3 ESPACIOS VECTORIALES 3.1 Espacios vectoriales

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1 3 ESPACIOS VECTORIALES 3.1 Espacios vectoriales Sea 𝑉 un conjunto en el que se han definido dos opaciones: Suma de vectores Producto de un vector por un escalar Se dice que 𝑉 tiene estructura de espacio vectorial sobre ℝ si se vifica para todo 𝒖, 𝒗, 𝒘 𝑉 y para todo 𝜆, 𝜇 ℝ las siguientes propiedades: 1. 𝒖 + 𝒗 𝑉 2. 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖 3. 𝒖 + 𝒗 + 𝒘 = 𝒖 + 𝒗 + 𝒘 4. 𝒐 𝑉, 𝒖 𝑉, 𝒖 + 𝒐 = 𝒖 5. 𝒖 𝑉, 𝒖 𝑉, 𝒖 + 𝒗 = 𝒐 6. 𝜆𝒖 𝑉 7. 𝜆 𝒖 + 𝒗 = 𝜆𝒖 + 𝜆𝒗 8. 𝜆 + 𝜇 𝒖 = 𝜆𝒖 + 𝜇𝒗 9. 𝜆 𝜇𝒖 = 𝜆𝜇 𝒖 1. 1 𝒖 = 𝒖 La suma es crada Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Elemento neutro de la suma Elemento invso de la suma Multiplicación por un escalar es crada Propiedad distributiva Propiedad distributiva Propiedad asociativa Identidad escalar Ejemplos 1. Puede demostrase que definidos en ℝ los vectores como pares ordenados de númos 𝒗 = (𝑣, 𝑣 ) y las opaciones: Suma de vectores: 𝒖 + 𝒗 = 𝑢, 𝑢 + 𝑣, 𝑣 = 𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣 Producto por un escalar: 𝜆 𝒖 = 𝜆𝑢, 𝜆𝑢 Dotan a ℝ de estructura de espacio vectorial sobre ℝ con el vector 𝒐 = (, ) como elemento neutro de la suma y ( 𝑢, 𝑢 ) como elemento invso. 2. El conjunto de las matrices de tamaño 𝑚 x 𝑛, con las opaciones habituales de suma de matrices y producto por un escalar, posee estructura de espacio vectorial sobre ℝ. 3. El conjunto de los polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que 𝑛 con la suma y multiplicación por un numo real habituales. 4. El conjunto de los polinomios de coeficientes reales de grado 𝑛 no es un espacio vectorial ya que, por ejemplo, la suma de 𝑥 + 2𝑥 + 1 y 𝑥 + 3𝑥 da como resultado 5𝑥 + 1 que no es un polinomio de grado 𝑛, es decir la suma no es una opación crada. 4. El conjunto de las funciones reales continuas en toda la recta real, con las opaciones: 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 = 𝑓+𝑔 𝑥 𝜆 𝑓 𝑥 = 𝜆 𝑓 𝑥 Propiedades de la multiplicación por un escalar Sea 𝑉 un espacio vectorial sobre ℝ, si 𝒖, 𝒗 𝑉 y 𝜆, 𝜇 ℝ, se cumplen las siguientes propiedades: 1. 𝒗 = 𝒐 2. 𝜆𝒐 = 𝒐 3. 𝑆𝑖 𝜆𝒗 = 𝒐 𝝀 = ó 𝒗 = 𝒐 45

2 4. 𝜆𝒖 = 𝝀 𝒖 = 𝝀 𝒖 5. (𝜆𝒖 = 𝜇𝒖 y 𝒖 𝒐) 𝝀 = 𝝁 6. (𝜆𝒖 = 𝝀𝒗 y 𝝀 ) 𝒖 = 𝒗 : 1. 𝒗 = + 𝒗 = 𝒗 + 𝒗, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝒖 = 𝒐 2. 𝜆𝒐 = 𝜆 𝒐 + 𝒐 = 𝜆𝒐 + 𝜆𝒐, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝜆𝒐 = 𝒐 3. Si fuese 𝜆, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟í𝑎 𝜆 𝑦 𝑝𝑜𝑑𝑟í𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟𝑠𝑒 𝜆 𝜆𝒗 = 𝜆 𝒐 = 𝒐, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝒐 = 𝜆 𝜆 𝒖 = 1𝒖 = 𝒖 4. 𝜆 𝒖 + 𝜆𝒖 = 𝜆 + 𝜆 𝒖 = 𝒖 = 𝒐 y 𝜆 𝒖 + 𝜆𝒖 = 𝜆 𝒖 + 𝒖 = 𝜆𝒐 = 𝒐 5. Como 𝜆𝒖 𝜇𝒖 = 𝒐, es decir, 𝜆 𝜇 𝒖 = 𝒐, por s 𝒖 𝒐 ha de s 𝜆 𝜇 = 6. Como 𝜆𝒖 𝜆𝒗 = 𝒐, es decir, 𝜆 𝒖 𝒗 = 𝒐, por s 𝜆, ha de s 𝒖 𝒗 = 𝒐. 3.2 Subespacios vectoriales Un subconjunto no vacío 𝑊 de un espacio vectorial 𝑉, es un subespacio vectorial de 𝑉 si 𝑊 es espacio vectorial con las mismas opaciones de suma y producto por un escalar definidas en 𝑉. Para 𝑊 puede s subespacio de 𝑉, las dos opaciones han de s cradas en 𝑊. Para concluir que un conjunto es espacio vectorial, hay que comprobar los diez axiomas (3.1). Sin embargo al s 𝑊 un subconjunto de un espacio vectorial 𝑉 basta con vificar que las dos opaciones son cradas en 𝑊, es decir: Teorema. Un subconjunto no vacío 𝑊 de un espacio vectorial 𝑉 es subespacio de 𝑉 sí, y sólo sí, se satisfacen las dos condiciones: 1. 𝒖 + 𝒗 𝑊, 𝒖, 𝒗 𝑊 2. 𝜆𝒖 𝑊, 𝒖 𝑊 𝑦 𝜆 ℝ a) En una dirección la demostración es inmediata, si 𝑊 es subespacio de 𝑉, entonces 𝑊 es un espacio vectorial, y deben s cradas la suma y la multiplicación por un escalar. b) Para demostrar el teorema en la otra dirección, supongamos que la suma y la multiplicación por un escalar son cradas en 𝑊. Nótese que si 𝒖, 𝒗 y 𝒘 𝑊, también ptenecen a 𝑉 por lo que los axiomas, 2, 3, 7, 8, 9 y 1 de espacio vectorial se cumplen automáticamente. Además como la suma y la multiplicación por un escalar son cradas en 𝑊: 𝒘 𝑊 y con 𝜆 =, se tiene que: 𝜆𝒘 = 𝒐 1 𝒘 = 𝒘 ambos ptenecen a 𝑊, luego se satisfacen los axiomas 4 y 5. Si 𝑊 es un subespacio del espacio vectorial 𝑉, ambos deben ten el mismo vector 𝒐. De hecho el subespacio vectorial más pequeño de un espacio vectorial, es aquél que posee como único vector el vector nulo y se denomina como subespacio co: 𝑊 = {𝒐}. 46

3 Otro subespacio vectorial de 𝑉 es el propio 𝑉. Todo espacio vectorial contiene estos dos subespacios, denominados triviales. Los subespacios distintos de estos dos se llaman subespacios propios o no triviales. Ejemplos 1. El conjunto de matrices simétricas de orden 2, es subespacio del espacio vectorial de las matrices de orden 2, con las opaciones usuales de suma de matrices y multiplicación por un escalar. La suma de matrices simétricas, produce una matriz simétrica y el producto por un escalar también produce una matriz simétrica ya que 𝐴, 𝐵 ℳ y 𝜆 ℝ: 𝐴+𝐵 = 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 (𝜆𝐴) = 𝜆𝐴 = 𝜆𝐴 2. El conjunto de matrices singulares de orden 2 no es subespacio del espacio vectorial de las matrices de orden 2, porque, por ejemplo, la suma de dos matrices: 𝐴= 1 𝐵 = 1 singulares, da como resultado: 𝐴+𝐵 = 1 1 que es no singular Intsección de subespacios vectoriales. Si 𝑉 y 𝑊 son subespacios del espacio vectorial 𝑈, la intsección de 𝑉 y 𝑊 (denotada por 𝑉 𝑊) es también un subespacio de 𝑈. a) Por s 𝑉 y 𝑊 subespacios de 𝑈, ambos contienen el vector co, luego 𝑉 𝑊 es no vacío. b) Para v que la suma es crada en 𝑉 𝑊, sean 𝒗 y 𝒗 dos vectores de 𝑉 𝑊. Al s 𝑉 y 𝑊 subespacios de 𝑈, la suma es crada en ambos. Por tanto, como 𝒗 y 𝒗 están en 𝑉, 𝒗 + 𝒗 𝑉. Análogamente, como 𝒗 y 𝒗 están en 𝑊, 𝒗 + 𝒗 𝑊. Lo que implica que 𝒗 + 𝒗 𝑉 𝑊, de modo que en 𝑉 𝑊 la suma es crada. c) De forma análoga se demuestra que la multiplicación por un escalar es crada en 𝑉 𝑊. El subespacio intsección de varios subespacios es el más amplio de todos los subespacios contenidos en todos ellos Subespacios de ℝ Subespacios de ℝ Cuál de estos conjuntos es subespacio de ℝ? a) El conjunto de los puntos de la recta 𝑥 + 2𝑦 = b) El conjunto de puntos de la recta 𝑥 + 2𝑦 = 1 Solución a) Un punto de la recta 𝑥 + 2𝑦 = es de la forma ( 2𝑡, 𝑡), donde 𝑡 es cualqui númo real. 47

4 Sean 𝒗𝟏 = 2𝑡, 𝑡 y 𝒗𝟐 = 2𝑡, 𝑡, dos puntos cualesquia de la recta. Entonces: 𝒗𝟏 + 𝒗𝟐 = 2𝑡, 𝑡 + 2𝑡, 𝑡 = 2 𝑡 + 𝑡, 𝑡 + 𝑡 = 2𝑡, 𝑡 donde 𝑡 = 𝑡 + 𝑡. Así pues, 𝒗𝟏 + 𝒗𝟐 está en la recta y, por tanto, la suma es crada. De forma análoga se demuestra que la multiplicación por un escalar es crada en este conjunto y, por tanto es subespacio de ℝ. b) Este subconjunto de ℝ no es subespacio porque no contiene al vector co. Un subconjunto 𝑊 de ℝ es subespacio sí y sólo sí, está formado por alguno de estos conjuntos de puntos: a) El punto (, ) únicamente. b) Una recta que pasa por el origen c) Todo ℝ. Otro ejemplo Probar que el subconjunto de ℝ formado por todos los puntos de la circunfencia unidad 𝑥 + 𝑦 = 1 no es subespacio de ℝ. Solución Este subconjunto no es subespacio porque los puntos (1, ) y (, 1) ptenecen a él, mientras que su suma (1, 1) no ptenece, por tanto, la suma no es crada. También podría llegarse a la misma conclusión, al denotar que el vector co (, ) no ptenece a él Unión y suma de subespacios Obsvación (unión de dos subespacios) En genal, la unión conjuntista de dos subespacios de un espacio vectorial, no es subespacio suyo. Así, por ejemplo, en el espacio vectorial 𝑉 = ℱ(ℝ, ℝ) de las funciones reales definidas en ℝ, considérense los subespacios 𝑈 de las funciones polinómicas y 𝑈 de las funciones acotadas. Evidentemente, la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 ptenece a 𝑈 y la función 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ptenece a 𝑈,y consecuentemente 𝑓 y 𝑔 ptenecen ambas a 𝑈 𝑈. Si 𝑈 𝑈 fuese un subespacio, debía ptenecle la función 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥. Po 𝑓 + 𝑔 ni está acotada ni es polinómica, por tanto 𝑓 + 𝑔 𝑈 𝑈, luego 𝑈 𝑈 no es un subespacio de 𝑉 Suma de dos subespacios Dados un espacio vectorial 𝑉 y dos subespacios suyos 𝑈 y 𝑈, se llama suma de dichos subespacios y se representa por 𝑈 + 𝑈, al conjunto de todos los vectores de 𝑉 que pueden expresarse como suma de un vector de 𝑈 y otro de 𝑈, es decir: 𝑈 + 𝑈 = 𝒖 = 𝒖 + 𝒖 𝒖 𝑈, 𝒖 𝑈 Pues bien, la suma de dos subespacios es, a su vez, un nuevo subespacio. En efecto, si 𝒖 y 𝒗 son dos vectores de 𝑈 + 𝑈, y para cualquia que sean los escalares 𝜆 y 𝜇, como 𝒖 = 𝒖 + 𝒖 y 𝒗 = 𝒗 + 𝒗, para citos 𝒖, 𝒗 𝑈 y 𝒖, 𝒗 𝑈, sá: 𝜆𝒖 + 𝜇𝒗 = 𝜆𝒖 + 𝜇𝒗 + (𝜆𝒖 + 𝜇𝒗 ), 48

5 Ahora bien, como 𝑈 y 𝑈 son subespacios, 𝜆𝒖 + 𝜇𝒗 𝑈 y 𝜆𝒖 + 𝜇𝒗 𝑈 y, por tanto, la suma de estos dos vectores ptenece a 𝑈 + 𝑈, lo que prueba que 𝑈 + 𝑈 es un subespacio vectorial Suma de varios subespacios La definición de suma se extiende, de un modo natural, al caso de varios subespacios de la siguiente mana: dados los subespacios 𝑈, 𝑈,, 𝑈 del espacio vectorial 𝑉, se llama suma de dichos subespacios, y se representa mediante 𝑈 + 𝑈 + + 𝑈 = 𝑈, al conjunto de todos los vectores de 𝑉 expresables como suma de vectores de los subespacios dados, es decir: 𝑈 = 𝑈 + 𝑈 + + 𝑈 = {𝒖 = 𝒖 + 𝒖 + + 𝒖 𝒖 𝑈, 𝑖 = 1, 2,, 𝑛} También en este caso, la suma de varios subespacios es un subespacio vectorial Proposición En un espacio vectorial 𝑉, la suma de varios subespacios suyos ( subespacios que contiene a todos los sumandos. 𝑈 ), es el menos amplio de los En efecto, la suma 𝑈 contiene a 𝑈, 𝑗 = 1, 2,., 𝑛, pues si 𝒖 𝑈, como 𝒖 = 𝒐 + 𝒐 + + 𝒐 + 𝒖 + 𝒐 + + 𝒐, y el vector nulo ptenece a todos los subespacios, entonces: 𝒖 = 𝑈 Recíprocamente, si el subespacio 𝑈 contiene a los 𝑈, 𝑈,., 𝑈, para cualqui 𝒖 𝑈 como 𝒖 = 𝒖 + 𝒖 + + 𝒖, para citos 𝒖 𝑈 𝑈, 𝑖 = 1, 2,, 𝑛, sá: 𝒖= 𝒖 𝑈 es decir, 𝑈 𝑈 Obsvación Dados dos subespacios 𝑈 y 𝑈 de un espacio vectorial 𝑉 (análogas considaciones podrían realizarse para varios subespacios), a partir de ellos se han definido los tres conjuntos 𝑈 𝑈, 𝑈 𝑈 y 𝑈 + 𝑈. El primo contenido en 𝑈 y 𝑈, y los dos segundos conteniéndoles. 49

6 𝑈 𝑈 es el mayor conjunto contenido en 𝑈 y 𝑈 y, como es un subespacio, resulta s el mayor subespacio contenido en 𝑈 y 𝑈. 𝑈 𝑈, que es el menor conjunto que contiene a 𝑈 y a 𝑈, no es un subespacio. 𝑈 + 𝑈 es el menor subespacio que contiene a 𝑈 y 𝑈 po, en genal, no es el menor de los conjuntos que contienen a ambos. V" U1" U1+U2" U1 U2"" U2" U1 U2" Suma directa. Subespacios independientes Un vector 𝒖 de un espacio vectorial 𝑉, ptenece a la suma 𝑈, de varios subespacios de 𝑉, si es posible expresarlo como suma de vectores de los subespacios sumandos. Ahora bien, tal descomposición puede no s única, es decir, puede ocurrir que se tenga: 𝒖 = 𝒖 + 𝒖 + + 𝒖 y 𝒖 = 𝒖 + 𝒖 + + 𝒖 con 𝒖, 𝒖 𝑈, 𝑖 = 1, 2,, 𝑛, siendo 𝒖 𝒖 para algunos subíndices 𝑗. Así, por ejemplo, para el espacio vectorial ℝ y sus subespacios 𝑈 = { 𝑥,, 𝑧, } y 𝑈 = {, 𝑦, 𝑧, }, ocurre que el vector (3, 2, 5, ) ptenece a 𝑈 + 𝑈 y es posible expresarlo como suma de un vector de 𝑈 y otro de 𝑈, de más de una mana: 3, 2, 5, = 3,, 1, +, 2, 4, y 3, 2, 5, = 3,, 6, +, 2, 1, Se pasa a analizar los casos en que tal descomposición es siempre única Definición Dados un espacio vectorial 𝑉 y varios subespacios suyos 𝑈, 𝑈,, 𝑈, se dice que su suma 𝑈 = 𝑈 + 𝑈 + + 𝑈 es suma directa, y se indica escribiéndola de la forma 𝑈 𝑈 𝑈, si todo vector de dicha suma puede expresarse de mana única como suma de vectores de los espacios sumandos. Si la suma de los subespacios 𝑈, 𝑈,, 𝑈 es directa, se dice que son subespacios independientes Proposición Los subespacios 𝑈, 𝑈,, 𝑈 del espacio vectorial 𝑉 son independientes sí, y sólo sí, la descomposición del vector co en suma de vectores de dichos subespacios es única: 𝒐 = 𝒐 + 𝒐 + + 𝒐. Es decir: 5

7 La suma de los subespacios 𝑈, 𝑈,, 𝑈 es directa Si 𝒖 + 𝒖 + + 𝒖 = 𝒐, 𝒖 𝑈, 𝑖 = 1, 2,, 𝑛, entonces 𝒖 = 𝒖 = = 𝒖 = 𝒐 a) Si los subespacios 𝑈 son independientes, como el vector co es de su suma y admite la descomposición 𝒐 = 𝒐 + 𝒐 + + 𝒐, por s la suma directa esta descomposición es la única posible en suma de vectores de los subespacios 𝑈. Es decir, si 𝒖 + 𝒖 + + 𝒖 = 𝒐, 𝒖 𝑈, 𝑖 = 1, 2,, 𝑛, entonces 𝒖 = 𝒖 = = 𝒖 = 𝒐. b) En el supuesto de s cito que el vector co admite descomposición única en suma de vectores de los subespacios 𝑈, hay que probar que sucede lo mismo con cualqui vector de la suma 𝑈. Supóngase que 𝒖 + 𝒖 + + 𝒖 = 𝒖 + 𝒖 + + 𝒖 para citos 𝒖, 𝒖 𝑈, 𝑖 = 1, 2,, 𝑛 entoces 𝒖 𝒖 + 𝒖 𝒖 + + 𝒖 𝒖 = 𝒐 vificándose que 𝒖 𝒖 𝑈, por tanto, en virtud de la hipótesis, ha de s 𝒖 𝒖 = 𝒐, 𝑖 = 1, 2,, 𝑛, que confirma la proposición Proposición Si la suma de los subespacios 𝑈, 𝑈,, 𝑈 del espacio vectorial 𝑉, es directa, entonces también es directa la suma de cualesquia de ellos. Para probar esta proposición basta con cciorarse de que los subespacios 𝑈,, 𝑈 son independientes, pues con repetir la demostración un númo finito de veces se prueban todos los casos que se pueden presentar. Supóngase que 𝑈,, 𝑈 no fuesen independientes, es decir, que un cito vector 𝒖 de su suma admitiese dos descomposiciones distintas como suma de vectores de los subespacios sumandos, 𝒖 = 𝒖 + + 𝒖 y 𝒖 = 𝒖 + + 𝒖 con 𝒖, 𝒖 𝑈, 𝑖 = 2,, 𝑛 y siendo 𝒖 𝒖 para algunos subíndices 𝑗. Entonces tomando un vector cualquia 𝒖 𝑈, el vector 𝒗 = 𝒖 + 𝒖 ptenecía a la suma y sía expresable como suma de vectores de 𝑈, 𝑈,, 𝑈 de dos modos distintos: 𝑈 𝒖 = 𝒖 + 𝒖 + + 𝒖 y 𝒖 = 𝒖 + 𝒖 + + 𝒖 lo cual no es posible, pues estos subespacios son independientes. Esta imposibilidad obliga a rechazar el supuesto de s 𝑈,, 𝑈 no independientes, es decir, la proposición es vdada Proposición Si en un subespacio vectorial varios subespacios son independientes, entonces son distintos dos a dos. Es decir: 51

8 La suma de los subespacios 𝑈, 𝑈,, 𝑈 es directa 𝑈 𝑈 = 𝑂, 𝑖 𝑗 Si dos de los subespacios 𝑈 y 𝑈, con 𝑖 𝑗, no fuesen distintos, es decir, si existe 𝒗 𝒐 que ptenece a ambos, todo vector 𝒖 = 𝒖 + 𝒖 + + 𝒖 de la suma podría expresarse también de la forma: 𝒖 = 𝒖 + + 𝒖 + 𝒗 + + 𝒖 𝒗 + + 𝒖 como suma de vectores de los subespacios sumandos, distinta de la de partida, lo cual no es posible, ya que dichos subespacios son independientes. Conviene obsvar que la proposición recíproca, en genal, no sá cita, es decir, el sólo hecho de s unos subespacios disjuntos, no implica forzosamente que sean independientes. Así por ejemplo, en el espacio vectorial ℝ, los subespacios 𝑈 = {(𝑥, ) 𝑥 ℝ}, 𝑈 = {(, 𝑦) 𝑦 ℝ} y 𝑈 = { 𝑡, 𝑡 𝑡 ℝ} son tales que: 𝑈 𝑈 = 𝑈 𝑈 = 𝑈 𝑈 = 𝑂 y, sin embargo, no son independientes, ya que, por ejemplo: 2, 1 = 1, +, 2 + 3, 3 y 2, 1 = 3, +, 2 + 1, Caso de dos subespacios Cuando únicamente se considan dos subespacios 𝑈 y 𝑈, de un espacio vectorial 𝑉, tiene total validez todas las considaciones antiores, para un númo finito cualquia de subespacios. En este caso se satisface además, la proposición recíproca de la proposición de modo que: Proposición. En un espacio vectorial, dos subespacios 𝑈 y 𝑈 son independientes sí, y sólo sí, son disjuntos. Es decir: (La suma 𝑈 + 𝑈 es directa) 𝑈 𝑈 = 𝑂 Como, según la proposición , si los subespacios son independientes, entonces son disjuntos, sólo resta probar el recíproco. Si fuese falso dicho recíproco, existirían dos descomposiciones distintas, en suma de vectores de 𝑈 y 𝑈, de algún vector 𝒖 𝑈 + 𝑈, es decir, sía 𝒖 = 𝒖 + 𝒖 y 𝒖 = 𝒖 + 𝒖, con 𝒖, 𝒖 𝑈 y 𝒖, 𝒖 𝑈 y entonces: 𝒖 𝒖 = 𝒖 𝒖 𝒐 Siendo 𝒖 𝒖 𝑈 y 𝒖 𝒖 𝑈, es decir, los subespacios 𝑈 y 𝑈 tendrían en común un vector no nulo, lo cual es falso por hipótesis. 52

9 Subespacios suplementarios Dos subespacios 𝑈 y 𝑈, de un espacio vectorial 𝑉, se dicen suplementarios si son disjuntos, y su suma es todo el espacio vectorial 𝑉, es decir, cuando son independientes y su suma es 𝑉. Dicho de otra forma, los subespacios 𝑈 y 𝑈 son suplementarios, en el espacio vectorial 𝑉, si todo vector de 𝑉 puede expresarse de modo único como suma de un vector de 𝑈 y otro de 𝑈. Puede afirmarse que: 𝑈 y 𝑈 son subespacios suplementarios de 𝑉 𝑈 𝑈 = 𝑉 𝑈 + 𝑈 = 𝑉 𝑈 𝑈 = 𝑂 Obsérvese que si 𝑈 y 𝑈 son dos subespacios suplementarios de 𝑉, 𝑈 no sá forzosamente el único subespacio suplementario de 𝑈, es decir, puede existir otro subespacio 𝑈 distinto de 𝑈 tal que se vifique que 𝑈 𝑈 = 𝑉. Por ejemplo, en ℝ son subespacios suplementarios de 𝑈 = { 𝑥,, 𝑥 ℝ} los 𝑈 = {, 𝑦, 𝑦 ℝ} y 𝑈 = { 𝑡, 𝑡, 𝑡 ℝ}. 3.3 Dependencia e independencia lineal Combinación lineal de vectores. Un vector 𝒗 de un espacio vectorial 𝑉 se dice que es combinación lineal de los vectores 𝒖, 𝒖,, 𝒖 de 𝑉 si se puede expresar en la forma: 𝒗 = 𝜆 𝒖 + 𝜆 𝒖 + + 𝜆 𝒖 donde 𝜆, 𝜆,, 𝜆 son escalares. A veces uno o varios de los vectores de un conjunto dado se pueden expresar como combinación lineal de otros. Cálculo de una combinación lineal. Escribir el vector 𝑤 = (1, 1, 1) como combinación lineal de vectores del conjunto 𝑆 = {𝒔, 𝒔, 𝒔 }, siendo: 𝒔 = 1, 2, 3 ; 𝒔 =, 1, 2 ; 𝒔 = ( 1,, 1) Solución Hemos de encontrar escalares tales que: 1, 1, 1 = 𝜆 1, 2, 3 + 𝜆, 1, 2 + 𝜆 1,, 1 = = (𝜆 𝜆, 2𝜆 + 𝜆, 3𝜆 + 2𝜆 + 𝜆 ) Igualando componente a componente, obtenemos el sistema de ecuaciones lineales: 𝜆 𝜆 = 1 2𝜆 + 𝜆 = 1 3𝜆 + 2𝜆 + 𝜆 = 1 53

10 Por eliminación de Gauss-Jordan se obsva que el sistema posee infinitas soluciones, todas ellas de la forma: 𝜆 = 1 + 𝑡 𝜆 = 1 2𝑡 𝜆 = 𝑡 Para hallar una solución particular podemos hac, por ejemplo, 𝑡 = 1. De modo que obtenemos: 𝜆 = 2 𝜆 = 3 𝜆 = 1 Es decir: 1, 1, 1 = 2 1, 2, 3 3, 1, 2 + 1,, 1 Otras elecciones del valor de 𝑡 producen distintas expresiones de 𝑤 como combinación lineal de 𝒔, 𝒔, 𝑦 𝒔 Sistemas de genadores Sea 𝑆 = {𝒗, 𝒗,, 𝒗 } un subconjunto de un espacio vectorial 𝑉. Se dice que 𝑆 es un sistema de genadores de 𝑉, sí, y sólo sí, todo vector de 𝑉 se puede descompon como combinación lineal de vectores de 𝑆. En tal caso diremos que 𝑆 gena 𝑉. Ejemplos a) El conjunto 𝑆 = { 1,,,,1,,,,1 } es un sistema de genadores de ℝ porque todo vector 𝒖 = (𝑢, 𝑢, 𝑢 ) de ℝ puede expresarse como combinación lineal de los vectores de 𝑆, de la forma: 𝒖 = 𝑢 1,, + 𝑢,1, + 𝑢,,1 = (𝑢, 𝑢, 𝑢 ) b) El conjunto 𝑆 = {1, 𝑥, 𝑥 } gena 𝑃 3 porque cualqui polinomio 𝑝 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 de 𝑃 se puede expresar como: 𝑝 𝑥 = 𝑎 1 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 𝑥 Los sistemas de genadores de los ejemplos antiores se denominan sistemas canónicos de ℝ y 𝑃 respectivamente. Ejemplo Probar que el conjunto 𝑆 = { 1, 2, 3, 1, 2, 2,, 1 } gena ℝ. Solución Sea 𝒖 = (𝑢, 𝑢, 𝑢 ) cualqui vector de ℝ, necesitamos encontrar escalares 𝜆, 𝜆, 𝜆 tales que: 𝑢, 𝑢, 𝑢 = 𝜆 1, 2, 3 + 𝜆, 1, 2 + 𝜆 2,, 1 = 𝜆 2𝜆, 2𝜆 + 𝜆, 3𝜆 + 2𝜆 + 𝜆 Igualando componente a componente, obtenemos un sistema lineal de ecuaciones: 3 𝑃 es el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que 2 54