INTRODUCCIÓN A LAS PROGRESIONES

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN A LAS PROGRESIONES En las Lecciones a 5.1.3, los alumnos investigaron patrones que crecen multiplicando en situaciones cotidianas. Investigaron estas situaciones utilizando tablas y gráficos. Estas situaciones se pueden modelar utilizando funciones exponenciales. Si la función aumenta, representa un crecimiento exponencial. Si la función decrece, representa un decaimiento exponencial. Los gráficos de estas funciones son curvos y tienen una asíntota horizontal (una recta a la que se aproxima el gráfico de una curva). Ejemplo 1 Tres amigos deciden lanzar una carta en cadena. Cada uno de ellos enviará la carta a otros cuatro amigos. Los que reciban la carta continuarán la cadena. Crea una tabla y grafica para modelar el número de cartas que se envían en cada ronda. Supón que cada uno mantiene el mismo cronograma de envío de cartas, de modo que todas las cartas de cada ronda se envían al mismo tiempo. Esta situación presupone un crecimiento o decaimiento exponencial? En qué ronda se enviarán más de 10,000 cartas? Solución: Si tres amigos (ronda 0) envían cuatro cartas cada uno, se enviarán doce cartas (ronda 1). Si doce amigos envían cuatro cartas cada uno, se enviarán 48 cartas (ronda 2). El patrón es de multiplicación por 4. Esto se puede modelar utilizando la tabla y el gráfico que se muestra a la derecha. ronda nro. nro. de cartas nro. de cartas Esta situación supone un crecimiento exponencial, porque la cantidad de cartas aumenta a medida que incrementa el número de rondas Si continuáramos la tabla, en la ronda 6 se enviarían 12,288 cartas, de modo que en la ronda 6 se enviarían más de 10,000 cartas ronda nro. 56

2 Capítulo 5 Ejemplo 2 Bryson heredó $1,000,000. Quiere que dure el mayor tiempo posible, y por ello decide que solo gastará el 25% del monto restante por año. Crea una tabla y un gráfico para modelar la cantidad de dinero que le quedará a Bryson luego de transcurrir cada año. Esta situación presupone un crecimiento o decaimiento exponencial? Cuándo le quedarán menos de $1000 para gastar? Solución: Bryson guarda 75% (100% 25%) del monto restante todos los años, entonces 0.75 se puede utilizar como multiplicador para determinar cuánto le quedará una vez transcurrido cada año. Esta situación representa un decaimiento exponencial porque la cantidad de dinero disminuye a medida que se incrementa la cantidad de tiempo. año dinero ($) 0 1,000, , , , , ,304 Si continúa la tabla, Bryson tendrá menos de $1000 tras 25 años. dinero ($) año Problemas Completa las siguientes tablas. Cuál es el multiplicador? Luego decide si la tabla representa crecimiento o decaimiento exponencial. 1. x y 2. x y x y Crea una tabla y un gráfico para modelar las siguientes situaciones. Cada situación representa crecimiento o decaimiento exponencial? 4. Una especie de peces no nativos están dominando un lago en Florida. Cada pareja de peces crea 30 nuevos peces por año. Los científicos estiman que actualmente hay 50 peces no nativos en el lago. Crea una tabla y un gráfico para modelar esta situación. Cuánto tiempo pasará antes de que la población de peces no nativos exceda 1,000,000? 5. Los investigadores estuvieron probando un nuevo antibiótico en una cierta bacteria. Comenzaron con 45,000 bacterias. Después de un tratamiento con antibióticos, quedaban 40,500 bacterias. Después del segundo tratamiento, quedaban 36,450 bacterias. Crea una tabla y un gráfico para modelar esta situación. Cuántos tratamientos con antibióticos serán necesarios para matar al menos la mitad de las bacterias? Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. 57

3 Respuestas 1. x y 2. X Y multiplicador: 0.1, multiplicador: 5.4, multiplicador: 3.5, decaimiento crecimiento crecimiento 4. Ver la tabla y el gráfico de la derecha. X y La población de peces no nativos excederá 1,000,000 entre de 3 y 4 años contados desde ahora. año cantidad de peces , , ,531, ,968,750 cantidad de peces año 5. Ver tabla y gráfico de la derecha. Llevará 7 rondas de antibióticos tener menos de la cantidad original de 45,000 bacterias (22,500). ronda nro. cantidad de bacterias 0 45, , , , , ,572 cantidad de bacterias ronda nro. 58

4 Capítulo 5 ECUACIONES DE PROGRESIONES En estas lecciones, los alumnos aprenderán múltiples representaciones de progresiones: listas de números, tablas, gráficos, y ecuaciones. Puedes leer más sobre la escritura de ecuaciones de progresiones en el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección En una progresión aritmética, los términos de la progresión se generan agregando (o sustrayendo) un valor constante al término anterior. En una progresión geométrica, los términos de la progresión se generan multiplicando (o dividiendo) un valor constante por el término anterior. Además de las maneras de escribir ecuaciones explícitas para las progresiones, las ecuaciones de progresiones también se pueden escribir en forma recurrente. Una fórmula explícita nos dice exactamente cómo hallar un término específico en una progresión. Una fórmula de recurrencia nombra el primer término (o cualquier otro) e indica cómo llegar de un término al siguiente. Para una explicación de progresiones de recurrencia, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Ejemplo 1 Analiza las siguientes dos progresiones: A: 8, 5, 2, 1, B: 256, 128, 64, a. Analiza cada una de las progresiones: Es aritmética, geométrica o ambas? Cómo lo sabes? Ofrece una explicación completa. b. Cuál es el término cero y el generador de cada progresión? Para determinar el tipo de progresión de A y B, debemos analizar su patrón de crecimiento. A: 8, 5, 2, 1, \ / \ / \ / La progresión A se forma (genera) agregando tres a cada término para obtener el siguiente. Cuando cada término tiene una diferencia común (en este caso, +3 ) la progresión es aritmética. Pero la progresión B es distinta. Los términos no tienen una diferencia común. En lugar de ello, estos términos tienen una razón común (multiplicador). Una progresión con una razón común es una progresión geométrica. B: 256, 128, 64, B: 256, 128, 64, \ / \ / \ / \ / i 1 2 i 1 2 El primer término de la progresión A es 8, y tiene un generador o diferencia común de +3. Entonces, el término cero es 11 (porque = 8). En la progresión B, el primer término es 256 con un generador o razón común de 1 2. Entonces, el término cero es 512, porque = 256. Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. 59

5 Ejemplo 2 Peachy Orchard Developers está preparándose para crear una gran subdivisión de hogares unifamiliares. Ya tienen construidas 15 viviendas en el lugar. Peachy Orchard planea construir seis nuevas viviendas por mes. Escribe una progresión de la cantidad de viviendas construidas, y luego escribe la ecuación de la progresión. Describe totalmente un gráfico de la progresión. La progresión es 21, 27, 33, 39,. Observa que todas las progresiones comienzan con el primer término, en este caso, es cuando el número de meses es n = 1. La diferencia común es m = 6, y el término cero es b = 15. La ecuación se puede escribir t(n) = mn + b = 6n Observa que para una progresión, se utiliza t(n) = en lugar de y =. t(n) = indica que la ecuación corresponde a una progresión discreta (puntos separados), a diferencia de una función continua (puntos conectados). Los alumnos comparan las progresiones con las funciones en la Lección La ecuación también se podría escribir de la siguiente manera: a n = 6n +15. A la derecha se muestra el gráfico de la progresión. No hay puntos de corte con el eje x ni con el eje y. No hay ningún punto en (0, 15) porque las progresiones se escriben comenzando con el primer término, donde n = 1. El dominio está conformado por números enteros mayores a uno o iguales a uno. El rango está conformado por los valores y de los puntos que resultan de la ecuación t(n) = 6n + 15 cuando n 1. No hay asíntotas. El gráfico es lineal y se muestra a la derecha. Este gráfico es discreto (puntos separados). (Nota: La función relacionada, y = 6x + 15, tendría un dominio de todos los números reales y el gráfico sería una línea conectada continua). t(n) n Ejemplo 3 (Fórmula explícita) Enumera los primeros cinco términos de la progresión aritmética. t(n) = 5n + 2 t(1) = 5(1) + 2 = 7 t(2) = 5(2) + 2 = 12 t(3) = 5(3) + 2 = 17 t(4) = 5(4) + 2 = 22 t(5) = 5(5) + 2 = 27 La progresión es: 7, 12, 17, 22, 27, 60

6 Capítulo 5 Ejemplo 4 (Fórmula recurrente) Enumera los primeros cinco términos de la progresión aritmética. t(1) = 3 t(n +1) = t(n) 5 t(1) = 3 significa que el primer término es 3. t(1) = 3 Si el término en que estás es t(n), t(1 + 1) o t(2) = t(1) 5 = 3 5 = 2 entonces el término siguiente es t(n + 1). t(2+ 1) o t(3) = t(2) 5 = 2 5 = 7 Por ejemplo, si n = 1, t(n) es t(1), o el primer término. t(3+ 1) o t(4) = t(3) 5 = 7 5 = 12 Luego t(n + 1) es t(1 + 1) o t(2), el segundo término. t(4 + 1) o t(5) = t(4) 5 = 12 5 = 17 La progresión es: 3, 2, 7, 12, 17, Ejemplo 5 Escribe una fórmula explícita y una recurrente para la progresión: 2, 1, 4, 7, Explícita: m = 3, b = 5, de modo que la ecuación es: t(n) = mn + b = 3n 5 Recurrente: t(1) = 2, t(n +1) = t(n) + 3 Problemas Enumera los primeros cinco términos de cada progresión, y luego indica si la progresión es aritmética, geométrica o ninguna de las dos cosas. (Ayuda: reemplaza n por los números 1 a 5 para encontrar los primeros cinco términos de la progresión). 1. t(n) = 5n s(n) = 3 8n 3. u(n) = 9n n 2 4. t(n) = ( 4) n 5. s(n) = ( 4 1 ) n 6. u(n) = n(n + 1) 7. t(n) = 8 8. s(n) = 4 3 n +1 Enumera los primeros cinco términos de cada progresión aritmética. Nota: los problemas 9 a 12 se plantean como ecuaciones explícitas, en tanto que los problemas 13 a 16 se plantean como ecuaciones recurrentes. 9. t(n) = 5n t(n) = 3n t(n) = n 12. t(n) = 5 + 3(n 1) 13. t(1) = 5, t(n +1) = t(n) t(1) = 5, t(n +1) = t(n) t(1) = 3, t(n +1) = t(n) t(1) = 1 3, t(a +1) = t(n) Halla el 30 término de las siguientes progresiones aritméticas. 17. t(n) = 5n t(n) = n 19. t(31) = 53, d = t(29) = 25, t(n +1) = t(n) 3 Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. 61

7 Para cada progresión aritmética, escribe una fórmula explícita y una fórmula recurrente , 8, 12, 16, 20, 22. 2, 5, 12, 19, 26, , 15, 3, 9, 21, 24. 3, 3 1 3, 3 2 3, 4, 4 1 3,... Nota: las progresiones se grafican utilizando puntos de la forma: (número de término, valor del término). Por ejemplo, la progresión 4, 9, 16, 25, 36, se graficaría con los puntos (1, 4), (2, 9), (3, 16), (4, 25), (5, 36),. Las progresiones se grafican como puntos y no están conectadas. 25. Grafica las progresiones de los problemas 1 y 2 y determina la pendiente de cada recta que contendría los puntos. 26. Cómo se relaciona con la progresión la pendiente de la recta que hallaste en el problema anterior? Grafica las dos progresiones a continuación sobre los mismos ejes. 27. t(n) = 6n , 4, 16, 64, 29. Describe completamente el gráfico de la progresión t(n) = 4n Halla los términos faltantes para esta progresión aritmética y una ecuación para t(n)., 15, 11,, Para esta progresión, cada término es 1 5 del anterior. Trabaja hacia adelante y hacia atrás para encontrar los términos faltantes.,, 2 3,, 32. El 30 º término de una progresión es 42. Si cada término de la progresión es cuatro veces mayor que el número anterior, cuál es el primer término? 33. La longitud microscópica de una estructura cristalina crece de modo que cada día tiene una longitud equivalente a de la longitud del día anterior. Si la longitud en el tercer día fue 12.5 nm, escribe una progresión que indique la longitud en los primeros cinco días. (nm significa nanómetro, o metros). 34. A Davis le encantan los minicarros del parque de diversiones, pero no permiten el ingreso de personas de más de 125 cm de altura. Si él mide 94 cm en su cumpleaños nro. 4 y crece aproximadamente 5.5 cm por año, a qué edad ya no podrá conducir los carros? 35. Davis tiene $5.40 en su cuenta bancaria en su cumpleaños nro. 4. Si sus padres agregan $0.40 a su cuenta todas las semanas, cuándo tendrá suficiente dinero para comprarse el nuevo set de carros de carreras Derby que cuesta $24.99? 62

8 Capítulo 5 Respuestas 1. 7, 12, 17, 22, 27, aritmética, la diferencia común es , 13, 21, 29, 37, aritmética, la diferencia común es , 14, 18, 20, 20, ninguna 4. 4, 16, 64, 256, 1024, geométrica, la razón común es , 1 16, 1 64, 1 256, , geométrica, la razón común es , 6, 12, 20, 30, ninguna 7. 8, 8, 8, 8, 8, aritmética y geométrica, la diferencia común es 0, la razón común es , 5 2, 13 4,4, 19 4, aritmética, la diferencia común es , 8, 13, 18, , 1, 4, 7, , 14, , 13, , 8, 11, 14, , 8, 11, 14, , 2, 1, 4, , 3, 9, 15, , 5 6, 1 1 3, 1 5 6, explícita: t(n) = 4n 22. explícita: t(n) = 7n 9 recurrente: t(1) = 4, t(n +1) = t(n) + 4 recurrente: t(1) = 2, t(n + 1) = t(n) explícita: t(n) = 12n explícita: t(n) = 1 3 n recurrente: t(1) = 27, t(n + 1) = t(n) 12 recurrente: t(1) = 3, t(n +1) = t(n) gráfico (1): puntos (1, 3), (2, 8), (3, 13), (4, 18), (5, 23) pendiente = 5 gráfico (2): puntos (1, 5), (2, 13), (3, 21), (4, 29), (5, 37) pendiente = La pendiente de la línea que contiene los puntos es la misma que la diferencia común de la progresión. 27. Observa los puntos sólidos del gráfico de la derecha. 28. Observa los círculos abiertos del gráfico a la derecha. 29. Esta es una función, representa una progresión aritmética, el gráfico es discreto pero los puntos son lineales. El dominio es de enteros positivos: 1, 2, 3,. El rango es la progresión misma: 14, 10, 6, 2, 2,. No hay asíntotas y 8; t(n) = 23 4n , 10 3, 2 3, 2 15, (4) = , 12.44, 12.5, 12.56, 12.63, 34. t(n) = 5.5n + 94, resuelve 5.5n n A = 9.64 será demasiado alto. Davis puede seguir disfrutando del juego hasta que tenga aproximadamente años. 35. t(n) = 0.4n + 5.4, resuelve 0.4n n = En 49 semanas tendrá $25. Si debe pagar el impuesto, necesitará otras tres o cuatro semanas. Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. 63 t(n) n

9 PATRONES DE CRECIMIENTO EN TABLAS Y GRÁFICOS Para determinar si una progresión tiene un patrón de crecimiento lineal, exponencial, o de otro tipo, observa las diferencias de los valores t(n) entre los sucesivos valores de n. Si la diferencia es constante, la progresión tiene un patrón de crecimiento lineal. Si la diferencia no es constante, analiza el patrón de los valores t(n). Se puede utilizar un multiplicador constante para moverse de un valor t(n) al siguiente, eso quiere decir que la progresión tiene un patrón de crecimiento exponencial. Ejemplos Utiliza cada una de las siguientes tablas para identificar el patrón de crecimiento como lineal, exponencial, o de otro tipo. Ejemplo 1 6 t(n) La diferencia entre los valores de t(n) es siempre un 2 constante. El patrón de crecimiento es lineal. Ejemplo 2 6 t(n) La primera diferencia en los valores de t(n) no es constante, y no hay un multiplicador constante al pasar de un valor de t(n) al siguiente. El patrón de crecimiento no es lineal ni exponencial. Ejemplo 3 6 t(n) Los valores de t(n) tienen un multiplicador constante de 2. (Además, las diferencias en los valores de t(n) tienen un multiplicador constante de 2). El patrón de crecimiento es exponencial. 64

10 Capítulo 5 Problemas Identifica si el patrón de crecimiento es lineal, exponencial, o de otro tipo t(n) t(n) t(n) t(n) t(n) t(n) t(n) t(n) t(n) t(n) t(n) t(n) t(n) t(n) t(n) t(n) Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. 65

11 Respuestas 1. lineal 2. exponencial 3. ninguno 4. lineal 5. lineal 6. ninguno 7. exponencial 8. exponencial 9. ninguno 10. lineal 11. exponencial 12. ninguno 13. ninguno 14. ninguno 15. ninguno 16. exponencial 66

12 Capítulo 5 ESCRIBIR ECUACIONES DE PROGRESIONES GEOMÉTRICAS En esta lección, los alumnos determinan el multiplicador en una situación y lo utilizan para escribir la ecuación de una progresión geométrica. Aprende más acerca de cómo escribir ecuaciones de progresiones en el recuadro del Apunte de matemáticas de la Lección Además de las distintas formas de escribir ecuaciones explícitas de progresiones, las ecuaciones de progresiones también se pueden escribir en forma recurrente. Una fórmula explícita te dice exactamente cómo hallar un término específico de la progresión, en tanto que una fórmula recurrente indica el primer término (o cualquier otro) y cómo llegar de un término al siguiente. Para una explicación de progresiones recurrentes, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Ejemplo 1 Determina el multiplicador en las siguientes situaciones. a. Un incremento del 64%. b. Una disminución del 34%. Solución: En el punto (a), el monto con el que comiences es el 100%. Como se trata de un incremento, sumamos 100% + 64% = 164%, lo que da un multiplicador de En el punto (b), el monto con el que comiences es el 100%. Como se trata de una disminución, restamos 100% 34% = 66%, lo que da un multiplicador de Enumera los cinco primeros términos de cada progresión geométrica. Ejemplo 2 (Fórmula explícita) t(n) = 3 2 n 1 t(1) = = = 3 t(2) = = = 6 t(3) = = = 12 t(4) = = = 24 t(5) = = = 48 La progresión es: 3, 6, 12, 24, 48, Ejemplo 3 (Fórmula recurrente) t(1) = 8, t(n +1) = t(n) 1 2 t(1) = 8 t(2) = t(1) 1 2 = = 4 t(3) = t(2) 1 2 = = 2 t(4) = t(3) 1 2 = = 1 t(5) = t(4) 1 2 = = 1 2 La progresión es: 8, 4, 2, 1, 1 2, Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. 67

13 Ejemplo 4 Escribe una fórmula explícita y una fórmula recurrente para la progresión geométrica: 81, 27, 9, 3, Explícita: t(1) = 81, b = 1 3 entonces a (el término cero) se encuentra por a = = 243 y la respuesta es: t(n) = a b n = ( ) n, o, alternativamente, a n = n. Recursiva: t(1) = 81, t(n +1) = t(n) 1 3 Ejemplo 5 Cuando Rosa se tropezó y se cayó en un charco con lodo durante el almuerzo ( se avergonzó mucho!), sabía exactamente lo que sucedería: en 10 minutos, las dos niñas que la vieron le contarían a otras cuatro personas cada una de su caída. Una vez transcurridos otros 10 minutos, esos ocho alumnos les habrán contado a cuatro personas más cada uno. Rosa sabía que esto continuaría hasta que todos en la escuela se hubieran enterado de su experiencia lodosa. Escribe una progresión con la cantidad de personas que sabían del accidente de Rosa en intervalos de diez minutos, y luego escribe una ecuación para la progresión. Describe complemente un gráfico de la progresión. El multiplicador es b = 4, y el término cero es a = 2. La ecuación se puede escribir como t(n) = ab n = 2 4 n. La ecuación también debería poder escribirse como a n = 2 4 n. La progresión es: 8, 32, 128, 512,. Nota que la progresión se escribe empezando por n = 1. El gráfico de la progresión está a la derecha. No hay puntos de corte con el eje x ni con el eje y. No hay punto en (0, 2) porque las progresiones se escriben comenzando con el primer término, donde n = 1. El dominio está formado por enteros mayores a 1 o iguales a 1. El rango está conformado por los valores de y de los puntos que siguen la regla t(n) = 2(4) n cuando n 1. El gráfico es exponencial y se muestra a la derecha. No hay simetría. Este gráfico es discreto (puntos separados). (Nota: la función relacionada, y = 2 4 n tendría un dominio conformado por todos los números reales y el gráfico sería una curva conectada). t(n) n 68

14 Capítulo 5 Problemas Determina el multiplicador en las siguientes situaciones. 1. Un incremento del 44%. 2. Una disminución del 93%. 3. Un incremento de 32%. 4. Una disminución del 60%. Enumera los primeros cinco términos de cada progresión geométrica. 5. t(n) = 5 2 n 6. t(n) = 3 3 n 7. t n = 40 ( 1 2 ) n 1 8. t(n) = 6 ( 1 2 ) n 1 9. t(1) = 5, t(n +1) = t(n) t(1) = 100, t(n +1) = t(n) t(1) = 3, t(n +1) = t(n) ( 2) 12. t(1) = 1 3, t(n +1) = t(n) 1 2 Si r es la razón común (multiplicador), halla el 15 o término de cada progresión geométrica. 13. t(14) = 232, r = t(16) = 32, r = t(14) = 9, r = t(16) = 9, r = 2 3 Escribe una ecuación explícita y una ecuación recurrente para las siguientes progresiones geométricas , 10, 50, 250, 1250, , 4, 1, 1 4, 1 16, 19. 5, 15, 45, 135, 405, 20. 3, 6, 12, 24, 48, 21. Cada año desde 1548, la altura promedio de un ser humano macho se ha incrementado levemente. La nueva altura es % de lo que era el año pasado. Si la altura promedio de un hombre era 54 pulgadas en 1548, cuál era la altura promedio de un hombre en 2008? Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. 69

15 Respuestas , 20, 40, 80, , 27, 81, 243, , 20, 10, 5, , 3, 3 2, 3 4, , 15, 45, 135, , 50, 25, 25 2, , 12, 24, , 1 6, 1 12, 1 24, explícita: t(n) = 2 5 5n explícita: t(n) = 64 4 recurrente: t(1) = 2, t(n +1) = t(n) 5 recurrente: t(1) = 16, t(n + 1) = t(n) explícita: t(n) = 5 3 3n 20. explícita: t(n) = 3 2 ( 2)n recurrente: t(1) = 5, t(n +1) = t(n) 3 recurrente: t(1) = 3, t(n + 1) = t(n) ( 2) 21. En 2008, 54(1.0005) pulgadas. ( ) n 70