p-bases para todos os Z p nc p -m duos cadena abierta de tipo C = (i; j) (generadas por un s o eemento, o de dimensi n 1). Este es e caso m s sencio,

Transcripción

1 Bases de Gr bner Asociadas a M duos Finitos LUIS DAVID GARC A PUENTE Licenciado en Matem ticas, Facutad de Ciencias, UNAM Director de Tesis: Dra. Maria Aicia Avi Diaz En a teor a de Representaciones de gebras interesa describir todos os m duos (espacios vectoriaes sobre anios o m s generamente sobre gebras, en vez de campos) savo isomorf smos. Si e gebra estudiada es nita como e caso que nos interesa, tenemos a importante propiedad de que todo m duo generado por un n mero nito de eementos se puede escribir como suma nita de moduos inescindibes. Un m duo es inescindibe si ya no puede descomponerse en a suma de dos o m s subm duos no triviaes. Por esta raz n si conocemos todos os m duos inescindibes de un gebra podemos construir todos os m duos sobre esta gebra. Existen gebras que tienen un n mero nito de m duos inescindibes no isomorfos y se aman gebras de tipo nito. Otras tienen un n mero innito de m duos inescindibes pero estos pueden ser casicados y reciben e nombre de gebras mansas. Las que tienen un n mero innito de m duos inescindibes y estos no pueden ser casicados se aman gebras savajes. Sea Z p n os enteros m duo p n con p primo, sea C p := hxi e grupo c cico de orden p. Entonces := Z p nc p = P p?1 i=0 a ix i, con a i 2 Z p n, forma e gebra de grupo c cico de orden p sobre os enteros m duo p n. es un gebra mansa. Los m duos inescindibes sobre son p-grupos abeianos nitos y por esta raz n tienen p-bases conjuntos generadores independientes. Cuando se estudian os m duos sobre un gebra y esta gebra es sobre un campo k, tenemos a importante propiedad de que e m duo es un espacio vectoria sobre k y por o tanto tiene bases y en estas bases se puede estudiar a acci n de gebra mediante matrices. Cuando se estudian as gebras sobre un anio como Z p n no tenemos esta propiedad dada en una forma sencia. E estudio de os Z p nc p -m duos nitos fu iniciado por G. Szekeres en 1949, en [6]. Szekeres casic os -m duos inescindibes, en m duos cadena abierta y m duos cadena cerrada. Sin embargo, en esta casicaci n no se tiene a informaci n de como son os m duos sobre e anio Z p n y menos a n una p-base, pero si encontrasemos, a partir de as cadenas, a forma de haar una p-base entonces podriamos conocer a acci n de gebra sobre esta p-base en forma de matrices. Esta fu nuestra motivaci n para tratar de cacuar una p-base a partir de concepto de cadena. En esta tesis se demostr por primera vez un teorema donde se describen 1

2 p-bases para todos os Z p nc p -m duos cadena abierta de tipo C = (i; j) (generadas por un s o eemento, o de dimensi n 1). Este es e caso m s sencio, sin embargo, a n en este caso, cacuar una p-base puede resutar muy compejo. Adem s modeamos e probema utiizando gebra Computaciona, en particuar, Bases de Gr bner. Estas no son bases de un m duo sino un conjunto generador con propiedades muy importantes de un idea de poinomios en varias indeterminadas. A trav s de as bases de Gr bner, obtuvimos un agoritmo para cacuar as p-bases de os m duos en cuesti n y adem s nuevas p-bases de estos m duos no obtenidas en e teorema. E objetivo genera de esta tesis fu iniciar e estudio de as p-bases de os m duos cadena y tambi n utiizar e gebra computaciona para modear este probema de una forma totamente nueva. La cua nos permitio resover e caso genera para cuaquier -m duo cadena, ver [2]. 1 -m duos cadena Aqui enunciamos agunos resutados que cacuan a Z p n-estructura de os - m duos cadena abierta de tipo C = (i; j), y adem s enunciamos un teorema que muestra exp citamente una p-base de estos m duos. Szekeres describi a os -m duos izquierdos inescindibes por a acci n de dos eementos en, = x p?1 + x p?2 + + x + 1 y = x? 1, os cuaes satisfacen as siguientes condiciones: 1) y son nipotentes, 2) = = 0, 3) p = + p?1 (), donde () es un poinomio en, con coecientes enteros no negativos menores que p, que puede ser cacuado por medio de un agoritmo descrito en a tesis. Denici n. Decimos que M := C (a) es un -m duo cadena abierta de a forma C = (i; j) si satisface as siguientes condiciones: 1) M = hai, como -m duo, 2) i y j son os m nimos enteros no negativos taes que i a = 0, j a = 0. Teorema 1. Sea M = C (a) un -m duo cadena abierta de a forma C = (i; j), generado por a. Si ponemos i = t(p? 1) + r ta que 0 < r 6 p? 1, entonces: Si p > i M = (i? 1)Z p Z p j; si p 6 i y t > j M = Z p j?1 rz p t+1 (p? r? 1)Z p t; si p 6 i y t < j M = Z p j (r? 1)Z p t+1 (p? r)z p t: Teorema 2. Sea M = C (a) un -m duo cadena abierta de a forma C = (i; j), generado por a. Si ponemos i = t(p? 1) + r ta que 0 < r 6 p? 1, entonces: Si p > i si p 6 i y si t > j si p 6 i y si t < j = fa; a; : : : ; i?1 ag; = fa; a; : : : ; p?2 a; ag; = fa; a; : : : ; p?1 ag; es una p-base de M. 2

3 i Ejempo. p = 3, n = 4, C = ( 9; 4), j i = p 6 i y t > j entonces tenemos que y adem s que a p-base de M es t 4(p? 1) + M = Z p 3 Z p 5 Z p 4; = fa; a; ag: r 1, p = Como 2 p-bases de Gr bner Aqui denimos e concepto de p-base de Gr bner asociada a m duos nitos. Modeamos e probema de cacuar una p-base de os Z p nc p -m duos cadena abierta de a forma C = (i; j) utiizando este concepto de p-bases de Gr bner. Sea k un campo y k[x] = k[x 1 ; : : : ; x n ], e anio de poinomios en n variabes. Los monomios en k[x] son denotados x a = x a1 1 xa2 2 xan n e identicados con as n-adas a = (a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ) en N n. Un orden tota en N n es un orden monomia si e vector cero es e nico eemento minima, y a b impica a + c b + c para todos a; b; c 2 N n. Dado un orden monomia, todo poinomio no cero en k[x] tiene un nico monomio inicia, denotado por in (f ). Si I es un idea en k[x], entonces su idea inicia es e idea monomia in (I) := hin (f ) j f 2 Ii. Un subconjunto nito G I es una base de Gr bner de I con respecto a si in (I) es generado por fin (g) j g 2 Gg. Es amada reducida si, para cuaquier par de eementos distintos g; g 0 2 G, ning n monomio de g 0 es divisibe por in (g). La base de Gr bner reducida es nica con respecto a orden monomia, con a condici n de que todos os poinomios en G sean m nicos. Adem s a partir de cuaquier conjunto generador de I, podemos cacuar a base de Gr bner reducida de I a trav s de agoritmo de Buchberger. Sea G un p-grupo abeiano nito, y C = fc 1 ; : : : ; c n g un conjunto generador de G. Sea X = fx 1 ; : : : ; x n g e conjunto de n indeterminadas, y sea T e monoide generado por X. Denimos a homomorsmo de a siguiente manera : T! G x i 7! c i Sea ~ a extensi n natura de a un homomorsmo entre as K- gebras K[X] y K[G]. E n ceo de ~ es un idea, e cua denotamos por I C. Denici n. La base de Gr bner asociada a G con respecto a (; C) es a base de Gr bner reducida, con respecto a, de idea I C, y a denotamos por G C. E siguiente teorema reaciona esta base de Gr bner, G C, con una p-base de grupo G. 3

4 Teorema 3. Sea C = fc 1 ; : : : ; c n g un conjunto generador de p-grupo abeiano nito G, y sean k 1 ; : : : ; k s enteros mayores que 1. Entonces G C tiene a forma si, y s o si, es una p-base de G. G C = fx pk 1 1? 1; : : : ; x pki?1 i?1? 1; x pk i i? ( x s+1? i?1 s B = fc 1 ; : : : ; c i?1 ; c i? x n0 i ) pk i ; : : : ; x pks x n (s+1) ; : : : ; x n? Xi?1 s? ( s?1 n?1 x n0 s ) pks ; x nn g; X s?1 n 0 i c ; : : : ; c s? n 0 s c g Denici n. Sea M un p-grupo abeiano nito, y G una base de Gr bner asociada a M. Entonces G es una p-base de Gr bner de M, si tiene a forma descrita en e teorema 3. Sea M = C (a) un -m duo cadena abierta de a forma C = (i; j), generado por a. Como consecuencia de teorema 3, para encontrar una p-base de M, basta encontrar una p-base de Gr bner de M visto como p-grupo. Para o cua desarroamos un agoritmo en a tesis, que b sicamente consiste en denir e morsmo, encontrar e idea I C asociado a M, cacuar a base de Gr bner reducida, con respecto a un orden monomia espec co (orden exicogr co), de I C, y utiizar e teorema 3 para encontrar os eementos de a p-base de M. A continuaci n desarroamos un ejempo que muestra a p-base obtenida por e teorema 2 y dos p-bases obtenidas a trav s de a modeaci n agor tmica. i Ejempo. p = 5, n = 2, C = ( 7; 2), j t r i = 1(p? 1) + 3, p = Como p 6 i y t < j entonces por e teorema 1 tenemos que M = 3Z p 2 2Z p y adem s por e teorema 2 tenemos que Sea e homomorsmo: = fa; a; 2 a; 3 a; 4 ag (x 1 ) = a; (x 2 ) = a; : : : ; (x 7 ) = 6 a; (x 8 ) = a Entonces agunos teoremas t cnicos demostrados en a tesis nos dicen que as reaciones de denici n (os generadores de idea I C ) son fx 5 1? x 8 x 4 5 x2 6 x3 7 ; x5 2? x 4 6 x2 7 ; x5 3? x 4 7 ; x5 4? 1; x 5 5? 1; x 5 6? 1; x 5 7? 1; x 5 8? 1g 4

5 Por o tanto a p-base de Gr bner asociada a M (obtenida usando e paquete Macauay2) es fx 25 1? 1; x 25 2? 1; x 25 3? 1; x 5 4? 1; x 5 5? 1; x 6? x 15 3 x20 2 ; x 7? x 6 x 5 3 x5 2 ; x 8? x 5 x 10 3 x10 2 x5 1g A partir de esta p-base de Gr bner obtenemos a siguiente p-base de M: fa; a; 2 a; 3 a; 4 ag Si ordenamos as indeterminadas de a siguiente manera x 7 x 6 x 5 x 4 x 8 x 3 x 2 x 1 Obtenemos otra p-base de Gr bner asociada a M: fx 25 1? 1; x 25 2? 1; x 25 3? 1; x 5 8? 1; x 5 4? 1; x 5? x 8 x 15 3 x15 2 x20 1 ; x 6? x 5 x 4 8 x5 2 x5 1 ; x 7? x 6 x 5 3 x5 2g A partir de esta p-base de Gr bner obtenemos a siguiente p-base de M: fa; a; 2 a; 3 a; ag: Referencias [1] W. W. Adams y P. Loustaunau, An Introduction to Gr bner Bases, Graduate Studies in Mathematics, vo. 3, American Mathematica Society, Providence, [2] M. A. Avi y L. D. Garc a Puente, Gr bner Bases Associated to Bases of Finite Modues, en preparaci n. [3] M. A. Avi Diaz y R. Bautista Ramos, The Additive Structure of Indecomposabe Z p nc p -Modues, Communications in Agebra. 24 (1996), no. 8, [4] M. A. Borges Trenard, Bases de Groebner Asociadas con Monoides Finitamente Generados, Tesis Doctora, Academia de Ciencias de Cuba, Santiago de Cuba, Junio [5] B. Sturmfes, Gr bner Bases and Convex Poytopes, University Lecture Series, vo. 8, American Mathematica Society, Providence, [6] G. Szekeres, Determination of Certain Famiy of Finite Metabeian Groups, Trans. Amer. Math. Soc. 66(1949),