θ cantidad de movimiento, la ligadura tiene que empujar hacia abajo. Como no es posible, el disco salta hacia arriba y así compensa la cantidad

Transcripción

1 Capítulo 7 ercusiones Ejercicio 7..3: La figura muestra un sistema compuesto por un disco homogéneo de masa m radio a una varilla AB de longitud a masa m articulada sin rozamiento en el etremo A, en un punto de la periferia del disco. El disco no desliza sobre la línea en que se apoa. Inicialmente el sistema está en reposo se le aplica una percusión al disco tal como indica la figura. Obtener el estado cinemático del sistema justo después de aplicar la percusión el valor de las percusiones de ligadura. A B El disco está apoado sobre la recta: ligadura unilateral. Tenemos que ver si la percusión de ligadura que aparece en el apoo es compatible o no. Si es compatible, el disco rueda después de la percusión. Si no, la ligadura no actúa el disco se levanta. Otro camino es resolverlo sin la ligadura, si el movimiento resultante no lo permite la ligadura, es que sí actúa ha que resolverlo de nuevo. Este caso puede corresponder a una rueda dentada sobre una cremallera. No puede deslizar, lo impiden los dientes del engranaje, pero sí puede levantarse. Intuitivamente se ve que se va a levantar: al rodar hacia la ẋ derecha, el disco empuja hacia abajo la varilla. ara que se conserve la θ cantidad de movimiento, la ligadura tiene que empujar hacia abajo. Como no es posible, el disco salta hacia arriba así compensa la cantidad de movimiento hacia abajo de la varilla. De todos modos, resolveremos I primero el caso con la ligadura activa. ϕ No se levanta - Newtoniana Tenemos dos sólidos planos, con cuatro ligaduras ( finitas de la articulación en A dos cinemáticas integrables de la rodadura sin deslizamiento sobre la recta rugosa). Ha varias posibilidades: Aislar los dos sólidos aplicarle cada uno las ecuaciones de cantidad de movimiento () de momento cinético (): así se obtienen las velocidades después de la percusión todas las percusiones de ligadura, internas eternas. Aplicarles las ecuaciones al sistema completo a uno de los sólidos, por ejemplo la varilla; equivalente al anterior pero quizá algo más complicado. Buscar dos ecuaciones correspondientes a los grados de libertad, por ejemplo, la de momento cinético del sistema en I (desaparecen las percusiones de ligadura eteriores) la del momento cinético de la varilla en A (desaparecen las percusiones internas) Como nos interesa el valor de la percusión de ligadura en I, escogemos el primer camino. Llamando (,a) a las coordenadas del centro del disco C, θ k a la velocidad angular del disco, la ligadura de rodadura sin deslizamiento implica v I = = v C + ω D IC = ( ẋ a θ ) i = ẋ = a θ 89

2 ara aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento a la varilla tenemos que calcular la velocidad de A la de G. Llamando ϕ k a la velocidad angular de la varilla: v A = v C + ω D CA = a θ i a θ j v G = v A + ω V AG = ( a θ a ϕ ) i a θ j Aparecerán dos percusiones de ligadura eteriores en I (una por cada dirección de movimiento impedida) dos interiores, de acción reacción, en la articulación A. La cantidad de movimiento el momento cinético antes de la percusión son nulos, porque el sistema está en reposo. Las ecuaciones a aplicar son: F L + = mv d G mva G ML O + M O = Hd O Ha O que en este caso adoptan la forma: θ ẋ R R R +Q R = ma θ d ( R = ma θ d ϕ d) Q R = R = ma θ d Q Q a(r Q ) = ma θ d R a = ϕ m4a ϕ d Todas las ecuaciones están aplicadas en la posición inicial, sin mover las coordenadas. or la ligadura unilateral, tendrá que ser Q : el suelo sólo puede dar percusiones hacia arriba. Entre la segunda la quinta se obtiene Q = R = ma θ d, que es obvio que va a ser negativa. Entre la cuarta la seta sale 3 θ d = 4 ϕ d ; sustituendo R Q en la primera, se obtiene = 4 ma θ d >, con lo que, efectivamente, Q <. Esto no es posible: el disco se levanta. Ha que repetir el problema sin la ligadura. Se levanta - Newtoniana Si el disco puede levantarse, ha que liberar la ligadura vertical (quitar la percusión de ligadura devolver el grado de libertad), modificar las velocidades: R v C = a θ i+ẏj v G = ( a θ a ϕ ) i+ ( ẏ a θ ) j Las nuevas ecuaciones serán: +Q R = ma θ d ( R = ma θ d ϕ d) R = m (ẏ d a θ d) ẏ ẋ R R R R = mẏ d θ R a(r Q ) = ma θ d ar = m4a ϕ d Q ϕ Entre la 4 la 6, Entre la la 5, ẏ d = m ( 3 ma ϕd = ma θ d ϕ d) ϕ d = 3 4 θ d ( ẏ d a θ d) ẏ d = a θ d R = m a θ d Con esto, de la 3 a se obtiene Q = am θ d ; sustituendo esto la R en la a, ma θ d 4 ma θ d = ma θ d θ d = 4 9ma Las percusiones de ligadura serán, ϕ d = 3ma ẏ d = 9m Q = 4 9 R = 9 9 R = 9m

3 Se levanta - Analítica - holónomo Este ejercicio se puede resolver por mecánica analítica, considerando el sistema como holónomo. La ligadura se integra, de modo que las coordenadas independientes serán, θ ϕ. La dificultad está en que por ese camino no aparecerán las percusiones de ligadura, ni la eteriores Q ni las interiores R, R. rimero calcularemos la energía cinética. El potencial no es necesario, porque las fuerzas acotadas no intervienen: T D = m( a θ + ẏ ) + ma θ T V = [ (a m θ a ϕ ) (ẏ + a θ ) ] + m4a ϕ T = 3 ma ϕ ma ϕ θ + mẏ maẏ θ ma θ También ha que calcular las fuerzas generalizadas de la percusión. El punto de aplicación, F, tiene una velocidad: v F = v c + ω D CG = a θ i+(ẏ+a θ)j δr F = (ai+aj)δθ + jδ δw = δr F = aδθ Q θ = a; Q ϕ = Q = Las ecuaciones de Lagrange impulsivas para un sistema holónomo son T q j d T q j a = Q j El término que se evalúa antes de la percusión va a ser nulo, porque el sistema está inicialmente en reposo. Las ecuaciones van a ser: ) mẏ d ma θ d = θ) ma ϕ d maẏ d + 7 ma θ d = a F θ ẏ a θ ϕ) 4 3 ma ϕ d ma θ d = ϕ El sistema se resuelve trivialmente: de la primera se despeja ẏ d, de la tercera ϕ d, se sustituen en la segunda, se calcula θ d. Las soluciones, naturalmente, son las mismas que por newtoniana: θ d = 4 ϕ d = ẏ d = 9ma 3ma 9m Las percusiones de ligadura no se pueden obtener por este camino. Habría que liberar todas las ligaduras en la energía cinética e introducirlas como cinemáticas no integrables; así se pueden calcular las µ k. Se levanta - Analítica - multiplicadores Consideraremos el sistema formado por dos sólidos libres, con tres fuerzas aplicadas en vez de las ligaduras. Como coordenadas generalizadas se tomarán la,,θ del disco, las coordenadas ξ,η del punto A de la varilla, el ángulo ϕ. Así, las velocidades de los puntos afectados por las ligaduras son: v I D = (ẋ a θ)i v A D = ẋi+(ẏ a θ)j v A V = ξ i+ η j Se podrían haber tomado las coordenadas del centro de masas, con lo que la T quedaría más simple, pero así se ve mejor el sentido de la ecuación de ligadura de las fuerzas de ligadura. 9

4 La energía cinética del sistema será: T D = m( ẋ + ẏ ] + ma θ T V = [ ( ) ] m ξ a ϕ + η + m4a ϕ T = mẋ + mẏ + ma θ + m ξ 4 + m η ma ξ ϕ + ma ϕ 3 Las ligaduras finitas se derivan para dejarlas como cinemáticas. La velocidad horizontal de I es cero, la velocidad de A del disco es la misma que la de A de la varilla: θ ẏ ẋ F D L F D L F 3D L g i v I = ẋ a θ = F D L = µ i g i vv A i va D = ξ ẋ = F V L = µ i; F D L = µ i g 3 j vv A j va D = η ẏ+a θ = F 3V L = µ 3 j; F 3D L = µ 3 j Nótese que tanto la energía cinética como las ligaduras se han calculado en la posición inicial θ = ϕ =, no en una genérica, que sería mucho más complejo. Esto no va a afectar a las derivadas parciales de las ecuaciones de Lagrange, pues sólo derivamos respecto a las velocidades generalizadas (que sí aparecen todas), no respecto a las coordenadas. Como al final se va a particularizar para el instante inicial, podemos calcularlo todo desde el principio con esos valores de las coordenadas. Las fuerzas generalizadas de la percusión se calculan como en el caso holónomo, pero con los nuevos grados de libertad: v F = v c + ω D CG = ẋi+(ẏ+a θ)j δr F = iδ+jδ+ajδθ F 3V L δw = δr F = δ Q = ;Q = Q θ = = Las ecuaciones de movimientos impulsivos por multiplicadores de Lagrange serán T d q j T a q j = Q g j + µ k C k j k= En este caso, ) mẋ d = +µ µ + ) mẏ d = + + µ 3 ma θ d θ) = aµ + +aµ 3 ξ) m ξ ma ϕ d = + +µ + η) m η d = + + +µ 3 ϕ) ma ξ d + 4ma ϕ d = junto con las ecuaciones de las ligaduras, que también tienen que cumplirse en el movimiento inmediatamente después de la percusión: ẋ d a θ d = ξ d ẋ d = η d ẏ d + a θ d = Si se sustituen las ligaduras en las ecuaciones de Lagrange, dejando sólo, θ ϕ como independientes, se llega a ma θ d = +µ µ + ma θ ma ϕ d = µ mẏ d = µ 3 mẏ d ma θ = µ 3 ma θ d = aµ + aµ 3 ma θ d + 4ma ϕ d = 3 9 η ϕ ξ F V L

5 Son eactamente las mismas que por newtoniana, donde se llamó Q, R R a las percusiones de ligadura que aquí aparecen como µ, µ µ 3. 93

6 Ejercicio 7..4: Un disco que se mantiene siempre en un plano vertical va rodando deslizando sobre una recta horizontal lisa la cual a partir de una posición se vuelve rugosa tal como muestra la figura. Discutir, según que el coeficiente de rozamiento sea finito o infinito según los valores de ω V, si aparecen percusiones en el instante en que el disco llegue a la parte rugosa. Liso ω v Rugoso Rozamiento finito f : al empezar a rodar por la zona rugosa aparece una fuerza de rozamiento que valdrá No desliza: R f N ; Desliza: R = f N VI v I Obviamente es una fuerza acotada, del mismo orden que las fuerzas características del movimiento (peso, N), que actúa si ha deslizamiento lo va frenando hasta que desaparezca; no aparece percusión (fuerza mu grande que actúa durante un tiempo mu corto, en comparación con los valores característicos del movimiento). Rozamiento infinito f = : propiamente, no puede haber rozamiento infinito. Es una manera de decir que no ha deslizamiento. Sobre la zona rugosa, el disco rodaría sin deslizar. Esto pasa, por ejemplo, cuando un piñón rueda sobre una superficie lisa de pronto engrana en una cremallera. Se introduce bruscamente la ligadura de rodadura sin deslizamiento. El primer choque entre los dientes del engranaje frena bruscamente la velocidad de deslizamiento. Llamando a la coordenada en la dirección de v θ al ángulo girado por el disco en la dirección de ω de la figura, la ecuación de la ligadura brusca de no deslizamiento será v I = (ẋ R θ)i = ẋ = R θ En el punto de contacto I aparecerá una percusión de ligadura i al empezar a rodar por la zona rugosa (o en el diente primero que engrane). En ese punto a ha una fuerza normal de ligadura, que equilibra al peso. Supondremos que da percusión también, j, aunque a veremos que va ser nula, porque el disco sigue rodando sobre la recta (hacemos esta hipótesis para que el ejercicio no se complique: en realidad, habría salto o percusión vertical si el plano de contacto entre los dos primeros dientes no es eactamente vertical). Las ecuaciones impulsivas para el disco serán: ω v CM: MC: { mẋ d mv = = mr θ d + mr ω = R De este sistema se obtiene ẋ d = R θ d = v+ωr 3 = m ωr v 3 = Obsérvese que, en el momento del choque, el punto de contacto tiene una velocidad v ωr. La percusión en la ligadura tiene el signo opuesto: frenar bruscamente esa velocidad de deslizamiento. Tendremos tres casos según los valores relativos de v ω: Rω < v Rω = v Rω > v v v v = 94

7 3 Solución por mecánica analítica La ligadura que aparece, aunque sea integrable, la dejamos como cinemática: g A I v I = i v I = ẋ R θ = I L = µ i ; C = C θ = R La energía cinética del disco es T = mẋ + 4 mr θ Las ecuaciones de movimientos impulsivos por multiplicadores de Lagrange serán T q j d T q j a = Q j + g k= µ k C k j En este caso ha dos coordenadas generalizadas, no ha percusiones aplicadas se introduce una ligadura, ) mẋ d mv = +µ θ) mr θ d mr ω = R µ ẋ d R θ d = Son las mismas ecuaciones que por newtoniana, salvo que la percusión de ligadura aquí se ha llamado µ en vez de. La solución, naturalmente, es la misma. 95

8 Ejercicio 7..5: El sistema de la figura está constituido por las varillas AB BC articuladas en el punto B, ambas de masa m longitud a. El etremo A de la varilla AB es fijo el sistema se encuentra sobre un plano horizontal liso. Inicialmente el sistema está en reposo tal como se indica en la figura se le aplica una percusión en el punto C, formando un ángulo de 45 o con la varilla BC. Determinar las velocidades angulares de las varillas justo después de aplicar la percusión. A C 45 o B Mecánica Newtoniana: Sólo se piden las velocidades, no las percusiones de ligadura: compensa buscar ecuaciones libres de fuerzas de ligadura. Las dos varillas tienen articulaciones en las que aparecerán percusiones de ligadura, por lo que las ecuaciones de la cantidad de movimiento no nos sirven. Se puede usar la de momento cinético de todo el sistema en A, la de momento cinético de la varilla BC en B. Además, la percusión no da momento en A porque su línea de acción pasa por el origen. ara calcular el momento cinético necesitamos la velocidad del CDM de la segunda varilla. Trabajando directamente en la posición inicial, se tiene v G = v B + ω BC BG = a ϕ j a θ i El momento cinético de la primera varilla lo calculamos como un sólido con punto fijo; para la otra, que no tiene ningún punto fijo, aplicamos Koenig: ϕ θ H AB A {}}{ 3 ma ϕ d + AG mv G {}}{ ma ϕ d + ma 4 θ d + H BC G {}}{ ma θ d = Aislando la segunda varilla, tomamos momento en B: m a 4 θ d + ma θ d = a Aunque B es un punto móvil, podemos aplicar las ecuaciones impulsivas del momento cinético, porque usamos las velocidades absolutas, entonces el término corrector no da percusión. Al ver el resultado, puede dar la impresión de que H BC B es el de un sólido con punto fijo: no es así, porque el punto B se mueve; pero la aportación de esa velocidad al momento cinético resulta ser nula para esa posición de la varilla. La segunda ecuación da directamente θ d, sustituendo en la primera se obtiene ϕ d : θ d = 3 ma ϕ d = 3 8ma Mecánica analítica: Como sólo se piden las velocidades, podemos resolverlo también por mecánica analítica como sistema holónomo. La energía cinética, en la posición inicial, es: T = 6 ma ϕ + ma( ϕ + θ /4 ) + 4 ma θ = 3 ma ϕ + 6 ma θ 96

9 ara calcular las fuerzas generalizadas de la percusión, tenemos que hallar δr C. Con un poco de eperiencia, se puede ver directamente que, al dar un DVCL δϕ, C se mueve aδϕ j; al dar un DVCL δθ, C se mueve aδθ i. Con esto se pueden a calcular la Q ϕ Q θ. aδϕ δϕ aδθ δθ Si se quiere hacer con detalle, ha que calcular r C en una posición genérica, diferenciarlo: { } { } r C cosϕ sinθ (ϕ,θ) = a + a δr sinϕ cosθ c n r = C δq j j= q j { } { } { { } δr C sinϕ cosθ = a δϕ + a δθ δr cosϕ sinθ C = a δϕ + a δθ } Sustituendo la posición inicial, ϕ = θ =, se obtiene el valor que se adelantó más arriba, δr C = aδϕ j aδθ i. Las fuerzas generalizadas son: Q ϕ = rc ϕ = a Q θ = rc θ = a odemos a plantear las ecuaciones de percusión por analítica 4 3 ma ϕ d = a 6 ma θ d = a Los resultados son, naturalmente, los mismos que por newtoniana. 97

10 Ejercicio 7..6: Sea un proectil M con movimiento horizontal rectilíneo uniforme que tiene una cantidad de movimiento de valor pi. Sea una barra homogénea de masa m longitud L que está articulada en un punto O que inicialmente está en reposo verticalmente. El proectil choca con la barra a una distancia L de la articulación O se queda incrustado en ella. Calcular, suponiendo despreciable la masa del proectil frente a la de la barra: i) incremento de cantidad de movimiento del sistema valor de la percusión de ligadura en O; ii) la velocidad angular que adquiere la barra después del impacto. iii) el ángulo de máima desviación de la barra respecto de la vertical, en el movimiento que sigue al impacto, si solo actúa el peso en dirección j. L L M p O ETSIA, febrero de 994 Los apartados i) e ii) se obtienen de las ecuaciones impulsivas por newtoniana. Tenemos tres ecuaciones: una de momento cinético dos de cantidad de movimiento. Ha tres incógnitas: dos percusiones de ligadura en la articulación, Q Q, la velocidad angular inmediatamente después de la percusión. A la varilla se le pueden aplicar las epresiones del sólido con punto fijo. Tomando como coordenada el ángulo θ de la figura, se tiene: 3 ml θ d = pl θ d = 3pL ml Q Q m L θ d = p+q Q = p 3L L L = +Q Q = La cantidad de movimiento inicial es sólo la del proectil; después, sólo la barra. El incremento es: C = C d C a = m L θ d p = p+q p = Q Después de la percusión, el movimiento del sistema es el de una varilla articulada sometida a su peso. odemos aplicar la ecuación de la energía, T +V = 6 ml θ mg L cosθ = E entre el momento inicial (inmediatamente después de la percusión, varilla vertical) el final (cuando llega al punto más alto con velocidad nula): E = 6 ml ( θ d) mg L = mgl cosθ M cosθ M = L 3g p ( 3pL Si p es suficientemente grande, no ha solución. Esto significa que la varilla llegaría al punto más alto sin pararse: un péndulo en régimen de rotación. Este aparato se denomina péndulo balístico. ermite determinar la cantidad de movimiento de un proectil mediante el desplazamiento de un péndulo de masa mucho maor. Otro aspecto interesante es el centro de percusión: punto en que tiene que dar el proectil para que no aparezcan percusiones de ligadura en la articulación. Se obtiene haciendo Q = L = L cp = L /3. ml ) θ 98

11 Ejercicio 7..7: El sistema de la figura consta de una varilla pesada de longitud a masa m que se encuentra inicialmente en reposo sobre el eje O de un sistema de referencia O, donde O lleva la dirección de la vertical ascendente. En contacto unilateral con la varilla se encuentra, también en reposo, un disco de masa m radio a. El etremo inferior de la varilla puede deslizar libremente sobre la recta O sin separarse de ella tiene contacto liso con el disco. El disco está obligado a rodar sin deslizar sobre O. En el momento inicial se aplica un percusión i en el etremo superior de la varilla. Calcúlese el estado cinemático a la salida de la percusión las percusiones de reacción del sistema. Febrero de 995 Este problema no se puede resolver mediante la mecánica clásica. En el contacto entre varilla sólido aparece una percusión de ligadura, que determina qué parte de transmite la varilla al disco. Según las propiedades elásticas de una otro, los intervalos de tiempo de las dos percusiones, la varilla podría rebotar hacia la izquierda, empujando al disco hacia la derecha; podría quedarse quieta, sólo girando (como las esferas de Newton), mientras casi toda la percusión se transmite al disco; o podrían salir los dos hacia la derecha con velocidades del mismo orden. Y si supiéramos el coeficiente de restitución entre los sólidos, tampoco serviría de nada, pues no es realmente un choque, sino la transmisión de una percusión a través de otro sólido. Como la diferencia de velocidades inicial es nula, en el denominador del coeficiente de restitución aparece un cero que lo hace inútil. Lo único que nos permitiría resolverlo es suponer que entre los sólidos ha un pequeño hueco, de modo que primero se produce la percusión sobre la varilla, después chocan la varilla el disco. ara esto necesitaríamos el coeficiente de restitución, pues se trata propiamente de un choque. También se podría resolver si el enunciado dijera algo sobre el contacto, por ejemplo, que salen con la misma velocidad, porque la ligadura de contacto está activa durante la percusión. Es decir, que el choque es mucho más rápido que la percusión, que mientras dura la percusión la varilla está continuamente empujando al disco, de modo que al acabar tienen la misma velocidad. Son los dos etremos: choque completamente anterior a la percusión, o percusión completamente anterior. Comprobaremos que el problema, en su forma actual, es insoluble. La varilla tiene dos grados de libertad, ẋ ϕ. El disco, ϕ por rodar sin deslizar, sólo uno, θ. Aparecerá una percusión de ligadura vertical R por deslizar el etremos de la varilla por el eje a θ θ ẋ R horizontal, dos en el punto de contacto del disco, Q, Q, un par Q Q de percusiones de acción reacción ±R en el contacto entre los dos R sólidos. En total, siete incógnitas, para seis ecuaciones: R = mẋ d R + Q = ma θ d +R = +Q = a = m4a ϕ d aq = ma θ d Está determinada la velocidad angular de la varilla después de la percusión. ara las velocidades, eliminando la Q la R entre la primera, la cuarta la seta, se llega a: = mẋ d + 3 ma θ d odemos obtener la cantidad de movimiento del sistema más el momento cinético del disco, pero no ha modo de saber cómo se reparte entre los dos sólidos. Harían falta hipótesis adicionales. Una posibilidad es que los dos sólidos se mantengan en contacto durante toda la percusión a la varilla, con lo que a la salida tendrían la misma velocidad, ẋ d = a θ d 99

12 Con esto el problema estaría resuelto. Equivale a decir que la ligadura es persistente, por lo menos hasta afectar a las velocidades de salida de la percusión. O bien, que el choque es tan rápido, que continuamente la varilla está transmitiendo al disco la cantidad de movimiento que recibe de la percusión, mediante choques diferenciales, llevando los dos la misma velocidad. 3 Supongamos que ha una pequeña separación entre los dos sólidos, de modo que primero tiene lugar la percusión, luego el choque. ara resolver el choque necesitamos el coeficiente de restitución. Supongamos que es, choque elástico. Las ecuaciones de la varilla serán las mismas, ecepto que no ha R porque no está en contacto con el disco: = mẋ R = a = 3 ma ϕ A continuación la varilla, con las velocidades de salida de la percusión (), choca con el disco saldrán con velocidades () R = mẋ mẋ R + Q = ma θ +R = +Q = = 3 ma ϕ 3 ma ϕ aq = ma θ El coeficiente de restitución proporciona otra ecuación: las velocidades de los puntos que chocan deben cumplir, = i (vv vd ) i (v V vd ) = a θ ẋ ẋ ẋ = ẋ a θ De estas ecuaciones se obtiene ϕ = 3 ma ẋ = 5m θ = 4 5am La varilla rebota hacia la izquierda con una velocidad que es la quinta parte de la que lleva el disco hacia la derecha; no se conserva la cantidad de movimiento en el choque por la percusión de ligadura eterior Q, que transforma parte de la cantidad de movimiento inicial en momento cinético del disco. La energía se conserva. En un caso real, el resultado sería algo intermedio entre las dos hipótesis etremas que aquí se han considerado, de modo que, aunque uno sea anterior al otro, habría un cierto solape entre la percusión el choque.

13 roblema 7..: Sea un disco homogéneo de masa m radio R que se mueve en un plano vertical. Sea O una referencia cartesiana rectangular de este plano en la que O es la vertical ascendente el eje O es un suelo rugoso con coeficiente de rozamiento al deslizamiento del disco f. El disco se mueve sobre el suelo sin poderse despegar. ara fijar la posición del disco se utilizan las siguientes coordenadas generalizadas: i) la coordenada cartesiana de su centro de masas, ii) el ángulo ϕ que forma el radio que inicialmente está en contacto con el suelo con la vertical descendente (VER FIGURA ). Inicialmente el disco se encuentra en reposo en la posición =, ϕ = se aplica sobre el punto de coordenada más negativa del mismo una percusión de valor (cos α i sin α j) (VER FIGURA ). A) Supongamos que en la etapa de percusión el disco no puede deslizar; se pide: ) Epresar la condición matemática de no deslizamiento. ) Calcular el estado cinemático a la salida de la percusión. 3) Hallar las percusiones sobre el disco en el punto de contacto. 4) Comprobar cuando es válida la hipótesis de no deslizamiento epresar la misma mediante una relación del tipo f Φ(α) 5) lantear resolver las ecuaciones del movimiento posterior a la percusión. B) Supongamos que en la etapa de percusión ha deslizamiento ( f < Φ(α)); se pide: ) Calcular el estado cinemático a la salida de la percusión: ẋ ( f,α), ϕ ( f,α). ) Calcular la velocidad de deslizamiento del disco a la salida de la percusión comprobar su compatibilidad con el resultado de A-4. 3) lantear resolver las ecuaciones del movimiento posterior a la percusión 4) Determinar el instante (t ) en que termina el deslizamiento. 5) lantear resolver las ecuaciones del movimiento para t > t. ETSIA, septiembre de 995 ϕ α FIGURA FIGURA

14 A) No desliza durante la percusión Llamando I al punto del disco que en cada momento esté en contacto con el suelo, la condición de no deslizamiento será: v I = v C + ω CI = (ẋ+r ϕ) i = 3 El punto I de contacto tiene dos ligaduras: no desliza en la dirección O, no se separa en la O; durante la percusión cada una produce una percusión de ligadura: Q i Q j. Las dos son bilaterales, pueden tener cualquier signo. ara un sólido, tenemos las dos ecuaciones de cantidad de movimiento la de momento cinético, más la de la ligadura: mẋ d = cosα + Q = sinα + Q mẋ d R+ mr ϕ d = cosαr+sinαr α ẋ d ϕd ẋ d = R ϕ d La ecuación de momento cinético se ha tomado en I, para que no aparezcan las percusiones de ligadura, pero también podría tomarse en C eliminar la Q mediante la primera de la cantidad de movimiento. La complejidad es casi la misma. Tenemos un sistema cerrado, cuatro ecuaciones cuatro incógnitas, del que se obtiene: ẋ d = (cosα sinα) 3m (cosα + sinα) Q = 3 ϕ d (cosα sinα) = 3mR Q = sinα 4 Suponiendo que para las fuerzas impulsivas sigue siendo válido el modelo de Coulomb- Morin, cosα + sinα Q f Q f 3 sinα Como no se da ningún dato sobre la α, ha que dejar la epresión con los módulos. 5 ara el movimiento contamos con las ecuaciones del momento cinético () la cantidad de movimiento (). Llamaremos N j a la reacción normal F r i al rozamiento. Supondremos que sigue activa la ligadura de no deslizamiento, al hallarlas lo comprobaremos. Q Q mẍ = F r = mg+n mr ϕ = RF r ẍ = R ϕ mg N ẍ ϕ F r Eliminando F r entre la de CM la de MC z, usando la ligadura derivada mẍ = mr ϕ = mẍ ẍ = ϕ = F r = ; N = mg La fuerza de rozamiento es compatible con la condición de no deslizamiento, F r = < f mg. Las ecuaciones ẍ = ϕ = se integran tomando como condiciones iniciales las de salida de la

15 percusión, ẋ d, ϕ d = ϕ = : = (cosα sinα) t 3m ϕ = (cosα sinα) t 3mR Esta parte se podría haber hecho por mecánica analítica, porque al no deslizar la ligadura es ideal; pero tratándolo como sistema holónomo sólo se habrían obtenido las velocidades. Las percusiones de ligadura no aparecerían, no se podría comprobar la validez de la hipótesis de no deslizamiento. Si se liberan las dos ligaduras, se podría obtener también Q Q por multiplicadores de Lagrange; pero entonces nos queda un sólido libre, para sólidos partículas libres las ecuaciones por analítica son las mismas que las de Newton-Euler. No se ganaría nada, en general el cálculo de las fuerzas generalizadas multiplicadores es más laborioso. B) Ha deslizamiento durante la percusión Además de la condición del enunciado, ha que suponer que en todo momento se cumple el modelo de Coulomb con deslizamiento entre las componentes horizontal vertical de la percusión de ligadura. Llamaremos, como antes, Q Q a las percusiones de ligadura. Las ecuaciones de conservación de movimiento momento cinético darán mẋ d = cosα + Q = sinα + Q mr ϕ d = sinαr+q R α ẋ d ϕd En vez de la condición cinemática de no deslizamiento, tenemos la le de Coulomb con deslizamiento: Q i = f Q vi v I ara resolver estas ecuaciones, ha que hacer algunas hipótesis sobre los signos. Supongamos que α ],π/[ que v I >, es decir, que el disco empieza a deslizar hacia la derecha, con lo que Q será negativa. La segunda hipótesis la comprobaremos al final, la primera depende de los datos. La solución del sistema será pues mẋ d = cosα f sinα ẋ d = Q (cosα f sinα) m mr ϕ d = sinαr f sinαr ϕ d sinα( f) = mr ara comprobar la validez de esta solución, ha que calcular la velocidad de deslizamiento, v I = (ẋ+r ϕ)i = [cosα + sinα( 3 f)] i m ara que la partícula deslice, los signos tomados en las ecuaciones sean correctos, cosα + sinα( 3 f) > f < cosα + sinα 3sinα que es el opuesto de la condición de no deslizamiento que se calculó en A). Ahora no aparecen módulos, porque se supuso que α ],π/[, es decir, el seno el coseno son positivos distintos de cero. or tanto, las hipótesis que se hicieron eran correctas. odríamos repetir los cálculos suponiendo que el punto de contacto I desliza hacia la izquierda. Resulta que ese movimiento sólo es posible con un α negativo, es decir, cuando se golpea de abajo hacia arriba. Se deja como ejercicio rehacer las ecuaciones con esa hipótesis. 3 Q

16 3 ara el movimiento contamos con las ecuaciones del momento cinético () la cantidad de movimiento (). Llamaremos N j a la reacción normal F r i al rozamiento. Ahora no ha ecuación de ligadura, pero tenemos la inecuación de Coulomb mientras dure el deslizamiento. Siguiendo con la hipótesis de que desliza hacia la derecha, mẍ = F r = mg+n mr ϕ = RF r F r = f N = f mg mg N ẍ ϕ F r Quedan ecuaciones lineales mẍ = f mg ẋ = ẋ d f gt ; = ẋ d t f gt mr ϕ = R f mg ϕ = ϕ d f g R t ; ϕ = ϕd t f g R t 4 Estas ecuaciones valen mientras haa deslizamiento, la velocidad sea positiva. La velocidad de deslizamiento vale v I (t) = ẋ+r ϕ se anulará cuando v I (t ) = ẋ + R ϕ = ẋ d f gt + R ϕ d R f g R t = [cosα + sinα( 3 f)] t = 3 f gm 5 En el momento en que no ha deslizamiento, la fuerza de rozamiento será la necesaria para que no deslice, es decir, ninguna porque a rueda sin deslizar. or tanto, el sistema se sigue moviendo con velocidad velocidad angular constantes: = (t )+ẋ(t )t ϕ = ϕ(t )+ ϕ(t )t 4

17 ESCUELA TECNICA SUERIOR DE INGENIEROS AERONAUTICOS Apellidos, Nombre: Grupo: Mecánica II - roblema de Dinámica de Sistemas Curso: / Fecha:.6. Un sistema material está formado por dos discos pesados iguales, de masa m radio r, que se pueden considerar como infinitamente delgados. El disco está horizontal fijo en el origen de coordenadas O, de manera que sólo puede girar libremente alrededor del eje vertical Oz. Un radio fijo de este disco forma con O un ángulo ψ. El disco está articulado con una rótula lisa en el punto O (,,r) mediante una varilla sin masa, ortogonal al disco de longitud r. Está apoado sobre el otro disco, rueda sin deslizar sobre él. Se situará mediante el sistema O z, de modo que Oz coincide con Oz O pasa por el punto de apoo sobre el disco. O forma un ángulo ψ con el eje fijo del primer disco, de modo que el ángulo de precesión del segundo es ψ + ψ. El ángulo girado por el disco vertical alrededor de su propio eje (la varilla) es ϕ. En el instante inicial el sistema está en reposo todos los ángulos son cero. Se aplica una percusión j en el punto (r,,) del disco horizontal. Suponiendo que el disco vertical no se levanta, sigue rodando sin deslizar sobre el horizontal, calcular:. Momento cinético de cada uno de los discos respecto a O en un momento arbitrario, en función de las coordenadas sus derivadas, proectados en O z. (,5 puntos). Ecuación de la ligadura cinemática. (,5 puntos) 3. Analizar las percusiones momentos de percusión que actúan sobre cada uno de los discos al aplicar (,5 puntos) 4. Valor de las velocidades angulares inmediatamente después de la percusión. Solo será necesario plantear las ecuaciones que determinen el movimiento (4,5 puntos). 5. Después de la percusión, el sistema tendrá un movimiento estacionario con las velocidades angulares resultantes. Calcular la reacción normal entre los discos (,5 puntos) 6. Como la ligadura es unilateral, sólo actúa mientras la reacción normal sobre el disco vertical sea positiva. Calcular el valor máimo de para que el segundo disco no se levante en el movimiento posterior (,5 puntos). z O '. ϕ O ψ ψ 5

18 . Momentos cinéticos: punto Disco : H O = mr = ψ ara el disco, ha que aplicar Koenig: I O z = I Gz + mr = 4 mr + mr = 5 4 mr. mr ψ Disco : H O = 4 mr ϕ = 5 ψ + ψ 4 mr ϕ 5( ψ + ψ ). Ligadura cinemática: punto z O ' C O. ϕr ψ. r M ψ ψ El centro del disco, C, está siempre en el plano O z, por lo que tiene respecto al disco la misma velocidad que el punto de contacto como punto independiente, M, que está en el eje O : v C = vm ; ϕr j = ψ r j ϕ = ψ 3. Reacciones:,5 puntos z z R O M R -Q M O ' O Q El disco es un sólido con eje fijo. Se puede fijar de varios modos, con lo que se tendrían diversos sistemas de fuerzas momentos de ligadura. En cualquier caso, el sistema se puede reducir a O, con lo que se obtiene una reacción R con tres componentes (el centro está fijo no puede moverse en ninguna dirección) un momento con componentes M M (no ha componente según Oz porque puede girar libremente alrededor de este eje). Además, sufre la percusión directamente aplicada j. El disco es un sólido con punto fijo, por lo que está sometido a una reacción R en O con tres componentes. La rodadura sin deslizamiento entre los dos discos supone que el punto de contacto tiene velocidad relativa nula, por lo que habrá una reacción Q con tres componentes de a ( Q de a ). Nótese que el sistema es hiperestático, pues Q R sobre el disco son redundantes, igual que Q R sobre el disco. Si no hubiera reacción radial entre los dos, Q =, el sistema sería isostático. 6

19 4. Estado cinemático después de la percusión: 4,5 puntos Sólo ha que plantear las ecuaciones que determinan el movimiento: las asociadas a los grados de libertad de cada sólido. No interesa plantear las del momento cinético para todo el sistema, pues ha percusiones de ligadura en O en O : aunque se tomen momentos en uno de esos puntos, quedarán las ligaduras del otro. M z ( Q ) r = 4 mr ψ M z Q r = 5 4 mr ( ψ + ψ ) M Q r = mr ϕ Junto con la ligadura, ϕ = ψ, forman un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Se puede sustituir la ligadura en la tercera, obteniendo Q en función de ψ ; se despeja ψ de la primera, se sustituen ambas en la segunda; así se obtiene ψ, de ésta las demás: ψ = 5 6 mr ψ = 7 6 mr ϕ = 5 6 mr 5. Reacción normal:,5 puntos Aunque no sea necesario, porque a lo dice el enunciado, es fácil comprobar que el movimiento resultante es estacionario. lanteando la ecuación del momento cinético según Oz para cada uno de los discos para el sistema, más la ligadura, se tiene un sistema incompatible en las derivadas segundas, cua única solución es que sean todas cero, así como Q (las reacciones no son a las de percusión, sino las del movimiento ordinario). or lo tanto, el sistema mantiene el estado cinemático resultante de la percusión. ara hallar la reacción normal Q z ha que plantear la ecuación del momento cinético del disco según O, teniendo en cuenta que son ejes móviles: dh O dt = ϕ 4 mr + i j k 5( ψ + ψ ) 4 mr ψ + ψ ϕ 5( ψ + ψ ) = mr ϕ ( ψ + ψ ) El momento de las fuerzas en O será: (mg Q z Q ) r j. Si no ha reacción radial, Q =, el problema es isostático, se puede determinar la reacción normal: (mg Q z ) r = mr ϕ ( ψ + ψ ) = 5 36 mr Q z = mg 5 36 mr 6. ercusión máima:,5 puntos Si la ligadura es unilateral, Q z = mg 5, por lo que el valor máimo de la percusión 36 mr corresponde a Q =. Si fuera maor, haría falta tirar del disco hacia abajo, esto no es posible porque está simplemente apoado: se levantaría. or tanto, gr ma = 6m 5 7

20 roblema 7..: Un disco homogéneo pesado, de masa m radio a rueda sin deslizar sobre un plano O manteniendo su plano vertical en todo momento. En el punto de contacto con el plano eisten las ligaduras físicas necesarias para que se mantengan las condiciones cinemáticas descritas. El disco mantiene, además, en todo momento, un contacto liso con el plano Oz. La configuración del disco la consideramos definida mediante los parámetros ξ, η, ϕ, θ indicados en la figura, siendo (ξ,η) las coordenadas del punto de contacto, θ el ángulo que forma el plano del disco con el Oz, ϕ el ángulo que forma un radio fijo del disco con la vertical descendente. Entre los parámetros η θ eiste la ligadura geométrica evidente η = a sin θ. Se pide:. Epresar las condiciones cinemáticas de rodadura sin deslizamiento en función de los parámetros sus derivadas respecto al tiempo.. Estudiar si el sistema es holónomo. 3. Obtener las ecuaciones paramétricas de la traectoria del centro del disco en función de θ. 4. Epresar el ángulo ϕ en función de θ. 5. En un instante en que ξ = ξ θ = π/6, estando el sistema en reposo, se aplica al disco una percusión horizontal contenida en su plano, en el punto diametralmente opuesto al de contacto con Oz. Determinar el estado cinemático a la salida de la percusión. 6. Determinar las percusiones de ligadura. 7. Dejar el movimiento posterior reducido a una cuadratura. 8. Obtener las reacciones de los planos sobre el disco, en el momento inicial del movimiento que comienza, una vez pasado el momento de la percusión. Febrero de 99 8

21 roblema 7..3: Una placa OABC cuadrada, homogénea pesada de lado a masa m, se encuentra en reposo apoada sobre un plano O perfectamente liso perteneciente a un sistema galileano O z en el que O z va dirigido según la vertical ascendente. El plano de la placa coincide inicialmente con el plano coordenado, como se indica en la figura. En esta situación se aplica una percusión paralela a O en el punto de coordenadas (,,z ) = (α,,β). La placa comienza el movimiento que le permite la ligadura de que su lado OA pertenezca en todo momento al plano O. Durante esta fase del movimiento, su configuración se supondrá fijada por las coordenadas (ξ,η) de la proección de su centro de masas G sobre O, el ángulo ϕ que el lado OA forma con O por el ángulo θ que la placa forma con O z. Finalmente, cuando se alcanza el valor θ = π/ la placa choca contra el plano O manteniéndose sobre él, el resto del movimiento. El choque se efectúa sin rozamiento, en la última fase del movimiento, la posición de la placa se supondrá determinada con las coordenadas (ξ, η) el ángulo ϕ manteniédose θ con el valor π/ en todo momento. Se pide:. Valores iniciales de ξ,η,ϕ,θ inmediatamente después de la percusión.. Ecuaciones generales del movimiento de la placa en su primera fase, dejándolo reducido a una cuadratura. 3. Analizar la percusión que aparece cuando la placa llega al plano horizontal, determinando el movimiento posterior a la percusión reduciendo las percusiones de ligadura procedentes del plano, a una única percusión cuo valor situación se determinarán. 4. Dónde ha que aplicar la percusión para que en la última fase del movimiento los vértices OABC describan cicloides perfectas? 5. Dónde ha que aplicar la percusión para que el primer eje instantáneo de la placa pase por C? Junio de 986 Solución por mecánica newtoniana Este problema se puede resolver con las técnicas de la mecánica newtoniana o con las de la analítica. Sólo el apartado (3) hace más recomendable la newtoniana, porque se pide una percusión de ligadura. Se resolverá primero por newtoniana. ara resolver la percusión ha que: Analizar los grados de libertad, coordenadas generalizadas sistema de fuerzas de ligadura. En todas las ligaduras pueden aparecer percusiones. Calcular la cantidad de movimiento el momento cinético 9

22 Estos dos pueden calcularse sólo para la configuración de la percusión, mucho más simple que en el caso general. ero como luego se estudiará el movimiento, compensa calcularlos para una configuración arbitraria. Se llamará sólido S a la placa, S a los ejes intermedios de la figura, de modo que Oz O z O OA. El contacto de un lado con el plano es una ligadura que determina la altura del centro de la placa G en función del ángulo de nutación θ. Así la posición velocidad del centro de G serán O G = (ξ,η, a ) cosθ v G = ( ξ, η, a sinθ θ La velocidad angular tendrá sólo componentes de precesión nutación; la rotación propia está impedida por el contacto con el plano: ) ϕ z z z θ O G A ω = ϕ k + θ j = ϕ (cosθ i + sinθ i )+ θ j H G = I G ω = ma ϕ cosθ θ = ϕ cosθ ϕ sinθ ma θ ϕ sinθ Como el contacto entre la placa el suelo no es en un punto, sino a lo largo de una recta, en vez de fuerza normal de ligadura tenemos un sistema distribuido a lo largo del lado. No podemos conocer la distribución, z z z pero sí podemos reducirlo a un sistema equiva- lente que se puede calcular: dos fuerzas N N en M los etremos, una resultante N en el centro del lado N N() un momento resultante M, o una normal N aplicada a una distancia d del lado; el momento en este N N último caso sería d N. Las dos resultantes o la resultante aplicada en un punto incógnita son útiles con ligadura unilateral para ver si se separa. Como en este caso la ligadura es bilateral, podemos usar la resultante momento. Naturalmente, cuando ha percusiones, todas las fuerzas de ligadura pueden en principio dar percusión, por lo que se toman N M como percusiones de ligadura. Tenemos pues seis incógnitas para el sólido: cuatro coordenadas generalizadas dos incógnitas de ligadura. En el momento de la percusión, tenemos ϕ = θ = η =, ξ = a/, todas las velocidades nulas. Las magnitudes cinéticas antes son nulas. Las ecuaciones impulsivas de cantidad de movimiento, en ejes, son: ξ d + N = m η d θ d ξ d = η d = m N = A z G La percusión se aplica en (α,,β), por lo que habrá que calcular su momento en G. or otra parte, el momento cinético se ha calculado en ejes S. En el momento de la percusión están paralelos a otros fijos: G O G O z. ara no tener que cambiar componentes, N O M z

23 trabajaremos en ejes S. ( α a ) ( β a ) + M = ϕ d ma θ d ϕ d ϕ d = ( α a ) ma θ d = ( β a ) ma M = ara estudiar el movimiento de la placa contamos con tres ecuaciones de cantidad de movimiento tres de momento cinético, para seis incógnitas. También tenemos la de la energía, que es combinación de las anteriores. La única fuerza dada es el peso, tenemos el sistema de fuerzas de ligadura. La de cantidad de movimiento en ejes S es: ξ η N mg = m d dt a sinθ θ La de momento cinético en G nos da: M M sinθ Nasinθ = Nasinθ = M cosθ = ma d dt ξ = C η = C N(θ, θ) ϕ cosθ θ ϕ sinθ G M A z z θ N mg + i j k ma ϕ cosθ θ ϕ sinθ ϕ cosθ θ ϕ sinθ Entre la primera la tercera se elimina M, queda una ecuación diferencial en los ángulos sus derivadas; en la segunda se sustitue N de la tercera de cantidad de movimiento, queda otra ecuación diferencial limpia. Entre las dos se podría obtener dos integrales primeras; eliminar uno de los ángulos para llegar a una cuadratura. ero es ciertamente laborioso, e incierto el que se atine a integrarlas. Es más fácil buscar directamente integrales primeras: Ni el peso ni las fuerzas de ligadura dan momento según Oz, que es una dirección fija, por lo que se conserva el momento cinético en esa dirección: M E G k = d dt H G k = d dt (H G k ) = H G k = Cte El vector k en ejes S vale k = (sinθ,,cosθ) ϕ ( +sin θ ) = C 3 Las ligaduras son ideales estacionarias, el peso es potencial, por lo que se conserva la energía: V = mgz G = mga cosθ T = mvg + H G ω = = ( ) m ξ + η + a 4 sin θ θ + 4 ma( ϕ sin θ + θ + ϕ cos θ ) = = m ( ξ + η ) + 4 ma [ θ ( +3sin θ ) + ϕ ( +sin θ )] ϕ O z T +V = E

24 El valor de las constantes C, C, C 3 E se obtiene de las condiciones iniciales del movimiento, que son las de salida de la percusión: C = ξ = C = η = ( C 3 = ϕ +sin ) ( θ = α a ) m ma La cuadratura se obtiene sustituendo las integrales primeras en la ecuación de la energía E = m ( C ) [ +C + 4 ma θ ( +3sin θ ) +C3 ] mga + cosθ { θ 4 [ = +3sin θ ma E mga cosθ m ( C +C ) ] } C3 = f(θ) ±dθ dt = ϕ ( +sin θ ) ±C 3 dθ = C 3 dϕ = ( f(θ) +sin θ ) f(θ) 3 La placa sigue el movimiento gobernado por las ecuaciones anteriores hasta que choca con el suelo. Entonces se introduce bruscamente la ligadura θ = π, que es persistente: se mantiene después del choque. Hace falta: Determinar el estado cinemático antes del choque, con las ecuaciones del apartado (). Determinar el estado cinemático después del choque, al aplicar la ligadura. Analizar el sistema de percusiones de ligadura al chocar con el suelo. Calcularlas. Las velocidades angulares iniciales ϕ θ cambian de signo según que α a β a. No es necesario saberlo para la ϕ, que queda perfectamente determinada por su integral primera; pero la θ está pendiente del doble signo de una raíz, que ha que escoger según el valor inicial. θ β < a θ = m ( β a ) > θ = +... θ β > a θ = m ( β a ) < θ =... El enunciado indica que se cumple la primera condición, pues llega al suelo con θ = π, por lo que tomaremos el signo +. La figura lo corrobora. En el caso contrario, el procedimiento sería análogo, pero tomando el signo -, llegaría al suelo con θ = π. a) Estado cinemático antes del choque: valor de las velocidades para θ = π ξ a = ξ = η a = η = ϕ a ϕ = m +sin π = 6 ( α a ) m ara la θ, ha que tener cuidado de aplicar la ecuación de la energía entre el instante después de la percusión el choque con el suelo; no antes de la percusión. En la percusión no se conserva la energía, en el movimiento posterior sí. Inmediatamente después de la primera percusión, con θ =, E = m ( +C ) + 4 ma mientras que all llegar al suelo, con θ = π, { [ ( β a ) ma ] (+3 )+C 3 E = m ( +C ) { [ + 4 ma θ a] } (+3 )+C 3 + mga Igualando los dos valores se obtiene θ a = + 9(α a) m a 4 + 3g a } + mga

25 b) En el choque se introduce la ligadura θ = π, por lo que las velocidades después serán: ξ d = ξ a η d = η a ϕ a = ϕ d θ d = c) Se ha introducido una nueva ligadura que impide el giro alrededor del eje O, por lo que aparecerá un momento de percusión de ligadura M. Las otras dos ligaduras continúan: giro impedido según O altura de G ligada a la nutación, ζ G = ζ(θ). En estas ligaduras también pueden aparecer percusiones: M N. ara las ecuaciones de momento cinético, convine tomar momentos en G. Y se puede trabajar indistintamente en ejes S ó S porque están paralelos. Tenemos un sistema distribuido de percusiones verticales, de resultante N k momento resultante M i + M j. Se puede sustituir por un sistema equivalente; por ejemplo, tres percusiones en tres vértices de la placa, o una sola percusión en un punto de la placa (,) a determinar. z z z z z z G N(,) M M Las ecuaciones impulsivas de cantidad de movimiento dan = m η a m η a N a θ a ma θ a = N = ma 9(α a) m a 4 G N N G + 3g a Y las de momento cinético N N = ma ϕ a ma θ a ϕ a = = a 6 4 En la última fase la placa se mueve sobre el plano con velocidad de G constante η j velocidad angular constante ϕ k. G describe una recta paralela a O. Los puntos de la placa que estén a una distancia d = η / ϕ de G describirán cicloides; los que estén a más distancia cicloides alargadas, los que estén a menos cicloides acortadas. Y esto independientemente de que ϕ sea positiva o negativa. La base será una recta la ruleta una circunferencia de radio d. α > a ϕ > α < a ϕ < ara que sean los vértices los que describen cicloides, en el caso α > a hace falta que d = η ϕ = a m = a (α ma a ) 3 α = a 6 +

26 Si estamos en el caso α < a, ha que cambiar el signo de la ϕ: d = η = a ϕ m = a (α ma a ) α = a 6 5 Conocemos el estado cinemático de la placa inmediatamente después de la primera percusión. En general, para que el eje instantáneo pase por C ha que obligar a que su velocidad sea paralela a la velocidad angular. En este caso, se ve que la velocidad de mínimo deslizamiento va a ser cero, porque la velocidad de G es normal a la velocidad angular. odemos obligar a que la velocidad de C sea nula. v G = η k ω = ϕ i + θ j v C = vg + ω GC = z C ϕ G η z θ + i j k ϕ θ η a a = η a ( ) ϕ + θ = = a [ (α ma a ) (β ma a ) ] a = 6α 6β La percusión ha de aplicarse sobre una recta a 45 o, que pasa a a 6 por debajo por la izquierda de G, como se ve en la figura. G z C z 4