ESTRUCTURAS II Para alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLP

Transcripción

1 Faculta e Ingeniería Universia Nacional e La Plata STUCTUS II Para alumnos e la carrera e Ingeniería eronáutica ecánica e la UNLP VIGS D J CUVO utores: Ing. Jorge aiztegui Ing. Juan P. Durrut Ing. srúbal Bottani -8-

2 Vigas e je Curvo structuras II ) INTODUCCION: ntenemos por vigas, en general a aquellos elementos en los cuales una e sus imensiones es mucho maor que las otras os que lo componen. La traectoria el eje e la viga puee ser una curva e cualquier forma en el espacio, el sistema e cargas solicitante también puee ser cualquiera al igual que las solicitaciones externas (con un numero e restricciones tal que aseguren el equilibrio). s por esto que las vigas e eje curvo no son otra cosa que un caso particular e las vigas en general, one la traectoria e su eje sigue un curva eterminaa, que poría ser circular plana, elíptica, helicoial, etc., con un raio un centro e curvatura eterminaos que también pueen ser variables punto a punto. Poemos imaginar las vigas e eje recto como un caso particular e las e eje curvo con el centro e curvatura en el infinito. Como veremos mas aelante toos los conocimientos aquirios hasta el momento para vigas e eje recto, en maor o menor meia, son aplicables a las e eje curvo. n lo referente al calculo e solicitaciones, se pueen usar toas las herramientas isponibles para el análisis e estructuras e barras, como moelos matemáticos e elementos finitos (Programas e pórticos emparrillaos planos, pórticos espaciales, etc.) con la única precaución e iviir la viga en un numero e elementos tal que caa uno e ellos no sea mu istinto e una barrita recta. Si isponemos e programas e pórticos emparrillaos planos, que en la actualia son mu accesibles, poremos resolver las solicitaciones para toos aquellos casos en que el eje e la viga se encuentra contenio en un plano, a que cualquier estao e cargas (espacial) puee ser escompuesto en os estaos, uno e cargas contenias en el plano mencionao otro normal al mismo. n aquellos casos en que la traectoria el eje sigue una curva espacial cualquiera, por ejemplo un helicoie, poremos utilizar un programa e pórticos espaciales. parecen sí iferencias importantes en las tensiones cuano el raio e curvatura es chico respecto e la altura e la sección, estos casos se conocen como e gran curvatura, para ar un limite iremos que en general cuano la relación r/h < 5 se eberá hacer el estuio consierano la pieza e gran curvatura para los casos en que r/h > se porá usar la teoría e eje recto pues las iferencias son menores al %. Como ejemplo e vigas e gran curvatura poemos citar el caso e eslabones e caena, ganchos e grúa, etc. Para facilitar el análisis, estuiaremos solo aquellas vigas cuo eje este contenio en un plano, e este moo cualquier estao e cargas actuante lo poremos escomponer en: Página e

3 Vigas e je Curvo structuras II I. Un estao e cargas contenias en el plano. II. Un estao e cargas perpeniculares al plano. Para caa caso iviiremos el estuio en tres partes. a) Calculo e solicitaciones. b) nálisis e las tensiones. c) nálisis e las eformaciones. ) VIGS CUVS CON CGS CONTNIDS N L PLNO..) CLCULO D SOLICITCIONS Cuano tanto el eje e la viga como las cargas están contenias en un mismo plano x, aemás uno e los ejes principales e inercia esta en icho plano, la viga espués e eformaa seguirá estano en el mismo los esfuerzos que puean existir son: omento flector z sfuerzo axial Nz sfuerzo e corte Q La convención e signos será la siguiente: o Nx z Lao cóncavo z Nx Q Lao convexo Q z (): Si tracciona las fibras el lao convexo Nx (): Si tracciona el elemento Q (): Si tiene a proucir un giro horario Para la eterminación e los esfuerzos característicos se pueen seguir os caminos. Página e

4 Vigas e je Curvo structuras II a) Determinano el valor por puntos en un numero e secciones eterminao por efinición. b) Plantano resolvieno las ecuaciones iferenciales que ligan los esfuerzos con las cargas externas. n general resulta más sencillo resolver por secciones, aunque aremos las inicaciones para poer aborar por cualquiera e los os caminos. a) Por efinición: Se consieran toas las cargas que quean a la erecha o a la izquiera e la sección en análisis según convenga, se reucen a una resultante con un par resultante en la sección. l momento flector es el par (proucto e las fuerzas por las istancia corresponientes). l axial el corte surgen e la proección e la resultante según la tangente la normal al eje e la pieza en esta sección. jemplo: P Q B P N N B Q B B P sen P cos P sen b) Por ecuaciones: Su estuio para este curso no es obligatorio, para aquellos alumnos que tengan interés en profunizar el análisis se pueen remitir al nexo. Página 3 e

5 Vigas e je Curvo structuras II.) NLISIS D LS TNSIONS..) GNLIDDS Y DISTIBUCION D TNSIONS Veremos a continuación qué efecto prouce la curvatura e la pieza sobre la istribución e tensiones normales en una sección transversal e una viga sometia a un momento flector. mitimos que siguen tenieno valiez las hipótesis e Bernoulli-Navier respecto e las secciones planas (las secciones que son planas antes e la eformación, espués e haberse proucia la misma se siguen mantenieno planas) por lo tanto las eformaciones δs e caa fibra son proporcionales a la istancia que las separa el eje neutro. Hasta acá aparentemente no nos apartamos el análisis para vigas e eje recto. La iferencia raica en que la longitu inicial e caa fibra es istinta, por ene la eformación específica ε δs no es igual para las fibras ubicaas hacia el lao s cóncavo o convexo, aunque estén a igual istancia el eje neutro. Las tensiones normales istancia a la fibra neutra. σ ε a no son irectamente proporcionales a la Como consecuencia e lo expuesto, las fibras que se ubican hacia el centro e curvatura (lao cóncavo e la pieza) tenrán una maor eformación especifica ε ao que tienen una menor longitu inicial s, lo que genera un incremento en las tensiones normales (concentración e tensiones), inversamente ocurre con las fibras que están hacia el lao convexo, one las tensiones isminuen. Δs ε s Δ s Δs s < s ε > ε σ > σ Página 4 e

6 Vigas e je Curvo structuras II Como en flexión simple los volúmenes e tensiones e tracción compresión eben ser iguales para que haa equilibrio, el eje neutro a no será baricéntrico, esplazánose hacia el lao cóncavo. meia que el raio e curvatura crece respecto e la altura h e la pieza, la curvatura isminue atenuánose el efecto e concentración e tensiones, el comportamiento se asemeja caa vez mas al e una pieza e eje recto, el análisis por uno u otro camino no ifiere emasiao cuano la relación >. h ste efecto e concentración llega a su máximo en al caso e quiebres bruscos, tal el caso e esquinas e pórticos one el raio en su cara interna, o el extremo e fisuras. Para isminuir este efecto se puee reonear los quiebres, tratano e que el raio tenga un valor maor. Incorrecto Correcto σ Para ver como es la le e variación e las tensiones, tomamos un elemento e viga (arco e raio ángulo ) que sufre una eformación δ. unque el raio e la pieza fuese variable punto a punto (por ejemplo una espiral logarítmica) el análisis que haremos sigue tenieno valiez a que en el elemento iferencial se puee suponer que el raio vale r es constante. Página 5 e

7 Vigas e je Curvo structuras II σε δx ε δ xo δ x x x ( ) xo xo eemplazano en ε: δx δ ε δ ε ( ) xo / ( ) / ( / ) δ δ ε ε ε ε ε ( ) ( ) δ ε ε ( ) δ ε ε ε ε () nalizaremos ahora el caso en que la sección esta sometia a un momento flector a un esfuerzo axial ( N) externos. stas acciones externas eben estar en equilibrio con la reacción interna manifestaa a través e un eterminao estao e tensiones, ebiénose cumplir: σ N σ δ N ε ε δ ε ε O sea: δ N ε ε δ ε ε Tenieno en cuenta que Y que: ( ) Página 6 e

8 Vigas e je Curvo structuras II Si llamamos a: eemplazano en las ecuaciones e N, se obtiene: ) ( N ε δ ε ε δ ε δ ) ( ε δ () N ε ε ntonces: N ε (3) Si sustituimos las ecuaciones 3 en la, tenieno en cuenta aemás que tenemos: σ ε N σ Que reorenaa es la Fórmula e GSHOF o e WINKL N σ n la fibra baricéntrica tenemos resultano: N g σ g σ σ Página 7 e

9 Vigas e je Curvo structuras II..) CLCULO D : ecoremos que ) SCCION CTNGUL: h/ h/ b Y(-) Y() b h ln h h b b h ln ( ) h h Veamos la influencia e la relación /h (curvatura) en las tensiones: /h Con estos valores construiremos una tabla e comparación con los resultaos obtenios por aplicación e la teoría e eje recto. Para comparar supongamos que se trata e un caso e flexión simple (N ). Página 8 e

10 Vigas e je Curvo structuras II σ /h n/h n (% e h) Coeficiente * /bh je curvo je recto σ int. σ ext. σ int. σ ext.,5 -,933 9,3-7,46,68-6 6,75 -,87,9 -,54 3, , ,4 4, ,8,8-6,75 5, ,67,7-6,43 5, ,83,8-6, 5,8-6 6 Como puee observarse en el ejemplo anterior, para relaciones /h > la iferencia en las tensiones según se calcula por uno u otro métoo es insignificante. ) SCCIONS COPUSTS: 3 4 G z b b K b56 5 Como: ntonces: i ln i n bi,i i ln i Página 9 e

11 Vigas e je Curvo structuras II Con esta ecuación se puee calcula para cualquier sección que se puea escomponer en trapecios...3) VLID D L FOUL D GSHOF N SCCIONS T I: n el caso e secciones tipo T, I o similares la hipótesis e mantenimiento e las secciones planas espués e la eformación a no es tan cierta puesto que las alas tienen a girar alreeor e su propio eje neutro, este efecto se hace mas consierable si el ala es relativamente gruesa. Cuano las alas son mu elgaas, las que corresponen al corón comprimio tienen a alejarse el centro e curvatura las traccionaas a acercarse. ste efecto trae como consecuencia una isminución e las tensiones hacia los bores el consecuente aumento en la unión con el alma. sto no lo contemplan las fórmulas pueen traer como consecuencia errores consierables en el cálculo e las tensiones. Para evitar roturas generaas por este efecto generalmente se isponen refuerzos solaos o remachaos. n el caso e alas elgaas las tensiones normales (circunferenciales) actuantes en las mismas generan un tensión raial que puee ser mu importante que provoca una eformación en las alas, lo que hace que la longitu (s *Ф) e os fibras, ambas pertenecientes al ala, una cerca otra lejos el alma, sea iferente por ene también lo serán las eformaciones específicas las tensiones normales. Cuano las alas son e gran espesor, aemás el giro proucio alreeor el eje neutro e toa la sección, caa una tiene a girar sobre su propio eje provocano un incremento en las tensiones normales calculaas con las ecuaciones e Grashof. Página e

12 Vigas e je Curvo structuras II..4) TNSIONS DILS: Si se toma un elemento e barra curva sometio a momento flector, aparecen tensiones circunferenciales que pueen ser calculaas aplicano la fórmula e Grashof. Si ahora tomamos una rebanaa e este elemento, para que exista el equilibrio en irección el raio necesariamente aparecen las tensiones raiales, que en los bores serán nulas salvo que existan cargas externas crecen hacia el centro. Cuano la sección es maciza los niveles e estas tensiones σ r no son mu importantes, pero en secciones el tipo T, I o similares aquieren valores significativos en el alma si no se toman los recauos corresponientes pueen esestabilizar la misma provocano la rotura e la pieza. Para calcular σ r planteamos el equilibrio en irección raial: Fuerza circunferencial actuante sobre la parte raaa T c σ La fuerza ebia a las tensiones raiales en la cara es: Página e

13 Vigas e je Curvo structuras II Fr σr ( ) t Done t es el espesor e la viga a la istancia el C.G. Si ahora planteamos el equilibrio según la bisectriz e la pieza: Luego: σ r ( ) t T sen( ) T σ c σ r ( ) t c σ ecoremos la expresión e Grashof para el cálculo e σ: T Si llamamos a: Tenremos que: Finalmente σ σ c c c T c σ r ( ) t sta ecuación a valores suficientemente exactos para el alma e perfiles tipo T o I aun cuano la ecuación e σ circunferencial no es exacta en estos casos. La presencia e una fuerza axial N no altera los valores e σ r a que N se equilibra con Q. Página e

14 Vigas e je Curvo structuras II.3) NLISIS D DFOCIONS: n general el cálculo e eformaciones en piezas e eje curvo puee hacerse aplicano los mismos criterios que en vigas e eje recto, pues salvo en los casos e mu fuerte curvatura no existen iferencias apreciables entre una otra forma e calcular, por otro lao, con teoría e eje recto se obtienen valores el lao e la seguria. Para el cálculo haremos uso el Teorema e Castigliano que expresa n un cuerpo elástico en equilibrio sometio a un sistema e fuerzas cualquiera, el esplazamiento e un punto one actúa una fuerza, en la irección e la fuerza, está ao por la erivaa parcial e la energía e eformación respecto e icha fuerza. δ P i P Veamos ahora cómo se expresa la energía interna en función e los esfuerzos característicos. a) sfuerzo axial (N): N s N La fuerza axial N provoca un giro e una sección respecto e otra alreeor el centro O, por lo que toas las fibras tienen la misma eformación especifica ε. o σ N La energía interna e eformación viene aa por: σ N N N σε s s s s ntonces: N N s b) sfuerzo e corte (Q): es: nálogamente al esfuerzo axial, la energía interna ebia al esfuerzo e corte Q Q χ s G Done χ es un coeficiente e forma que epene e la forma e la sección, para secciones e tipo rectangular χ,. Página 3 e

15 Vigas e je Curvo structuras II c) omento flector: Para el cálculo e la energía interna provocaa por el momento flector haremos uso el Principio e los Trabajos Virtuales, que en su forma más general nos ice que en una estructura sometia a un sistema e fuerzas en equilibrio, para una eformación virtual cualquiera, el trabajo exterior es igual al trabajo interno. Para un elemento s: δ e Sieno δф el giro e las secciones. ecorano la ecuación: ε δ Y sieno ε, para N: ε eemplazano se obtiene: ( ) δ ntonces: ( ) s δ Si tenemos en cuenta que: σ Y calculamos la ubicación el eje neutro para lo cual hacemos σ a que en el eje neutro la tensión es nula. Página 4 e

16 Vigas e je Curvo structuras II Dejano e lao el signo e, la expresión e la energía interna quea aa por: s s h 4 Cuano la ecuación usaa para eje recto no introuce maores errores en el cálculo e la energía e eformación por flexión se puee usar teoría e eje recto. Si actuasen simultáneamente N aparece un trabajo recíproco e eformación N, a que como se vio, provoca una eformación ε a nivel el eje neutro. Supongamos que actúa primero N luego, esta última provoca un esplazamiento el punto e aplicación e N en el valor ε s, sieno: ε ntonces: s N N Y la energía total e eformación es: s N N La expresión que nos a la energía total e eformación para una pieza e eje curvo es la siguiente: s N s s G Q s N χ Para obtener el esplazamiento buscao, haremos: P Página 5 e

17 Vigas e je Curvo structuras II Por el Principio e los Trabajos Virtuales: NN QQ s s s J χ G δ Para /h > 4 Y N N QQ N s χ s s s G N s δ Para /h < 4 n one las integrales eben resolverse con la le e variación e los esfuerzos. 3) VIGS D J CUVO CON CGS NOLS L PLNO 3.) INTODUCCION: lgunos e los casos en los que aparecen este tipo e vigas son los siguientes: a) aranelas a presión: b) vigas anillo: Página 6 e

18 Vigas e je Curvo structuras II c) vigas balcón: n toos los casos las cargas son siempre perpeniculares al plano que contiene a la viga. stas cargas hacen que la viga se eforme el eje se salga e su plano original, pero no se aparta e la superficie cilínrica e origen, que tiene como irectriz a la viga en cuestión. --- luego e eformaa Ningún punto sufre esplazamientos en el plano el eje, toos permanecen en la superficie cilínrica. Tampoco existen giros contenios en el plano. 3.) SFUOS XISTNTS Y CONVNCION D SIGNOS: De lo expuesto anteriormente poemos concluir en lo siguiente: a) l eje e la pieza no cambia e longitu, por lo tanto no ha eformaciones según el eje x, luego: Nx b) l no haber esplazamientos en el plano e la viga, la eformación según es nula (δ ), luego: Q c) l no haber rotaciones según ejes normales al plano e la pieza, el giro según z es nulo (φ z), luego: z De los seis esfuerzos posibles en el espacio, quean solo tres, a saber: Q X Y Página 7 e

19 Vigas e je Curvo structuras II x: momento torsor; () si el vector x sale e la sección. : momento flector; () si tracciona las fibras inferiores. Qz: corte; () sobre la cara erecha hacia abajo, sobre la cara izquiera hacia arriba, el elemento siempre se mira ese el centro e curvatura. 3.3) SFUOS CCTÍSTICOS: Se trata e encontrar las ecuaciones que ligan les esfuerzos característicos entre sí con las cargas externas. Se analiza un elemento e viga sometio a una carga q(z). o D: baricentro e la carga / / OD sen x x x Qz q D Qz Qz Página 8 e

20 Vigas e je Curvo structuras II a) Proección e momentos sobre : φ ( x x) sen ( ) cos q r ODsen ( Qz Qz) sen Consierano que: sen cos χχ (proucto e iferenciales) x Qz x Qz (I) b) Proectano en irección e x: x ( x x) cos( ) ( ) sen( ) ( Qz Qz) [ cos( ) ] q ODcos φ x x (II) c) Sumatoria e fuerzas sobre : Qz q Qz Qz Qz q (III) Derivano la ecuación (I) respecto e φ, reemplazano (II) (III), resulta: x Qz Despejano reemplazano: q (IV) Página 9 e

21 Vigas e je Curvo structuras II 3.4) NÁLISIS D LS DFOCIONS: 3.4.) Nuevamente se hace uso el Teorema e Castigliano, que ice: la erivaa e la energía interna e eformación () con respecto a una carga P i a como resultao el esplazamiento el punto e aplicación e la carga, en la irección e la carga. δ i P i Tenieno en cuenta los esfuerzos que pueen actuar, la energía interna estará compuesta por un término ebio al corte (Qz), otro ebio al momento torsor (x) un tercer término ebio al momento flector (). ) Qz χ s G ( ) Qz χ: coeficiente e forma que epene e la sección: -sección rectangular: χ. -sección tipo oble T: rea χ ht alma -sección tipo anular: χ (t alma espesor alma) ) J ( ) s x 3) ( x) s one: CG Jp rigiez torsional C Qz x χ s s G C s J n general la influencia e la eformación por corte puee espreciarse frente a las otras. 3.4.) s aplicable también para el cálculo e eformaciones, el Principio e Trabajos Virtuales: x x QzQz δ s s s J χ C G n one las integrales eben resolverse con la le e variación e los esfuerzos. Página e

22 Vigas e je Curvo structuras II nexo : Cálculo e solicitaciones por ecuaciones iferenciales: (cargas en el plano e la viga) Para hacer el análisis aislamos un elemento e viga e raio longitu s con un ángulo le colocamos a este elemento, aemás e las cargas externas, las acciones que le transmite el resto e la viga para que no se alteren las coniciones e equilibrio hacemos un planteo e las ecuaciones. o Nx Nx z z / s z Nx p q son cargas exteriores por unia e longitu, actuantes en el tramo e longitu s. P tiene irección raial, como si fuera una presión q tiene irección angular. Q Q P q Q ) Proección e fuerzas según la bisectriz e : p Q cos ( Q Q) cos N sen ( N N) sen p φ Q N φ () ) Proección e fuerzas según la normal a icha bisectriz: q Q sen ( Q Q) sen N cos ( N N) cos q Q N () 3) Sumatoria e los momentos respecto e O: ( ) ( ) q N N N z z z q N z (3) eorenano las ecuaciones, 3, se obtiene el siguiente grupo e tres ecuaciones: Página e

23 Vigas e je Curvo structuras II Q N p (I) φ N Q q (II) φ z N q ( III) Despejano (II) reemplazano en (III): z q Q q De one se obtiene: ( ) z Q (IV) Tenieno en cuenta que s resulta la misma relación entre el momento flector el corte (recorar Q x ) que en vigas e eje recto. sto permite, entre otras cosas, el control el iagrama e momentos (penientes) con el valor el corte. Si se eriva la ecuación (I) respecto e φ, se obtiene: Q N p De la ecuación (II) se tenía: N q Q Q p Q q (V) Si ahora se eriva (IV) respecto e φ os veces: z Q 3 z Q 3 eemplazano en la (V) 3 z z p q 3 (VI) Que nos a las relaciones e los esfuerzos característicos entre ellos con las cargas externas. Página e