106 Matemáticas 1. Parte III. Cálculo diferencial en IR

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1 06 Matemáticas Parte III Cálculo diferencial en IR Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

2 07 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR 0. Derivada de una función en un punto Capítulo 0 Funciones derivables Definición 04.- Se dice que f: a, b R es derivable en el punto 0 a, b si f f 0 = L R 0 es decir, si eiste y es finito ese ite ó el ite equivalente, f+h f h. Al valor de dicho ite se lo denomina derivada de f en el punto 0 y se representa por f 0 ó df d 0. La derivada nos indica lo que crece la función alrededor del punto, puesto que en el cociente usado para definirla nos aparece el incremento f f 0 de la función en relación con el incremento 0 de la variable. El valor del cociente f f0 0, para cada, es la pendiente de la cuerda entre los puntos 0, f 0 y, f ver figura aneja, por lo que en el ite se obtendrá la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto. Es decir, la recta y = f 0 + f 0 0 resulta ser la recta tangente a la gráfica de f en el punto 0, f 0. y = f 0 + f 0 0 f f 0 α } {{ } 0 0 f f0 f f 0 0 Diremos que f: A R es derivable en un conjunto A A, si lo es en cada punto de A. Entonces, se puede construir la función que asocia a cada punto A la derivada de la función f en el punto ; A esta función se le llama función derivada de f y se le representa por f, donde f : A R. Si a su vez, f : A R es derivable en un conjunto A A, se puede construir la derivada de la función f en cada punto A. A esta función se le llama función derivada segunda de f y se le representa por f = f, donde f : A R. Análogamente se tienen la derivadas de órdenes superiores, f,..., f n. Ejemplo La función constante f: R R, con f = k, es derivable en cada punto de su dominio: f f 0 k k 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 = f 0 ; con lo que f = 0 para todo R. 0 La función identidad f: R R, con f =, es derivable en cada punto de R: f 0+h f 0 h = 0+h 0 h = = = f 0, y f = para todo R. La función polinómica f: R R dada por f = es derivable en cada punto de su dominio pues f f 0 0 = = = + 0 = 0 = f 0, y f = en R. 0 La eponencial f = e es derivable en cada punto de R y f = e, pues e +h e e h = e h h = e eh h = e e h h = e = e = f. f = ln, es derivable en 0, + y f = +h ln+h ln ln h = h ln+ h = h = ln+ h h = = f. La función f = sen es derivable en cada punto de R y f = cos sen+h sen h sen h = cos+ h h = cos + h sen h h = cos = cos = f. sen sen y = sen +y + y = sen +y y cos +y sen y + cos +y sen y sen +y cos y +y y cos sen = tg α = cos +y y sen Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

3 08 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR 0. Derivada de una función en un punto La función f = cos es derivable en cada punto de R y f = sen cos+h cos h sen h = sen+ h h = sen + h sen h h = sen = f. Análogamente al caso del seno, cos cos y = cos +y + y +y cos y +y y = sen sen La recta y = cos 0 sen 0 0 = es la recta tangente a cos en el punto 0. Análogamente, la recta y = sen 0 + cos 0 0 = es la tangente a sen en el 0. f f Para que una función sea derivable, debe eistir 0 0. Ahora bien, el denominador siempre 0 tiende hacia 0, por lo que sólo puede eistir el ite si el ite del denominador también es cero; puesto que si f f 0 0 entonces f f0 0 o no eiste. Luego debe cumplirse que f = f 0, es decir que f sea continua en 0 : Teorema 05.- Si f es derivable en un punto 0 entonces f es continua en dicho punto. Veamos que f = f 0. Para cada 0, la función f puede escribirse en la forma f = f f 0 + f 0 = f f f 0, y tomando ites se prueba la continudad de f en 0, ya que: f f 0 f = 0 + f 0 = f f 0 = f 0. 0 Nota: Como consecuencia de este resultado una función sólo puede ser derivable en los puntos de continuidad. Pero la continuidad no garantiza la derivación: Ejemplo La función f = es continua pero no derivable en 0, ya que f f = 0 + = 0 + = y f f0 0 0 = 0 = 0 = Como para los ites y la continuidad, la derivabilidad se etiende bien mediante las operaciones con funciones: Propiedades 06.- Sean f y g funciones derivables en un punto 0, entonces: a f + g es derivable en 0 y f + g 0 = f 0 + g 0. b fg es derivable en 0 y fg 0 = f 0 g 0 + f 0 g 0. c f/g es derivable en 0, si g 0 0, y f/g 0 = f 0 g 0 f 0 g 0. g 0 Ejemplos Si g derivable en 0 y k una constante, f = k g es derivable en 0 y f 0 = k g 0. En efecto, basta aplicar la fórmula del producto, f 0 = 0g 0 + k g 0 = k g 0. La función f = 3 es derivable en cada R, por ser producto de funciones derivables. f = 3 = = gh, y f = gh = g h + gh = + = 3. En general, f = n es derivable en R con f = n n y los polinomios son derivables en R. f =, cociente de derivables, es derivable en su dominio y f = = +. Regla de la cadena 07.- Sea f derivable en 0 y g derivable en f 0, entonces la función compuesta g f es derivable en 0 y además: g f 0 = g f 0 f 0. Ejemplo f = α es derivable en 0, +, pues f = α = e α ln donde g = e y h = α ln son derivables en sus dominios. Además, f = g hh = e α ln α = α α = αα. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

4 09 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR 0. Derivada de una función en un punto 0.. Aplicaciones de la derivada Regla simple de L Hôpital 08.- Si f 0 = g 0 = 0 y f y g son derivables en 0 con g 0 0. f Entonces, g = f 0 g 0. Por ser f y g derivables en 0, y f 0 = g 0 = 0, se tiene f g = f f 0 g g 0 = f f 0 0 = g g 0 0 f f = f 0 g g 0 g Ejemplo sen 0 = pues f = sen y g =, verifican las condiciones del resultado, f0 = g0 = 0, f 0 = cos0 y g sen 0 =. Luego 0 = cos0 = ln cosπ+e. Ejemplo Calcular el valor del ite La función f = ln verifica que f = 0 y derivable en con f = y f =. La función g = cosπ + e verifica que g = cosπ + e 0 = + = 0 y derivable en con g = π senπ + e y g = π senπ + e 0 = 0. ln Luego = cosπ+e Nota: La derivación es una potente herramienta para el cálculo de ites, no solo por el resultado anterior sino por la más útil Regla General de L Hôpital 8 y los polinomios de Taylor, que veremos más adelante Crecimiento de una función en un punto. Etremos locales El significado de la derivada como lo que crece la función cerca del punto, queda de manifiento con el siguiente resultado: Teorema 09.- Sea f: a, b R derivable en el punto 0 a, b. Entonces, si f 0 > 0 resp. f 0 < 0 la función f es estrictamente creciente resp. decreciente en 0. Si f 0 > 0, como f 0 = f f 0 0 0, se tiene que f f0 0 > 0 para los cercanos a 0. Entonces si 0 <, como 0 > 0, necesariamente f f 0 > 0 de donde f 0 < f y si < 0, es 0 < 0 y debe ser f f 0 < 0 de donde f < f 0 Análogamente, para f 0 < 0. Definición 0.- Sea f: a, b R, se dice que f alcanza un máimo local en el punto 0 a, b o que f 0 es un máimo local de f si f f 0 para todos los de algún entorno E 0, δ de 0. Se dice f alcanza un mínimo local en 0 si f 0 f para todos los del entorno. Nota: Diremos etremo local para referirnos indistintamente a un máimo o un mínimo local. Proposición.- Sea f: [a, b] R continua y c a, b. Si f es decreciente en cada [a, c y creciente en cada c, b], entonces fc es un mínimo local de f. Si f es creciente en cada [a, c y decreciente en cada c, b], fc es un máimo local de f. En efecto, en el primer caso, por ser f continua en [a, b] eiste el mínimo de f en el conjunto, pero no se puede alcanzar en un punto de [a, c ya que todos los puntos son decrecientes el valor de f en el punto es mayor que los cercanos de su derecha; y no puede alcanzarse en c, b] ya que todos los puntos son crecientes el valor de f Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

5 0 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR 0. Derivada de una función en un punto en el punto es mayor que los cercanos de su izquierda. Luego necesariamente, el mínimo tiene que alcanzarse en c. Análogamente, para el caso del máimo. Ejemplo La función f = presenta un mínimo local en 0, pues es continua en R luego en cualquier intervalo cerrado como [, ], decreciente a la izquierda de 0 f = y creciente a la derecha f =. Nota: La hipótesis de continuidad de la función es imprescindible para asegurar el resultado. En la figura aneja pueden observarse distintas situaciones en las que sin continuidad no hay los etremos esperados: en los dos primeros casos la función no alcanza el máimo esperado y no hay etremo local; en el tercero, no se tiene el máimo esperado aunque sí un etremo ya que se alcanza un mínimo local en el punto. Con la continuidad, si f es creciente o decreciente en los puntos a derecha e izquierda de c, también se garantiza la no eistencia de etremo. Pero sin continuidad, a pesar de ser creciente antes del punto y creciente despues del punto puede eistir etremo, como en la cuarta situación de la figura donde tenemos un máimo local. Corolario.- Sea f: [a, b] R continua en [a,b] y derivable en a, b. Si f < 0 resp. f > 0 para cada a, c y f > 0 resp. f < 0 en cada c, b, la función f alcanza en c un mínimo local resp. máimo local. Ejemplo La función f = e, continua y derivable en R, presenta un máimo local en 0, pues su derivada f = e es positiva si < 0 y negativa si > 0. Teorema 3 Condición necesaria de etremo.- Sea f: a, b R. c a, b y f alcanza un etremo local en c, entonces f c = 0. Si f es derivable en el punto Si f es derivable en c, eiste f f fc c = c c f fc = c c <c = c >c f fc c. Entonces si fc es un máimo local, se verifica que f fc 0 para los cercanos a c, luego f f fc c = c = c <c y f f fc c = c = c >c Análogamente, si fc es mínimo local, f fc 0, luego f f fc c = c c <c 0 0 = f c = y f f fc c = c 0 = f c = 0 c >c Ejemplo La función f = e del ejemplo anterior, es derivable en 0 y presenta un máimo local en 0. Y ciertamente se verifica que f 0 = e 0 0 = 0. La condición anterior es sólo una condición necesaria, bajo la hipótesis de derivación, pero no es suficiente para asegurar la eistencia de etremo. Es decir, de los puntos donde la función sea derivable puede alcanzarse etremo únicamente en aquellos donde la derivada se anule, pero también puede no alcanzarse etremo en ellos. Son, de entre los puntos derivables, los únicos puntos candidados a albergar etremo. En consecuencia, para encontar los etremos locales de una función, basta con buscarlos entre los puntos donde sea derivable, con derivada cero, y los puntos donde la función no sea derivable. Ejemplo local en el punto. La función f = 3 es derivable en R y f = 3 se anula en = 0, pero no tiene etremo Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

6 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR 0. Teoremas de derivación Ejemplo La función f = es continua en [, 3] y derivable en, 3; su derivada en, 3 es f = 3 4 y se anula f = 0 en los puntos = 0 y =. Entonces los únicos puntos candidatos a albergar un etremo local son = 0 y = donde eiste la derivada y se anula, pero también los puntos = y = 3 donde la función no es derivable por ser etremos del intervalo de definición. De hecho, el los etremos del intervalo se alcanza etremo local f y f3 son máimos locales y también en el punto interior = f es mínimo local; mientras que el otro candidato = 0 no alberga etremo. 0. Teoremas de derivación Los tres teoremas siguientes son básicos para pasar los resultados de derivación sobre puntos a todo un intervalo, lo que nos servirá además para contruir mejores herramientas de trabajo. Teorema de Rolle 4.- Sea f: [a, b] R tal que f es continua en [a, b] y derivable en a, b y además fa = fb, entonces c a, b tal que f c = 0. Por ser f continua en [a, b], el Teorema de Weierstrass 88 garantiza que se alcanzan el máimo y el mínimo en el conjunto. Entonces, si se alcanza uno de los etremos en algún c a, b, por ser f derivable en a, b, se cumple que f c = 0 si los etremos se alcanzan en a y b, por ser fa = fb, el máimo y el mínimo deben coincidir, por lo que la función es constante en [a, b] y f c = 0 para todo c a, b. Ejemplo La función polinómica f = 4 4 se anula en = 0 y =, luego f0 = 0 = f y es continua y derivable en [0, ]. Entonces, el polinomio f = tiene alguna raíz entre 0 y. Nota: Si la función no es constante, el teorema de Rolle tiene otra lectura: se asegura la eistencia de al menos un etremo en el intervalo. Geométricamente, el teorema de Rolle significa que eiste un punto con tangente horizontal. El teorema siguiente, conocido como de los incrementos finitos o del valor medio de Lagrange, generaliza el Teorema de Rolle. Y, en sentido geométrico, significa que hay un punto cuya recta tangente tiene la misma pendiente que la cuerda que une los puntos etremos de la gráfica fb fa b a = f c. fa = fb f c = 0 a c b Teorema de Rolle fb fa f c = fb fa b a a c b Teorema de Lagrange Teorema del valor medio de Lagrange 5.- Sea f: [a, b] R tal que f es continua en [a, b] y derivable en a, b, entonces c a, b tal que: fb fa = f cb a Como a b, podemos escribir f c = fb fa b a, es decir, buscamos un c a, b tal que f c sea la pendiente de la cuerda entre los puntos a, fa y b, fb que tiene por ecuación y = fa + fb fa b a a. Consideremos entonces la función g = f fa + fb fa b a a la función menos la cuerda para llevar el problema a las condiciones del teorema de Rolle. En efecto, g: [a, b] R es continua en [a, b] y derivable en a, b por ser suma de continuas y derivables, además, ga = fa fa + fb fa b a a a = 0 y gb = fb fa + fb fa b a b a = 0. Entonces, eiste c a, b tal que g c = 0; y como g = f fb fa b a, se tiene la igualdad propuesta ya que 0 = f c fb fa b a. El último de los teoremas y más general es el teorema de Cauchy. Aunque gráficamente no tiene un significado claro, es muy útil para la etensión de la teoría: Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

7 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR 0. Teoremas de derivación Teorema del valor medio de Cauchy 6.- Sean f y g funciones continuas en [a, b] y derivables en a, b. Si g 0, a, b, entonces c a, b tal que: fb fa gb ga = f c g c Con los teoremas anteriores y la derivación, ya se puede asegurar la monotonía por intervalos: Proposición 7.- Si f es un función continua en [a, b] y derivable en a, b y f > 0, a, b, entonces f es estrictamente creciente en [a, b]. Si f es una función continua en [a, b] y derivable en a, b y f < 0, a, b, entonces f es estrictamente decreciente en [a, b]. Para cualesquiera, [a, b], con <, consideremos el intervalo [, ]. Podemos aplicar el teorema del valor medio de Lagrange en este intervalo, luego c, tal que f f = f c. Entonces, si f > 0 en a, b, también f c > 0 y se tiene que f f = f c > 0 por lo que f < f y, en consecuencia, f es estrictamente creciente en [a, b]. si f < 0 en a, b, también f c < 0 y se tiene que f f = f c < 0 por lo que f > f y, en consecuencia, f es estrictamente decreciente en [a, b]. Y también podemos obtener el resultado de la Regla General de L Hôpital para el cálculo de ites: Regla General de L Hopital 8.- Sean f y g funciones derivables en un entorno reducido de 0, E 0, δ, con g 0 y g 0, E 0, δ y f = 0 = g. Entonces, si eiste f f g se cumple que 0 g = f 0 g. 0 Nota: Esta regla es también válida en los casos en que 0 sea + ó y cuando f = + ó y g = + ó, también en este caso 0 puede ser + ó sin más que traducir las hipótesis de f y g a entornos de + ó. sen Ejemplo Calcular el 0. Las funciones f = sen y g = 3 son derivables en R, 3 con f0 = 0 = g0; y sus derivadas son f = cos y g = 3. Entonces, por L Hôpital, el ite inicial eiste si eiste él del cociente de las derivadas, por lo que hemos trasladado el problema al cálculo de un nuevo ite. Como también es indeterminado y las derivadas son derivables, podemos aplicar de cos 0 3 nuevo L Hôpital para resolver este ite. Sucesivamente, tendremos que sen cos sen 0 3 = 0 3 = = sen = 0 6 La eistencia del último ite garantiza la cadena de igualdades. Ejemplo Calcular π tg 0 + ln. Como las funciones del cociente son derivables cerca de 0 +, y tg π π tg 0 + ln = 0 + cos π Ejemplo Sabemos que + = 0 + cos π = 0 0 = =, y usando l Hôpital ln + cos π sen π + +3 =, aplicando l Hôpital = 0 + = + +3 = + = Añadamos un resultado que puede parecer irrelevante, pero que resulta de utilidad para las funciones definidas a trozos: Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

8 3 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR 0. Teoremas de derivación Proposición 9.- Sea f: a, b R tal que f es continua en 0 a, b, f es derivable en un entorno reducido de 0, y eisten los f y f. Entonces: f es de derivable en 0 si y sólo si f = f Por ser f continua en 0, f f 0 cuando 0 L Hôpital para obtener las igualdades de ites siguientes: y, por ser derivable, puede aplicarse la Regla de + 0 f f 0 0 = + 0 f = f f f 0 0 = 0 f = f 0 Entonces, si f es derivable en 0, f 0 = 0 Recíprocamente, si f = + 0 f f 0 0 f, entonces 0 global, por lo que f es derivable en 0 y f 0 = = + 0 f f 0 0 y f f 0 0 = + 0 f. f = f f 0 0 f = 0 f. y eiste el ite {, si 0 Ejemplos La función f = = no es derivable en = 0. En efecto, es continua en, si < 0 = 0 y derivable en R {0}, y como f = = f = =, la función no es derivable en el punto. { La función f =, si 0 es derivable en = 0. En efecto, es continua en = 0 y derivable, si < 0 en R {0}, y como f = = 0 = f = = 0, la función es derivable en el punto y f 0 = Teorema de la función inversa El siguiente teorema garantiza de modo sencillo la eistencia de función inversa en un conjunto y procura un método para obtener las derivadas de la inversa aunque no conozcamos su epresión. Teorema de la función inversa 0.- Sea f: [a, b] R continua en [a, b] y derivable en a, b, con f > 0 ó f < 0 en a, b. Entonces f admite función inversa derivable en a, b y f f = f. Corolario.- Si f es estrictamente creciente resp. estrictamente decreciente, su inversa f es estrictamente creciente resp. estrictamente decreciente Como f f = f, su signo es el mismo que el de f. Corolario.- Si f es continua, entonces la derivada de la inversa es también continua. Ejemplo La función f = tg es continua y derivable en π, π, con f = + tg que es mayor que cero en cada punto. Luego f es estrictamente creciente en el intervalo y su función inversa arccotg: R π, π es también estrictamente creciente y f tg = +tg luego haciendo y = tg, se obtiene que f y = arccotg y = + y Ejemplo La función f = sh es continua y derivable en R, con f c = ch que es continua y mayor que cero en el conjunto. Luego admite inversa en R y su función inversa argsh: R R tiene también derivada continua. Como f sh = ch haciendo y = sh y usando que ch sh =, se tiene f y = argsh y = + y Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

9 4 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR 0. Teoremas de derivación Inversas de las demás funciones trigonométricas e hiperbólicas f = sen tiene por inversa en [ π, π ] a arcsen: [, ] [ π, π ] y arcsen y = y f = cos tiene por inversa en [0, π] a arccos: [, ] [0, π] y arccos y = y f = ch tiene por inversa en [0, + a argch: [, + [0, + y argch y = y f = th tiene por inversa en R a argth:, R y argth y = y 0.. Representación gráfica de funciones A lo largo de este tema y también en el anterior hemos obtenido resultados sobre el comportamiento de la función: continuidad, monotonía, etremos,.... Resultados que también se reflejan en la gráfica de la función, y que vamos a utilizar, para realizar un esbozo de la misma. La representación gráfica será más completa tras el tema siguiente sobre las derivadas de órdenes superiores Monotonía y etremos locales Basta para ello reunir algunos de los resultados ya obtenidos, en particular: uso del signo de la derivada para el crecimiento de la función, la condición necesaria de etremos locales, la condición suficiente de etremo que se da en la Proposición. Para el estudio del signo de la función derivada, si esta es continua, puede resultar útil el Teorema de Bolzano. Si f c = 0 y f d = 0, f continua en [c, d] y no se anula en ningún otro punto, el signo de f es el mismo para todos los c, d. En efecto, si dos puntos de c, d, y, con <, verifican que f tiene signos distintos, por ser continua, tendría que eistir un punto 0, en el que f 0 = 0 en contra de que no se anula en ningún punto más del conjunto. Luego todos tienen el mismo signo y para conocerlo basta con calcularlo en uno de los puntos. Ejemplo La función f = es continua en [, 3] y derivable en, 3; su derivada en, 3 es f = 3 4 y se anula únicamente en = 0 y =. Como la función derivada f = 3 4 es continua en, 3 y en, 0] sólo se anula en 0, tiene el mismo signo en todos los puntos de -,0; como f = 5 3 < 0 en, 0 es siempre negativa y la función f es decreciente en, 0. f es continua en [0, ] y sólo se anula en los etremos, luego tiene el mismo signo en 0,. Como f = 3 4 < 0 es siempre negativa y f es decreciente en 0,. f es continua en [, 3 y sólo se anula en, luego tiene el mismo signo en, 3. Como f 5 = 75 3 > 0 es siempre positiva y f es creciente en, 3. Los únicos puntos candidatos a albergar un etremo local son = 0 y = donde eiste la derivada y se anula, y los puntos = y = 3 donde la función no es derivable por ser etremos del dominio. Como f es continua en y es decreciente en, 0, f es un máimo local. Como f es continua en 0 y es decreciente en, 0 y decreciente en 0,, f0 no es un etremo. Como f es continua en y es decreciente en 0, y creciente en, 3, f es un mínimo local. Como f es continua en 3 y es creciente en, 3, f3 es un máimo local Concavidad y conveidad Hemos visto en la condición necesaria de etremo local cómo, cuando es derivable, la derivada en el punto es cero; o lo que es lo mismo, la recta tangente a la gráfica en el punto es horizontal. Si el etremo es un máimo, para valores cercanos al punto los valores de la función son menores que el máimo local luego, gráficamente, los puntos de la gráfica están por debajo de la recta tangente; y si es un mínimo los puntos de la gráfica están por encima de la recta tangente. Pero, también eso puede ocurre en cualquier otro punto ver la gráfica que ilustra los teoremas de Rolle y del valor medio de Lagrange en pág y nos lleva a las definiciones de función cóncava y convea. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

10 5 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR 0.3 Ejercicios Aunque pueden darse definiciones para las que no es necesaria la derivación mejores y menos restrictivas que éstas, las que damos a continuación son sencillas de introducir y más que suficientes para el uso que haremos de los conceptos, pero también incorporann herramientas para una fácil manipulación. Definición 3.- Diremos que una función f: a, b R, derivable en 0 a, b es convea en el punto 0 si f f 0 + f 0 0 para los de algún entorno de 0. Diremos que es cóncava en 0 si f f 0 + f 0 0 para los de algún entorno de 0. Diremos que es cóncava o convea es un intervalo si lo es en cada punto. Un punto de continuidad se dice de infleión si la función cambia de concavidad en él. Nota: En otras palabras, diremos que es convea cóncava en 0 si, cerca de 0, la gráfica de la función está por debajo encima de la recta tangente en el punto. Con los comentarios hechos en la introducción de este apartado, en los máimos donde la función sea derivable la función es convea y en los mínimos cóncava. Ejemplo La función f = es cóncava en cada punto de R. Como es derivable en cada punto = a y f =, se cumple que f fa + f a a = a a a = a + a = a 0 para todo, luego f fa + f a a y es cóncava en cada punto. Ejemplo La función f = 3, es convea en = 0, cóncava en = 3 y presenta un punto de infleión en =. En efecto, consideremos la función g a = f fa + f a a entonces, si g a 0 en algún entorno de a es cóncava en a, si g a 0 en algún entorno de a es convea en a y si g a cambia de signo en a es un punto de infleión. Como g a a = 0 y es derivable pues f lo es, veamos como se comporta cerca de cada uno de los puntos indicados: En = 0, se tiene g 0 = 3, por lo que es positiva antes de 0 y negativa depués y g 0 es creciente antes de 0 y decreciente depués luego g 0 g 0 0 = 0 en algún entorno de 0. En = 3, se tiene g 3 = 3 + 3, por lo que es negativa antes de 3 y positiva depués y g 3 es decreciente antes de 3 y creciente depués luego g 3 g 3 3 = 0 en algún entorno de 3. En =, se tiene g = 3, por lo que es positiva antes de y también depués y g es creciente antes de y creciente depués luego g g = 0 para los menores que y g 0 para los mayores que. Luego es convea en = 0, cóncava en = 3 y tiene un punto de infleión en =. 0.3 Ejercicios 0.6 Aplicar las reglas de derivación, para encontrar la epresión de f en: a f = + b f = + + c f = d f = ln e f = lnsen f f = ln g f = arccotg + h f = lnarccostg i f = Encontar la epresión de las funciones derivadas, indicando el conjunto donde tienen validez: a f = b f = + c f = d f = e f = ln f f = 0.8 Hallar la recta tangente a las gráficas de las funciones siguientes en los puntos que se indican: a f = 3, en = 0 y en =. b f = e, en = y en = 0. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

11 6 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR 0.3 Ejercicios c f =, en = y en = Probar que la parábola y = + + tiene recta tangente en todos sus puntos. En qué puntos la recta tangente pasa por 0, 0? 0.30 Usar la regla de L Hôpital, para calcular a 4 + b d e 3 ln g j m h e 0 lncos π + c f 3 3 sen +e 0 arccotg cos π i + π arccotg k α ln α R l 6 0 ln ln α n sen o Estudiar la derivabilidad y obtener las derivadas, de las funciones del ejercicio Obtener las asíntotas de las funciones del ejercicio α R 0.33 Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f = intervalos de crecimiento y decrecimiento. Tiene asíntotas? { arccotg +4 4, si 0, e indicar sus, si = 0 π 0.34 Para las funciones f, g y h del ejercicio 3.46: a Estudiar su derivabilidad en los puntos del dominio. b Dar la epresión de las funciones derivadas. c Obtener los intervalos de monotonía. d Estudiar la eistencia de etremos locales. e Estudiar la eistencia de asíntotas. f Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones f, g y h Hallar los etremos locales y globales de f = + en [, 3] y en [0, Estudiar la monotonía de f = sen en [0, π] y deducir de ello que sen en [0, π] Probar que: a Si f es una función estrictamente creciente, entonces f g alcanza un máimo/mínimo en a h alcanza un máimo/mínimo en a b Si f es una función estrictamente decreciente, entonces f g alcanza un máimo/mínimo en a g alcanza un mínimo/máimo en a 0.38 Usar los resultados del ejercicio 0.37, para encontrar los etremos locales de las funciones a f = e + +3 b f = Si f es par y alcanza un etremo en = a, alcanzará también un etremo en = a? Que ocurrirá si f es impar? Y si es periódica de periodo T? 0.40 Problema: Con una cuerda atamos una vaca al eterior de un edificio de planta cuadrada situado en el centro de un prado. Si la longitud de la cuerda es la misma que el lado del edificio, en qué punto debemos atar la vaca para que tenga la mayor área posible de pasto? y la menor? Modelado del problema: Representamos el edificio por un cuadrado de lado L, por ejemplo él de vértices 0, 0, L, 0, L, L y 0, L. Como el edificio es cuadrado, ocurre lo mismo en cada lado, por lo que basta estudiar uno de los lados, por ejemplo el lado inferior el segmento {, 0 : [0, L]}. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

12 7 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR 0.3 Ejercicios Luego, para cada [0, L], debemos encontrar un función f que asigne a cada el área buscado, es decir, tal que f = área-abarcado-atando-en-. La solución del problema se obtiene encontrando los puntos donde de alcancen el máimo y el mínimo global de f en el intervalo [0, L]. a Resolver el problema planteado. b Repetir el problema para una cuerda de longitud la mitad del perímetro del edificio. 0.4 Descomponer 00 en dos sumandos tales que el cuádruplo del primero más el cuadrado del segundo sea mínimo. 0.4 Hallar dos números cuya suma sea a, de modo que la suma de la cuarta potencia de uno, más el cuadrado del otro, sea máima Entre todos los rectángulos de área 50, cuál es el de perímetro mínimo? y máimo? 0.44 Sean los triángulos rectángulos que tienen la suma de los catetos constante e igual a k. Cuál de ellos tiene área máima? 0.45 Dado un triángulo isósceles de base 8 cm y altura 5 cm, hallar las dimensiones de un rectángulo inscrito en él de área máima Un prisma de 5 cm de altura tiene como base un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a 0 cm. Calcular las longitudes de los catetos para que el volumen sea máimo De entre todos los cilindros con volumen 00π cm 3, escoger el de área lateral máima. Cuál es el de área total máima? 0.48 Hallar las distancias mínima y máima del punto, a la circunferencia + y = Hallar, las dimensiones del cilindro de volumen máimo inscrito en una esfera de radio R 0.50 Hallar, las dimensiones del cilindro de área total máima inscrito en una esfera de radio R 0.5 Un pescador en bote de remos se encuentra, mar adentro, a una distancia de km. del punto más cercano de una playa recta y desea llegar a otro punto de la playa a 6 km. del primero. Suponiendo que se puede remar a una velocidad de 3 km/h. y caminar a 5 km/h, qué trayectoria debe seguir para llegar a su destino en el menor tiempo posible? Si tiene una lancha que viaja a 5 km/h, qué trayectoria debe seguir ahora? 0.5 Hay que cortar un hilo de longitud L en dos trozos. Con uno de ellos se forma un círculo, y con el otro un cuadrado. Cómo hay que cortar el hilo para que la suma de las áreas sea máima? Y para que sea mínima? Un camión ha de recorrer 300 kms en una carretera llana a una velocidad constante de km/h. Las leyes de circulación prescriben para la velocidad un máimo de 60 km/h y un mínimo de 30 km/h. Se supone que el carburante cuesta 3 duros/litro y que el consumo es de litros por hora. El conductor cobra 0 duros por hora. Teniendo en cuenta que la empresa paga al conductor y el carburante, a qué velocidad tendrá que viajar el camión para que el dinero desembolsado por la empresa sea mínimo Sea f una función derivable en todo R, cuya gráfica es simétrica respecto al eje OY. a Estudiar la paridad simetría de f. b Determinar, si es posible, f Sea f una función de clase derivable con derivada continua en la recta real R. Supongamos que f tiene eactamente un punto crítico 0 que es un mínimo local estricto de f. Demostrar que 0 también es un mínimo absoluto para f. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

13 8 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR Capítulo Polinomios de Taylor Hemos visto el uso de la derivada como aproimación de la función la recta tangente y como indicadora del comportamiento de la función monotonía. En este tema veremos las derivadas de órdenes superiores para mejorar estos usos. Una definición usada cuando se manejan derivadas de órdenes superiores es la siguiente: Definición 4.- Se dice que f es una función de clase o que es C es 0 si es derivable en el punto y su derivada es continua en el punto. En general, se dice de clase m o C m si admite derivada hasta orden m y son todas continuas. Si admite derivadas de cualquier orden y todas son continuas, se dice de clase C. Ejemplos f = e es continua y derivable en R y su derivada es f = e continua en R, luego es C en R. Como su derivada es ella misma, vuelve a ser derivable y su derivada continua y, sucesivamente, es en realidad de C. Los polimonies son de clase es R. En efecto, son continuos y derivables, y su derivada es un polinomio, que vuelve a ser continua y derivable, etc. Las funciones seno y coseno son C, pues salvo signos una es la derivada de la otra y son continuas y derivables.. Polinomios de Taylor Cuando en el cálculo de ites usamos L Hôpital o algunos infinitésimos, estamos sustituyendo el comportamiento de la función cerca del punto por el de su recta tangente. Ésta aproimación que usamos, coincide con la función en su valor y el valor de la derivada en el punto; los polinomios de Taylor que construiremos a continuación se toman para que coincida con la función en todas las derivadas. Definición 5.- Lamaremos polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, y lo denotaremos por P n,a, al polinomio: P n,a = fa + f a! a + f a! a + + f n a a n = n! Los polinomios de Taylor en el punto a = 0, suelen denominarse polinomios de McLaurin. n k=0 f k a a k k! Nota: Observamos que el polinomio de grado, P,a = fa + f a! a es la recta tangente a f en el punto a, de manera que los polinomios de Taylor serán una especie de polinomios tangentes a la función en el punto. Al tener mayor grado que la recta tangente se espera que se parezcan más a la función que ésta, aunque dado que para su construcción únicamente usamos los valores de f y sus derivadas en el punto a, será una aproimación local cerca de a. f = sen P, π 3 P, π 3 P 3, π 3 P 4, π 3 En efecto, para todo k =,..., n, se cumple que P k n,aa = f k a: P n,a = fa + f a! a + f a! a + f a 3! a f n a n! P n,a = f a + f a! a + f a! a + + f n a n! P n,a = f a + f a! a + + f n a n 3! a n 3 + f n a n! an P n,a = f a + + f n a n 4! a n 4 + f n a n 3! an 3 a n + f n a n! a n a n + f n a n! an Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

14 9 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR. Polinomios de Taylor P n,a n = f n a + f n a! a P n,a n = f n a Y sustituyendo, se ve que P n,aa k = f k a, para todo k. Ejemplo La función f = sen es C en R, y sus derivadas son f = cos, f = sen, f 3 = cos y f 4 = sen = f de nuevo, luego f0 = 0, f 0 =, f 0 = 0, f 3 0 = y se repiten f 4 0 = f0 = 0, f 5 0 = f 0 =, etc. Por lo que P 7,0 = 0+! 0+ 0! 0 + 3! ! ! ! ! 07 =! 3 3! + 5 5! 7 7! es su polinomio de Taylor de grado 7 en = 0. Por la propia contrucción de los polinomios de Taylor, resulta evidente el siguiente resultado Proposición 6.- Si P es el polinomio de Taylor de grado n de f en a, entonces P es el polinomio de Taylor de grado n de f en a. Ejemplo La función f = cos es la derivada del seno y el polinomio de Taylor de g = sen en 0 de grado 7 es P =! 3 3! + 5 5! 7 7!. Entonces, el polinomio de MacLaurin de grado 6 de f = cos en 0, es P 6,0 = P =! + 4 4! 6 6!. Como es habitual, la obtención de polinomios de Taylor se amplia con las operaciones algebraicas básicas: Propiedades 7.- Sean f y g dos funciones y P n,a y Q n,a los polinomios de Taylor de grado n en a respectivos. Se tiene.- El polinomio de Taylor de grado n para f + g en a es P n,a + Q n,a.- El polinomio de Taylor de grado n para fg en a es la parte hasta grado n del polinomio producto de P n,a y Q n,a. 3.- El polinomio de Taylor de grado n para f/g en a se obtiene dividiendo el polinomio P n,a entre el polinomio Q n,a, pero ordenados de la potencia menor a la potencia mayor, hasta llegar al grado n en el cociente. Proposición 8.- Si P n,a es el polinomio de Taylor de grado n para f en a y Q n,fa es el polinomio de Taylor de grado n para g en fa, entonces el polinomio de Taylor de grado n para g f en a se obtiene tomando la parte hasta el grado n del polinomio Q n,fa [P n,a ], composición de los de f y g. Nota: La división entre polinomios comenzando por los términos de menor grado a que se hace referencia en el resultado anterior, la vemos ejemplificada a la derecha, dividiendo + entre +. Nos hemos detenido tras obtener 4 términos del cociente, pero se puede dividir tanto como se quiera, mientras el resto no se anule. Puede comprobarse que es cierto que + + = Ejemplo Obtener el polinomio de Taylor de grado 3 en 0 de f = sen + cos, g = sen cos y h = tg = sen 3 cos. Como el polinomio de McLaurin de grado 3 de sen es P = 3! y el de cos es Q =!, se tiene P + Q = +! 3 3! es el polinomio de McLaurin de grado 3 de f. P Q = 3 3! 3! !3!, luego 3! es el polinomio de McLaurin de grado 3 de g. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

15 0 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR. Polinomios de Taylor P Q = 3 6 = McLaurin de grado 3 de h. = = , luego es el polinomio de Ejemplo El polinomio de Taylor de grado 4 de f = en 0 es P = y el polinomio de Taylor de grado 4 de g = e en f0 = 0 es Q = +! +! + 3 3! + 4 4!, luego el polinomio de Taylor de grado 4 de g f = e será: la parte hasta grado 4 del polinomio QP = +! + 4! + 6 3! + 8 4!, es decir, el polinomio +! + 4!. Un primer resultado en el sentido de que el polinomio de Taylor es una buena aproimación de la función f en un entorno del punto: Proposición 9.- Sea f es una función de clase C n en un entorno de a y eiste f n a. Sea P n,a el polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, entonces: f P n,a a a n = 0 Basta aplicar L Hôpital sucesivamente al ite siguiente n veces, que es aplicable por tener la función y el polinomio de Taylor las mismas derivadas en el punto, y tener en cuenta que eiste f n a: f P n,a f P n,a f P n,a a a n = a n a n = a nn a n = f n a + f n a! a f n P n,a n f n = = a n a a n a = f n n! f n a f n a = a a n! f n a f n a = 0 Nota: El resultado nos indica que la diferencia entre f y P n,a se hace pequeña cuando es cercano a a incluso en comparación con a n, con lo que los polinomios de Taylor aproiman muy bien a la función, casi puede decirse que reproducen la función cerca del punto. Por ello, el uso de los polinomios de Taylor en este sentido, es uno de los métodos más sencilos para evaluar funciones de forma aproimada. Es obvio, que si aumentamos el orden del polinomio se produce una mejor aproimación, no solo porque el valor del polinomio en un punto sea más cercano al valor real de la función mejor aproimación sino también porque pueden aumentar los puntos para los cuales la aproimación es buena. No obstante ésto no es lineal, es decir, no por aumentar mucho el grado del polinomio vamos a conseguir una buena aproimación en todo el dominio. f = + P 0,0 = P,0 = P 4,0 = + 4 P 6,0 = P 8,0 = En la figura aneja, podemos ver un ejemplo de lo que estamos diciendo, por mucho que aumentemos el orden de los polinomios de Taylor en = 0 la función f = + no puede aproimarse para los valores de fuera de,. Por ello, decimos que las aproimaciones de Taylor son aproimaciones locales... Fórmula de Taylor. Todas estas ideas y comentarios sobre la aproimación de funciones con polinomios quedan de manifiesto con la obtención de la Fórmula de Taylor, que relaciona con igualdad la función y el polinomio de Taylor: Fórmula de Taylor 30.- Si para una función f eisten f, f,..., f n y f n+ sobre el intervalo [a, ]. Entonces, f P n,a = f n+ c n +! an+ para un cierto c a,, llamado resto de Lagrange, o también f P n,a = f n+ c c n a para un cierto c a,, n! que se denomina resto de Cauchy. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

16 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR. Representación de funciones Corolario 3.- Cualquier polinomio de grado n, P = a 0 + a + + a n n, se puede escribir como P = P a + P a! a + + P n a a n a R n! La Fórmula de Taylor y el hecho de que la derivada de orden n + para un polinomio de grado n es cero, garantiza la igualdad de los dos polinomios del corolario. Pero también, la igualdad propuesta por la Fórmula de Taylor, nos permitirá sustituir la función por el polinomio de Taylor en el cálculo de ites; esta sustitución amplía el uso de los infinitésimos equivalentes que son casos simples de los polinomios de Taylor eliminando la restricción de su uso a los productos y cocientes. Ejemplo sen 0 = ! + senc4 4! 3 3 3! + senc4 4! 0 3 = = 0 3! + senc 4! = 6 Cuando aproimamos el valor real de una función en un punto cercano a a usando el polinomio de Taylor de la función en a, con la Fórmula de Taylor podemos buscar una cota del error cometido. En efecto, al tomar como valor de la función el del polinomio, el error cometido será f P n,a = f n+ c n+! a n+, para algún c entre a y, y aunque no conocemos el valor c, sí que podemos intentar acotar el valor del resto f n+ c n+! a n+ = a n+ n+ f n+ c. Ejemplo Sabemos que sen = 3 3! + senc4 4! cerca de a = 0, entonces si decimos que el valor de sen ! = el error cometido lo podemos acotar con senc ! = Como sabemos que sen <, y como c 0, 0.4, es mejor aproimación senc < c < 0.4 que senc, luego senc ! < = es una cota del error cometido el error real cometido es menor que Representación de funciones Monotonía y etremos locales El siguiente resultado nos ofrece una condición suficiente que caracteriza etremos locales, generalizada al uso de las derivadas de órdenes superiores: Proposición 3.- Sea f una función de clase C n en un entorno del punto a, para la que se cumple que f a = f a = = f n a = 0, y además eiste f n a 0. Entonces: a Si n es par y f n a > 0, f presenta un mínimo local en a. b Si n es par y f n a < 0, f presenta un máimo local en a. c Si n es impar y f n a > 0, f es estrictamente creciente en a. d Si n es impar y f n a < 0, f es estrictamente decreciente en a. Ejemplo La función f = 4 presenta un mínimo local en 0, pues f 0 = f 0 = f 0 = 0 y f 4 0 = 4 > 0 siendo n = 4 par. Mientras que f = 3 es estrictamente creciente en 0, pues f 0 = f 0 = 0 y f 0 = 6 > 0 siendo n = 3 impar. Concavidad y conveidad Con la Fórmula de Taylor, la derivada segunda se convierte en la herramienta para el estudio de la concavidad y conveidad: Proposición 33.- Sea f: a, b R. a Si f < 0, a, b, entonces f es convea en a, b. b Si f > 0, a, b, entonces f es cóncava en a, b. Sea 0 a, b, entonces: f = f 0 + f f t! 0 para un cierto t entre y 0. Por tanto, si f < 0 en a, b, f [f 0 + f 0 0 ] = f t 0! 0 Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

17 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR. Representación de funciones luego f es convea ya que ésto se dará para todo, 0 a, b, y significa que todos los puntos de la curva están por debajo de la tangente a la curva en cualquier punto 0 a, b. Análogamente, será cóncava si f > 0 en a, b. Ejemplo La función f = es cóncava en todos los puntos, pues f = > 0. Análogamente, f = es convea en todo R. Corolario 34.- Si f eiste en un entorno de 0 y es continua en 0, entonces una condición necesaria para que 0 sea un punto de infleión de f es que f 0 = 0. Si 0 es un punto de infleión de f, entonces: Si f es cóncava a la derecha de 0 luego f > 0 en 0, b, será convea a la izquierda de 0 luego f < 0 en a, 0, y viceversa. Como f es continua en 0, se tiene que f = f 0 de donde puede concluirse que f 0 = 0. Ejemplo f = 3 presenta un punto de infleión en = 0, pues es C es R y f = 6 se anula en = 0, por lo que verifica la condición necesaria. Como es continua en 0 y f < 0 en, 0 y f > 0 en 0, es punto de infleión... Representación de funciones en forma eplícita: y = f Dada una función y = f, nos proponemos hacer su estudio y representación gráfica. Para ello se deben estudiar en términos generales los siguientes aspectos:.- Dominio y continuidad de la función..- Simetrías par e impar y periodicidad. Definición 35.- Una función f se dice par si f = f f simétrica respecto al eje OY. Una función f se dice impar si f = f f simétrica respecto al origen 0, 0. Definición 36.- Una función f se dice periódica de periodo T, si T es el menor número real tal que f + T = f,. 3.- Comportamiento asintótico. 4.- Derivabilidad de la función. 5.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 6.- Etremos locales y globales. Generalmente, al estudiar una función f sobre un conjunto A va a interesar conocer los valores más etremos que puede tomar f en la totalidad del conjunto A, es decir, el máimo global y el mínimo global. Estos etremos globales también llamados etremos absolutos pueden eistir o no, según sean f y A; sin embargo el teorema de Weierstrass Th. 88 garantiza, bajo ciertas condiciones su eistencia. Es claro que los etremos globales han de buscarse entre los etremos locales y los posibles valores de f en la frontera de A. 7.- Intervalos de concavidad y conveidad. 8.- Puntos de infleión. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

18 3 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR.3 Ejercicios.. Estudio de curvas dadas en forma paramétrica y polar... Curvas dadas en forma paramétrica: = ϕt, y = ψt. Dadas ϕ, ψ: A R, si consideramos los puntos del plano de la forma ϕt, ψt, para cada valor t A, estaremos representando { sobre el plano real una curva. Se dice que la curva viene dada por sus ecuaciones = ϕt paramétricas y al valor t se lo denomina parámetro. y = ψt Si la función = ϕt admite inversa, t = ϕ, entonces y se podrá escribir como función de, y = ψt = ψϕ = f y tendremos la curva representada por una función en forma eplícita. En general, aunque = ϕt no admita inversa para todo t, si admitirá inversa por trozos al menos siempre que ϕ t 0, por el Teorema de la función inversa, luego podremos suponer que a la curva en paramétricas se le puede asociar, por trozos, alguna función en forma eplícita. Entonces, para estudiar una curva dada en paramétricas podemos usar los resultados conocidos para la forma eplícita. En efecto, supuesto y = ψt = ψϕ = f, se tiene que f = y 0, si se cumple que ϕt = 0 y ψt = y 0 t t0 t t0 f = ψ [ϕ ] ϕ = ψ tϕ = ψ t ϕ t f = d d [ ] ψ t ϕ t = d dt [ ] ψ t dt ϕ t d = d dt [ ] ψ t ϕ t ϕ = ψ tϕ t ϕ tψ t ϕ t ϕ t luego todos los conceptos y resultados tratados para la representación en eplícitas son estudiables para las paramétricas: continuidad, asíntotas, monotonía, etremos, conveidad, etc.... Curvas dadas en coordenadas polares Sean O un punto del plano, al que llamaremos polo, y una semirrecta, llamada eje polar, que tiene su origen en O. La posición de un punto cualquiera P del plano se determina por dos números: r y θ ; el primero de ellos indica la distancia del punto P al polo y el segundo el ángulo formado por el eje polar y la recta OP. Los números r y θ se denominan coordenadas polares del punto P. Si θ varía entre 0 y π, a todo punto P distinto de O le corresponde un par, bien determinado, de números r y θ. El polo es el único punto cuyo r vale 0, aunque θ no está determinado. Una curva en coordendas polares es un curva en el plano descrita por una ecuación r = fθ, una vez fijados el polo y el eje polar. Si tomamos el 0 = 0, 0 como polo y el semieje de abcisas positivo como eje polar, cada punto, y del plano viene descrito por las ecuaciones { = r cos θ y = r sen θ, por lo que para un estudio ehaustivo de una curva en { = fθ cos θ y = fθ sen θ. Aunque polares r = fθ, podemos realizar el estudio de la curva en paramétricas dada por para una representación sencilla de la curva basta la propia definición de las coordendas polares como distancia al polo y ángulo recorrido..3 Ejercicios.56 Escribir cada uno de los polinomios P = y Q = en potencias de y en potencias de Construir un polinomio de grado menor o igual que 0 que verifique: P 7 =, P 7 =, P 7 = 3, P 3 7 = = P 8 7 = 0, P 9 7 =, P 0 7 = 5. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de P en el punto de abscisa = Probar que β es una raíz de multiplicidad m del polinomio P = a n n + + a + a 0 si, y sólo si P β = P β = P β = = P m β = 0 y P m β Hallar los polinomios de Taylor de grado 4 de las funciones siguientes en los puntos indicados: a f = 3 en α = b f = cos en α = π c f = ln en α = d f = e en α = e f = tg en α = 0 f f = 3 4 en α = Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

19 4 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR.3 Ejercicios.60 Construir la fórmula de Taylor para el polinomipo de grado 4 de f = 3 + en el punto y obtener una cota del error cometido al aproimar el valor 5 mediante el polinomio de Taylor de orden 4..6 Construir la fórmula de MacLaurin de f = e. Si aproimo el valor de e mediante un polinomio de MacLaurin qué grado tendrá que tener al menos, para que el error cometido sea menor que una diezmilésima 0 4?.6 Construir la fórmula de Taylor de f = ln en el punto. Dar el valor aproimado de ln 3, con un error menor que una diezmilésima..63 Considerar los polinomios de MacLaurin de grado 4 de las funciones e, sen, cos,, + y ln +. Usar las operaciones con los polinomios de Taylor, para calcular los polinomios de MacLaurin de grado 4 de: a sen + cos b e ln + c ln + d + e e + f sen sen + g e + ln + h + + cos e.64 Usar los desarrollos limitados polinomios de Taylor de las funciones f y g en los puntos que se indican, para encontrar los polinomios de Taylor de la composición pedidos: a f = en α = 0 y gy = e y en β = 0, hallar el de g f en α = 0 de grado 8. b f = en α = y gy = ln y en β = 0, hallar el de g f en α = de grado 5. c f = en α = 0 y gy = sen y en β = 0, hallar el de g f en α = 0 de grado 7. d f = en α = 0 y gy = + y en β = 0, hallar el de g f en α = 0 de grado 6. e f = en α = y gy = ln y en β =, hallar el de g f en α = de grado Hallar los 4 primeros términos no nulos de los polinomios de Taylor de: a + en α = 0 b + en α = c ln + en α = 0.66 Probar que si P n es el polinomio de Taylor de grado n de f en α, entonces f fα y P n fα son infinitésimos equivalentes cuando α. [Nota: De hecho, para los infinitésimos conocidos se ha tomado el término de menor grado de P n fα].67 Hallar polinomios que sean infinitésimos equivalentes de las funciones: a cuando 0 b sen cuando π c cuando.68 Usar los polinomios de Taylor del grado necesario para calcular: 0 a 0 +cos 3 sen 5 b 0 arccotg tg 3 c +a cos b sen.69 Para qué valores de a y de b es finito el ite: 0? 3 arccotg tg.70 Hallar n N tal que 0 = k 0 y finito. n ch + 3 e.7 Encontrar a y b para qué 0 +a +b 3 sea finito..7 Encontrar a y b para que ln + +a +b sea equivalente a cuando tiende a cero..73 Encontrar una función equivalente, cuando 0, a la función: g = e +e g = 0. 0 y deducir que.74 Encontrar una función equivalente a la función f = Probar que P = no tiene ninguna raíz real. cuando tiende a. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03

20 5 Matemáticas : Cálculo diferencial en IR.3 Ejercicios.76 Se considera la función f = ln definida en los intervalos 0, y,. a Probar que se pueden dar valores a f0 y a f para qué la función sea continua en 0 a la derecha y para que f sea continua y derivable en. b Qué vale en 0 la derivada por la derecha supuesto dado a f0 el valor del apartado anterior?..77 Dada la función f = e e. a Definir la función f en el punto = 0 de forma que f sea continua en dicho punto, si ello es posible. b Hallar las asíntotas de f..78 Para las siguientes funciones, encuentra todas sus asíntotas e indica, mediante un esbozo gráfico, cómo se aproima la función a ellas. a f = +4 b f = + 3 c f = d f = 3 3 e f = sen f f = tg.79 Encuentra todas las asíntotas de las funciones siguientes: a f = + b f = 4 ln + c f = + d f = sen cos.80 Estudia las simetrías y periodicidad de las funciones de los ejercicios.78 y.79 anteriores..8 Sea f: [0, 9] R continua. Si f : 0, 8 8, 9 R viene dada por la gráfica de abajo, Estudiar: intervalos de monotonía y concavidad, puntos críticos y de infleión de la función f supondremos que eiste f en los puntos donde lo parece. Representar aproimadamente la gráfica de f suponiendo f 0. Cuál es el dominio de f puede decir de ella? y qué se -.8 Estudiar las funciones siguientes y construir sus gráficas a f = b f = c f = 4 + d f = arccotg e f = + f f = 3 g f = h f = 3+4 i f = j f = ln k f = ln l f = ln m f = sen3 3 sen n f = sen 3 + cos 3 o f = e sen.83 Estudiar la función f = y construir su gráfica Dada la función f = arcsen, se pide: + a Dominio y continuidad de f. b Tiene asíntotas? c Ver que f no es derivable en =. Hallar la derivada a la derecha y a la izquierda del punto =. d Estudiar crecimiento y decrecimiento, etremos locales y globales de f. e Estudiar concavidad y los puntos de infleión de f. f Representación gráfica de f y de f. Prof: José Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 0 03