de los errores de medida que nos proporcionan nos dicen que (d/)*1=±1, (d/)*1=±, luego d=±.1, d=±.. Calcularemos, en =1, =-, el error porcentual en alor absoluto 8 1 (-) 8 = - #38: (-) d 8 8 ( - - 1) #39: = - d ( + + 1) 8 (-) (1 - (-) - 1) 16 #4: - = - 9 (1 + (-) + 1) d 8 8 ( - + 1) #41: = d ( + + 1) 8 1 (1 - (-) + 1) 4 #4: = - 9 (1 + (-) + 1) #43: 1 = Es decir, el error porcentual es aproimadamente un 1,33% b) Es una hipérbola, como se e operando dibujando 8 = #44: #45: (1 + + ) - 8 = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 35

37 #46: = c) La dirección de máimo crecimiento es la del gradiente en (1,-) el alor de la deriada direccional es el módulo del gradiente. Las deriadas en (1,-) están calculadas en el apartado a) #47: -, - = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 36

38 4.- a) Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a las superficies S = 1 S =, respectiamente, en el punto P(1,1,1). b) Cuál sería la ecuación de la recta tangente a la cura intersección de las superficies S S. a) Utiliaremos las fórmulas de la deriación implícitas para obtener los gradientes de cada superficie en el punto indicado #48: - 1 = d d ( - 1) ( - 1) d d #49: -, - = -, - d d ( - 1) ( - 1) d d 1 1 #5: -, - = [-1, -1] 1 1 #51: - 1 = - 1 ( - 1) ( - 1) #5: + + = 3 #53: = d d ( ) ( ) d d -, - = -,- d d 3 3 ( ) ( ) d d #55: -, - = -, #56: - 1 = - ( - 1) + - ( - 1) 3 3 #57: = 6 b) La recta tangente a la cura intersección de las superficies S S' es la determinada por la intersección de los dos planos obtenidos #58:SOLUTIONS([ + + = 3, = 6], [,, ]) = [@1, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 37

39 5.- Sea = f(,) una función con deriadas parciales continuas. Aplicar el cambio u de ariables: probar que u f u u u ( 1) u u u u u U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 38

40 sin si,, 6.- Sea f,. Se pide: 1 si,, a) Dom f. b) Estudiar la continuidad de f. c) Calcular, si eisten, las deriadas parciales de f en (, ). d) Calcular, si eisten, las deriadas parciales de f en (π, -π). a) El dominio de la función es todo R b) En todo (,) (,) la función es cociente de funciones continuas cuo denominador es distinto de. En (,) hemos de estudiar si el límite es 1. Pasamos a polares SIN( + ) SIN((r COS(α)) + (r SIN(α)) ) SIN(r ) #13: = = + (r COS(α)) + (r SIN(α)) r SIN(r ) #14: lim = 1 r r Luego f también es continua en (,) c) El cálculo de las deriadas parciales en (,) se realia aplicando la definición sen(h ) 1 f lím h lím lím h h h, h h sen( h ) 1 f lím h lím lím h h h h h, d) Al ser la función diferenciable en (,) (,), por ser cociente de funciones diferenciables, aplicamos las reglas de deriación d SIN( + ) (( + ) COS( + ) - SIN( + )) #17: = d + ( + ) d SIN( + ) (( + ) COS( + ) - SIN( + )) #18: = d + ( + ) Sustituimos en ( π,- π) π (( π + (- π) ) COS( π + (- π) ) - SIN( π + (- π) )) 1 = π ( π + (- π) ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 39

41 7.- Al hacer un leantamiento de una porción triangular de terreno se han medido dos lados a=15m b=m, así como el ángulo comprendido C=6º Cuál es el error porcentual que tendrá el área de dicho terreno si la cota de error al medir a b es de cm la de C es de º. a b SIN(α) #1: b SIN(α) a SIN(α) a b COS(α) π #: a b SIN(α) π π π SIN 15 SIN 15 COS π = π 15 SIN 3 = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

42 8.- Sea la función f (, ) 4 e 1, hallar: sen(t) c) La deriada de f a lo largo de la cura d) Es f creciente o decreciente en t=? a) #4: ( + 4 ) e cos t d d d 1 #5: d ( + 4 ) e SIN( t) + d ( + 4 ) e dt - - d COS(t ) dt #6: e COS( t) + e (4 e t ( + 4 ( - 1)) SIN(t ) - 4 e ( + 4 ) COS( t)) #7: e ((t + 4 t ( - 1)) SIN(t ) - ( + (4-1)) COS( t)) b) #8: - SIN( π) - COS(π ) e ((π SIN( π) COS(π ) π COS(π ) (COS(π ) - 1)) SIN(π ) - (SIN( π) + SIN( π) (4 COS(π ) - 1)) COS( π)) #9: SIN(π ) 3-16 π e SIN(π ) COS(π ) #1: f es decreciente en t= U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 41

43 La ecuación define de forma implícita a como función de e, se pide: a) La deriada direccional de en el punto P(1,-1) en la dirección del ector (1,-) b) La dirección en P donde la tiene el máimo decrecimiento el alor del máimo decrecimiento. c) El plano tangente la recta normal en P. a) #11: = d #1: ( ) = 3 - d d #13: ( ) = 3 - d d #14: ( ) = 3 - d El gradiente de es #15: -, #16: 1 + (-1) (-1) = #17: SOLVE(1 + (-1) (-1) =, ) #18: = -i = i = (-1) 3 (-1) - 1 #19: -, - = [-3, -3] 3-1 (-1) (-1) 3 5 #: [-3, -3], - = b) El máimo decrecimiento corresponde a un ángulo de 18º cuo coseno ale -1, luego la dirección es la opuesta al ector (-3,-3) u (3,3) Y el alor del máimo decrecimiento #1: - [-3, -3] = 3 c) La ecuación del plano tangente en el punto P (=1, =-1, =), es #: - = - 3 ( - 1) - 3 ( + 1) #3: = - 3 ( + ) Operando pasando al primer miembro queda: 3+3+= Un ector ortogonal al plano es (,1,-3) por lo que una ecuación de la recta normal en P es #4: = = 1-3 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

44 3.- a) Sea una función diferenciable =f(,) sean r las coordenadas polares de cada punto (,), se pide hallar, en función de, r c) Comprobar el resultado anterior considerando el cambio a polares de la función #4: = ( ) d d d ( ) (r COS(α)) + (5-5 - #5: d dr d d 5 COS(α) 5 SIN(α) 5 ) (r SIN(α)) = - - dr ( ) ( ) 5 COS(α) 5 SIN(α) 5 r - - = - #6: ( ) ( ) (5 - r ) d d d ( ) (r COS(α)) + (5-5 - #7: d dα d d 5 r SIN(α) 5 r COS(α) 5 ) (r SIN(α)) = - dα ( ) ( ) 5 r SIN(α) 5 r COS(α) - = #8: ( ) ( ) #9: (5-5 (r COS(α)) - 5 (r SIN(α)) ) #3: (5-5 (r COS(α)) - 5 (r SIN(α)) ) = 5 (5 - r ) d 5 r ( 5 (5 - r )) = - #31: dr (5 - r ) d #3: ( 5 (5 - r )) = dα U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 43

45 3 - define una función f, 31.- La ecuación entorno del punto P(1, -). Se pide: diferenciable en un a) El gradiente de en el punto P la deriada de segundo orden P b) El plano tangente la recta normal en P. c) La deriada direccional en P en la dirección. 3 a) F(,, ) = 3 - define implícitamente a la función = f(,) El ector gradiente de f en el punto P es f P, P F 1 1 P F F fp, P F P b) Ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P: f f 1 1 P P Recta normal en P (pasa por P es perpendicular al plano tangente en P): c) u cos,sen 3 1, 3 3 f P fp u 1, 1 1, 3 u U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 44

46 3 3.- La temperatura en un punto (, ) de una lámina metálica es T(, ). a) Hallar la cura de niel (isoterma) que pasa por el punto P(, -1). b) Hallar la dirección de máimo crecimiento de la temperatura en P. c) Hallar el coeficiente de ariación de la temperatura en P en la dirección de la bisectri del primer cuadrante. d) Hallar, usando la regla de la cadena, el coeficiente de ariación de la temperatura a lo sent largo de la cura. cos t e) Si la cota de error en la medida de es de 1% en la de es de %, hallar el máimo error propagado de T en P. a) Para hallar la cura de niel en P(,-1) calculamos preiamente el alor de T(P) 3 6 = #1: 5 + (-1) La cura de niel en P tiene por ecuación 6 3 = #: 5 + Operando obtenemos + -5/= que corresponde a una circunferencia de centro (5/4,) radio 5/4. b) La dirección de máimo crecimiento sabemos, por teoría que es la del ector gradiente. d 3 3 ( - ) #3: = d + ( + ) d 3 6 = - #4: d + ( + ) El ector gradiente en un punto (,) es: 3 ( - ) 6 #5:, - ( + ) ( + ) Y en P es: 3 ((-1) - ) 6 (-1) 9 1 #6:, - = -, 5 5 ( + (-1) ) ( + (-1) ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 45

47 c) Se nos pide la deriada direccional de T en P en la dirección α=π/4 9 1 π π 3 #7: -, COS, SIN = d) Aplicamos la regla de la cadena a T a lo largo de la cura =sent, = cost, sustituimos e por las funciones de t que definen e 3 ( - ) 6 #8: ( COS(t)) + - (- SIN(t)) = ( + ) ( + ) 6 ( - ) COS(t) 6 SIN(t) + ( + ) ( + ) 6 COS(t) (1-3 SIN(t) ) #9: (3 SIN(t) + 1) e) El error propagado máimo (en la medición de T) se obtiene a partir de la fórmula de la diferencial total de T d 3 d 3 dt = (d) + (d) #1: d d ( - ) 6 #11: dt = (d) + - (d) ( + ) ( + ) Ahora sustituimos =, =-1,d=±.1, d=±. se obtiene la cota de error que denominamos "error propagado máimo" 3 ((-1) - ) error propagado máimo = (±.1) + - ( + (-1) ) 6 (-1) (±.) ( + (-1) ) #13: error propagado máimo = (-.36) (±.1) +.48 (±.) error propagado máimo = ± error propagado máimo = ±.13 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 46

48 33.- Dada la superficie e 3. Se pide: a) Hallar la cura de niel correspondiente a = 1. Qué tipo de cura es? b) Hallar el plano tangente la recta normal a la superficie en P(, ). c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto P (,) al punto (.1, 1.99). #1: - e - 3 = a) #: - 1 e - 3 = #3: - e - 3 = #4: - LN e = LN(3) #5: - = LN(3) - #6: = 1 LN(3) Es una hipérbola equilátera de semiejes a = b = ln 3 b) d #7: - d e - 3 #8: - e d #9: - d e - 3 #1: - - e d #11: - d e - 3 #1: - e #13: - e - 3 = #14: - SOLVE e - 3 =,, Real #15: = 3 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 47

49 Particulariamos las deriadas en el punto (,, 3): #16: - 3 e #17: 1 #18: e #19: -1 #: - e #1: 1 Y sustituimos en la ecuación del plano tangente: F (P)( ) F (P)( ) F (P)( 3) #: 1 ( - ) - 1 ( - ) + 1 ( - 3) = #3: = Recta normal en P: #4: [,, ] = [,, 3] + λ [1, -1, 1] #5: = 1 λ + = - 1 λ = λ + 3 c) f (P) df (P) f ` (P) f ` (P) F (P) ` (P) 1 F (P) f (P) (.1) F (P) ` (P) 1 F (P).4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 48

50 3 si (, ), 34.- Sea la función f (, ). Se pide: si (, ), a) Raonar si esta función es continua en el punto (,)., f ',. b) Hallar, si eisten, las deriadas parciales f ' Límites radiales m m m m m a) lim f(, ) lim lim (, ) (,) m 1 m 1 m m Los límites radiales depende de m, luego, no eiste el Por tanto, f no es continua en (, ). lim f (, ). (, ) (,) b) f(h,) f(,) f' (,) lim lim lim h h h h h 3 k f(,k) f(,) f' (,) lim limk lim1 1 k k k k k U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 49

51 35.- a) Hallar la deriada direccional de en el punto (1,), según la dirección del ector u (-1, 1): a 1 ) Aplicando la definición. a ) Mediante la diferencial. b) Cuál es la dirección de máimo crecimiento de en el punto (1, )? a) a 1 ) u u 1, f 1,, f 1, f 1 (1, ) lim lim 1, f u lim lim a ) f u (,1) f (1,) u u ( ) f '(, ) f '(1,) ( ) f 1 1 (1, ) (,1), ( ) f ' (, ) ' (1,) 1 f u ( ) 1 b) La dirección de máimo crecimiento de en el punto (1,) iene dada por: f (1, ) (, 1) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

52 36.- Dada la superficie + + = 1, con, se pide: a) Hallar la cura de niel correspondiente a = 1. Qué tipo de cura es? b) Hallar el plano tangente la recta normal a la superficie en P (, 1). c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto (,1) de su dominio, al (.1,.99). F (,, ) 1; a) Es una elipse de semiejes a = 3, b b) F' F' F' ( P )( F' 4 F' ) F' (,1) 4 (,1) 4 ( P )( ) F' ( P )( ) F' ; ; como, F' (,1) 4 Plano tangente: 4(-)+4(-1)+4(-)= Recta normal: 1 Pues n (1,1,1) es perpendicular al plano tangente en (,1) c).1.1 f (,1) df (,1) f ' (,1) f ' (,1) F '(,1) 4 f '(,1) 1 F '(,1) 4 F '(,1) 4 f '(,1) 1 F '(,1) 4 f (,1) ( 1).1 ( 1) (.1) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 51

53 37.- a) Deducir cuál es la dirección de máimo crecimiento de una función diferenciable =f(, ) en un punto P(, ). b) Decir si las siguientes afirmaciones son erdaderas o falsas: b 1 ) Si lím f (, ) = L, entonces obligatoriamente eiste el límite a lo largo,, de cualquier camino que pasa por (, ) ale L. b ) Si f es diferenciable en (, ), entonces f es continua en (, ). b 3 ) Si f tiene deriadas parciales en (, ), entonces f es continua en (, ). a) f ( P) f( P) u f( P) u cos( ) es máima cuando cos( ) 1 u siendo: f(p),u º Luego, la dirección el sentido de u coincide con los de f(p). b) b 1 ) VERDADERO b ) VERDADERO b 3 ) FALSO U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

54 38.- a) Hallar la deriada direccional de en el punto P(1,), según la dirección del ector u (1, 1) : a 1 ) Aplicando la definición. a ) Mediante la diferencial. b) Raonar si es creciente o decreciente en P en la dirección de u. c) Cuál es la dirección de máimo crecimiento de en el punto (1, )? a) a 1 ) u u 1, 1 f 1, f 1, f 1 1, lim lim 1 u 1 a ) ( ) ` ` ( ) ( ) ` ` ( ) 1, 1, 1 f u 1 1 1, f 1,, 1, u u 1 f 1 u. b) es decreciente en P en la dirección de u por ser 1, - c) La dirección de máimo crecimiento de en el punto (1, ) iene dada por: 1,,1 f U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 53

55 6.- La temperatura en un entorno del origen iene dada por una función de la forma T(, ) T e sen. Hallar la traectoria seguida por una partícula, originada en el origen, que hue del calor. Hallar la ariación de temperatura que eperimentaría la partícula si tomase la dirección del ector u = (1,-). Representamos la traectoria por unas ecuaciones paramétricas: rt t, t. Un ector tangente a dicha traectoria en cada punto t, t iene dado por d d r` t,. dt dt Como la partícula hue del calor, tomará la dirección de máimo descenso de temperatura, que iene dada por el ector: T T T,, e cos,e sen Por tanto, las direcciones de r` t de e cos, e sen son la misma a lo largo de toda la traectoria. Así pues, d d e cos k e sen k, donde k depende de t. dt dt Despejando k dt en cada ecuación e igualando los resultados, se obtiene: d cos d sen tg d d tg d -ln cos C Como sabemos que la partícula parte del origen, ha de ser: -lncos C C. Por consiguiente, la traectoria seguida por la partícula será: -lncos La figura muestra esa traectoria. Obseración: La traectoria es perpendicular a las curas de niel (isotermas) pues en cada punto su ector tangente es paralelo al ector gradiente en ese punto. La ariación de temperatura que eperimentaría la partícula si tomase la dirección del ector u = (1,-) sería la deriada direccional de T en el (, ) en la dirección de dicho ector: T u 1 1 5, T, 1,, u u U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 14

56 7.- Un campo escalar diferenciable = f(, ) tiene, en el punto P(1,) las deriadas direccionales + en dirección al punto A(,) en dirección al punto B(1,1). Determinar el ector gradiente en P calcular la deriada direccional en P en dirección al punto C(4,6). 6 1 P u B w A C 1 4 Sea f P a, b Vector dirección de P a A: u, 1, 1, Vector dirección de P a B: 1,1 1,, 1 f u f P f P 1, P f P, 1 a,b 1, a a,b a,b, 1 b Vector dirección de P a C: w 4,6 1, 3,4 w f w 3,4 P, f P, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 15

57 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos Hallar la constante c tal que en todo punto de la intersección de las dos esferas 3 c ; 1 c los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares entre sí. Unas ecuaciones implícitas de ambas esferas son, respectiamente: 3 c,, F 1 c,, G Un ector normal al plano tangente a la primera superficie es:,, c F, F, F n 1 Un ector normal al plano tangente a la segunda superficie es:, c, G, G, G n Para que se cumplan las condiciones eigidas en el enunciado del problema, para el punto genérico P(,, ) se ha de erificar: 1) P debe pertenecer a la primera superficie: 3 c ) P debe pertenecer a la segunda superficie: 1 c 3) c c, c,,, c n n 1 Resoliendo con DERIVE el sistema formado por las tres ecuaciones anteriores, se obtiene que ha de ser c.

58 cost 9.- Un pato está nadando a lo largo de la circunferencia unidad la sent temperatura del agua en el estanque está dada por la epresión T = e 3. Hallar el T coeficiente de ariación de la temperatura que puede sentir el pato: t a) Epresando T en términos de t diferenciando. b) Mediante la regla de la cadena. sent 3 a) T(t) cos t e cost sen t dt sent sent 3 cost (-sent)e cos t e cost - (-sent)sen t cos t 3 sen t cost dt sent 3 sent 4 cost sent e cos t e sen t 3 sen t cos t b) T T d T d t t dt dt 3 T e sent e 3 cost sent 3 sent 4 t cost sent e cos t e sen t 3 sen t cos t U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 17

59 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos El cambio de ariables u u transforma = f(,) en = g(u,). Calcular el alor de u en el punto u =1, =1, sabiendo que 1 f f f f f en dicho punto. u g u g f 1 f u f u f u g f f f f f 1 f u g f f f f f f Sustituendo estas dos últimas epresiones en la anterior a ellas, queda: g f f f f f u u, 1,1 f f f f f 1 u 1 u u f g u u f, f u

60 11.- La ecuación = define implícitamente una función real de dos ariables reales =f(,). a) Hallar el ector gradiente de f en el punto P(-1,1,). b) Calcular la deriada direccional de en P en la dirección de descenso más pronunciado. c) Dar la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P. d) Hallar en P. a) F(,, ) = = define implícitamente a la función = f(,). El ector gradiente de f en el punto P es f P, P F 3 1 P 1 F F 1 P 1 F f P 1,1 b) La dirección de descenso más pronunciado iene dada por el ector: u f P 1, 1 La deriada direccional de en P en esta dirección es: f 1, P 1,1 u c) Ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P: f f P P1111 d) P = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 19