Tema 3. Modelo de regresión simple. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 1

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1 Tema 3. Modelo de regresión simple Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 1

2 Introducción Objetivo del modelo de regresión simple: Explicar el comportamiento de una variable cuantitativa de interés Y (consumo de gasolina de un coche híbrido, temperatura del agua marina) como función de otra variable cuantitativa X observable (velocidad del vehículo en ciudad, profundidad a la que se observa la temperatura del agua). Y = variable respuesta, endógena o dependiente X = regresor, predictor, variable explicativa, exógena o independiente Estudiaremos principalmente el modelo de regresión lineal simple, en el que se expresa Y como función lineal de X. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 2

3 El modelo Diseño fijo y aleatorio En el diseño aleatorio tomamos una muestra (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) de una población (X, Y ) donde X es una variable aleatoria (los valores observados de X no están prefijados de antemano). (X, Y ) =(Estatura en cm,peso en kg) de un estudiante universitario elegido al azar. (X, Y ) =(Nivel de un cierto contaminante,mortalidad) en una ciudad elegida al azar. En este caso el modelo de regresión establece una expresión para la función de regresión E(Y X = x). Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 3

4 Ejemplo 3.1: Se desea estudiar la relación entre la anchura X (en mm.) y la longitud Y (en mm.) de la concha del Patelloida pygmaea, una lapa pegada a las rocas a lo largo de las costas protegidas en el área Indo-Pacífica. Se observan los datos: X Y X Y X Y X Y Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 4

5 En el diseño fijo prefijamos unos valores x 1,..., x n de la variable X. Para cada x i tomamos una o varias observaciones de Y. (X, Y ) =(profundidad en m. del agua marina,temperatura en o C del agua a esa profundidad) x i y i El modelo de regresión en este caso establece una expresión para E(Y i ), el valor esperado de Y cuando el valor prefijado de X es x i. Si todos los x i están a la misma distancia entre sí se trata de un diseño fijo equiespaciado. El tratamiento estadístico de ambos diseños es parecido, aunque la notación sea diferente. A menudo, por simplicidad, utilizaremos la notación del diseño fijo aunque el diseño del experimento sea aleatorio. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 5

6 El modelo de regresión lineal simple Diseño fijo: Y i = β 0 + β 1 x i + U i Diseño aleatorio: (Y X = x i ) = β 0 + β 1 x i + U i donde β 0 y β 1 son respectivamente la ordenada en el origen y la pendiente de la recta de regresión. U i es un término de perturbación o error experimental. Interpretación de los parámetros de la regresión: β 0 representa el valor medio de la respuesta Y cuando la variable explicativa X vale 0. β 1 representa la variación que experimenta en media la respuesta Y cuando la variable explicativa X aumenta en una unidad. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 6

7 Hipótesis básicas del modelo: a) E(U i ) = 0, para cada i = 1,..., n. b) Var(U i ) = σ 2, para cada i = 1,..., n. c) E(U i U j ) = 0, para todo i j. d) U i Normal, para todo i. Además en el diseño aleatorio supondremos que X 1,..., X n son independientes. Hipótesis equivalentes para diseño fijo: Y 1,..., Y n son observaciones independientes, con Y i N(β 0 + β 1 x i, σ 2 ). Hipótesis equivalentes para diseño aleatorio: (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) son independientes, con Y X = x i N(β 0 + β 1 x i, σ 2 ). Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 7

8 Las hipótesis básicas se verifican mediante análisis de los residuos. Sin embargo, como la hipótesis de linealidad E(Y i ) = β 0 + β 1 x i es fundamental, el primer paso siempre debe ser un análisis gráfico de los datos, por ejemplo, un diagrama de dispersión de y frente a x. Ejemplo 3.1 (cont.): Longitud de la concha Anchura de la concha Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 8

9 Ejemplo 3.2: En 1990 y 1991 se examinaron percas y muestras de agua de 53 lagos de Florida para estudiar los factores ambientales relacionados con la contaminación por mercurio que exhiben dichos peces. En las muestras se midió, por ej., la alcalinidad del agua (mg/l de carbonato cálcico). El diagrama de dispersión representa los valores medios de alcalinidad frente a la concentración media de mercurio (pp. por millon) para los 53 lagos Alcalinidad Nivel de mercurio Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 9

10 Ejemplo 3.2 (cont.): Lago Alcalinidad Mercurio Lago Alcalinidad Mercurio Alligator Lochloosa Annie Louisa Apopka Miccasukee Blue Cypress Minneola Brick Monroe Bryant Newmans Cherry Ocean Pond Crescent Ocheese Pond Deer Point Okeechobee Dias Orange Dorr Panasoffkee Down Parker Eaton Placid East Tohopekaliga Puzzle Farm Rodman George Rousseau Griffin Sampson Harney Shipp Hart Talquin Hatchineha Tarpon Iamonia Tohopekaliga Istokpoga Trafford Jackson Trout Josephine Tsala Apopka Kingsley Weir Kissimmee Wildcat Yale Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 10

11 Ejemplo 3.3 (cont.): y x Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 11

12 Estimación de los parámetros del modelo Sea (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) la muestra observada de (X, Y ). Estimamos los parámetros β 0 y β 1 de la recta de regresión mediante el método de mínimos cuadrados. El objetivo es minimizar la suma de los residuos al cuadrado VNE = n i=1 e2 i, donde e i = y i ŷ i e ŷ i = ˆβ 0 + ˆβ 1 x i. Cada residuo e i es la distancia en vertical entre el (x i, y i ) observado y (x i, ŷ i ) y 2 e i 1 (x i,y i ) x Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 12

13 VNE n n n = 2 (y i ˆβ 0 ˆβ 1 x i ) = 0 y i = n ˆβ 0 + ˆβ 1 x i ˆβ 0 i=1 i=1 i=1 VNE n n n = 2 x i (y i ˆβ 0 ˆβ 1 x i ) = 0 x i y i = ˆβ 0 x i + ˆβ 1 ˆβ 1 i=1 i=1 i=1 n i=1 x 2 i Entonces ˆβ 1 = cov xy v x donde cov xy = 1 n n (x i x)(y i ȳ) = 1 n i=1 n x i y i xȳ i=1 v x = 1 n n (x i x) 2 = 1 n i=1 n xi 2 x 2 i=1 x = 1 n n i=1 x i ȳ = 1 n n i=1 y i Además ȳ = ˆβ 0 + ˆβ 1 x ˆβ 0 = ȳ ˆβ 1 x Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 13

14 Ejemplo 3.1 (cont.): 6.5 Longitud de la concha Anchura de la concha Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 14

15 Otra expresión de la recta de regresión es el modelo en desviaciones a la media ŷ ȳ = ˆβ 1 (x x). Su utilización es recomendable cuando β 0 no es interpretable. Ejemplo 3.1 (cont.): El modelo en desviaciones a la media nos recuerda que la relación lineal entre X e Y se debe estudiar sólo en un entorno de ( x, ȳ). No debemos extrapolar las conclusiones extraídas de la regresión fuera del rango de las observaciones utilizadas para construir el modelo. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 15

16 Los residuos e i, i = 1,..., n, tienen n 2 grados de libertad, pues verifican las ecuaciones de restricción n n e i = 0 e i x i = 0. i=1 Definimos la varianza residual como s 2 R = 1 n 2 i=1 n ei 2. Mide la variabilidad de los datos (x i, y i ), i = 1,..., n, respecto a la recta de regresión estimada. i=1 Observación: Se verifica que n ei 2 = n(v y ˆβ 1v 2 x ), siendo v y = 1 n i=1 n (y i ȳ) 2 = 1 n i=1 n i=1 y 2 i ȳ 2. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 16

17 Ejemplo 3.1 (cont.): Residuos s 2 R = v y = s 2 R = Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 17

18 Inferencia sobre los parámetros del modelo Propiedades de los estimadores de los parámetros Bajo la hipótesis de normalidad ( ) ˆβ 1 β 1 1 t n 2 IC 1 α (β 1 ) = ˆβ 1 t n 2,α/2 s R s 1 nv x R nv x s R 1 n ˆβ 0 β 0 ( 1 + x2 v x ) t n 2 IC 1 α (β 0 ) = (n 2)s 2 R σ 2 χ 2 n 2 IC 1 α (σ 2 ) = ( ( 1 ˆβ 0 t n 2,α/2 s R 1 + x 2 ) ) n v x ( (n 2)sR 2 χ 2, (n 2)s2 R n 2,α/2 χ 2 n 2,1 α/2 ) Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 18

19 Ejemplo 3.1 (cont.): Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 19

20 El contraste de la regresión H 0 : β 1 = 0 (no hay relación lineal entre X e Y ) H 1 : β 1 0 A nivel de significación α la región de rechazo de este contraste es R = { } 1 ˆβ 1 > t n 2,α/2 s R = {0 / IC 1 α (β 1 )}. nv x Ejemplo 3.1 (cont.): Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 20

21 Planteemos este mismo contraste desde un punto de vista que relaciona la regresión y análisis de la varianza. La variabilidad total de Y viene dada por VT = n (y i ȳ) 2 = n v y = VE + VNE, i=1 donde VE y VNE son independientes, VE = n (ŷ i ȳ) 2 = ˆβ 1nv 2 x i=1 denota la variabilidad explicada por el modelo de regresión lineal y VNE = n i=1 e 2 i denota la variabilidad residual. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 21

22 Tabla ADEVA para regresión lineal simple: FV SC gl Varianzas F Explicada por VE 1 VE F = VE regresor sr 2 Residual VNE n 2 sr 2 Total VT n 1 Si H 0 : β 1 = 0 es cierta tenemos que F = VE s 2 R F 1,n 2 Por tanto, la región de rechazo de H 0 : β 1 = 0 a nivel de significación α es R = {F > F 1,n 2,α }. Observación: Esta región de rechazo y la de la página 20 son equivalentes. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 22

23 Ejemplo 3.1 (cont.): Valores previstos Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 23

24 Observación: Contrastar H 0 : β 1 = 0 frente a H 1 : β 1 0 significa que, aceptando que existe una relación lineal entre X e Y, analizamos si una recta horizontal (β 1 = 0) representa mejor los datos que otra de pendiente no nula (β 1 0). Pero aceptar H 0 no significa que no exista ningún tipo de relación funcional entre X e Y, ni que éstas sean independientes. Ejemplo 3.4: Y = X 2 + U, IC 0.90 (β 1 )=( 0.10,0.29) y x Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 24

25 Los coeficientes de correlación y determinación Para evaluar el grado de ajuste de una recta de regresión podemos utilizar el coeficiente de determinación R 2 = VE n VT = i=1 (ŷ i ȳ) 2 n i=1 (y i ȳ) 2 = ˆβ 1 2v ( ) 2 x covxy = = (r xy ) 2, v y vx v y siendo r xy = cov xy vx v y. el coeficiente de correlación lineal de Pearson entre x e y. Si la relación entre x e y es marcadamente lineal, entonces R 2 y r xy serán muy próximos a 1. Si no existe relación lineal entre las variables entonces R 2 y r xy serán próximos a cero. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 25

26 Coeficiente de determinación R 2 Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 26 47

27 Ejemplo 3.1 (cont.): Observemos también que R 2 = 1 VNE VT = 1 (n 2)s2 R nv y. La ventaja del coeficiente de determinación frente al coeficiente de correlación es que la definición de R 2 es perfectamente generalizable a cualquier modelo lineal. Esto es muy útil en el contexto de regresión múltiple (Tema 4). Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 27

28 Estimación y predicción Un modelo de regresión sirve para estimar E(Y X = x 0 ) y para predecir futuros valores de Y para un valor x 0 de X. Los problemas de estimación y predicción son distintos, aunque las expresiones matemáticas que aparecen en su resolución son casi iguales. En el primero intentamos obtener un estimador de E(Y X = x 0 ) = β 0 + β 1 x 0, que es un número fijo aunque desconocido. En el problema de predicción de Y 0 = Y X = x 0 estamos interesados en conocer, para un valor x 0 fijo de X, el valor correspondiente de Y. Y X = x 0 es una variable aleatoria. Al final estimaremos E(Y X = x 0 ) y predeciremos Y 0 = Y X = x 0 mediante el mismo valor, ŷ = ˆβ 0 + ˆβ 1 x 0, pero el error de estimación y el de predicción son distintos. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 28

29 Estimación de la media condicionada Queremos estimar E(Y 0 ) = E(Y X = x 0 ) = β 0 + β 1 x 0, el valor promedio de la respuesta cuando X = x 0. Un estimador razonable es ŷ 0 = ˆβ 0 + ˆβ 1 x 0 = ȳ + ˆβ 1 (x 0 x). Se trata de un estimador centrado: E(ŷ 0 ) = E(Y X = x 0 ). Además 1 IC 1 α (E(Y 0 )) = ŷ 0 t n 2,α/2 s R n + (x 0 x) 2. n v x Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 29

30 Ejemplo 3.1 (cont.): Estimar la longitud esperada de la concha de Patelloida pygmaea cuando la anchura es de 1.4 mm. Calcular un intervalo de confianza al 90% para la estimación. Estimar la longitud esperada de la concha de Patelloida pygmaea cuando la anchura es de 2.0 mm. Calcular un intervalo de confianza al 90% para la estimación. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 30

31 Ejemplo 3.1 (cont.): Banda de confianza al 90% para E(Y X=x 0 ) 7 Longitud de la concha Interpolación min x i max x 3 Anchura de la concha i Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 31

32 Predicción de la respuesta En el problema de predicción deseamos prever Y 0 = (Y X = x 0 ), la respuesta cuando la variable independiente es igual a x 0. Si conociéramos E(Y X = x 0 ) podríamos utilizar esta esperanza como predicción de Y 0 = (Y X = x 0 ). Entonces ya tenemos una primera fuente de error debido a la propia variabilidad de Y X = x 0 en torno a su media. Además, como E(Y X = x 0 ) es desconocida, la estimamos mediante ŷ 0 = ˆβ 0 + ˆβ 1 x 0 : segunda fuente de error en la predicción. Por tanto, finalmente predecimos Y X = x 0 mediante ŷ 0. Un intervalo de confianza para la predicción de Y X = x 0 es IC 1 α (Y 0 ) = ŷ 0 t n 2,α/2 s R n + (x 0 x) 2. n v x Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 32

33 Ejemplo 3.1 (cont.): Predecir la longitud de la concha de Patelloida pygmaea cuando la anchura es de 1.4 mm. Calcular un intervalo de confianza al 90% para la predicción. Predecir la longitud de la concha de Patelloida pygmaea cuando la anchura es de 2.0 mm. Calcular un intervalo de confianza al 90% para la predicción. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 33

34 Ejemplo 3.1 (cont.): Bandas de confianza al 90% para E(Y X=x 0 ) y para Y X=x 0 7 Longitud de la concha Anchura de la concha Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 34

35 Diagnosis del modelo Verificamos las hipótesis básicas del modelo mediante análisis de los residuos. Ejemplo 3.5 (Anscombe 1973): Cuatro conjuntos de datos 1 x y x y x y x y Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 35

36 La recta de regresión lineal de Y sobre X es en los cuatro casos ŷ = x. También son iguales la VE, la VNE, sr 2 = 1.52, el estadístico t del contraste H 0 : β 1 = 0 y la correlación. Parece que las cuatro situaciones son idénticas. Pero al estudiar el gráfico de los residuos e i frente a los valores previstos ŷ i Residuo -2 Residuo Prediccion CONJUNTO 1 DE DATOS Prediccion CONJUNTO 2 DE DATOS Residuo -4 Residuo Prediccion CONJUNTO 3 DE DATOS Prediccion CONJUNTO 4 DE DATOS Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 36

37 y Hipótesis de linealidad: E(Y i ) = β 0 + β 1 x i Establece que, en el rango de valores observados, el valor esperado de la respuesta Y es una función lineal de la variable independiente X. Sólo tiene sentido contrastar la hipótesis en dicho rango. Comprobaremos la linealidad mediante el gráfico de dispersión de Y frente a X y mediante el gráfico de los residuos e i frente a los valores previstos ŷ i. Ejemplo 3.6: Residuos X Predicci n Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 37

38 Ejemplo 3.1 (cont.): Residuo Valor previsto de Y Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 38

39 Ejemplo 3.2 (cont.): Regresión de Y = Nivel de contaminación por mercurio de un pez del lago sobre X = Alcalinidad del lago 1 Residuo Valor previsto de Y Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 39

40 Si no se verifica la hipótesis de linealidad entonces estaremos utilizando un modelo inadecuado para describir el valor esperado de Y en función de X. Esto conduce a malas predicciones. Ejemplo 3.2 (cont.): 1.4 Concentración de mercurio Alcalinidad Una solución habitual a la ausencia de linealidad es transformar la variable X mediante una función g y/o la variable Y mediante una función f de manera que entre g(x ) y f (Y ) sí sea razonable suponer una relación lineal. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 40

41 Hipótesis de homocedasticidad: Var(U i ) = σ 2 para todo i Si esta hipótesis no se verifica entonces los intervalos de confianza para β 0 y β 1 son incorrectos, pues las varianzas de ˆβ 0 y ˆβ 1 no están bien estimadas. Para estudiar la posible heterocedasticidad de los datos es útil representar los residuos e i frente a las predicciones ŷ i o frente a x i. Así vemos si la variabilidad de los residuos crece o decrece con los valores de X. Además, si concluimos que las observaciones son heterocedásticas, el gráfico nos sugiere qué pauta de variación siguen y alguna posible transformación de las variables X e Y que linealice la relación. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 41

42 RESIDUOS VALORES PRONOSTICADOS se cumplen las hipótesis del modelo? Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 42

43 Hipótesis de normalidad: U i Normal para todo i Esta hipótesis es necesaria para calcular las distribuciones de ˆβ i. Si no se verifica, entonces no son válidos ni los intervalos de confianza para β 0 y β 1 ni el contraste de la regresión. Para comprobar la normalidad gráficamente utilizamos un histograma o un diagrama de cajas y un gráfico probabiĺıstico normal o un Q-Q plot de los residuos estandarizados. El residuo e i estandarizado se define como ẽ i = siendo s R 1 hi 1 n h i = 1 (1 + (x i x) 2 ) 1 n una cantidad que mide el efecto palanca del punto (x i, y i ). Los residuos estandarizados siguen aproximadamente una distribución N(0,1). v x e i Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 43

44 Ejemplo 3.1 (cont.): Histograma de los residuos estandarizados y densidad N(0,1) Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 44

45 Ejemplo 3.2 (cont.): Histograma de los residuos estandarizados y densidad N(0,1) Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 45

46 También podemos hacer un contraste (como el de Kolmogorov-Smirnov) de la bondad de ajuste de los residuos estandarizados a la distribución gaussiana. El problema para utilizar este tipo de contrastes es que los residuos no son observaciones independientes, aunque si n es grande esto se puede obviar. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 46

47 Transformación de los datos Cuando falla la hipótesis de linealidad y quizá también la de homocedasticidad y/o normalidad, una solución sencilla y muy utilizada es transformar una o las dos variables X e Y. El objetivo es que se verifiquen las hipótesis del modelo de regresión simple para la relación entre las variables transformadas: o bien o bien f (Y i ) = β 0 + β 1 x i + U i, con U i N(0, σ 2 ), f (Y i ) = β 0 + β 1 g(x i ) + U i, con U i N(0, σ 2 ), Y i = β 0 + β 1 g(x i ) + U i, con U i N(0, σ 2 ). Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 47

48 Para decidir si transformamos X, Y o ambas variables, tendremos en cuenta si sólo falla la hipótesis de linealidad o, por el contrario, las residuos dejan de verificar alguna de las otras hipótesis. Si sólo falla la linealidad, conviene transformar sólo X porque esto no afecta a las propiedades de las perturbaciones. En cambio, si los residuos muestran heterocedasticidad o no normalidad, conviene transformar al menos Y para intentar resolver todos los problemas simultáneamente. A continuación presentamos algunos ejemplos de relaciones no lineales, pero linealizables. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 48

49 Transformación logarítmica: Si Y Ke β 1X, entonces log Y = β 0 + β 1 X Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 49

50 Transformación doble logarítmica: Si Y KX β 1 entonces log(y ) log K + β 1 log X = β 0 + β 1 log X β 1 < β 1 > β 1 > 0 β 1 < 0 Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 50

51 Transformación inversa: Si Y β 0 + β 1 X, entonces Y β 0 + β 1 X β β β 1 < 0 β 1 > 0 Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 51

52 Si Y Ke β 1 X, con β 1 > 0, entonces log Y = β 0 + β 1 X K Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 52

53 Ejemplo 3.2 (cont.): log(y) 1 2 log(y) x log(x) log(y) /x y /x Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 53

54 Ejemplo 3.2 (cont.): Residuos estandarizados Regresion de log(y) sobre log(x) Valor previsto de log(y) Residuo estandarizado Regresión de log(y) frente a X Valor previsto de log(y) Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 54

55 Ejemplo 3.7: Peso del cerebro (en g) en función del peso corporal (en kg) para 62 especies de mamíferos (Fuente: Allison & Sacchetti 1976, Science) Peso cerebro (en g) Humano Elefante asiático Elefante africano Peso cuerpo (en kg) Log(Peso cerebro) Log(Peso cuerpo) Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 55

56 Ejemplo 3.8: Tasa de paro por sexo en 1999 para los países de la Unión Europea. Mujeres Hombres Mujeres Hombres Alemania Irlanda Austria Italia Bélgica Luxemburgo España Portugal Finlandia Dinamarca Francia Reino Unido Grecia Suecia Países Bajos Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 56

57 Ejemplo 3.8 (cont.): 1/Y = X Tasa de paro mujeres UE /(Tasa de paro mujeres UE 1999) Tasa de paro hombres UE Tasa de paro hombres UE 1999 Residuo Residuo Valor previsto de Y Valor previsto de 1/Y Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 57

58 Interpretación del coeficiente de regresión En el modelo Y = β 0 + β 1 x + U el coeficiente β 1 representa el incremento que experimenta la respuesta Y cuando la variable explicativa x aumenta en una unidad. En el modelo log Y = β 0 + β 1 x + U el coeficiente β 1 se interpreta como el incremento relativo o porcentual que experimenta la respuesta Y cuando la variable x aumenta en una unidad. Si utilizamos el modelo Y = β 0 + β 1 log x + U, β 1 representa el incremento de la respuesta Y cuando x aumenta en un 1%. En el modelo log Y = β 0 + β 1 log x + U, β 1 es aproximadamente el incremento relativo de y cuando x aumenta en un 1%. Este modelo es frecuentemente empleado en el contexto económico, donde a β 1 se le denomina elasticidad. Estadística (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Regresión simple 58