1 Composición de funciones

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1 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I Composición de funciones Página 6 Si f () = 5 + y g () =, obtén las epresiones de f [ g ()] y g [ f ()]. Halla f [ g ()] y g [ f ()]. f [g ()] = f [ ] = 5 + g [ f ()] = g [ 5 + ] = ( 5 + ) = f [g ()] = 79; g [f ()] = Si f () = y g () = +, obtén las epresiones de f g, g f, f f y g g. Halla el valor de estas funciones en = 0 y = 5. f g () = f ( + ) = + g f () = g ` j = + f f () = f ` j= = g g () = g ( + ) = + + = + 8 f g (0) = = f g (5) = 5+ = g f (0) = g f (5) = 5 + f f (0) = 0 f f (5) = 5 g g (0) = 8 g g (5) =

2 Función inversa o recíproca de otra Página 7 Verdadero o falso? a) La función recíproca de y = es y =. b) Cada una de las funciones y =, y = es recíproca de sí misma. c) La inversa de y = 9, [, 9] es y = 9, [, ]. d) Si una función es creciente, su recíproca es decreciente. a) Falso. Las gráficas de esas funciones no son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante, puesto que una es recta y la otra es curva. b) Verdadero. Si f () = y calculamos f f () = f [f ()] = f () =, vemos que f es recíproca de sí misma. Análogamente, si g () = y calculamos g g () = g [g ()] = g c m = =, vemos que g es / recíproca de sí misma. c) Verdadero. Podemos comprobarlo en el gráfico. La gráfica verde es simétrica, respecto de la bisectriz del primer cuadrante, de la gráfica roja. d) Falso. Por ejemplo, la recíproca de la función f () =, 0, es la función f () =, 0, y ambas son crecientes. Representa y =, y = y comprueba que son inversas. y = y = y = / Comprueba que hay que descomponer y = en dos ramas para hallar sus inversas. Averigua cuáles son. a) y = si 0 b) y = si < 0 y = + y = + y = y = y = y = y = + y = +

3 Comprueba que la función recíproca de y = + es y =. Llamemos f () = + y g () = f g () = f [g ()] = f c m= c m+ = g f () = g [f ()] = g ( + ) = ( + ) = Luego g = f. Página 8 5 Halla la epresión analítica de la función inversa de: a) f () = 5, [, ] b) g () =, [ 7, ] a) y = 5 y 5 8 = 8 y = + 5 f () = 5 = ; f () = 5 = Por tanto, f () = + 5, é [, ] b) y = 8 = ( 7) g ( 7) = = ; g () = y 8 y = = Por tanto, g () =, é [, ] 6 La función y = tiene dos ramas: una decreciente para, y otra creciente para. Eprésala como dos funciones f () y f () y halla la función inversa de cada una de ellas. y= f() =, f y= f () =, () = f () = Ahora calculamos sus inversas: y = 8 = y y 8 y y = 0 8 y = Por tanto: ± + ± + = = ± + La inversa de y = f () =, es y = La inversa de y = f () =, es y = + +, +,

4 Funciones eponenciales Página 0 La masa de madera de un bosque aumenta en un 0 % cada 00 años. Si tomamos como unidad de masa vegetal (biomasa) la que había en el año 800, que consideramos instante de partida, y como unidad de tiempo 00 años, la función M =, t nos da la cantidad de masa vegetal, M, en un instante cualquiera, t, epresado en siglos a partir de 800 (razona por qué). a) Averigua cuándo habrá una masa de madera triple que en 800 (, t = ) y cuándo había la tercera parte. Observa que los dos periodos de tiempo son iguales. b) Calcula la cantidad de madera que habrá, o había, en 900, 990, 000, 600 y 550. M =, t a) Buscamos el valor de t para el cual, t = :, t = 8 ln (,) t = ln () 8 t ln (,) = ln () 8 t = ln,7 ln, Cuando pasen,7 00 = 7 años, se habrá triplicado la masa de madera. Esto es, en el año = 7. Buscamos el valor de t para el cual, t = = :, t = 8 ln (,) t = ln () 8 t ln (,) = ln () 8 t = ln,7 ln, Hace,7 00 = 7 años, había la tercera parte de masa de madera. Esto es, en el año = 7. b) t = M =, =, t = t = t = t = =,9 8 M =,,9, = 8 M =, 00 =, = 8 M =, 00 0, =,5 8 M =,,5 0, Comprueba que, en el ejemplo anterior referente a la desintegración de una cierta sustancia radiactiva, M = m 0,76 t (t epresado en miles de años), el periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad la sustancia radiactiva) es de, aproimadamente, 500 años. Para ello, comprueba que una cantidad inicial cualquiera se reduce a la mitad (aproimadamente) al cabo de 500 años (t =,5). M = m 0,76 t Si t= 0 8 M = m 0, 76 = m Si t= 05, 8 M = m 0, 765, m 05, = m 0 La cantidad inicial se ha reducido (aproimadamente) a la mitad en 500 años.

5 Funciones logarítmicas Página Verdadero o falso? La función recíproca de y =, > 0 es y = log, >. Falso. La función recíproca de y =, > 0 es y = log, > 0. Halla la función recíproca de: y = log, [8, ] La función recíproca es y =, é [, 5]. 5

6 Ejercicios y problemas resueltos Página 6. Composición de funciones Hazlo tú. Halla f g y g f siendo f () = 5 y g() =. f g () = f [g ()] = f ( ) = ` j 5 = ( ) 5 = 6 8 g f () = g [f ()] = g ( 5) = ( 5) = 6. Reconocer funciones compuestas Hazlo tú. A partir de las funciones f, g, h aquí definidas, obtén: a) q () = ( + ) + b) r () = + f () = + g () = + h () = a) q () = (g f )() = g[ f ()] = g ( + ) = ( + ) + b) r () = (h g )() = h[ g ()] = h` + j = ` + j = +. Función inversa de otra Hazlo tú. Obtén la función inversa de: a) p ( ) = b) q ( ) = log ( + ) c) r ( ) = + a) y = 8 = y 8 log = y 8 y = + log 8 p () = + log b) y = log ( + ) 8 = log (y + ) 8 = y + 8 y = 8 q () = c) y = + 8 = y + 8 y + = 8 y = 8 r () = Página 7. Gráficas de funciones eponenciales y logarítmicas Hazlo tú. Representa: a) y = b) y = + c) y = log ( ) d) y = log ( ) a) Se obtiene desplazando y = una unidad hacia abajo. 6

7 b) Se obtiene desplazando y = tres unidades hacia la izquierda. 6 c) Se obtiene trasladando la función y = log dos unidades a la izquierda. d) Es la simétrica de la función y = log respecto del eje. 6. Función logarítmica Hazlo tú. Halla a y b para que la gráfica de la función y = + log b ( + a) pase por (, 0) y (, ). Pasa por (, 0) 8 0 = + log b ( + a) 8 log b ( + a) = 8 + a = b Pasa por (, ) 8 = + log b ( + a) 8 log b ( + a) = 8 + a = b Resolvemos el sistema: a= b 8 b = b + 8 b b = 0 8 b =, b = a= b+ El resultado b = no tiene sentido porque la base de un logaritmo no puede ser negativa. Si b = 8 a = 8 La función es y = + log ( + ). 7

8 Página 8 7. Grados y radianes Hazlo tú. a) Epresa en radianes 50, 80 y 0. b) Epresa en grados π rad y 5π rad. a) 50 = 5 0 = 5 π 6 rad = 5π rad 6 80 = π rad b) 0 = 8 0 = 8 π 6 rad = π rad π 5π rad = 80 = 70 rad = 5 80 = 5 8. Función seno Hazlo tú. Representa la función: y = sen Esta es la gráfica de la función seno estirada al doble en el sentido vertical. π π π π π 9. Función coseno Hazlo tú. Representa la función: y = sen b π l Esta es la gráfica de la función seno desplazada π unidades a la derecha. π π π π 5π π 8

9 Ejercicios y problemas guiados Página 9. Función inversa Esta es la gráfica de la función f () =, 0 a) Dar su dominio de definición y su recorrido. b) Representar su función inversa. c) Hallar la epresión analítica de f (). a) Dominio de f = (, 0] Recorrido de f = (, ] b) c) y = 8 = y 8 y = 8 y = ± f () =,. Interés compuesto Depositamos en un banco a) Cuál será el capital acumulado al cabo de años? al,8 % anual con pago trimestral de intereses. b) Escribir la función que nos dice en cuánto se transforma ese capital al cabo de t años. a) i = 8, 8 it = 00 8, = 0,0 8 Índice de variación trimestral = + 0,0 =,0 00 Como años son trimestres, C final = 5 000,0 = 5 769,50 b) Como t años tienen t trimestres, la función que nos da el capital final es: f (t) = 000,0 t = 000 (,0 ) t = 000,09 t. Depreciación Una máquina que costó a) Cuál será su valor dentro de años? se deprecia a un ritmo del 0 % anual. b) Cuántos años tienen que pasar para que su valor sea de 000? c) Escribir la función que da el número de años que deben pasar para llegar a un valor. a) El índice de variación de una depreciación del 0 % es 0 = 0,9. 00 Al cabo de años el valor será ,9 = 80,50. b) La función que nos da el valor depreciado es f (t ) = ,9 t. Ahora resolvemos la ecuación: 000 = ,9 t = 0, t 8 0,6 = 0,9 t 8 log 0,6 = tlog 0,9 8 t = Por tanto, tienen que pasar 5 años. log c) = ,9 t = 0,9t 8 log 0000 = t log 0,9 8 t = t = log 09, 9 log log 06, =,85 09, log log 0000 log 09,

10 . Función logística La función f () = ( 09, ) da las ventas totales de un videojuego días después de su lanzamiento. En qué día se llegó a juegos vendidos? Tenemos que hallar el valor de tal que: ( 09, ) = = + 99(, ) 8 = 99(,09 ) 8 =,09 99 Tomando logaritmos y despejando: log 99 = 8 = 7 días log 09, 0

11 Ejercicios y problemas propuestos Página 50 Para practicar Composición de funciones Dadas las funciones f () = + y g () =, halla: a) f [ g ()] b) g [ f ( )] c) f [ g ()] d) g [ f ()] a) f [g()] = f ( ) = f (8) = 8 + = b) g [ f ( )] = g ( + ) = g ( ) = ( ) = c) f [g()] = f ( ) = + d) g [ f ()] = g ( + ) = ( + ) = Considera las funciones f y g definidas por f ( ) = + y g ( ) =. Calcula: a) ( f g ) () b) ( g f ) ( ) c) ( g g ) ( ) d) ( f g ) ( ) a) ( f g ) () = f [g ()] = f c m= c m + = 5 b) ( g f ) ( ) = g [ f ( )] = g [( ) + ] = g (0) = c) ( g g ) () = g [g()] = f c m = = d) ( f g ) () = f [g ()] = f c m = c m + = + 0 Si f () = + y g () =, obtén la epresión de las siguientes funciones: a) f g b) g f c) f f d) g g a) f g () = f [g()] = f ( ) = ( ) + = + b) g f () = g [ + ] = ( + ) ( + ) = c) f f () = f ( + ) = ( + ) + = + 9 d) g g () = g ( ) = ( ) ( ) = + + Dadas las funciones f ( ) = + y g ( ) =, halla: a) ( f g ) ( ) b) ( g f ) ( ) c) ( g g ) ( ) a) ( f g ) () = f [g()] = f ` j = + b) ( g f ) () = g [ f ()] = g ( + ) = + c) ( g g ) () = g [g ()] = g ` j= =

12 5 Dadas las funciones obtén las epresiones de: f () = + g () = a) f g b) g f c) f h h() = d) g h e) h f f ) h g Halla, si es posible, el valor de las funciones obtenidas en = 5 y en = 0. a) f g () = f [g ()] = f 9 c m= c m + = + = + ( ) ( ) f g (5) = f g (0) = = ( 5 ) = ( 0 ) b) g f () = g [ f ()] = g ( + ) = = + g f (5) = = 5 8 g f (0) = = 0 c) f h() = f [h()] = f ` j= ` j + = f h(5) = 5 = f h(0) = 0 = d) g h() = g [h()] = g ( ) = g h(5) = = 5 g h(0) no eiste. e) h f () = h [f ()] = h ( + ) = + = h f (5) = 5 = h f (0) no eiste. f) h g () = h [g()] = h c m= = + 9 h g(5) no eiste. h g (0) no eiste. 6 Con las funciones f ( ) = y g ( ) =, hemos obtenido por composición las funciones p () = ( ) y q () =. Indica cuál de estas epresiones corresponde a f g y cuál a g f. ( f g ) () = f [g()] = f ( ) = ( ) = p () ( g f ) () = g [ f ()] = g c m = = q ()

13 7 Eplica cómo a partir de las funciones f () = g () = + h() = se pueden obtener estas otras: a) m() = + b) n() = + c) p() = d) q() = e) r () = + f ) s () = a) m () = f g() = f [g ()] = f ( + ) = = b) n () = g f () = g [f ()] = g ( ) = + c) p () = g h () = g [h ()] = g c m= + d) q () = f h () = f [h ()] = f c m = = e) r () = h g() = h [g()] = h ( + ) = = + f) s () = h g f () = h g [f ()] = h g ( ) = h ( + ) = = + 8 Considera estas funciones: f () = 5 g () = h () = + Eplica cómo, a partir de f, g y h, se pueden obtener, por composición, p, q y r : p () = 5; q () = 5; r () = ( g f ) () = g [ f ()] = g ( 5) = 5 = p () ( f g ) () = f [g()] = f ` j = 5 = q () (h g ) () = h [g ()] = h` j = = r () + Función inversa de otra + 9 Dada f ( ) = +, halla f (). Representa f y f y comprueba su simetría respecto de y =. y = + 8 = + y 8 ( ) = y 8 f () = ( ) 8 6 y = ( ), Ó y = y = + 6 8

14 0 Halla la función inversa de las siguientes funciones: a) y = b) y = + c) y = + d) y = + e) y = + log f ) y =, 0 a) y = 8 = y 8 y = + b) y = + 8 = y + 8 y = c) y = + 8 = y + 8 y = d) y = + 8 = + y 8 y = log ( ) e) y = + log 8 = + log y 8 y = f) y =, > 0 8 = y 8 y =, Representa gráficamente la función inversa en cada caso: a) b) c) Hacemos una simetría respecto de la bisectriz del primer cuadrante para dibujar la función inversa. a) b) c) Comprueba si cada par de funciones son una inversa de la otra. Para ello calcula f f o bien f f : a) f () = + ; f () = b) f () = + ; f () = + c) f () = + log ; f () = a) f f () = f [f ()] = f c m = = + b) f f () = f ( + ) + [ f ()] = f ( + ) = = + 5 En este caso no es verdad que las funciones sean recíprocas. f es incorrecta. c) f f () = f [f ()] = f b+ log log[( /) ] log( /) l = + = = =

15 Considera la función y = +, [, 7]. a) Cuál es su recorrido? b) Obtén su función inversa y determina el dominio de definición y el recorrido de esta. a) Como la función es creciente, calculamos los valores en los etremos del intervalo. = 8 y = + = 0 = 7 8 y = 7+ = El recorrido es el intervalo [0, ]. b) y = + 8 = y + 8 y =, é [0, ] es la función inversa. Su dominio es el intervalo [0, ] y el recorrido es el intervalo [, 7]. Funciones eponenciales y logarítmicas Representa estas funciones a partir de la gráfica de y = : a) y = + b) y = c) y = / + d) y = c m e) y = f ) y = a) Es la gráfica de la función y = desplazada dos unidades a la izquierda. b) Es la gráfica de la función y = desplazada tres unidades hacia abajo. c) Es la gráfica de la función y = estirada al doble en el sentido horizontal. 5

16 d) Es la simétrica respecto al eje de la gráfica de la función y =, y desplazada tres unidades a la izquierda. e) Es la simétrica respecto al eje de la gráfica de la función y =, y desplazada una unidad hacia arriba. f) Es la simétrica respecto al eje de la gráfica de la función y =, y desplazada dos unidades hacia la derecha. 5 Representa las siguientes funciones a partir de la gráfica de y = log : a) y = + log b) y = log ( ) c) y = log d) y = log ( ) a) b) (, 0 ) y = + log y = log 5 6 = y = log 5 6 y = log ( ) 6

17 c) y = log 5 6 y = log d) y = log ( ) = y = log Con ayuda de la calculadora, representa estas funciones: a) y = 0,8 b) y = (/),8 c) y = ln () d) y = ln ( + ) a) b) c) d) 7

18 Página 5 7 Asocia a cada una de las siguientes epresiones la gráfica que le corresponde: a) y = ln b) y = c) y = e d) y = log e) y = (/) f ) y = log ( + ) I 6 II 6 III IV 6 V 6 VI 6 6 a) 8 V b) 8 IV c) 8 VI d) 8 I e) 8 II f) 8 III 8 Comprueba que las gráficas de y = e y = c m son simétricas respecto al eje O. y = ( ) y = 9 Haz una tabla de valores de la función y =. A partir de ella, representa la función y = log. y = 0 /9 / 9 /9 / 9 log 0 (0, ) (, 0) y = log 8

19 0 Cuál es el dominio de y = log ( )? Represéntala. > 0 8 Dom = (, ) Funciones trigonométricas Representa estas funciones: a) y = + sen b) y = cos a) π π π/ π/ π π/ π/ π/ π π/ π/ π π/ π π b) π π π/ π/ π π π/ π/ π/ π/ π π/ π/ π π Asocia a cada una de las siguientes funciones, la gráfica que le corresponde: a) y = cos b) y = sen c) y = sen d) y = + cos I II π π π π π III IV π π π π π a) 8 II b) 8 I c) 8 IV d) 8 III 9

20 Para resolver Halla la función inversa de las siguientes funciones y di, en cada caso, su dominio de definición: a) y = + b) y = c) y = + d) y = +, 0 e) y = f ) y =, 0 a) y = + 8 = y + 8 y + = 8 y = Por tanto, f () =, 0 b) y = 8 = y Por tanto, f () = +, 0 8 y = 8 y = + c) y = + 8 = + 8 = 8 y = y y Por tanto, f () =, d) y = + 8 = y + 8 = y + 8 y = ± Por tanto, f () =, e) y = 8 = y 8 + = y 8 y = + Por tanto, f () = +, é Á f) y = 8 = y 8 + = y 8 y = ± + Por tanto, f () = +, Representa y halla la función inversa en cada caso. a) y = + b) y = 0, c) y =,8 5 0, d) y = + log ( + ) e) y = ln ( + ) f ) y =,5 e / a) y = + 8 = + y 8 = y 8 y = log ( ) + f () = log ( ) + f () f () 0

21 b) y = 0, 8 = 0, y 8 0, = y 8 y = log (5) f () = log (5) = log 5 log f () f () c) y =,8 5 0, 8 =,8 5 0,y 8 f () = 5log 5 8 log 5 8, = 50,y 8 8, = 0,y 8 y = 5log 5 8, = 5(log 5 log 5,8) 8, f () f () d) y = + log ( + ) 8 = + log (y + ) 8 f () f () = 8 = log (y + ) 8 y = f () e) y = ln ( + ) 8 = ln (y + ) 8 e = y + 8 y = e f () = e f () f () f) y =,5 e / 8 =,5 e y/ 8 f () = ln c m = (ln ln,5) 5, 5, = e y/ 8 y = ln c m 5, f () f ()

22 5 La gráfica de una función eponencial del tipo y = ka pasa por los puntos (0; 0,5) y (;,7). Calcula k y a, y representa la función. Pasa por el punto (0; 0,5) 8 0,5 = k a 0 8 k = 0,5 Pasa por el punto (;,7) 8,7 = 0,5 a 7, 8 a = =, 05, La función es y = 0,5,. 6 Los puntos (;,) y (; 0,8) pertenecen a la gráfica de la función y = k a. a) Calcula k y a. b) Halla el valor de para el cual y = 0. a) Pasa por el punto (;,) 8, = k a Pasa por el punto (; 0,8) 8 0,8 = k a 0, 8 Dividiendo la segunda ecuación entre la primera obtenemos que a = = 0, y k =., La función es y = 0,. b) 0 = 0, 8 0 = 0, 8 = log 0 =,06 log 0, 7 La gráfica de la función logarítmica y = + log b ( + a) corta a los ejes de coordenadas en los puntos (0, ) y (8, 0). a) Calcula a y b. b) Para qué valor de es y =? a) Pasa por (0, ) 8 = + log b a 8 log b a = 0 8 a = Pasa por (8, 0) 8 0 = + log b 9 8 log b 9 = 8 b = Luego y = + log ( + ). b) = + log ( + ) 8 5 = log ( + ) 8 = 8 La función y = a + b ln pasa por los puntos (e, 5) y (/e, ). a) Calcula a y b. b) Cuál es su función inversa? a) Pasa por (e, 5) 8 5 = a + bln e 8 a + b = 5 Pasa por c, m 8 = a + bln c m 8 a b = e e a+ b= 5 a =, b = 8 y = + ln a b= b) y = + ln 8 = + ln y 8 = ln y 8 y = e ( )/

23 9 La función y = 5 ( ) convierte grados Fahrenheit en grados centígrados. Halla la función 9 para convertir grados centígrados en grados Fahrenheit. La función pedida es la función inversa de la dada. y = 5 ( ) 8 = 5 (y ) 8 9 = y 8 y = La función que convierte grados centígrados en grados Fahrenheit es y = Esta gráfica representa la variación de un movimiento que se repite periódicamente. a) Represéntala en el intervalo [0, 0]. b) Calcula f (7), f (0) y f (0). a) b) f (7) = ; f (0) =, f (0) = 0 Un cultivo de bacterias crece según la función y = + /0 ( y : miles de bacterias, : horas). Cuántas había en el momento inicial? al cabo de 0 horas? Cuánto tardarán en duplicarse? En el momento inicial, = 0 8 y =, había dos mil bacterias. Al cabo de 0 horas, = 0 8 y = + 0/0 =, había tres mil bacterias. Para que se dupliquen las que había en el momento inicial debe ser y = : Página 5 = + /0 8 /0 = 8 log = 0 8 = 0 log = 5,85 horas La concentración de un fármaco en sangre viene dada por y = 00 (0,9) t ( y en mg, t en h). a) Di cuál es la dosis inicial y la cantidad de ese fármaco que tiene el paciente al cabo de horas. b) Representa la función. c) Si queremos que la concentración no baje de 60 mg, al cabo de cuánto tiempo tendremos que inyectarle de nuevo? a) Dosis inicial: t = 0 8 y = 00 mg b) Al cabo de tres horas: t = 8 y = 00 0,9 = 8,06 mg c) 60 = 00 0,9 t 8 t = log 06, = 8,6 log 09, Habrá que inyectarle al cabo de 8 h 5 min, aproimadamente CONCENTRACIÓN (mg) TIEMPO (horas)

24 La cantidad de material radiactivo que queda al cabo de t años en una muestra de 75 gramos, se puede calcular mediante la ecuación C (t) = 75(0,6) t. a) Cuántos años tienen que transcurrir para que queden 0 gramos de material radiactivo? b) Representa la función. a) 0 = 75 0,6 t 8 t = Deben pasar, años. b) y = 75 0,6 log 0 75 log 06, CANTIDAD DE MATERIAL RADIACTIVO (g) =, TIEMPO (años) Un alumno de un curso de psicología sabe que el porcentaje de conocimientos que recordará t meses después de acabar el curso, se puede calcular mediante la función: R (t) = 9 6,8 log (t ) a) Calcula el porcentaje que recordará 6 meses después de terminar el curso. b) Representa la función. a) R (6) = 9 6,8 log 5 = 6, Después de 6 meses recordará un 6, % de sus conocimientos. b) PORCENTAJE DE CONOCIMIENTOS TIEMPO (meses) 5 Sabemos que la presión amosférica varía con la altura. La ecuación h () =,97(0,996) nos da la altura de una montaña, en kilómetros, si conocemos la presión atmosférica,, en milibares. a) Si en la cima del Everest la presión es de 89 milibares, cuál es la altura del Everest? b) Cuál será la presión en la cima de una montaña de 500 metros de altura? a) h (89) =,97 0, = 8,87 El Everest tiene, aproimadamente, 8 87 m de altura. b),5 =,97 0,996 8 = 60 milibares

25 6 La función y = 80 0,t nos da la cantidad (en gramos) de estroncio radiactivo en una muestra de agua en el instante t (en años). a) Qué cantidad habrá al cabo de 0 años? b) Cuándo la cantidad actual se habrá reducido al 50 %? a) t = 0 8 y = 80 = 5 g Al cabo de 0 años habrá 5 g de estroncio radiactivo. b) En el instante actual la muestra tiene 80 g de estroncio radiactivo. Por tanto, para que se reduzca a la mitad, 0 = 80 0, 8 = 0, 8 =,5 Deben pasar,5 años. 7 El número de ejemplares que se venden de un libro depende del dinero que se dedica a su publicidad. La función que da esta relación es: y = + 0,5 ln ( + ); en miles de euros, y en miles a) Calcula cuántos ejemplares se venden si se invierten en publicidad. b) Cuánto habrá que invertir para vender libros? a) = 0 8 y = + 0,5 ln =,5 Se venderán 5 libros. b) 5 = + 0,5 ln ( + ) 8 = 0,5 ln ( + ) 8 6 = ln ( + ) 8 = e 6 = 0,879 Se deben invertir Un capital de se deposita en un banco al 6 % de interés anual con pago mensual de intereses. Escribe la función que nos dice en cuánto se transforma ese capital en m meses. Calcula cuánto tarda en duplicarse el capital. i = 6 8 i 00 m = 6 = 0,005 8 Índice de variación mensual =, El capital final al cabo de m meses es C (m) = 0 000,005 m 0000 = 0000,005 m 8 =,005 m log 8 m = = 8,98 log, 005 Por tanto, deben pasar 9 meses para que el capital inicial se duplique. 9 La población mundial ha crecido de forma eponencial desde 650. La función P (t) = 0,5 e 0,007t, t en años, P (t) en miles de millones, nos da una buena aproimación de la población mundial hasta 05. a) Cuál era la población mundial en 90? b) Estima la población mundial en 00, suponiendo que el crecimiento se mantenga estable. a) El año 650 se corresponde con t = 0 8 El año 90 se corresponde con t = = 70. P (70) = 0,5 e 0, =,9 miles de millones de personas b) El año 00 se corresponde con t = = 70. La población estimada es P (70) = 0,5 e 0, = 7,77 miles de millones de habitantes. 5

26 0 El carbono sirve para calcular la edad de los fósiles y otros objetos. La fórmula que se utiliza es C = C 0 e t ln /570, donde C 0 es la cantidad de carbono que tenía el fósil cuando se formó y C la cantidad que tendrá dentro de t años. a) Si en un cierto fósil C 0 = 500 g, cuántos gramos de carbono tendrá dentro de 000 años? b) Se llama periodo de semidesintegración al tiempo necesario para que la cantidad inicial se reduzca a la mitad. Calcula el periodo de semidesintegración del carbono. a) Al cabo de 000 años, C = 500 e 000 ln /5 70 = 9,6 g de carbono. b) C = C 0 e 0 t ln /570 8 e t ln /570 = 8 t ln = ln 8 t = 570 años 570 El precio de un automóvil deportivo es de 000. Sabemos que se deprecia a un ritmo de un % anual. a) Qué función da el valor del coche al cabo de t años? b) Cuándo llegará a la mitad del valor inicial? a) Una depreciación del % anual se corresponde con un índice de variación I = 0, = 0,88. La función que da el valor del coche es V (t ) = 000 0,88 t. b) 000 = 000 0,88 t 8 0,5 = 0,88 t 8 t = log 05, = 5, log 088, Deben pasar 5, años para que su valor se reduzca a la mitad. Invertimos al,8 % anual en una cuenta que se capitaliza semestralmente. a) Escribe la función que nos da el dinero que tendremos en la cuenta al cabo de t años. b) Cuánto tiempo tiene que pasar para que el capital inicial aumente un 50 %? a) i = 8, 8 is = 00 8, = 0,0 8 Índice de variación semestral =,0 00 Como un año tiene semestres, la función es C (t ) = 0 000,0 t. b) Si el capital inicial aumenta un 50 %, pasará de a = 0000,0 t 8,5 =,0 t log 5, 8 t = = 8,55 años log, 0 Como la capitalización es semestral, deberán pasar 9 años. El número de recetas para medicamentos genéricos emitidas por los médicos del servicio de salud de una comunidad autónoma ha crecido eponencialmente desde 005. La función es del tipo f (t) = k e at. Calcula k y a sabiendo que en 005 (t = 0) se emitieron 6,5 miles de recetas y en el 008 fueron 9,8 miles. En qué año se llegará a 50 miles de recetas? Pasa por (0; 6,5) 8 6,5 = k Pasa por (; 9,8) 8 9,8 = 6,5 e a 8 Por tanto, f (t ) = 6,5 e 0,7t 50 = 6,5 e 0,7t 8 50 = e 0,7t 8 t = 65, 98, ln 98, = e a 65, 8 a = 65, ln 50 65, 0, 7 =,85 = 0,7 Después de 5 años, es decir, en 00, se superarán ligeramente las recetas. 6

27 Un estudio de la policía refleja que el número de robos en viviendas, por año, en una ciudad, decrece según una función del tipo N (t) = A B log (t + ). Sabemos que en el año 000, que es cuando se inició el estudio, el número de robos fue de 50 y en el año 00 fueron 76. a) Determina A y B. b) Calcula el número de robos que se esperan en 00. a) N (0) = = A B log N () = = A B log 5 Restando las ecuaciones obtenemos: = B (log 5 log ) 8 B = log5 log N (t ) = 55, 0,6 log (t + ) b) El año 00 se corresponde con t = 0. N (0) = 55, 0,6 log 05 En el año 00 se esperan unos 05 robos. = 0,6 8 A = 76 + log5 log log 5 = 55, 5 Un cultivo de bacterias comienza con 00 células. Media hora después hay 5. Si ese cultivo sigue un crecimiento eponencial del tipo y = k e a t (t en minutos), calcula k y a y representa la función. Cuánto tardará en llegar a bacterias? y = ka t t = 0, y = = k a 0 8 k = 00 t = 0, y = = 00 a 0 8 a 0 =,5 8 La función es y = 00,05. 8 a =,5 /0 8 a,05 Si y = = 00,05 50 =,05 8 = log min log 05, Tardará 80 minutos, aproimadamente. N.º BACTERIAS TIEMPO (min) 7

28 Página 5 6 Una taza de café recién hecho está a 75 C. Después de minutos en una habitación a C, la temperatura del café ha descendido a 6 C. Si la temperatura T del café en cada instante t viene dada por la epresión T = A e k t +, calcula A y k y representa la función. Cuánto tendremos que esperar para que la temperatura del café sea de 5 C? Por los datos del problema, la función temperatura pasa por los puntos (0, 75) y (, 6), luego: 75 = A e k A = 5 6 = 5 e k + 8 e k =,, 8 k ln = =, 5 = Por tanto, T = 5 e 0,076t Si la temperatura del café es de 5, entonces: 5 = 5 e 0,076t + 8 e 0,076t =,, 8 t ln 0 = 0 = 5 0, 076 = 0,7 minutos Debemos esperar 0 minutos segundos para que alcance los 5. 7 Un estudio demográfico estima que la población de un barrio va a crecer según la función y = (t, años; y, número de habitantes). + ke 0, t a) El barrio tiene, actualmente, 50 habitantes. Halla k. b) Calcula cuál será la población dentro de 0 años. a) Pasa por el punto (0, 50) 8 50 = k b) t = 0 8 y = e 0, Dentro de 0 años habrá unos 5 5 habitantes. 8 k = 0000 =

29 Cuestiones teóricas 8 Dada la función y = a, contesta: a) Puede ser negativa la y? la? b) Para qué valores de a es decreciente? c) Cuál es el punto por el que pasan todas las funciones del tipo y = log a? d) Para qué valores de se verifica 0 < a < siendo a >? si 0 < a <? a) La y no puede ser negativa por ser una potencia de base positiva. La sí puede ser negativa porque el dominio de la función es todo Á. b) Si 0 < a <, la función es decreciente. c) Todas pasan por el punto (, 0), ya que = 8 y = log a = 0. d) Para valores de negativos se cumple que 0 < a < si a >. Si 0 < a <, se cumple que 0 < a <, cuando > 0. 9 Si f ( ) = y g ( ) = log, cuál es la función ( g f ) ( )? ( f g) ( )? ( g f ) () = g [ f ()] = g ( ) = log ( ) = ( f g ) () = f [g ()] = f (log ) = log = 50 Considera las funciones y = sen, y = cos e y = tg. a) Cuál es su periodo? b) Di cuál es el dominio de definición de cada una. c) Entre qué valores varían? a) Las dos primeras funciones son periódicas de periodo π. La tercera es periódica de periodo π. b) El dominio de las dos primeras es Á. El dominio de la función tangente es Á & π + kπ, k é Z 0. c) Las funciones seno y coseno toman valores comprendidos entre y. El recorrido de la función tangente es Á. 5 Justifica cuál de las siguientes funciones es la función inversa de y =. a) y = + log b) y = + c) y = log ( + ) La función del apartado c) es la función inversa de la dada. Si llamamos f () = y f () = log ( + ), entonces: ( f f ) () = f [ f ()] = f [log ( + )] = log ( + ) = + = ( f f ) () = f [ f ()] = f ( ) = log ( + ) = log ( ) = 5 Estas gráficas corresponden a funciones del tipo y = ka o y = k log a con a >. Identifícalas e indica en cada caso si k > 0 o k < 0. ) Es de la forma y = ka con k > 0. ) Es de la forma y = k log a con k < 0. ) Es de la forma y = k log a con k > 0. ) Es de la forma y = ka con k < 0. 9

30 Autoevaluación Dadas f () = +, g () =, halla: a) f [ g ()] b) g [ f (5)] c) f g d) g () a) f [g ()] = f ( ) = 0 b) g [f (5)] = g () = c) ( f g ) () = f [g()] = f c m= + = d) y = 8 = y 8 y = + Representa la gráfica de la función inversa de y = f ( ). y = f () La función f () es simétrica a f () respecto a la recta y =. Así: f () y = f () La gráfica de una función y = a + b log ( + ) pasa por los puntos (0, ) y (, 0). Halla a y b y justifica si se trata de una función creciente o decreciente. Pasa por (0, ) 8 = a + b log 8 = a + b Pasa por (, 0) 8 0 = a + b log 8 0 = a + b a+ b= 8 a =, b = a+ b= 0 y = log ( + ) Se trata de una función decreciente porque su gráfica es el resultado de aplicar dos traslaciones a la función que se obtiene haciendo la simétrica de y = log respecto del eje. El precio de una furgoneta baja un 8 % cada año. Si costó 8 000, cuánto tardará en reducirse a la mitad? El índice de variación anual es 0,08 = 0,9. Si son los años transcurridos, la función que describe el precio de la furgoneta es y = ,9. La mitad de su precio es Por tanto: = ,9 8 0,5 = 0,9 8 = log 05, = 8, log 09, Tardará 8 años y casi meses en reducirse el precio a la mitad. 0

31 5 Un cultivo de bacterias comienza con 50 células. Dos horas después hay 6. Si ese cultivo crece de forma eponencial según una función y = ke a t (t en horas) calcula k y a. Cuánto tardará en llegar a bacterias? t = = k y = 50 t = 8 6 = 50e a 8, = e a 8 a = y = 6 ln, = 0,588 La función es y = 50e 0,588t. Llegará a 5000 bacterias cuando: 5000 = 50e 0,588t 8 00 = e 0,588t 8 t = ln00 = 7,8 0, 588 Al cabo de 7 horas y 8 minutos, desde el inicio del cultivo, llegará a las bacterias. 6 Representa estas funciones: a) y =,5 b) y = + ln ( + ) Halla la función inversa en cada caso. a) y =,5 8 =,5 y 8 y = log La función inversa es y = log + 5, + 5, b) y = + ln ( + ) 8 = + ln (y + ) 8 y = e La función inversa es y = e.

32 7 Asocia a esta gráfica una de las siguientes epresiones y di cuál es su periodo: a) y = cos b) y = cos c) y = cos π π π π π π 5π 6 π 7π 6 5π π 6 Completa estos puntos para que pertenezcan a la función y = cos : (5π/6, ), (π/, ), ( π/, ). Represéntala en el intervalo [0, π]. La gráfica corresponde a la función b), y = cos. Su periodo es 5π π = π = π. Los puntos buscados son; c 5π,, π,, π, 6 m c m b 0l