Algebra Lineal Tarea No 24: Aplicaciones de diagonalización de matrices Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)

Transcripción

1 Algebra Lineal Tarea No 4: Aplicaciones de diagonaliación de matrices a algunos problemas de la tarea (al 9 de junio de 4. Determine la solución al sistema Sujeto sujeto a las condiciones iniciales: ( 3 (.. El sistema se escribe en forma matricial: [ 3 ]. Se determinan los valores propios de la matri de coeficientes. El polinomio característico es: p A (λ λ 3λ 4 Los valores propios son entonces: λ, λ 4 3. Se determinan los vectores propios correspondientes son: v ( ( 3/, v El método que describiremos aplica cuando todos los valores característicos son reales cuando la totalidad de los vectores propios determinados es n: v, v,..., v n, siendo la matri de coeficientes n n. En este caso la solución general se escribe: n C i v i e λ it i 4. Se forma la solución general al sistema: (t (t ( C e t + C ( 3/ e 4t 5. Se determina la solución particular: determinación de C C usando ( 3 ( : ( 3 ( C e + C ( 3/ Para determinar las constantes resolvemos el sistema cua matri aumentada es: [ ] [ ] 3/ 3 /5 /5 e 4 5 ( e t + 5 ( 3/ e 4t O bien: ( /5 /5 ( 3/5 e t + /5 e 4t Hagámos los cálculos con una calculadora TI Voage. En la figura : se define la matri del sistema A; se determinan los valores propios; se obtienen los vectores propios correspondientes; se introducen las condiciones iniciales. Cabe observar que debe respetarse el orden de aparición de cada valor propio de cada vector propio: Para el valor propio 4, el vector <.83,.554 > genera el espacio invariante.

2 Ma9, Tarea No 4: Aplicaciones de diagonaliación de matrices Figura : Matri del sistema sus valores vectores propios. Figura : Cálculos para las condiciones iniciales. Para el valor propio, el vector <.77,.77 > genera el espacio invariante. Así la solución general quedaría: C ( e 4 t + C ( e t La constantes C C de la solución particular pueden ser determinadas resolviendo el sistema: VC C i donde V es la matri formada por los vectores propios C i es el vector de condiciones iniciales. Para obtener c i V i hacemos el truco del producto V diag(c, c. Estos cálculos se ilustran en la figura. Por tanto, la solución particular es: (.6.4 (.4 e 4 t +.4 Suponga que se desea determinar (. (.. En este caso, las operaciones pueden hacerse en forma sencilla utiliando la matri V diag(c, c el vector con los datos, como se ilustra en la figura e t. Determine la solución al sistema Sujeto sujeto a las condiciones iniciales: ( 3, ( (.. El sistema se escribe en forma matricial:. Se determinan los valores propios de la matri de coeficientes. El polinomio característico es: p A (λ (λ 3 3λ 9λ 5 (λ + (λ 5

3 Ma9, Tarea No 4: Aplicaciones de diagonaliación de matrices 3 Los valores propios son entonces: λ, λ, λ Se determinan los vectores propios correspondientes a λ : a λ 3 5: 4. La solución general al sistema es entonces: (t (t (t C v v 3, v e t + C e t + C 3 5. Determinación de la solución particular usando las condiciones iniciales ( 3, ( ( : 3 C e + C e + C 3 Para determinar las constantes resolvemos el sistema cua matri aumentada es: Por tanto, la solución particular es: O simplemente, 3 e t e t + e t + e 5t e 5t e 5t e 5 La figura 3 ilustra los valores vectores propios propios de la matri de coeficientes. La figura 4 muestra los valores de las constantes C, C C 3 relativas a las condiciones iniciales. La figura 5 muestra los vectores que acompañan a las eponenciales en las conidiciones iniciales la figura 6 muestra los valores de (.5 de (.5. De los cálculos de la figura 5 se deduce que la solución particular es: e 5 t + e 5 t e t + e t e t Para determinar los valores de (t.5, (t.5 (.5 podemos recurrir de nuevo a cálculos cons matrices como se ilustra en la figura 6

4 Ma9, Tarea No 4: Aplicaciones de diagonaliación de matrices 4 Figura 3: Vectores propios para la matri de coeficientes. Figura 4: Cálculo referente a las condiciones iniciales. Figura 5: Cálculo referente a las condiciones iniciales. Figura 6: Posición en t.5.

5 Ma9, Tarea No 4: Aplicaciones de diagonaliación de matrices 5 3. Supongamos que la probabilidad de que un fumador siga fumando al año siguiente es %65, mientras que la probabilidad de que un no fumador continue sin fumar es de %85. Determine los porcentajes de fumadores no fumadores a la larga. Describiremos el estado de la situación en el año i por medio de un vector columna: ( i X i donde i representa el porcentaje de no fumadores en el año i i representa el porcentaje de fumadores. Se supondrá que para calcular el estado en el año i + habrá que multiplicar el vector de estado en el año i por la matri de transición A: ( ( ( i pasó un año i+ i A La matri de transición es i A i i+ [ El elemento (,.35 indica que un fumador tiene un 35 % de dejar de fumar un año después, mientras que el elemento.5 quiere decir que un no fumador tiene un 5 % de probabilidades de volverse fumador. Esta matri puede ser utiliada para determinar el porcentaje en el año siguiente dados los porcentajes de fomadores no fumadores en el presente año. Por ejemplo, si en el año actual la relación fumadores no fumadores es 5 % 5 % entonces en el año siguiente será: [ ] (.5.5 ] (.4.6 En forma análoga, si por porcentajes actuales para los fumadores no fumadores son o % o % respectivamente, al año siguiente serán: [ ] (.65.5 o Y dentro de k años serán: X k A k X o o [ ]k ( o Los valores propios para la matri A son λ λ / vectores propios correspondientes son: ( ( 3 v, v 7 Por tanto, Por tanto, Así [ ] [ ] [ 3 3 A 7 / 7 [ ] [ ] [ 3 A k k 3 7 (/ k 7 [ 3 lím k Ak 7 ] [ [.3.3 X lím k Ak X o.7.7 ] [ 3 7 o ] o i ] ] [ ] ( ( o.3o +.3 o.7 o +.7 o ] (.3.7 Por consiguiente, a largo plao, los fumadores serán el 3 % de la población en comparación con el 7 % de no fumadores. Recuerde que o + o 4. Suponga que sólo eisten tres lecherías en el mercado Leche Lola, Leche Los Puentes, Leche ParmaLac. Suponga que de un mes a otro

6 Ma9, Tarea No 4: Aplicaciones de diagonaliación de matrices 6 Lola retiene el 8 % de sus clientes, atrae % de los clientes de Los Puentes, atrae % de los clientes de ParmaLac, Los puentes retiene 7 % de sus clientes, atrae % de los clientes de Lola, atrae 3 % de los clientes de ParmaLac, ParmaLac retiene 6 % de sus clientes, atrae el % de los clientes de Lola, atrae el % de los clientes de Los puentes. Suponga el tamaño de la población no cambia se mantiene fijo en de consumidores. Determine si eiste los porcentajes a largo plao de la distribución de clientes de Lola, Los puentes, ParmaLac. La matri de transición queda: El polinomio característico de A es: A p A (t (t 3. t +.4 t.3 Usando los cálculos reportados en las figuras 7 8, los valores propios son: los vectores propios correspondientes son: Por tanto Por tanto, P λ., λ.6, λ 3.5 v ( ,.57934,.334 v (.777, +.777,. v 3 (+.4848,.86497, D..6.5 A lím k Ak P A lím k Ak P Por tanto la ditribución del mercado de leche a largo plao sin importar la distribución actual es: 45 % 35 % %

7 Ma9, Tarea No 4: Aplicaciones de diagonaliación de matrices 7 Figura 7: Lecherías, cálculo de vectores propios de A. Figura 8: Lecherías, matri límite de A.