Análisis de Supervivencia. Con R

Transcripción

1 Análisis de Supervivencia Con R

2 Estudios Longitudinales Con la finalidad de estudiar la distribución de los tiempos de supervivencia de un conjunto de individuos que estan en el estudio Ámbito médico Confiabilidad de productos

3 Preguntas a resolver 1.-Determinar el tiempo de duración de un aparato para fijar la garantía 2.-Determinar la propensión a fallar que tienen el producto en un tiempo dado. Para comparar dos o más diseños o procesos, o lo que se publicita por un proveedor. Comparar para diferentes materiales, proveedores la supervivencia de un aparato

4 Ejemplo Se tomaron n = 1,000 chips probados durante 1,500 horas a una temperatura de 80ºC y se observaron 40 con falla. Al finalizar la prueba 960 chips funcionaban adecuadamente. Cuál es la probabilidad de que fallen antes de las 500 horas? Cuál es el riesgo de falla a las 300 horas? Cuál es la proporción de chips que fallarán antes de 250 horas?

5 Funciones de interés Función de supervivencia Probabilidad de que un suceso de interés se presente después de un determinado tiempo

6 Función de Riesgo La probabilidad de que se presente el suceso el siguiente instante de tiempo Caso continuo

7 Cómo estimo la función de supervivencia a partir de mis datos? Métodos paramétricos Métodos no paramétricos

8 Importancia Técnica Generar modelos bajo la presencia de censura o truncamientos En R

9 Librerías que deben cargar en R Esta paquetería deberá ser invocada siempre que se desea hacer un análisis con esta estructura (survival) Muestra las bases de datos que acompañan al desarrollo de la metodología

10 Bases de Datos de Supervivencia

11 Existen diferentes estructuras de las bases de datos es importante que analicen como se construyó cada una y de qué manera esta codificada

12 Es necesario saber cómo fue codificado la variable status que nos indica el tipo de censura o en otro caso la ocurrencia del evento

13 Ejemplo estructura de los datos

14 Estructura de los datos Supervivencia después de una intervención quirúrgica. Con el círculo se representan las pérdidas y con el cuadrado las muertes (ocurrencia del evento).

15 Intervención Quirúrgica A desaparece del estudio 3 meses después de la intervención (pérdida) B fallece a los 2,5 meses. C sigue vivo al acabar el estudio (pérdida) D al que se le interviene en el mes 1, fallece en el 9, el tiempo de supervivencia sería 8 meses (hay 1 mes de pérdida por la izquierda) E se le interviene en el mes 2, se pierde en el 7 (sería una pérdida a los 5 meses, ya que hay pérdida en sentido estricto y pérdida por la izquierda) F se le interviene en el mes 6, sigue vivo al acabar el estudio, sería una pérdida a los 6 meses (existe pérdida por fin del estudio y pérdida por la

16 Ejemplo función de riesgo y función de supervivencia a través de un método no paramétrico

17 Ejemplo función de riesgo y función de supervivencia Son analizados 12 individuos a lo largo del tiempo con prótesis cardiaca, en los siguientes tiempos de supervivencia (años) : 6*, 6, 6, 6, 10, 12*, 12, 15, 15*, 17, 22, 22. El asterisco indica pérdida Entonces para este caso: Se perdieron 3 individuos en los tiempos 6, 12 y 15.

18 Datos Tiempo Ind. en Eventos ti riesgo di ni Censuras ci

19 Función de supervivencia.habría un método directo para calcular la supervivencia en cada instante # de sobrevivientes /Total Sin embargo es insuficiente porque no toma en cuenta las censuras Función de riesgo sería # de fallecidos en t / # de sobrevivientes

20 Datos Tiempo ti Ind. en riesgo ni Eventos di F. Riesgo h(i)=(di/ni) /12=0, /8=0, /7=0, /5=0, /3=0,333

21 Función de riesgo h ( t j ) =Pr ( T=t j T t j ) = S ( t j 1 ) S ( t j ) S ( t j 1 ) =1 Pr ( T=t j ) P ( T t j ) = f ( t j) S ( t j 1 ) S ( t j) S ( t j 1 ) De acuerdo a la relación con la función de riesgo se obtiene la función de supervivencia como:

22 Función de Supervivencia S ( t 1 ) =[ 1 h ( t 1 ) ] S ( t 0 ) =1 h ( t 1 ) = =0. 75 S ( t 2 ) = [ 1 h ( t 2 ) ] S ( t 1 ) =( ) ( 0.75 )= S ( t 3 ) = [ 1 h ( t 3 ) ] S ( t 2 ) = ( ) ( ) = S ( t 4 ) =[ 1 h ( t 4 ) ] S ( t 3 ) =( ) ( )= S ( t 5 ) = [ 1 h ( t 5 ) ] S ( t 4 ) =( ) ( )=0. 3

23 Datos Tiempo Ind. en riesgo Evento s F. riesgo F. Supervivenc ia /12=0, /8=0,125 0, /7=0,143 0, /5=0,2 0, /3=0,333 0, /2=1 0,3

24 En R 6*,6,6,6,10,12*,12,15,15*,17,22,22 time=c(6,6,6,6,10,12,12,15,15,17,22,22) status=c(1,1,1,0,1,1,0,1,0,1,1,1) Creamos 2 vectores uno contiene los tiempos y el segundo vector es la variable indicadora de las censuras

25 Estructura de sus datos

26 Función de supervivencia

27 Gráfica de la función de supervivencia

28 Métodos Paramétricos

29 Distribución exponencial Recordemos que la función de supervivencia es: S(t)=Pr(T>t) =1-F(t) Qué riesgos modela?

30 Estimación de los parámetros Para el caso de que no exista censura, el problema de estimación de los parámetros de los modelos paramétricos se hace a través de los métodos clásicos, entre los que destaca el método de máxima verosimilitud. f ( t ) =λe λt t F ( t )= λe λt dt= e λt t0 = e λt +1 0 Sabemos que S ( t )=1 F ( t ) =1 ( 1 e λt ) =e λt f ( t ) λe λt h ( t )= = λt =λ s (t ) e

31 Estimación sin censura n L= λe λt n n log L= log λ λt i =n log λ λ t i n i= 1 1er Caso No hay censura i=1

32 Función exponencial sin censura n log L n = t i =0 λ λ i=1 n n = t i λ i=1 ^λ=n n ti i=1 2do caso en presencia de censura

33 Presencia de censura En presencia de censura, hay una parte de la verosimilitud que es aportada por los eventos observados y otra por los datos censurados y se utiliza también el método de máxima verosimilitud los cuales pueden ser resueltos a través del método iterativos, entre los que se encuentran, el método de Newton y Raphson y el método de la cantidad de información de Fisher (Miller, 1982, Lawless, 2003). Caso general Se asume que para cada ( y i,δi ) observación i el par tendrá una verosimilitud de:

34 Verosimilitud con censura La verosimilitud de la muestra aleatoria completa, de tamaño n viene dada por: u y c representan los datos observados y censurados de la muestra aleatoria

35 Estimación con censura n m L= f ( t i ) S ( t i ) ni=1 j=1 L= λe λt i i=1 m j=1 n n i= 1 i=1 j=1 m log L=n log λ λ m λt i λt j L=λ e m log L=n log λ λt i λt j λt j e n e j=1 ( L n = λ λ ^λ=n ( n n ti + t j i=1 m t i + t j i=1 m t i + t j i=1 ( n j=1 j=1 ) j= 1 ) )

36 Ejemplo Imaginemos que en el ejemplo anterior tenemos indicios de poder modelar a través de la función exponencial n= 9 m= t i + t j= =149 i=1 j=1 ^ 9 =. 06 λ= 149

37 En R Debe ser indicado el modelo paramétrico:

38 Exponencial Es necesario observar la parametrización de la función de distribución utilizada

39 Reparametrización La gráficas resultan:

40 Gráficas

41 Modelo Weibull

42 Para utilizar los resultados vistos en clase para la función de supervivencia y de riesgo tenemos lamda=lamda^(gamma)

43 Funciones de la weibull s(t)= h(t)= λt e γλt γ γ 1 Otras transformaciones

44 weibull

45 En R

46

47 Supervivencia

48 Weibull En algunas ocasiones las fallas no empieza a observarse desde el tiempo cero sino hasta después de un periodo, es decir hasta después de este tiempo la probabilidad de falla es mayor a cero. Para esto se introduce en la distribución un parámetro de localización que recorre el inicio de la distribución a la derecha, quedando las funciones de densidad, de distribución, de confiabilidad y de riesgo para la distribución de Weibull como sigue: Las funciones más importantes con respecto al tema son:

49 Weibull 3 parámetros

50 Lognormal Esta distribución es apropiada cuando los tiempos de falla son el resultado de muchos efectos pequeños que actúan de manera multiplicativa. Al sacar el logaritmo de dichos efectos actúan de manera aditiva sobre el logaritmo del efecto global o logaritmo del tiempo de falla, se aplica a procesos de degradación por ejemplo de fatiga de metales y de aislantes eléctricos.

51 lognormal Esta distribución es un modelo común para los tiempos de la falla, se justifica para una variable aleatoria obtenida como el producto de un número de variables aleatorias positivas, iid. Se puede aplicar como modelo de el tiempo de falla causado por un proceso de degradación con tazas aleatorias que se combinan multiplicativamente

52 Para el contexto de confiabilidad Para el contexto de confiabilidad es necesario definir la función cuantil que hace referencia al tiempo al cuál falla una porción de unidades En el caso de la exponencial

53 Vida Media Exponencial: Mediana

54 Weibull 2 parámetros Mediana

55 Vida media y función cuantil Para la weibull de 3 parámetros se tiene: Mediana

56 Métodos no paramétricos

57 Hacia el Kaplan Meier Estimador natural

58 Modelos paramétricos Estimador natural de la supervivencia sólo es válido para datos en donde no existe censura Regresamos al ejemplo anterior Y dado la supervivencia empírica Sn(t)=(Ts>t)/n (Número de sobrevivientes/total) Características de la función Función escalonada no creciente Sin empates (saltos de 1/n) Con empates d/n Desperdicia información no toma cuenta si es falla o censura en

59 Ejemplo anterior (supongo que no hay censura) Tiempo ti Ind. en riesgo ni Eventos di Censura s ci S(t) Estimador Número denatural sobrevivientes/total /12= /12= /12=0 1 8/12=.66 7/12=.58 5/12=.41 3/12=.25

60 Ejemplo anterior (supongo que no hay censura)

61 Gráfica sin censura (Saltos)

62 Tabla de vida (Método actuarial)

63 Tabla de vida Interv alos Vivos al inicio del Muertes o intervalo ni eventos dentro del intervalo di Abandono vivo o pérdidas del seguimiento La corrección por censura en tablas de vida radica básicamente en que los censurados se consideran expuestos solamente la mitad del intervalo donde se censuraron expuestos=vivos al comienzo del intervalo -censurados/2

64 Tabla de vida Probabilidad de muerte o del evento(riesgo) Probabilidad de sobrevivir al evento Probabilidad acumulada de supervivencia o función de supervivencia q = dj / (nj-[cj/2]) pj = 1 - qj s = pj (pj-1) / (949-[18/2]) = 0, , / (200-[16/2]) = 0, = 0.22 * / (132-[75/2]) ) = 0, = 0.16 * / (43-[33/2]) = 0, = 0.14 *0.62

65 Función de riesgo nj'=njcj/2 Función de riesgo(tasa de mortalidad instantánea(veloci dad del fallecimiento)) Varianzas S sj^2 *sum(qj/ (nj'pj))

66 Varianzas varianzas pj (pjqj/nj') varianzas qj ((qj-qj^2)/nj')

67 Intervalos de confianza Sj+1.96*sd Sj-1.96*sd

68 Tablas de vida en R Librerias Es necesario formar los siguientes vectores:

69 Tabla de vida en R El vector de expuestos no es necesario ya que R realiza el cálculo con solo dar el número total de expuestos al inicio

70 Gráfica de supervivencia Es posible graficar la función de supervivencia

71 Función de supervivencia

72 Función de riesgo

73 Estimador Kaplan Meier

74 Kaplan Meier

75 Características de Características de Sabemos: 1.-Salta en los tiempos de falla 2.-Continua en los tiempos de censura 3.-Constante entre dos tiempos de falla Ejemplo:

76 Datos Tiemp o ti 0 Ind. en riesgo ni (vivos no censurados 12 Eventos di Censuras ci Riesgo=di/ni 0 0 0/ / / / / /2 1/8

77 S(t) S ( t 1 ) =[ 1 h ( t 1 ) ] S ( t 0 ) =1 h ( t 1 ) = =0. 75 S ( t 2 ) = [ 1 h ( t 2 ) ] S ( t 1 ) =( ) ( 0.75 )= S ( t 3 ) = [ 1 h ( t 3 ) ] S ( t 2 ) = ( ) ( ) = S ( t 4 ) =[ 1 h ( t 4 ) ] S ( t 3 ) =( ) ( )= S ( t 5 ) = [ 1 h ( t 5 ) ] S ( t 4 ) =( ) ( )=0. 3 S ( t 6 ) =[ 1 h ( t 6 ) ] S ( t5 ) =( 1 1 ) ( 0. 3 )=0

78 S(t)

79 Los intervalos de confianza se abren

80 varianzas

81 Otro ejemplo

82 Tiempo de supervivencia (meses) ni di ci * * * * ejemplo2 di/ni Probabilidad de supervivencia 1/10=.1 (1-.1)= /6= (1-.166)*(.9)= /5=.2 (1-.2)*.75= * /2=.5 (1-.5)*.6= * 1 0 1

83 ejemplo2

84 ejemplo2

85 Interpretación La probabilidad de supervivencia entre un evento y otro permanece constante A los 3 y 5 meses la probabilidad de supervivencia es 0.9 A los 7 meses la probabilidad es de 0,6 y después de los 8. 3 meses la probabilidad permanece en 0.3. Mediana

86 Mediana Una de las medidas más importantes es la mediana La mediana de la supervivencia se puede obtener a partir de la curva del Kaplan Meier como el tiempo para el cuál la curva cambia de una probabilidad de supervivencia mayor de.5 a una menor de.5 En nuestros ejemplos anteriores:

87 Ejemplo 1 La mediana es 15

88 Ejemplo 2 La mediana es 8.3

89 Otros casos (Mediana) En caso de que la curva estimada sea horizontal en el nivel 0.5, como no se puede tomar un único número como estimador de la mediana, el punto medio del intervalo de tiempo sobre el cual la curva es 0,5 es un valor razonable. Si la estimación de la probabilidad de supervivencia siempre excede de 0,5, entonces no puede estimarse la mediana. Podemos establecer que la mediana excede el valor del tiempo de supervivencia de la observación mayor.

90 Intervalos de confianza

91 Fórmula de Greenwood para la varianza Método Delta k 2 ^ ^ r^ ( S ( t ) ) S ( t ) j=1 va dj nj ( nj dj )

92 Varianza ^ r ^ ( 0 ) ) 12 (S 0 12 ( 12 0 ) va ^ ( 1 ) ), 75 2 ^ (S r [ ] =, ( 12 3 ) 12 ( 12 0 ) va Tiempos 0,1

93 Varianza ^ ( 2 ) ), ^ (S r [ ( 12 3 ) 12 ( 12 0 ) 8 ( 8 1 ) ] =, va ^ ( 3 ) ), ^ (S r [ ( 12 3 ) 12 ( 12 0 ) 8 ( 8 1 ) 7 ( 7 1 ) va 2,3 ] =, 02196

94 Desviación k dj des ( S^ ( t ) ) S^ ( t ) j= 1 nj ( nj dj ) Desviación estimada

95 Intervalos de confianza r ^ ^ ( t ( S ^ S ( t va )± z ) ) 1 α 2 Intervalo

96 Intervalos li ls 0,505 0,995 0, , , , , , , ,

97 Pegar las bandas de confianza en R

98 Guardamos en un vector los límites del intervalo de confianza calculados a mano

99 Intervalos de confianza calculados a mano

100 Comparación li li ls 0,505 0,995 0, , , , ls 0,545 0,955 0, , , , , , , , , , , ,

101 Uso del K-M para proponer un modelo

102 Proponer el modelo exponencial Condiciones: Si graficamos log(s(t)) vs t y observamos una linea recta con pendiente negativa, que pasa por el origen existe evidencia de un ajuste con el modelo exponencial Condiciones:

103 Proponer un modelo Weibull Si graficamoslog (-log(s(t))) vs log (t) y observamos una linea recta con pendiente positiva, que pasa por el origen existe evidencia de un ajuste con el modelo weibull

104 Comparación de Poblaciones

105 Ejemplo Queremos saber la diferencia en las funciones de supervivencia para dos grupos distintos Hasta el momento se ha trabajado con la supervivencia de un grupo, retomemos nuevamente el ejemplo anterior agregando un nuevo elemento un segundo seguimiento

106 Grupo 1

107 Grupo 2

108 Supervivencia para ambos grupos

109 Supervivencia por cada grupo

110 Supervivencia por cada grupo

111 Pruebas (Tabla de contingencia) Ho: Supervivencias iguales

112 Log-rank o Mantel Haenszel

113 Peto & Peto modificación de la Wilcoxon

114 Contraste de igualdad de funciones de supervivencia en dos grupos Evento Muerte No Muerte Total Grupo 1 d1 n1j-d1j n1j Grupo 0 d0 n2j-d2j n2j Total d(t) nj-dj nj

115 Modelo de riesgos proporcionales

116 Riesgos proporcionales No solo modela la relación entre la tasa de supervivencia y el tiempo, sino ( LA POSIBLE RELACIÒN CON DIFERENTES VARIABLES REGISTRADAS ) En la comparación del tiempo de falla de dos grupos es de interés saber el riesgo con respecto a otra variable a cualquier tiempo

117 El objetivo es establecer un modelo de regresión para el riego o la supervivencia en función de variables explicativas que permita comparar las estimaciones bajo el efecto de variables distintas a las que se utilizan para definir los grupos Ejemplo: La supervivencia a dos tratamientos no sólo puede depender de los tratamientos, sino de la edad, sexo o de la gravedad del paciente.

118 Modeo de Cox El modeo más sencillo de interpretar de acuerdo a sus parámetros es el modelo de Cox

119 Tasa de Mortalidad Producto de dos componentes uno que depende del tiempo y otro que depende de las covariables. λ ( t,x x p ) =λ 0 ( t ) e β 1 x +β x β x p p Es decir =lamda 0 es el riesgo cuando todas las x's son cero o riesgo basal que es el que es variable con el tiempo

120 Al expresarlo como logaritmo del riesgo relativo resulta una función lineal de las variables independientes por lo tanto el riesgo relativo a diferencia del riesgo no depende del tiempo (es constante a lo largo del tiempo) Es por ello que se hace explícito la interpretación de los coeficientes

121 Decimos: Lamda i es el logarítmo del riesgo relativo cuando xi aumenta una unidad manteniendo fijas las demas variables, es por esto que la exp(lamda i) es el riego relativo

122 RR(x) RR (x) es el cociente de riesgo equivalente al concepto de Riesgo relativo, que en este caso depende de los factores pronóstico o covariables de x β1 x +β x β x RR(x)= p p e Por lo tanto la diferencia entre dos grupos de pacientes con diferente perfil (x) se determina por el valor de

123 β 1 x 1 +β 2 x β p x p

124 El supuesto más importante La proporción de las funciones de riesgo es invariante al tiempo

125 Supuestos Dos conjuntos diferentes de valores de las covariantes conservan la misma proporción a lo largo del tiempo(riego proporcionales) Ejemplo: El pronóstico de interés es el género La variable ha sido codificada como: 0 masculino 1 femenino manteniendo iguales el resto de covariables,

126 Género masc=e β1( 0 ) femenino=e =1 β1( 1 ) =2 Nos indicaría que la tasa de mortalidad a lo largo del tiempo es el doble para las mujeres que para los hombres

127 Por lo tanto la diferencia entre dos grupos de pacientes con diferente perfil (x) se determina por el valor de β 1 x 1 +β 2 x β p x p

128 S ( t ) =S 0 ( t ) RR ( x ) Esta expresión nos permite decir que si dos funciones de supervivencia no se cruzan entonces se cumple el supuesto de riesgos proporcionales (Es una condición necesaria más no suficiente)

129 Bladder

130

131 Tratamiento

132 Número de tumores

133 Tamaño del tumor

134 Número de recurrencias

135 Según criterios de autores como HosmerLemeshow, que consideran que en un analisis exploratorio las variables con un nivel de significancia menor o igual a 0.2 se consideren en el modelo multiple, entonces TODAS LAS VARIABLES INGRESAN

136

137 Cuidado!!! Cuando hay mas de dos categorias se debe indicar en R que es una variable tipo factor y analizar las variables que son posibles a entrar al modelo (Otra vez)

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139 Así cada una(para este caso todos los niveles son significativos)

140 Me quedo con este modelo porque todas las variables son significativas

141 Analizo las pruebas e interpreto Ejemplo para rx Tengo exp(-coef)=1.63 lo que me indica que la persona con tratamiento 2 tiene 63% mayor riesgo que con el tratamiento 1

142 Verificar el ajuste del modelo Residuos de Cox-Snell E

143 Guía De acuerdo a las siguientes bases, los tiempos de falla y censuras para cada una. Escríbelas de acuerdo a tres columnas con tiempo, falla y censura

144

145 De acuerdo al análisis no paramétrico de los datos se obtuvo los valores de la supervivencia 1.-Grafica la función Di cuál es la mediana de la supervivencia 7.1

146

147 Calcula los intervalos de confianza para cada tiempo al 95% de confianza con y sin ajuste

148 r ^ ( s (t )) va ^ ( t ) ± z S ( exp log ( S^ ( t ) ) ±z k n j= 1 dj j ( n j d j ) ) Ejemplo baleros Dé un intervalo de confianza para el cuál Falla el 2% de los baleros aprox =3 baleros entonces es que sobrevivan 135 nos quedamos en el primer intervalo cuando no es paramétrico

149 Ejemplo de los baleros

150 Información de la función de supervivencia Cuál es la supervivencia dado que ya pasó una cantidad de tiempo que sobreviva otra cantidad de tiempo? Ejemplo de baleros Dado que esta vivo al tiempo 700 cuál es la prob de que viva 100 mas S(800)/s(700)

151 Grupos Si tengo la siguiente información 1.-Realiza una tabla para donde se pueda apreciar quienes son sometidos al tratamiento 1 quienes al 2, sus censuras y sus fallas en los diferentes tratamientos y en qué tiempo

152 Una vez que se realiza un análisis por grupo resulta Grafica la supervivencia Cuál es la probabilidad de fallar 2 personas dado que esta en el grupo 1? Cuál es la probabilidad de sobrevivir al tiempo 5 dado que está vivo al 2 por grupo?

153

154 Interpreta las pruebas Cuál es la hipótesis nula? Ho:Igualdad en la supervivencia Generalmente se busca rechazar porque deseamos que nuestro tratamiento sea diferente entonces buscamos p's chicas

155 Riesgos proporcionales (base ovarian) Qué variables entran al modelo? Criterio del p=2

156 De la base heart Interpreta las pruebas Cuál es la hipótesisi nula? ho=betas=0 Deseamos rechazar con p s chicas

157 Interpretaciones

158 Interpretación de exp(coef) y exp(-coef) Age=1.03: Por cada año de diferencia de la edad de los sujetos, hay en promedio un aumento del riesgo 3% del riesgo a que suceda la falla. year=0.81: Por cada año de diferencia de la edad, hay en promedio una disminución del riesgo del 20% de presentar la falla. transplant=0.51: En promedio, el riesgo de los individuos a quienes se les realizó un transplante (cat=1) es 49% menor respecto a los que no se les realizó (cat=0). Age=1.03: Por cada año menor de diferencia de la edad de los sujetos, hay en promedio una disminuciòn del riesgo 3% del riesgo a que suceda la falla. year=0.81: Por cada año menor de diferencia de la edad, hay en promedio una aumento del riesgo del 22% de presentar la falla. transplant=0.51: En promedio, el riesgo de los individuos a quienes no se les realizó un transplante (cat=0) es 95% mayor respecto a los que se les realizó (cat=1).

159 Prueba de supuesto de riesgos proporcionales Interpreta la prueba y dí que es lo que está probando Hipótesis nula: Cumplen el supuesto de riesgos proporcionales Queremos no rechazar entonces p's grandes

160 Riesgos Proporcionales(Ejemplo) Age=0.97: Por cada año de diferencia de la edad de enrolamiento al estudio de los adictos, hay en promedio una disminución del riesgo de recaer en el uso de estas drogas de un 3%. Ndrugtx=1.029: Por cada aumento de un tratamiento previo recibido, en promedio, el riesgo de volver al consumo de estas drogas aumenta un 3%. *En todas estas interpretaciones hay que anexar la frase: manteniendo fijas el resto de las covariables.

161 Siguen las interpretaciones Treat: : En promedio, el riesgo de los individuos en el tratamiento largo (cat=1) de recaer en el uso de estas drogas es 21% menor respecto a los de tratamiento corto (cat=0). Iivhx_2= : En promedio, el riesgo de reacaída por historia previa de uso de drogas (cat=1) es 25% mayor que los sujetos que no tiene historia previa de uso (cat=0) (no sig.). Iivhx_3= : En promedio, el riesgo de reacaída por historia reciente de uso de drogas (cat=2) es 51% mayor que los sujetos que no tiene historia previa de uso (cat=0).

162 Supuestos Residuos de Martingalas: Linealidad de los predictores y datos atípicos (outliers) Residuos Schoenfeld: Verificar el supuesto de riesgos proporcionales. Residuos escalados de Schoenfeld. Verificar el supuesto de riesgos proporcionales. Residuos score: Diagnóstico de las observaciones: En todo el vector de parámetros estimados o en alguno de estos parámetros estimados.

163 Qué significa que la edad y el sitio interactúen? Que hay un efecto distinto de la edad sobre el riesgo de volver al consumo de drogas, por cada sitio considerado. Y que sitio y raza interactúen?( discriminaciòn )

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