MA1019. Algebra Lineal: Combinación Lineal y Espacios Generados. Departamento de Matemáticas. Intro. Comb. Lineal. Ejemplo. Notas 1. E.

Transcripción

1 s Algebra MA1019

2 s ducción Uno los conceptos clave en Algebra Lineal es el concepto combinación lineal: Una combinación lineal es una superposición objetos: imagine que usted tiene dos señales (discretas o continuas). Cuando usted las amplifica y/o atenua para spués mezclarlas, está haciendo una combinación lineal.

3 Lineal Si x 1, x 2,...,x k con vectores con n componentes, una combinación lineal con ellos es una expresión la forma: s c 1 x 1 + c 2 x c k x k don los coeficientes c 1,c 2,...,c k son escalares. Este concepto no es l todo sconocido. En ecuaciones diferenciales lineales y homogéneas, teniendo la solución general y(t) = c 1 y 1 (t) + + c n y n (t) para obtener soluciones particulares se ben terminar los valores las constantes c i. Es cir, se escogen los coeficientes una combinación lineal.

4 s Problema 1 Dados los vectores x 1, x 2,...,x k, y el vector y, todos ellos vectores con n componentes, cómo saber si el vector y es una combinación lineal los vectores x 1, x 2,...,x k?. Sencillo: viendo si existen c 1,...,c k escalares que cumplan y = c 1 x 1 + c 2 x c k x k Para ello se be resolver un sistema ecuaciones lineales. Esto es semejante a lo que se hacía en Ecuaciones Diferenciales Lineales y se buscaba una solución particular.

5 s Si x 1 = 2 3 2, x 2 = 4 6 4, x 3 = 2 4 6, y = diga si el vector y es combinación lineal x 1, x 2, y x 3. Buscamos constantes c 1, c 2 y c 3 que cumplan: c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 = y Sustituyendo y sarrollando productos: 2 c c c 3 3 c c c 3 = 2 c c c Ahora, para que dos vectores sean iguales, ben ser iguales componente a componente, es cir:

6 s 2 c1 + 4 c c 3 = 2 3 c1 + 6 c c 3 = 1 2 c1 + 4 c c 3 = 6 Para resolver este sistema formamos la aumentada y reducimos: Viendo la posición los pivotes, concluimos que el sistema es consistente; y por tanto, sí existen constantes c 1, c 2 y c 3 que cumplan el sistema ecuaciones planteado. De hecho, haciendo cero las variables libres que aparecen en la reducida (c 2 = 0) obtenemos una solución particular: con la cual es fácil verificar que c 1 = 3 y c 3 = 2 3 x x 2 2 x 3 = y

7 s Observación Es importante observar cómo se forma la matriz aumentada directamente los datos: Para buscar constantes c 1, c 2, c 3 que cumplan: c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 = y se be resolver el sistema cuya aumentada es [x 1 x 2 x 3 y] Es cir, la aumentada se forma con los vectores que se quieren combinar a la izquierda y el vector que se sea ver si es combinación lineal a la recha. Todos los vectores son colocados como columnas. Nuestro hecho principal es que: resolver un sistema ecuaciones lineales [x 1 x 2 x k y] equivale a buscar la combinación lineal entre un conjunto vectores x 1, x 2,..., x k para obtener el vector y.

8 s Espacio Generado El conjunto formado por todas las combinaciones lineales los vectores v 1, v 2,..., v k en R n se llama espacio generado por los vectores v 1, v 2,..., v k. Este conjunto se representa por Gen {v 1, v 2,..., v k }. Es cir, es el conjunto formado por todas las combinaciones lineales c 1 v 1 + c 2 v c k v k don c 1,c 2,...,c k son escalares libres. Si V = Gen {v 1, v 2,, v k } se dice que los vectores v 1, v 2,..., v k generan a V y que {v 1, v 2,..., v k } es un conjunto generador V. Observe que x es elemento Gen {v 1, v 2,..., v k } si y sólo si x es una combinación lineal entre los vectores v 1, v 2,..., v k. Buscar en el generado, es buscar en las combinaciones lineales.

9 s Indique si el vector x =< 2, 3, 1 > pertenece al espacio V = Gen {y 1 =< 1, 2, 1 >, y 2 =< 3, 5, 0 >}. Solución El vector x pertence a V si y sólo si x es una combinación lineal los vectores y 1 y y 2 ; es cir, si y sólo si existen escalares c 1 y c 2 para los cuales: x = c 1 y 1 + c 2 y 2 Esto se convierte en un sistema con matriz aumentada y que reduciéndola: Como el sistema es inconsistente, no puen existir c 1 y c 2 que cumplan la relación, y por tanto, x no es combinación lineal y 1 y y 2 ; y por tanto, x no pertence al espacio generado V.

10 s Indique para qué valor l parámetro a el vector x 1 =< 2, 3, a > pertenece al espacio V = Gen {y 1 =< 1, 2, 1 >, y 2 =< 3, 5, 0 >} Solución El vector x pertence a V si y sólo si x es una combinación lineal los vectores y 1 y y 2, es cir, si y sólo si existen escalares c 1 y c 2 para los cuales: x = c 1 y 1 + c 2 y 2 Al formar la matriz aumentada l sistema y escalonarla queda a 0 0 a + 1 Recuer que cuando una matriz tiene variables, no conviene usar rref porque se puen hacer divisiones entre expresiones que puen ser cero: se be escalonar paso a paso.

11 s De aquí vemos que la única posibilidad para que el sistema sea consistente es que en el último renglón no exista pivote; por tanto, a + 1 = 0 = a = 1 Nuestra conclusión es que 2 3 Gen a 1 2 1, a = 1

12 s Si los espacios generados son en general infinitos, cómo compararlos? Teorema Si V = Gen {x 1,, x m }, y W = Gen {y 1,, y k } son conjuntos vectores en R n. Todo vector x i (i = 1, 2,..., m) pertence a W si y sólo si V W. Los elementos un conjunto generador un espacio generado son como sus anclas: para que otro espacio generado W lo contenga, basta y sobra que contenga todas sus anclas. W x 3 x 1 V x 2 R n

13 s Diga si U V, V U, U = V, o no son comparables entre si, don U = Gen u 1 = 2, u 2 = 6, u 3 = V = Gen v 1 = 4 8 4, v 2 = 1 0 1

14 s Veamos si U V : De acuerdo al resultado previo bemos ver si todo u i V. Para ello construimos /4 [v 1, v 2 u 1 ] = [v 1, v 2 u 2 ] = [v 1, v 2 u 3 ] = Como cada sistema es consistente u i V y así U = Gen {u 1, u 2, u 3 } V / /

15 s Veamos si V U: De acuerdo al resultado previo bemos ver si todo v i U. Para ello construimos [u 1, u 2, u 3 v 1 ] = [u 1, u 2, u 3 v 2 ] = Así al ser consistente el primer sistema se verifica que v 1 U, pero al ser inconsistente el segundo sistema v 2 / U. Por lo tanto, V = Gen {v 1, v 2 } U. Al haber probado las dos contenciones, concluimos que sólo se cumple U V.

16 s Note que para verificar que U V, en lugar revisar la consistencia [v 1 v 2 u 1 ], [v 1 v 2 u 2 ], y [v 1 v 2 u 3 ] basta formar la aumentada [v 1 v 2 u 1 u 2 u 3 ]; reducir y ubicar los pivotes: si todos los pivotes están a la izquierda, entonces la contención se cumple: si hay al menos un pivote a la recha, entonces la contención no se cumple. Para que se cumpla la igualdad V = U be verifica rque se cumplen simultáneamente U V y V U.