Algebra Lineal: Diagonalización de una Matriz Cuadrada. Departamento de Matemáticas. Intro. Diagonalizable

Transcripción

1 una Matriz Algebra una Matriz

2 una Matriz ducción En esta lectura veremos uno los temas más importantes l Álgebra Lineal que tiene aplicaciones fundamentales en Ingeniería. Éste es el tema la diagonalización una matriz cuadrada. Se revisará la finición, algunos resultados teóricos y algunas aplicaciones. Se requieren los conceptos valor y vector propio, polinomio característico y bases un espacio lineal.

3 una Matriz Matriz diagonalizable Una matriz cuadrada A n n se dice matriz diagonalizable si existe existe una matriz P n n invertible que cumple P 1 AP = D don D es una matriz diagonal. El siguiente resultado indica qué significa que una matriz A sea diagonalizable: Sea A una matriz cuadrada n n, entonces son equivalentes: A es una matriz es diagonalizable, R n posee una base formada por vectores propios la matriz A.

4 una Matriz Reglas Reglas básicas para saber si una matriz es diagonalizable: Si tiene algún valor propio complejo, no es diagonalizable. Si tiene todos sus valores propios reales y son diferentes, sí es diagonalizable. Si tiene todos sus valores propios reales, y si para cada valor propio que apareció repetido como raíz la ecuación característica el número veces que apareció repetido (multilicidad algebraica) es igual a la multiplicidad o dimensión geométrica entonces sí es diagonalizable.

5 una Matriz Determine si la matriz es diagonalizable [ ] 1 2 A = 1 2 Solución El polinomio característico A es p A (t) = 4 3 t + t 2 y sus raíces son: t 1 = 3/2 + i 7/2 y t 1 = 3/2 + i 7/2. Por tanto, tiene raíces complejas y por tanto no es diagonalizable

6 una Matriz Determine si la matriz es diagonalizable [ ] 1 1 A = 0 1 Solución: El polinomio característico A es p bfa (t) = (t 1) 2. Y por tanto, el único valor propio es t = 1. El espacio nulo [A (1)I] es precisamente el espacio invariante t = 1 A y es: kernel([a (t = 1) I]) = Gen ( (1, 0) ) El conjunto B = {(1, 0) } no alcanza para una base para R 2. Por tanto, A no es diagonalizable.

7 una Matriz Determine si la matriz es diagonalizable y calcule una factorización: [ ] 1 2 A = 2 1 El polinomio característico A es p A (t) = 3 2 t + t 2 y sus raíces son t 1 = 1 y t 2 = 3. Por tanto, sus raíces son reales y diferentes. Por tanto, A es diagonalizable. Deteminemos bases para los espacios nulos. Para t = 1 Directo Maple: ν(a ( 1)I) = Gen ( ( 1, 1) ) Para t = 3 Directo Maple: ν(a (3)I) = Gen ( (1, 1) ) Por tanto una base para R 2 con vectores propios es: B = { ( 1, 1), (1, 1) }

8 una Matriz Por tanto una base para R 2 con vectores propios es: B = { ( 1, 1), (1, 1) } Por consiguiente, [ 1 1 P = 1 1 ], P 1 = [ 1/2 1/2 1/2 1/2 ] [ 1 0, D = 0 3 ]

9 una Matriz Determine si la matriz es diagonalizable y calcule una factorización: A = Solución: El polinomio característico A es p A (t) = 18 t + 3 t 2 t 3 y sus raíces son t 1 = 0, t 2 = 3 y t 3 = 6. Por tanto, sus raíces son reales y diferentes. Por tanto, A es diagonalizable. Deteminemos bases para los espacios nulos. Para t 1 = 0 Directo Maple: ν(a (0)I) = Gen ( ( 2, 1, 1) ) Para t 2 = 3 Directo Maple: ν(a ( 3)I) = Gen ( ( 1, 1, 1) )

10 una Matriz Para t 3 = 6 Directo Maple: ν(a (6)I) = Gen ( (0, 1, 1) ) Por tanto una base para R 3 con vectores propios es: Por consiguiente, B = { ( 2, 1, 1), ( 1, 1, 1), (0, 1, 1) } P = P 1 = /3 1/6 1/6 1/3 1/3 1/3 0 1/2 1/2 D =

11 una Matriz Determine la solución al sistema x (t) = 2 x(t) + 3 y(t) y (t) = 2 x(t) + y(t) Sujeto sujeto a las condiciones iniciales: x(0) = 3 y y(0) = 2. Solución:(y método solución) 1. El sistema se escribe en forma matricial: ( x ) [ ] ( ) (t) 2 3 x(t) y = (t) 2 1 y(t) 2. Se terminan los valores propios la matriz coeficientes (Matriz Transición). El polinomio característico es: p A (λ) = λ 2 3λ 4 Los valores propios son entonces: λ 1 = 1, λ 2 = 4 3. Se terminan los vectores propios correspondientes son: ( ) ( ) 1 3/2 v 1 =, v 1 2 = 1

12 una Matriz 4. Se forma la solución general al sistema: ( ) ( ) ( x(t) 1 = C y(t) 1 e 1t 3/2 + C ) e 4t 5. Se termina la solución particular: terminación C 1 y C 2 usando x(0) = 3 y y(0) = 2: ( 3 2 ) ( 1 = C 1 1 ) e C 2 ( 3/2 1 ) e 4 0 Para terminar las constantes resolvemos el sistema cuya matriz aumentada es: [ ] c 1 3/2 3 1 c / /5

13 una Matriz O bien: ( x(t) y(t) ) ( x(t) y(t) = 12 5 ) = ( 1 1 ( 12/5 12/5 ) e t ( 3/2 1 ) ( e t 3/5 + 2/5 ) e 4t ) e 4t Hagámos los cálculos con una calculadora TI Voyage.

14 una Matriz En la figura 1: se fine la matriz l sistema A; se terminan los valores propios; se obtienen los vectores propios correspondientes; y se introducen las condiciones iniciales. Cabe observar que be respetarse el orn aparición cada valor propio y cada vector propio: Para el valor propio 4, el vector < 0.832, > genera el espacio invariante. Para el valor propio 1, el vector < 0.707, > genera el espacio invariante. Figure : propios. Ejemplo 1: Matriz l sistema y sus valores y vectores

15 una Matriz Así la solución general quedaría: ( ) ( ) ( x = C y 1 e 4 t C ) e t La constantes C 1 y C 2 la solución particular puen ser terminadas resolviendo el sistema: VC = C i don V es la matriz formada por los vectores propios y C i es el vector condiciones iniciales. Para obtener c i V i hacemos el truco l producto V diag(c 1, c 2 ). Estos cálculos se ilustran en la figura 2. Figure : Ejemplo 1: cálculos para las condiciones iniciales.

16 una Matriz Por tanto, la solución particular es: ( ) ( ) ( x 0.6 = e 4 t y ) e t Suponga que se sea terminar x(1.2) y y(1.2). En este caso, las operaciones puen hacerse en forma sencilla utilizando la matriz V diag(c 1, c 2 ) y el vector con los datos, como se ilustra en la figura 2.

17 una Matriz Suponga que sólo existen tres lecherías en el mercado Leche Lola, Leche Los Puentes, y Leche ParmaLac. Suponga que un mes a otro Lola retiene el 80% sus clientes, atrae 20% los clientes Los Puentes, y atrae 10% los clientes ParmaLac, Los puentes retiene 70% sus clientes, atrae 10% los clientes Lola, y atrae 30% los clientes ParmaLac, y ParmaLac retiene 60% sus clientes, atrae el 10% los clientes Lola, y atrae el 10% los clientes Los puentes. Suponga el tamaño la población no cambia y se mantiene fijo en consumidores. Determine si existe los porcentajes a largo plazo la distribución clientes Lola, Los puentes, y ParmaLac.

18 una Matriz Solución La matriz transición queda: A = El polinomio característico A es: p A (t) = (t t t.300) Usando los cálculos reportados en las figuras 1 y 2, los valores propios son: λ 1 = 1.00, λ 2 = 0.60, λ 3 = 0.50

19 una Matriz y los vectores propios correspondientes son: Por tanto P = v 1 = ( , , ) v 2 = ( , , 0.) v 3 = ( , , ) D =

20 una Matriz Por tanto, A = lim k Ak = P A = lim k Ak = P Por tanto, la ditribución l mercado leche a largo plazo sin importar la distribución inicial es: 45% 35% 20%