Algebra Lineal: Espacios Generados. Introducción

Transcripción

1 2 ducción En esta presentación veremos cómo comparar entre sí dos espacios generados. Esto es relevante porque recordamos que los espacios generados finen los conjuntos solución a SEL. De manera que comparar si dos sistemas ecuaciones son equivalentes (es cir, con el mismo conjunto solución) será verificado que los espacios generados que proporcionan sus conjuntos solución son iguales. Esta pregunta cómo se comparan entre sí dos espacios es interesante por que en general los espacios generados son infinitos, cómo comparar conjuntos infinitos? En esta presentación veremos el resultado que permite hacer la comparativa. Que esencialmente dice que la clave está en los conjuntos generadores; es cir, el caso infinito se reduce al caso finito. Cuando se dice comparar entre sí dos espacios generados, se refiere a si uno ellos está o no totalmente contenido en el otro.

2 2 El problema l Algebra Lineal es: Resolver y analizar la problemática relacionada con los sistemas ecuaciones lineales. Resolver el sistema homogéneo: x + 2 y + w + 2 t = 2 x + 4 y z + w + 5 t = x + 2 y + z + 2 w + t = z + w t = con el orn x y z w t lleva a la solución general Gen 2,, 2 y con el orn x y t z w lleva a Gen 2, 2, 3 Cómo entenr esta diferencia? Cómo no preocuparnos por ella? Cómo verificar que es la misma solución? Se requiere comparar dos espacios generados.

3 Si V = Gen {x,, x m }, y W = Gen {y,, y k } son conjuntos vectores en R n. Todo vector x i (i =, 2,..., m) pertence a W si y sólo si V W. 2 W x 3 x V x 2 R n Es cir, para verificar que un espacio generado V está totalmente contenido en un espacio generado W, basta y sobra que cada uno sus generadores sea un elemento l espacio W. Los elementos un conjunto generador un espacio generado son como sus anclas: para que otro espacio generado W lo contenga, basta y sobra que contenga todas sus anclas.

4 2 (Suficiencia) Supongamos que todo vector x i (i =, 2,..., m) pertence a W. Veamos que V W. Como W = Gen {x,, x m }, ben existir escalares c ij para i =,..., m y j =,..., k tales que x i = c i y + + c ik y k Sea w un vector V cualquiera. Como V = Gen {x,, x m }, entonces ben existir escalares a, a 2,...,a m tales que v = a x + + a m x m Sustituyendo cada x i obtenemos: v = a (c y + + c k y k ) + a 2 (c 2 y + + c 2k y k ) +... a m (c m y + + c mk y k )

5 2 (continuidad) Si sarrollamos los productos anteriores y agrupamos respecto a los vectores y j obtenemos v = (a c + + a m c m )y + + (a c k + + a m c mk )y k Por consiguiente, cualquier vector v V es combinación los vectores y j y por tanto, pertenece a W. Probando que V W. (Necesidad) Supongamos ahora que V W. Por tanto, cualquier vector V pertenece a W. En perticular, pertenecen a W los vectores x i = x + x x i + + x m don se concluye que cada vector x i W.

6 2 Diga si U V, V U, U = V, o no son comparables entre si, don U = Gen u = 2 V = Gen v =, u 2 = , v 2 =, u 3 = 2 4 2

7 2 Veamos si U V : De acuerdo al resultado previo bemos ver si todo u i V. Para ello construimos 4 /4 [v, v 2 u ] = [v, v 2 u 2 ] = [v, v 2 u 3 ] = Como cada sistema es consistente u i V y así U = Gen {u, u 2, u 3 } V. 3/4 /2

8 2 Veamos si V U: De acuerdo al resultado previo bemos ver si todo v i U. Para ello construimos [u, u 2, u 3 v ] = [u, u 2, u 3 v 2 ] = Así al ser consistente el primer sistema se verifica que v U, pero al ser inconsistente el segundo sistema v 2 / U. Por lo tanto, V = Gen {v, v 2 } U. Al haber probado las dos contenciones, concluimos que sólo se cumple U V.

9 2 Note que para verificar que U V, en lugar revisar la consistencia [v v 2 u ], [v v 2 u 2 ], y [v v 2 u 3 ] basta formar la aumentada [v v 2 u u 2 u 3 ]; reducir y ubicar los pivotes: si todos los pivotes están a la izquierda, entonces la contención se cumple: si hay al menos un pivote a la recha, entonces la contención no se cumple. Para que se cumpla la igualdad V = U be verifica rque se cumplen simultáneamente U V y V U.

10 2 Si entonces Formulación 2 x Gen {y, y 2 } y x 2 Gen {y, y 2 }, Gen {x, x 2 } Gen {y, y 2 }. Y recíprocamente: Si Gen {x, x 2 } Gen {y, y 2 }, entonces x Gen {y, y 2 } y x 2 Gen {y, y 2 }.

11 2 Suficiencia Supongamos que: x Gen {y, y 2 } y que x 2 Gen {y, y 2 }. Así existen escalares c ij tales que x = c y + c 2 y 2 y x 2 = c 2 y + c 22 y 2 () Si x es un vector cualquiera en Gen {x, x 2 }, entonces ben existir escalares a y a 2 tales que x = a x + a 2 x 2 sustituyendo () en la relación anterior x = a (c y + c 2 y 2 ) + a 2 (c 2 y + c 22 y 2 ) sarrollando productos y agrupando respecto a las y i tenemos: x = (a c + a 2 c 2 ) y + (a c 2 + a 2 c 22 ) y 2 Esto nos dice que x es una combinación lineal y y y 2, por lo tanto, x Gen {y, y 2 }. Probando que Gen {x, x 2 } Gen {y, y 2 }.

12 Continuación 2 Necesidad Supongamos que Gen {x, x 2 } Gen {y, y 2 }, es cir que cualquier elemento Gen {x, x 2 } también es elemento Gen {y, y 2 }. Y por tanto, estamos suponiendo que cualquier combinación lineal x y x 2 también es elemento Gen {y, y 2 }. Como x = x + x 2 y x 2 = x + x 2 concluimos que x Gen {y, y 2 } y que x 2 Gen {y, y 2 }

13 2 Para la implicación: p q: Si en ABC las medidas los lados son 5, 4 y 3, entonces ABC es un triángulo rectángulo. Sus variantes importantes son: La recíproca la implicación q p: Si ABC es un triángulo rectángulo, entonces en ABC las medidas los lados son 5, 4 y 3. La inversa la implicación p q: Si en ABC las medidas los lados NO son 5, 4 y 3, entonces ABC NO es un triángulo rectángulo. La contrapositiva la implicación q p: Si ABC NO es un triángulo rectángulo, entonces en ABC las medidas los lados NO son 5, 4 y 3. La implicación y su contrapositiva son lógicamente equivalentes. A veces la implicación es cierta y su recíproca no.

14 2 Para la implicación: p q: Si A x = b tiene matriz coeficientes cuadrada e invertible, entonces A x = b tiene solución única. Sus variantes importantes son: La recíproca la implicación q p: Si A x = b tiene solución única, entonces A x = b tiene matriz coeficientes cuadrada e invertible. La inversa la implicación p q: Si A x = b NO tiene matriz coeficientes cuadrada e invertible, entonces A x = b NO tiene solución única. La contrapositiva la implicación q p: Si A x = b NO tiene solución única, entonces A x = b NO tiene matriz coeficientes cuadrada e invertible. La implicación y su contrapositiva son lógicamente equivalentes. A veces la implicación es cierta y su recíproca no.

15 2 Para la implicación: p q: Si ABC cumple el teorema Pitágoras, entonces ABC es un triángulo rectángulo. Sus variantes importantes son: La recíproca la implicación q p: Si ABC es un triángulo rectángulo, entonces ABC cumple el teorema Pitágoras. La inversa la implicación p q: Si ABC NO cumple el teorema Pitágoras, entonces ABC NO es un triángulo rectángulo. La contrapositiva la implicación q p: Si ABC NO es un triángulo rectángulo, entonces ABC NO cumple el teorema Pitágoras. Aunque no son todas sí hay implicaciones don su recíproca también es cierta.