DISEÑO DE COLUMNAS ESBELTAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2

Transcripción

1 9.6 Diseño de colunas esbeltas Introducción Una coluna es esbelta si sus diensiones transversales son pequeñas respecto a su longitud o tabién si su relación de esbeltez definida coo la longitud sobre el radio de giro l / r supera ciertos liites especificados. El priero que intento resolver el problea fue el ateático Suizo Leonhard Euler ( ) quien ediante un siple experiento con una barra de adera logro deostrar coo entre as alta sea la longitud de la barra enor es su capacidad de carga axial y ayor su inestabilidad lateral. Sin ebargo este resultado no fue aceptado por la counidad técnica a pesar de que treinta años as tarde. Van usschenbroek logro deostrar ediante análisis ateático la confiabilidad de los resultados de Euler. or ejeplo Coulob ( 1776 ) sostenía que La resistencia de una coluna era únicaente función de su sección transversal y no dependía de su longitud tesis apoyada por nuerosos ensayos en colunas de adera y hierro de longitud relativaente corta. El prier científico en dar una explicación satisfactoria de la discrepancia entre el desarrollo teórico y los resultados experientales fue E. Laarle quien en 1845 logro deostrar la certeza de la ecuación de Euler. as tarde investigadores reconocidos coo pioneros en la ingeniería: I. Bauschinger (1889 ), Tetayer ( 190 ), Considere ( 1895 ) y Von Karan ( 1910 ) deostraron la confiabilidad de la ecuación de Euler. Hasta ahora se ha estudiado que cuando un eleento de horigón arado se soete a copresión siple, sin flexión, la capacidad de carga axial esta indicada por la ecuación 9.1 o 9. y la falla se presentara ya sea por agotaiento del horigón a copresión o por fluencia del acero a tracción. En estos casos no se ha considerado el efecto de la esbeltez porque se ha asuido por hipótesis que se trata de una coluna corta es decir de baja esbeltez. Si la esbeltez crece por efectos ya sea constructivos o arquitectónicos la capacidad dada en las ecuaciones 9. o 9. no son las correctas y la falla de la coluna estará regida por el pandeo o flexión lateral del eleento Esbeltez en colunas cargadas concentricaente Antecedentes La inforación relativa al coportaiento estructural de estas colunas se inicia con la experiencia de Euler en En fora generalizada el logro deostrar que un eleento a copresión fallara cuando este alcanza una deterinada carga conocida coo: carga critica cr o carga de Euler o carga de pandeo. La expresión 9. se encuentra deducida en todos los textos de resistencia de ateriales por lo que aquí solo se hará referencia a ella recoendándole al lector estudiarla para su posterior aplicación. Al analizar la ecuación 9. se observa que la carga critica es directaente proporcional a la rigidez de la sección E.I, es periódica ð, es inversaente proporcional a la longitud l y depende del grado de restricción de los extreos de la coluna k. La ecuación 9. se puede representar tabién coo la 9.4 en donde se aprecia coo cr disinuye al auentar la relación de esbeltez l / r. La figura 9.77 tabién uestra la relación grafica entre las dos variables encionadas y los 16

2 rangos de aplicabilidad de 9.. Se puede deostrar analíticaente que si la coluna esta articulada en sus dos extreos k 1.0, igualente si esta dobleente epotrada k 0.50, si esta en voladizo k.0 y si esta con un extreo epotrado y el otro articulado k cr π E. I ( 9. ) ( k. l) π E σ cr ( 9.4 ) l k. r Se puede notar coo la carga de pandeo disinuye rápidaente al auentar la relación de esbeltez. Si se grafica ócr vs l / r se obtiene la grafica de la figura 9.77 en donde se puede apreciar coo el trao AB uestra la región de coluna corta, el BC la región de coluna interedia y la CD la zona de coluna esbelta. De esta fora se definen unos liites para la relación l / r coo se indica gráficaente. ó cr D E A Zona Coluna DE... Corta EB... Interedia BC... Larga ó p B Curva de Euler ócri C Zona de coluna larga ( l / r ) li ( l / r ) i ( l / r ) Figura 9.77 Relación entre la esbeltez y la tensión critica La ecuación 9.4 parte de la base de un aterial elástico por lo tanto su validez solo se da cuando ócr > óp. En la igualdad se obtiene el valor liite de l / r por debajo del cual no es aplicable la forula ( Región AB ). or ejeplo una barra de acero articulada en sus dos extreos de fy 40 a ( ó p 10 a ) y Es a presenta un ( l / r ) li 100. Así para ( l / r ) li < 100 la tensión de copresión es enor que la tensión critica y la ecuación 9.4 no es aplicable. 17

3 Cuando l / r es alto el pandeo se presenta antes de que ó c ó p y la capacidad ecánica de la coluna se define por edio de una carga de trabajo o de seguridad. Cuando l / r es bajo lo as probable es que la coluna falle por agotaiento del aterial antes de que alcance la tensión critica ó cr. En estos casos se establece una tensión áxia utilizando un adecuado coeficiente se seguridad. En el caso dela acero una gran cantidad de experientos han logrado concluir que si l / r < 60 > se tiene coluna corta; si 60 < l / r < 100 > se tiene coluna interedia y si l / r > 100 > se tiene coluna esbelta. Adeás para obtener las tensiones adisibles en estas colunas se debe conocer el diagraa de las tensiones de rotura del aterial y el coeficiente de seguridad n. Este ultio depende de factores estadísticos tales coo: auento iprevisto de la carga, errores en su aplicación, excentricidades accidentales. Un valor frecuenteente usado por la ingeniería es el de n.5. Sin ebargo existen tabién ecuaciones que periten estiar su valor en función de la esbeltez del eleento coo lo indica expresión 9.5. En resuen la elección de un adecuado coeficiente de seguridad es una de las tareas as engorrosas y difíciles que ha tenido la resistencia de ateriales. ara 0 < ( l / r ) < 100 > l n r ara ( l / r ) > 100 > n. 5 ( 9.5 ) Colunas ipedidas de desplazaiento lateral ( nonsway ) Este caso se presenta cuando la coluna esta conectada a un eleento uy rígido que prácticaente le ipida overse lateralente cuando se soeta a cualquier patrón de carga externa. En la practica estos eleentos rígidos, de los cuales as adelante se hablara, representan núcleos de uros estructurales que van desde la cientación hasta la parte alta del edificio. Si la coluna esta dobleente articulada al alcanzar la carga critica cr se pierde la verticalidad original y esta coienza a doblarse en fora de onda senoidal coo se uestra en la figura 9.78.a. En este caso los puntos de inflexión se localizan en los dos extreos de la coluna por lo tanto la longitud efectiva k.l l y k 1.0. La coluna alcanza la falla cuando las tensiones adicionales creadas por el desplazaiento horizontal suadas a las originales alcanzan el valor critico. Cuando la coluna esta dobleente epotrada el pandeo se anifiesta coo se indica en la figura 9.78.b. Los puntos de inflexión se localizan a una distancia l / 4 de cada extreo para obtener así una longitud efectiva de k.l l / por lo tanto k.0. Esta coluna coo se puede analizar rápidaente toa cuatro veces as carga que la coluna anterior. Las dos condiciones anteriores son teóricas ya que en las estructuras reales no existen ni epotraientos ni articulaciones perfectas y lo que se tiene son condiciones interedias coo se uestra en la figura 9.78.c. En estos casos k.l adquiere un valor entre l / y l dependiendo del grado de restricción de los extreos. Este grado de 18

4 restricción esta edido coo la rigidez relativa entre los eleentos verticales y horizontales. En resuen se puede decir: En colunas ipedidas de desplazaiento lateral el factor de longitud efectiva k es siepre enor o al enos igual a la unidad. k.l l k.l l / l / < k.l < l a) Art-Art. b) Ep-Ep. c) Conexión real Figura 9.78 Longitud efectiva en colunas ipedidas de desplazaiento lateral Colunas no ipedidas de desplazaiento lateral ( sway ) Este es el caso de aquellas edificaciones en donde las colunas tienen libertad para overse lateralente cuando actúan las cargas externas. En la practica el sistea estructural que as representa este caso es el pórtico siple. Cuando una coluna epotrada en un extreo y libre en el otro ( voladizo ) se soete a carga axial, figura 9.79.a, se deflectara en la fora indicada en donde el extreo libre se ueve lateralente respecto al fijo definiendo una fora deforada típica siilar a un cuarto de onda senoidal y equivalente a la itad de longitud de la coluna dobleente articulada de la figura Los puntos de inflexión están separados una distancia.l de tal fora que la longitud efectiva es k.l.l para un valor de k.0. La longitud efectiva de la coluna de la figura 9.79.b la cual esta restringida contra rotación en abos extreos pero en uno de ellos puede desplazarse lateralente, esta definida coo k.l l con un valor de k 1.0. Si se copara esta coluna con la de la figura 9.78.b se nota que la longitud efectiva ha auentado el doble con la presencia del desplazaiento lateral; esto significa que la resistencia de pandeo ha disinuido en un 75 % lo que ilustra el hecho de que: Los eleentos soetidos a copresión con libertad de desplazaiento horizontal son as débiles que cuando están ipedidos de este oviiento. 19

5 Nuevaente, en las estructuras reales las conexiones de los extreos son variables y dependen del grado de restricción que ofrecen los eleentos horizontales ( vigas-losas ). k.l.l k.l l l < k.l < a) Voladizo b) Ep.- Art. c) conexión real Figura 9.79 Longitud efectiva de colunas con desplazaiento lateral En las estructuras fabricadas con horigón arado la practica coún es el ensable onolítico sin posibilidad de conexiones ni articulaciones lo que caracteriza aun as la fora coo se defora la estructura. Si existen eleentos que ipidan el desplazaiento lateral la fora deflectada se ilustra en la figura 9.80.a, ientras que si hay posibilidad de oviiento adquiere la fora 9.80.b. En el prier caso k.l < l y en el segundo k.l >.l lo que representa una enor carga de pandeo. k.l < l k.l >.l a) órtico sin desplazaiento b) órtico con desplazaiento Figura 9.80 Longitud efectiva en pórticos de horigón arado 140

6 9.6. Esbeltez en colunas soetidas a flexión as carga axial En definitiva las colunas de los edificios están soetidas a la acción siultanea de carga axial y oento, este ultio producido ya sea por la continuidad del sistea o por la presencia de cargas laterales. En estos casos al igual que el nueral anterior la capacidad resistente de la coluna se ve afectada por la esbeltez de los eleentos. La figura 9.81 ilustra una coluna soetida a carga axial y un par de oentos en los extreos e o, si no existiera la carga axial el diagraa de oentos seria constante en toda la longitud de la coluna con agnitud de o y la fora deflectada es la indicada con la línea punteada en donde y o es la deflexión en cualquier punto del eleento. Cuando actúa adeás la carga axial el oento en cualquier punto se aplifica en una cantidad igual a veces la distancia de la carga a la posición original de la coluna y. Este increento en el oento produce una deflexión adicional, de tal fora que la curva deforada es la indicada con la línea continua. Se concluye que en cualquier punto o + y es decir el oento total es la sua del debido a la flexión as el de la carga axial. e o y o y o + y e Figura 9.81 coportaiento de colunas a flexo-copresión en curvatura siple Una situación siilar se presenta en la figura 9.8 en donde la flexión es producida por una carga lateral H. Cuando no existe el oento producido en cualquier punto x es o H.x / con un valor áxio de o ax. H.l / 4 la deflexión lateral en cualquier punto es yo. Cuando se aplica se producen oentos adicionales. y que se distribuyen coo se indica en la figura y el oento en cualquier punto es la sua de las dos fracciones indicadas. 141

7 H / y o o H y o + y H / Figura 9.8 Coportaiento de colunas a flexo-copresión en curvatura siple La deflexión y de la elástica de una viga-coluna de la fora y tipo indicada anteriorente puede deterinarse a partir de la deflexión yo del eleento sin carga axial utilizando la expresión 9.6 la cual fue deducida por Tioshenko en 1909 y fue propuesta coo étodo alternativo siepre y cuando la relación / cr < 0.6. Se encuentra deducida en cualquier texto de teoría de elasticidad o de estabilidad elástica. y 1 yo. ( 9.6 ) 1 cr La ecuación 9.6 es aproxiada y representa la deflexión en función del eleento sin carga axial yo as la contribución de la carga axial que es un factor que depende de la relación carga axial sobre carga critica / cr. Sea Ä la deflexión en el punto de oento áxio en las colunas de la figura 9.81 y 9.8 > ax o +. y o 1 +. yo. 1 cr o 1 1 cr 14

8 Esta expresión se puede organizar de fora diferente para tener en cuenta algunos factores no considerados en la deducción inicial. Este trabajo lo realizaron acgregor, Breen y frang en 1970 y se indica a continuación: ax o 1+ ψ 1 ( ) ( ) cr cr En donde ø es un coeficiente que depende del tipo de carga y varia aproxiadaente entre 0.0 y 0.0 para la ayoría de los casos prácticos. Considerando que / cr por lo general tiene valores significativaente enores que la unidad, el segundo terino del nuerador de la ecuación anterior es pequeño coparado con la unidad, por lo tanto si se desprecia este valor se obtiene una expresión siplificada de diseño fácil de anejar y recordar: 1 ax o. ( 9.7 ) 1 cr la expresión 1 / ( 1- / cr ) se conoce coo el factor aplificador de oentos y refleja la cantidad nuérica en que se debe auentar o por la presencia de la carga axial. Si se verifica la ecuación 9.7 se encuentra que este factor tiene un valor de.5 cuando la relación / cr es igual a 0.6. Ya que cr disinuye al auentar la relación de esbeltez es evidente que el oento áxio en el eleento auenta cuando se presenta este efecto coo se ilustra en la figura 9.8 en donde para una carga transversal dada H la cual produce un oento inicial o la acción de una carga axial produce un ayor oento en un eleento de ayor esbeltez que otro. o + y o + y 1 o ( K l / r) 1 ( K l / r) k l / r Figura 9.8 Auento del oento con la esbeltez 14

9 En los casos anteriores se ha considerado coo hipótesis que los oentos que producen la flexión as la carga axial en las colunas se pueden adicionar para obtener el áxio oento en el eleento ( curvatura siple ). Sin ebargo a pesar de ser este el caso as desfavorable no es el caso general y en algunos casos se presentan eleentos donde los oentos áxios se dan en diferentes partes tanto para la carga axial coo la flexión. Este caso es el de colunas con doble curvatura, es decir oentos en los extreos iguales y opuestos, figura En estos casos la deflexión producida por la flexión nuevaente se increenta con la presencia de la carga axial pero el factor aplificador ya no es el iso porque el efecto es enor en estos casos. La ecuación 9.8 uestra el valor de la deflexión lateral en eleentos soetidos a flexión as copresión doble curvatura. 1 y yo. ( 9.8 ) 1 4. cr El oento adicional producido por la carga axial.y se distribuye coo se uestra en la figura Aunque el oento o es ayor en los extreos los oentos producidos por son de ayor cuantía en los tercios edios de la coluna. Dependiendo de las agnitudes relativas, los oentos totales se distribuyen coo se indica en la figura 9.84 es decir estos pueden ser ayores en los extreos o en los puntos interedios entre los extreos y la itad de la luz. e o.y ax + o - e Figura 9.84 oentos en colunas con doble curvatura En fora general el trataiento del oento en colunas con siple y doble curvatura se puede resuir así: El oento o producido por la flexión se considera as o 144

10 enos apliado si este coincide con el punto de áxio desplazaiento producido por la carga axial, esto se produce en colunas con curvatura siple con oentos extreos iguales y cargas siétricas. Si los oentos en los extreos son diferentes pero del iso signo ( curvatura siple ) el o se aplifica en fora fuerte aunque no tanto coo cuando estos oentos son iguales. De otra parte se presenta una pequeña aplificación o no se presenta cuando los oentos extreos son opuestos y producen un punto de inflexión en el interior de la coluna ( doble curvatura ). Se puede deostrar que la fora general de la expresión que toa en cuenta la curvatura en la aplificación de los oentos se puede representar con la ecuación 9.9 la cual se puede consultar en los textos de la referencia. C 1 ax o. ( 9.9 ) cr En donde el factor C se conoce coo coeficiente de curvatura y se puede estiar con la ecuación C ( 9.40 ) En donde 1 / es positivo si la coluna tiene curvatura siple y negativo en caso contrario. 1 es el enor oento en la coluna y es el ayor valor. Cuando los oentos extreos son iguales 1 el valor de C es igual a 1.0. Del análisis anterior se concluye que la ecuación 9.40 solo se aplica en colunas ipedidas de desplazaiento lateral, en otros casos el valor de C es igual a uno. o p o + p H a) pórtico desplazable oentos debidos a H oentos debidos a oentos debidos a H + Figura 9.85 Deflexión y oentos en pórticos desplazables lateralente 145

11 Dentro de los eleentos no desplazables lateralente se incluyen aquellas colunas que pertenecen a sisteas estructurales en donde el oviiento lateral esta ipedido en cualquier dirección ya sea por la presencia de uros fuertes y rígidos o por aarres en fora de diagonal entre los pórticos. En los edificios el núcleo de los ascensores o las escaleras tiene este propósito o la ubicación de una pantalla inaovible en la dirección considerada. Si no se provee este coponente rígido se presenta el desplazaiento lateral en todas las colunas del piso y el efecto de la cobinación de flexión as fuerza axial es diferente al caso previaente estudiado. or ejeplo el pórtico de la figura 9.85 esta libre para desplazarse horizontalente y esta soetido a una carga horizontal H y a las cargas verticales. Los oentos o producidos por H en ausencia de se indican en b la deflexión del pórtico se indica con la línea punteada en a. Cuando se aplica se producen oentos adicionales que auentan las deforaciones coo se indica en c. Se puede apreciar coo los áxios oentos o y p se presentan e los isos puntos, es decir en los extreos de la coluna, por lo tanto se adicionan llevando a una ayor aplificación. H o p + a) pórtico no desplazable oentos debidos a H oentos debidos a Figura 9.86 Deflexión y oentos en pórticos no desplazables lateralente De otra parte si el iso pórtico se vincula a un eleento fuerte y rígido que ipida su desplazaiento lateral y se carga de la isa fora anterior coo se uestra en la figura 9.86 se nota coo los áxios oentos producidos por H y no se presentan en los isos puntos por lo que la aplificación de oentos es enor que la obtenida en el pórtico de la figura Se debe notar que los oentos que producen desplazaiento lateral en un pórtico no son producidos únicaente por las cargas laterales, coo se indico en la figura La asietría en la geoetría de la estructura y en la colocación de las cargas producen efectos siilares. En este caso la presencia de las cargas axiales en las colunas producen la isa deflexión y la aplificación del oento que la carga lateral. 146

12 En resuen se pueden establecer las siguientes conclusiones: En eleentos a flexión la presencia de la carga axial produce deflexiones adicionales y oentos de agnitud.y. Si las condiciones se antienen iguales los oentos adicionales auentan a edida que se increenta la relación de esbeltez k.l / r. En eleentos no desplazables lateralente y deflectados en una curvatura, los oentos áxios producidos por H y se presentan en puntos cercanos o iguales y pueden suarse totalente. Esto conduce a aplificar en los oentos finales. Si los oentos o producen doble curvatura se presenta enor influencia de la carga axial. En eleentos desplazables lateralente, los oentos áxios producidos por H y se presentan tabién en los isos puntos ( en los extreos de las barras ) estos tabién se suan totalente sin tener en cuenta los puntos de inflexión. Bajo condiciones iguales, las deflexiones adicionales y los oentos auentan a edida que se increenta la relación de esbeltez. Esta es una discusión iportante de un tea uy coplejo que ha sido considerado en el ACI sobre la resistencia y el coportaiento de colunas esbeltas de horigón arado. Las ecuaciones que se han presentado solo consideran en fora aproxiada la coplejidad del problea ya que en principio el horigón no es un aterial elástico y la fisuración es un aspecto que se odifica notableente la teoría expuesta. En este sentido el procediiento se conoce coo étodo aproxiado del ACI para evaluar los efectos de la esbeltez en colunas de horigón arado Criterios del ACI para no considerar la esbeltez en colunas El procediiento de diseño de colunas esbeltas es inevitableente extenso en particular porque envuelve un proceso de ensayo y error. Al iso tiepo, los estudios en estructuras reales han concluido que la ayor parte de las colunas de los edificios son lo suficienteente gruesas y fuertes que la esbeltez solo logra reducir en un ligero porcentaje su capacidad de carga. En un estudio realizado por el coité conjunto ACI- ASCE se indico que el 90% de las colunas de las edificaciones están ipedidas de desplazaiento lateral y el 40% de estas pueden diseñarse coo colunas cortas es decir su capacidad de carga solo depende de la geoetría de la sección y la resistencia de los ateriales con poco o ningún efecto de la esbeltez. Adeás uchas edificaciones reales poseen uros de cortante o diagonales que auentan la resistencia al desplazaiento lateral en coparación con otros sisteas enos restringidos. Se puede concluir que en uchos casos los efectos de la esbeltez son ínios. Con el fin de peritirle al diseñador disponer en su practica ordinaria de étodos prácticos y ágiles para evaluar los efectos de la esbeltez en lugar de procediientos largos y coplejos el ACI define unos liites por debajo de los cuales la esbeltez es insignificante y por lo tanto su efecto puede no ser tenido en cuenta en el diseño. Estos liites se ajustan a los resultados contabilizados en un áxio de capacidad de reducción de resistencia del 5%. Las recoendaciones son: ara colunas ipedidas de desplazaiento lateral > 147

13 k. l u r < ( 9.41) En donde el terino [ 4 1 ( 1 / ) ] no debe ser ayor que 40 y la relación de oentos es positiva o negativa según la curvatura. ara colunas con desplazaiento lateral > k. l u < ( 9.4 ) r En las ecuaciones anteriores k es el factor de longitud efectiva de la coluna; l u es la longitud libre, o longitud no soportada entre pisos; 1 y es el enor y ayor oento en los extreos de la coluna. El radio de giro r para colunas rectangulares puede evaluarse coo 0. x h en donde h es la diensión de la sección transversal en el sentido en que se esta considerando el desplazaiento lateral. ara colunas circulares r 0.5 x D y para otra secciones puede calcularse a partir del área bruta de la sección. Adicionalente los coentarios del ACI indican que en colunas ipedidas contra desplazaiento lateral es suficienteente preciso deterinar los valores del factor de longitud efectiva k con base en los siguientes criterios: Si esta dobleente articulada > k 1.0 Si esta restringida por una losa plana > 0.95 < k < 1.0 Si pertenece a un sistea viga-losa-coluna > 0.75 < k < 0.90 k Criterios para definir coluna desplazable y no desplazable ( ACI ) En las discusiones anteriores es evidente la diferencia de coportaiento bajo carga de una coluna esbelta no desplazable y desplazable. ara considerar esta situación el ACI recoienda seguir uno de los siguientes étodos para identificar que tipo de coluna esbelta se tiene en cada caso en particular étodo por siple inspección Este es un procediiento uy siple y practico ya que el diseñador lo que hace es coparar la rigidez lateral de las colunas de un piso con la rigidez de los eleentos arriostrantes ( acizos rígidos y fuertes ). Una coluna puede considerarse ipedida de desplazaiento lateral si por siple inspección esta localizada en un piso en el cual los eleentos arriostrantes ( uros de cortante, cerchas, diagonales) tienen una rigidez lateral sustancialente alta para resistir las deflexiones laterales del piso y por lo tanto cualquier deflexión lateral resultante no afecte en fora apreciable la capacidad de carga alguna coluna. 148

14 étodo por teoría de segundo orden En este procediiento lo que se hace es realizar el análisis estructural del sistea utilizando un algorito que perite considerar cíclicaente el efecto de la carga axial en los oentos flectores que produce la flexión. Este enfoque solo se puede realizar ediante un prograa de coputador y la ayoría de los algoritos actuales de análisis estructural lo pueden realizar ( SA, ETABS, RA, STADD, COBAT). En este caso se asue que una coluna es no desplazable si el auento en los oentos debido al efecto de segundo orden no excede del 5% de los oentos de prier orden étodo del índice de estabilidad ( Q ) Este enfoque fue presentado inicialente por acgregor y Hage a principios de la década de 1970 y fue procediiento recoendado por el ACI a partir del código ACI En este étodo una coluna de un deterinado piso se considera ipedida de desplazaiento lateral si el valor de Q evaluado con la ecuación 9.4 es enor o igual a En 9.4 V u es la cortante lateral en el piso, Ä o es el desplazaiento lateral del piso evaluado con teoría de prier orden, u es la sua de las cargas axiales que todas las colunas del piso y hs es la altura del piso en consideración. Q. u o ( 9.4 ) V. h u s La Nora Siso Resistente Colobiana NSR-98 define as rigurosaente las colunas de un piso de acuerdo al valor de Q así: Si Q < 0.10 > Colunas sin posibilidad de desplazaiento lateral Si 0.10 < Q < 0.0 > Evaluar esbeltez con aplificación de oentos Si 0.0 < Q < 0.50 > Evaluar esbeltez por teoría de segundo orden Si Q > 0.50 > iso inestable, se recoienda rigidizar étodo de aplificación de oentos para colunas no desplazables Una coluna corta de horigón arado soetida a una deterinada cobinación de flexión as carga axial alcanza el liite de capacidad ecánica cuando el horigón llega a su áxia deforación ( 0.00 ) o el acero inicia su fluencia. Esto es lo que representan los diagraas de interacción del nueral 9.4. ara una coluna cualquiera la carga axial peranece prácticaente constante en toda su longitud ientras que el oento varia peritiendo así que se presente la falla en aquella sección donde se sobretensionan los ateriales. La figura 9.87 representa el diagraa de interacción de una coluna en donde el punto A es el liite de su capacidad resistente ( n, n ). De otra parte si la isa coluna es lo suficienteente esbelta se presentara una significativa aplificación del oento con la consiguiente disinución de la capacidad a carga axial. or lo tanto el oento en el punto as tensionado se convierte en ax o [ C / ( 1- / cr ) ] con el valor de C 1.0 si la coluna tiene igual excentricidad y siple curvatura. La curva sólida en la figura 9.87 representa el auento no lineal del oento a edida que disinuye la carga axial. 149

15 El punto donde esta curva corta el diagraa de interacción define la capacidad resistente de la coluna esbelta B. Si las excentricidades son diferentes se odifica el valor de C de acuerdo a lo indicado previaente. A ( n, n ) ( ne, c ) B o c Aplificación de Figura 9.87 Efecto de la aplificación de oento por la esbeltez El ACI especifica que en estos casos las cargas axiales y los oentos pueden deterinarse por un análisis elástico convencional y la coluna se debe diseñar para la cobinación de carga axial y oento aplificado c con la expresión c δ ns ( 9.44 ) En donde c es el oento de diseño de la coluna esbelta sin desplazaiento lateral, ä ns es el factor aplificador de oentos que se evalúa con 9.45 y es el ayor valor en la coluna. C δ ns 1.0 ( 9.45 ) u c El valor de la carga critica cr se obtiene de la ecuación ( 9. ) con l lu. Igualente C se estia con ( 9.40 ) o si se prefiere con ayuda de la figura Esta es la fora coo el ACI recoienda evaluar en fora aproxiada los efectos de esbeltez en colunas no desplazables lateralente ediante un coeficiente aplificador del oento ä ns. En algunas aplicaciones se tienen colunas con altas cargas axiales y bajos oentos que tabién reducen su capacidad resistente por efecto de la esbeltez. En estos casos el 150

16 ACI recoienda lo siguiente: Si los cálculos deuestran que no hay oentos en abos extreos de una coluna no desplazable o la excentricidad final e es enor que ( x h ) el oento de diseño se debe basar en esta excentricidad ínia evaluando cada eje por separado. En estos caso la relación de oentos 1 / necesaria para deterinar la curvatura debe cuplir: Si e < ein se pueden usar los oentos de calculo para hallar 1 / Si no hay oentos en la coluna 1 / 1.0. C Colunas desplazables / Figura 9.88 Deterinación grafica del coeficiente de curvatura C La deterinación de la carga critica requiere tabién conocer la rigidez E.I de la coluna. En eleentos elásticos y hoogéneos esto es particularente sencillo, sin ebargo en el horigón arado se deben considerar efectos no lineales y la fisuración del horigón que alteran en fora apreciable los resultados. Sobre las bases de varios estudios tanto analíticos coo experientales el ACI recoienda estiar E.I con las expresiones 9.46 o 9.47 siendo la ultia as utilizada para colunas poco reforzadas. E I 0.. E. I + E. I c g s se. ( 9.46 ) ( 1+ β ) ( + β ) d d 0.4. E I c. g E. I ( 9.47 ) 1 El factor â d considera en fora aproxiada los efectos de la fluencia en la coluna. Esto es a ayor carga axial sostenida ayor es la fluencia y las correspondientes 151

17 curvaturas. A ayor carga sostenida relativa a las cargas teporales ayor es â d y enor es la rigidez relativa coo lo indican las expresiones anteriores. Respecto a los valores del factor de longitud efectiva k se pueden utilizar las ecuaciones del código Británico ( B.S ) o los noograas de Jackson y oreland. Desde un punto de vista teórico se concluye que en colunas no desplazables lateralente 0.5 k 1.0 ientras que en colunas desplazables 1.0 < k <. En realidad las colunas de los edificios están conectadas a vigas y losas que restringen en deterinado grado el giro y los desplazaientos relativos por lo tanto k depende de este grado de restricción ø en cada extreo de la coluna. El valor de ø se evalúa coo la relación entre la rigidez relativa de la coluna y la rigidez de los eleentos horizontales que la conectan en cada extreo. La expresión 9.48 facilita la fora de calculo. Conocidos los coeficientes ø A y ø B para cada extreo de la coluna se deterina el valor del coeficiente k con ecuaciones o noograa. a) Colunas no desplazables b) Colunas desplazables Figura 9.89 Noograas de Jackson y oreland para deterinar k ( E. I / l) ( E. I / l ) colunas ψ ( 9.48 ) vigas Si se quiere obviar la lectura del grafico 9.89 para obtener k > 15

18 ara colunas no desplazables lateralente: k ( ψ + ψ ) 1. 0 a B k ψin 1.0 ( 9.49 ) ara colunas desplazables: ø valor proedio de ø Cuando ø <.0 > Cuando ø.0 > k k 0 ψ ψ + ψ ( 9.50 ) Coo el valor de k depende de la rigidez relativa del eleento ( E.I / l ) y de sus condiciones de conexión el proceso de diseño es iterativo. Inicialente se asuen unas diensiones para la coluna, se calcula la rigidez, los valores de ø y el coeficiente k con este valor de nuevo se calculan las diensiones de la coluna y se repite el proceso hasta lograr una solución satisfactoria. El problea de la deterinación correcta de la rigidez relativa E.I / l tanto para vigas coo para colunas no es siple. En estados cercanos a la falla las vigas están fisuradas y las colunas pueden estar o no fisuradas dependiendo de la relación entre excentricidad y altura de la sección. El ACI especifica que al deterinar k se deben considerar los efectos que tienen sobre la rigidez tanto el refuerzo coo la fisuración del horigón. Una priera aproxiación, para usar los noograas y estiar el taaño de la sección, es considerar la itad del oento de inercia de las vigas y la inercia total para las colunas. Esto refleja el hecho de que la fisuración es ayor en vigas que en colunas. Los coentarios del ACI consideran que bajo estas circunstancias se obtienen taaños adecuados siepre y cuando k.lu / r < 60. En el caso de vigas T se puede considerar la inercia coo el doble de la inercia de una sección rectangular de ancho b w y altura h. Cuando k.lu / r > 60 el soporte experiental indica que la inercia de las vigas se deterine toando coo base la sección elástica fisurada y un valor proedio entre los apoyos y la itad de la luz y deterinar la inercia de las colunas con la ecuación 9.46 toando â d 0.0. Un procediiento paso a paso para realizar el diseño de colunas esbeltas no desplazables puede seguir la siguiente secuencia de calculo: 1. Seleccionar las diensiones de la coluna de ensayo para soportar la carga axial ayorada u y el oento flector ayorado u obtenidos del análisis estructural de prier orden. Se considera inicialente coluna corta.. Se deterina si el sistea estructural es desplazable o no lateralente.. Se halla la longitud si soporte lu de la coluna y se estia un valor apropiado para k de acuerdo a lo indicado Revisar si se deben considerar los efectos de esbeltez según

19 5. Si se encuentra que la coluna es esbelta se deben refinar los cálculos anteriores deterinando k de las ecuaciones o la grafica En este caso se deterinan la rigidez de cada eleento y los coeficientes ø respectivos usando los oentos de inercia brutos y el taaño de ensayo del eleento. Revisar nuevaente con estos valores si la coluna es o no esbelta. 6. Revisar si los oentos obtenidos del análisis estructural son ayores que los valores ínios considerados y hacer las correcciones del caso. 7. Deterinar el coeficiente de curvatura C 8. Hallar los factores: âd, E.I, cr para la coluna de prueba. 9. Deterinar el factor de aplificación de oentos äns y el oento de diseño c 10. Revisar si la coluna es adecuada para resistir la cobinación c, u utilizando los diagraas de interacción de colunas cortas. 11. Si los resultados indican odificaciones se deben refinar los cálculos para ø, k y cr teniendo en cuenta ahora la fisuración y el refuerzo de la sección. Finalente hacer las odificaciones requeridas. Ejeplo 9.18 Se requiere diseñar la coluna C de la estructura de seis pisos que se indica en la figura 9.90 la cual esta ipedida de desplazaiento lateral por el foso de ascensores y el de escaleras los cuales actúan coo núcleos arriostrantes en las dos direcciones ortogonales del edificio. Las vigas son de b v 1. y h v 0.0 la altura libre del piso es de l u.55, las colunas exteriores tienen b c h c 0.40 y las interiores b c h c Usar un f c 8 a, fy 40 a y los siguientes resultados del análisis de prier orden para la cobinación de carga uerta as viva indicada. La coluna se deflecta en una curvatura para esta condición de carga. Carga uerta Carga viva ( kn ) 1 (kn.) (kn.) v (kn) 1v (kn.) v (kn.) pisos de 4.5 Col C 4 1 A B C D E F 5 luces de 7.0 Figura 9.90 Estructura del ejeplo 9.18 para diseño de colunas esbeltas 154

20 Solución: Se asuirá inicialente que la coluna es corta considerando que no existen probleas de esbeltez > Las cargas ayoradas para la cobinación indicada son: u kN u kn. Ya que la coluna tiene una sección de bc hc 450 ( interior ) y considerando un recubriiento d 55 se tiene: e γ 0.75 e h 0.45 La grafica de interacción para e / h 0.0 es R8.40:75 A. f u g c A. h. f g u c Del grafico de la figura 9.59 se obtiene: ñ 0.0 la cual es una cuantía lo suficienteente baja para que si hay que considerar esbeltez no se supere las cuantías de refuerzo aceptables ( or lo general enos del 4% ). ara una priera revisión de los efectos de esbeltez se puede asuir en fora conservadora que el factor de longitud efectiva k es igual a 0.90 > k. l u r El liite de coluna corta es: ( ) (.8) Se coprueba que k.lu / r > 4 1 ( 1 / ) > se debe considerar la esbeltez. Ahora se refinaran as los cálculos para deterinar un valor as elaborado para k. ara las colunas interiores > Se considera el 70% de la inercia bruta: I g I g l ara las vigas se considera el 5% del doble del oento de inercia del ala de la viga T con bw 100 y h 00 > c 155

21 ( I ) > 1 g vigas 0.5 I l v g El factor ø en abos extreos de la coluna es el iso y vale: 56 ψ A ψ B.17 al nudo A y al B llegan dos colunas y dos vigas. 59 Utilizando la figura 9.89.a se obtiene un valor de k 0.86 el cual es un valor adecuado para refinar los cálculos anteriores ( Es iportante aclarar que si se utilizan las ecuaciones el valor de k es > a 0.90 por lo tanto no se ajusta a los refinaientos exigidos. En la practica es as seguro trabajar con los gráficos que con las ecuaciones). k u. l r Este valor continua siendo ayor que.1 confirando el resultado de que la coluna debe diseñarse coo esbelta. La excentricidad ínia para esta coluna es: e in la cual es enor que la obtenida e 96 por lo que no controla el diseño. C β d E I N. ( ) cr π N 1975 kn ( ) Usando la ecuación 9.45 se deterina el factor aplificador de oentos äns : δ ns El oento aplificado por esbeltez se obtiene de 9.44 > c kn. 156

22 Con estos nuevos valores de u 54 kn y c 8 kn. se va al diagraa de interacción R8.40:75 > A. f u g c A. h. f g c c Se obtiene una cuantía de refuerzo de ñ 0.0 es decir un increento del 60% en la cantidad de acero requerido por efecto de la esbeltez. Ast 0.0 x 450 x que equivalen a: 8 # 10 ( Ast 655 ) # Figura 9.91 Sección definitiva de coluna del ejeplo 9.18 Nota: El ejercicio se puede refinar aun as considerando ahora el refuerzo obtenido y odificando la inercia de la coluna con la ecuación Sin ebargo en uchos casos no se justifica as trabajo de calculo porque los resultados obtenidos son aproxiadaente iguales a los aquí realizados étodo de aplificación de oentos en colunas desplazables ( sway ) Las diferencias as iportantes entre colunas desplazables y no desplazables se discutió en los nuerales anteriores. La carga critica para una coluna cr depende de la longitud efectiva k.lu y aunque el factor de longitud efectiva k esta entre 0.5 y 1.0 para colunas no desplazables este varia entre 1.0 e infinito para colunas desplazables. En consecuencia una coluna desplazable se defora para una carga as pequeña que la de una coluna idéntica no desplazable. Las colunas que pueden desplazarse lateralente por lo general lo hacen en conjunto porque pertenecen a un sistea de piso uy rígido en su propio plano que obliga a que todas ellas experienten idénticos desplazaientos laterales. Esta es la razón por la cual cuando se evalúa la aplificación de oentos en estructuras desplazables se deben considerar todos las colunas del piso en consideración. El uso del étodo de aplificación de oentos es todavía útil siepre y cuando k.lu / r < 60 en otros casos es definitivo el uso del 157

23 análisis estructural de segundo orden. Nuevaente los efectos de la esbeltez se puede despreciar si k.lu / r <. Los oentos 1 y obtenidos del análisis de prier orden se deben aplificar de acuerdo a las siguientes ecuaciones, siepre y cuando l u < 5 { f A } r u c g 1 1 ns + δ s1s ns + δ s s ( 9.51 ) Si el > 1 el oento de diseño de la coluna es: c ns + δ s s ( 9.5 ) En donde: ns es el ayor de los dos oentos ayorados de los extreos de una coluna debido a las cargas que no producen un apreciable desplazaiento lateral y obtenido de un análisis estructural elástico de prier orden. s es en fora siilar el ayor de los dos oentos ayorados pero debido a las cargas que si producen desplazaiento lateral apreciable. El terino desplazaiento lateral apreciable tiene que ver con un > hs / 1500 donde hs es la altura del piso. s δ s s s Donde s. 5 u cr δ ( 9.5 ) u es la suatoria de todas las cargas verticales en un piso y c es la suatoria de todas las cargas criticas para el piso en consideración. Cuando se presente en una deterinada coluna que l u 5 { f A } > u c g esta se debe diseñar para la carga axial r ayorada y un oento de diseño: δ +. c ns ns δ s s Es iportante aclarar que los factores ä ns se aplican a una coluna en particular y los ä s se aplican a todas las colunas de un piso y el oento ( äs 1 ) se debe aplicar a las vigas que llegan al nudo de la coluna. En resuen el étodo de aplificación de oentos presentado, originalente desarrollado para colunas prisáticas puede extrapolarse en su aplicación a casos dónde la esbeltez sea enor o igual a 100 siepre y cuando el sistea este ipedido de desplazaiento lateral. En el caso de sisteas desplazables con relaciones de esbeltez del orden de 100 es necesario utilizar el análisis de segundo orden coo se ha insistido en varias oportunidades en la presentación de esta teoría. Si se utiliza el índice de estabilidad para deterinar äs tal coo lo presenta la NSR- 98 se puede reeplazar la ecuación 9.5 por la siguiente: 158

24 1 Q s δ s s s ( 9.54 ) La solución de una coluna para este caso requiere que las cargas se clasifiquen en aquellas que producen bajos desplazaientos laterales ( las cargas de gravedad uertas y vivas ) y las que producen apreciables oviientos horizontales ( viento y sisos). Adeás se deben considerar las cobinaciones de carga adecuadas para cada caso, por ejeplo cuando actúan: carga uerta ( D ) carga viva ( L ) y viento ( W ) se recoiendan las siguientes cobinaciones básicas: C1 1. D L C 1. D L W Según el ACI-18-0 C 0.9 D W C1 1.4 D L C 0.75 ( 1.4 D L W ) Según el NSR-98 ( ACI-18-99) C 0.9 D + 1. W En fora siilar se deben considerar los casos de carga sísica ( E ), epuje de tierras ( H ), presión de fluidos ( F ). Ejeplo 9.19 Considerando nuevaente la estructura de la figura 9.90 pero ahora con la hipótesis de que no existen eleentos que ipidan el desplazaiento lateral de la edificación se requiere diseñar la coluna C. Adeás de las cargas uertas y vivas ahora se consideraran las cargas laterales de viento. El análisis elástico de prier orden entrega los siguientes resultados: Colunas A y F Colunas B y E Colunas C y D ( kn) v (kn) w (kn) ± 140 ± 80 ± 7 Vw ( kn) (kn.) v (kn.) w (kn.) ± (kn.) v (kn.) w (kn.) ± 97 La deflexión relativa del tercer piso para una carga total de viento de Vw 50 kn es de o Usar f c 8 a y fy 40 a. 159

25 Solución: El prier paso es revisar si el diseño debe considerar los efectos de la esbeltez en colunas desplazables o no desplazables > Se debe estiar Q. Vu 1.6 x kn Colunas A y F > u 1. x x 410 ± 1.6 x kn Colunas B y E > u 1. x x 790 ± 1.6 x kn Colunas C y D > u 1. x x 790 ± 1.6 x kn u x ( ) 1068 kn u 1.6 x u Q Vu. hs o Ya que el índice de estabilidad es ayor que 0.05 ( 0.10 < Q < 0.0 ) se debe asuir el piso del edificio coo desplazable lateralente ( en un deterinado edificio se pueden tener pisos desplazables y no desplazables dependiendo de su índice de estabilidad ) y se puede utilizar el étodo de aplificación de oentos. El análisis se debe realizar por separado, inicialente para las cargas que producen un bajo desplazaiento lateral ( 450 / ) y posteriorente para las cargas que producen >.8. a) Análisis para cargas que producen.8 En este caso se considera que las colunas no tienen posibilidad de desplazarse lateralente ( están restringidas a este oviiento ) y solo se presenta una cobinación de carga en el diseño: u kN u kn. Esta verificación fue realizada en el ejeplo 9.18 por lo tanto aquí no se incluirá. b) Análisis para cargas que si producen desplazaientos laterales Cuando se presentan las cargas de viento existen dos posibles cobinaciones de carga: U 1.D + 1.0L W y U 0.9D W En este caso es la priera cobinación la que controla por la posición central de la coluna C que le perite atenuar el efecto de levantaiento producido por el viento. 160

26 Los oentos ayorados en la coluna C para el caso sin desplazaiento lateral son: ns kn. 1 ns kn. Los oentos ayorados en C para la condición desplazable > s kn. 1 s kn. Del ejeplo 9.18 se obtienen los coeficientes de restricción rotacional de los dos extreos de la coluna C : ø A ø B.17. de la figura 9.89.b para colunas desplazables de obtiene un k 1.64 > k u. l r Se coprueba que k.lu / r es > que por lo tanto se deben considerar los efectos de esbeltez. ara deterinar los oentos aplificados por esbeltez se pueden utilizar uno de los dos siguientes procediientos: a ) Con la ecuación 9.5 el factor de aplificación de oentos ä s depende de c y u b) con la ecuación 9.54 utilizando el índice de estabilidad Q. a) Utilizando la ecuación 9.5 > Se deterinan los cr de las colunas: ara las colunas A y F > bc hc I g I l c g Vigas > bw 100, hv I g > l ( I ) g vigas El factor ø es igual en abos extreos de la coluna: 51 ψ A ψ B.71 al nudo A y al B llegan dos colunas y una viga. 59 Utilizando la figura 9.89.b se obtiene un k or la presencia de la carga de viento âd 0.0. El valor de E.I se puede estiar con la ecuación 9.47 o con la v 161

27 9.46 si se conociera un dato aproxiado de la cantidad de refuerzo. Coo estas colunas están uy reforzadas es ejor trabajar con 9.46 y asuir un ( Ast 8 # 8 ) E I N. La carga critica es: ( ) cr π N 485. kn ( ) ara las colunas interiores B, C, D y E > bc hc I g I g Vigas > bw 100, hv ( I ) l c 0.5 Ig > l g vigas El factor ø es igual en abos extreos de la coluna: 56 ψ A ψ B.17 al nudo A y al B llegan dos colunas y dos vigas. 59 Utilizando la figura 9.89.b se obtiene un k E I N. ( ) cr π N 810. kn ( ) La sua de las cargas criticas en todas las colunas es: c kN Los oentos aplificados para la coluna C se obtienen aplicando 9.5 > 1s δ s 1s 1. kn u (1 0.) 1 (1 ) c v 16

28 δ 184 s s. ( 1 0.) 75. kn Los oentos aplificados totales para el diseño de la coluna C son > 1 ns + δ s1s kn. 1 ns + δ s s kn. La coluna C se debe diseñar para soportar un oento áxio aplificado c 518 kn. y un u 1. x x x 7 09 kn. Utilizando el grafico de interacción R8.40:75 > A. f u g c c y 0. 0 A. f. h g c Se obtiene de la figura 9.59 una cuantía ñ ayor a 0.06 por lo tanto se recoienda auentar la sección para lograr cuantías del orden del 0.05%. b) utilizando la ecuación 9.54 del índice de estabilidad Q > δ 155 s 1 s. δ ( ) 184 ( ) 191. kn s s. 7. kn Los oentos aplificados totales para el diseño de la coluna C son > 1ns + δ s 1s kn. 1 ns + δ s s kn. La coluna C se debe diseñar para soportar un oento áxio aplificado c 470 kn. y un u 1. x x x 7 09 kn. Utilizando el grafico de interacción R8.40:75 > A. f u g c c y A. f. h g c Se obtiene de la figura 9.59 una cuantía ñ Este étodo es enos conservador que el anterior y es el preferido en la NSR

29 Nota: Este iso diseño trabajado con los factores de carga ã y los coeficientes Ö de la NSR-98 ( ACI ) entrega resultados satisfactorios respecto a la cantidad de acero ñ 0.0. Es decir se concluye que el bajar los factores de ayoracion de cargas y disinuir los coeficientes de inoración de resistencias se trabaja con altos árgenes de seguridad. La cantidad de refuerzo para esta coluna es: Ast 400 x 400 x que se pueden reeplazar por 1 # 10 ( 988 ). Este refuerzo se puede disponer coo se indica en la figura # Figura 9.9 Sección de coluna del ejeplo 9.19 Finalente se deben realizar dos revisiones adicionales para coprobar el ajuste del diseño realizado. a) coprobar si lu / r < 5 / ( u / f c Ag ) 0.5 y b) que el índice de estabilidad no sea ayor de 0.0 para utilizar el étodo de aplificación de oentos. a) Revisión de la relación de esbeltez: l u r or lo tanto se cuple que 9 < 58 y el procediiento realizado es correcto. b) El índice de estabilidad obtenido para el piso en consideración es de 0.19 < 0.0 por lo tanto el procediiento de aplificación de oentos es aceptable. 164

30 EJERCICIOS ROUESTOS 1. ara las siguientes colunas soetidas a carga axial pura deterinar el refuerzo longitudinal y los aarres requeridos ostrando la distribució n en planta de la sección. Considerar coluna corta en condiciones interiores de edificios. a) Coluna rectangular: D 600 kn, L 800 kn, f c 4 a, fy 40 a b) Coluna rectangular, considerando la enor sección posible: D 700 kn, L 00 kn, f c 8 a y fy 00 a c) Coluna circular: D 500 kn, L 650 kn, f c 5 a, fy 40 a ara todos los casos asuir un d 65.. En las siguientes secciones de coluna deterinar el centroide plástico si f c 8 a y fy 40 a # 8 # # Usando las ecuaciones de equilibrio deterinar los valores de n y n considerando que el perfil de deforaciones va de los puntos 0.00 a Considerar un f c 8 a y fy 40 a 00 åc # å t 165

31 4. ara las secciones y las excentricidades que se indican deterinar los valores de carga axial n usando los diagraas de interacción respectivos. Utilizar los siguientes ateriales: f c 8 a y fy 40 a. a) e x 0.0 ex b) ey 0.15 Y X