Tercera Prueba de Álgebra I.

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1 Tercera Prueba de Álgebra I. Santiago, Octubre 9 de 009. Nombre:. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones. a) Si A M n (R) es invertible, entonces Adj(A) = A n. (07 puntos) ( ) + i n b) Si n + iy n = entonces n y n y n n =. (08 puntos). Use operaciones elementales para determinar si la siguiente igualdad es válida: (5 puntos) 3. Dado el sistema: + a + b + c a + 3y + z = + ay + z = 3 + y + az = a ( a + b + c + ) d + Determine los valores de a R, si eisten, para los cuales el sistema: (5 puntos) a) tiene infinitas soluciones. b) es inconsistente. c) tiene solución única, y determine dicha solución.. El departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comidas a un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie consume cada semana un promedio de unidad del alimento, unidad del alimento y unidades del alimento 3. Cada pez de la especie consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento, unidades del alimento y 5 unidades del alimento 3. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de unidades del alimento, unidad del alimento y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se suministran al lago 5000 unidades del alimento, 0000 unidades del alimento y unidades del alimento 3. Si se supone que los peces se comen todo el alimento. Cuántos peces de cada especie pueden coeistir en el lago? (5 puntos) Observaciones Solo se aceptarán consultas de redacción dentro de los primeros 0 minutos. No se admiten consultas relacionadas con la materia. No se permite el uso de apuntes ni libros. Duración 90 minutos. Preguntas incompletas o sin justificación serán evaluadas con menor puntaje.

2 PAUTA.. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones. a) Si A M n (R) es invertible, entonces Adj(A) = A n. (07 puntos) Solución. Observe que si A es una matriz invertiblen entnces se tiene que: de donde podemos deducir: A = A Adj(A) Adj(A) = A A Adj(A) = A A = A n A Es decir Adj(A) = A n A, de donde podemos deducir que la afirmación dada es verdadera, ya que de lo anterior se tiene que. b) Si n + iy n = Adj(A) = A n ( + i ) n entonces n y n y n n =. Solución. Observemmos que: de lo anterior podemos deducir que: por lo tanto n y n y n n n + iy n = Por lo tanto la afirmación dada es falsa. ( ) + i n = (e π i) n = cos( nπ ) + i sen( nπ ) n + iy n = cos( nπ ) + i sen( nπ ) ( nπ ) ( ) (n )π ( nπ = cos sen sen ( (n )π = sen nπ ) ( = sen π ) = (08 puntos) Álgebra I - LCC ) cos ( ) (n )π. Use operaciones elementales para determinar si la siguiente igualdad es válida: (5 puntos) + a + b + c ( a + b + c + ) d +

3 Solución. Observe + a + b + c = = 0 a a ( + a)( + d) 0 b 0 d 0 0 c d = abc = abc 0 b 0 d 0 0 c d 0 a a a d ad 0 0 d b 0 0 d c 0 d ca d 0 0 d b 0 0 d c d a d d b d c ( = abc d a d d b d ) ( c a + b + c + ) d + Por lo tanto de lo anterior podemos deducir que la igualdad dada es válida. 3. Dado el sistema: a + 3y + z = + ay + z = 3 + y + az = a Determine los valores de a R, si eisten, para los cuales el sistema: a. tenga infinitas soluciones. b. sea inconsistente. c. tenga solución única, y determine dicha solución. Solución. Observe que el sistema dado es equivalente al sistema matricial a 3 a a y z = a a F ( + a)f F F F F F 3 F F 3 F F ya que abcd 0 F + F + F 3 F Álgebra I - LCC

4 Por lo tanto si consideremos la matriz asociada al sistema y realizamos operaciones elementales, obtenemos: a a a a a 3 a a 0 a a a a 0 3 a a a 3 a a 0 a a + a a a a a a 3 a a 0 a a + a a a 3 5a + a3 0 0 a + a + + a de lo anterior podemos deducir que el sistema posee solución única si y solamente si: 5a + a 3 0 ( + a)(a + a ) 0 a a ± 7 Además la solución del sistema es: Por otro lado si a =, se tiene: y = z 9a + a a 3 (a )(a + a ) + 3a a a + a 0 a 3a + a (a )(a + a ) a a 0 a a + a a a 3 5a + a3 0 0 a + a + + a = Por lo tanto se tiene que el sistema posee infinitas soluciones. Si a = ± 7, entonces el sistema dado no admite solución. Álgebra I - LCC El departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comidas a un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie consume cada semana un promedio de unidad del alimento, unidad del alimento y unidades del alimento 3. Cada pez de la especie consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento, unidades del alimento y 5 unidades del alimento 3. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de unidades del alimento, unidad del alimento y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se suministran al lago 5000 unidades del alimento, 0000 unidades del alimento y unidades del alimento 3. Si se supone

5 que los peces se comen todo el alimento. Cuántos peces de cada especie pueden coeistir en el lago? (5 puntos) Solución. Observe que el sistema lineal que modela el problema es: Cuyo sistema matricial asociado es: + 3y + z = y + z = y + 5z = La matriz ampliada asociada al sistema es: Si realizamos operaciones elementales obtenemos: y z = Álgebra I - LCC Así de lo anterior podmos deducir que el sistema lineal admite infinitas soluciones. Sin embargo por la contetialización del problema se debe cumplir que: Así de la ecuacion () obtenemos que:, y, z R + z = y , y 0 5