Probabilidades y Estadística Cs. de la Computación

Transcripción

1 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 rbabldads y sadísca Cs. d la Cmuacó Irduccó Brv rsña hsórca: La ría d rbabldads cmza a arr d ua dsua r jugadrs 654. Ls ds mamács qu arcar d als dscuss fur Blas ascal y rr d Frma, y su rcamb d crrsdca só las bass d la ría d rbabldads. U mamác hladés, Chrsa Huygs mó cac c sa crrsdca y scrbó l rmr lbr sbr rbabldads 657, l cual raaba fudamalm sbr rblmas rlacads c ls jugs d azar. Dura l sgl VIII la ría s dsarrlló y s rqucó c ls ars d Jacb Brull y braham d Mvr. 8 rr d Lalac rduj ua sr d uvas das y éccas mamácas su lbr Thr alyqu ds rbablés y fudamalm sacó a la ría dl marc clusv d ls jugs d azar y alcó las das a muchs rblmas cífcs y ráccs. lguas d las mras alcacs dsarrlladas l sgl I fur: ría d rrrs, mamáca acuaral y mcáca sadísca. Ua d las dfculads ara l dsarrll d la ría mamáca d las rbabldads fu llgar a ua dfcó d rbabldad mamácam rgursa, r al msm m amla ara rmr su alcacó a u aml rag d fóms. l sgl s llgó a ua dfcó amáca d las rbabldads Klmgrv, 9. rqué sudar rbabldads y sadísca Ccas d la Cmuacó?: sbls rguas qu qurms rsdr: Cuál s l mám úmr d rmals qu ud sar ccadas u srvdr as d qu l m md d sra s haga acabl? ua bas d das, Cóm dbría sr guardads ls das ara mmzar l m md d accs? Ls ssmas d cmuacó s drmíscs. sms, r jml, l dlay l ví d aqus, cmucacs ua rd, qulbr d carga srvdrs, rqurms d mmra, c. ara qué srv las rbabldads? S b sams fr a rcss alars, s csaram caócs, l sd qu dms dscubrr u aró d cmram qu uda sr mdlad. Vams u jml d us frcu.

2 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Cmrsó d archvs: l códg SCII c 56 caracrs, cada u d ls cuáls s rrsa c u úmr css 8 dígs bars, r jml, á s rrsa r 6. ara smlfcar l rblma, sugams qu cams c sól 4 caracrs:, B, C y D. ara rrsarls csams bs. r jml, dríams rrsarls así: B C D S u csara d caracrs csaríams bs ara guardarl. sa cadad d bs s drmísca. Sugams qu sabms qu cras lras aarc c más frcuca qu ras, r jml, sugams qu sabms qu las frcucas c qu aarc las 4 lras u s:.7 7% B. % C. % D.8 8% l méd d cdfcacó d Huffma ulza la frmacó dsbl sbr la frcucas d aarcó d ls caracrs y asga códgs d lgud varabl. r jml, dríams asgar a ls 4 caracrs d usr jml ls sgus códgs: B C D Cuá sac bs cuaría ahra u d caracrs? N l sabms, r dms sur qu drms rmd:.7 vcs s. vcs B s. vcs C s.8 vcs D s y l úmr d bs rqurd sría:.7 *. *. *.8 *.48. Cm s bsrva, l méd rduc ua dsmucó dl sac rmd rqurd ara almacar u.

3 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 rbabldad l érm rbabldad s rfr al sud dl azar y la crdumbr. aqullas suacs las cuáls s ud rducr u d vars rsulads sbls, la Tría d la rbabldad rv méds ara cuafcar la chac d currca d cada u d lls. jmls: S arrja u dad ds vcs y s rgsra la suma d us. Cuál s la rbabldad d qu s bga ua suma mayr qu? u jug d rula, cuál s la rbabldad d gaar asad a rmra cluma? u jug d rula, cuál s la gaaca srada asad rdam a rmra cluma? Cuál s la rbabldad d qu u srvdr qu ad a rmals s saur u drmad mm? Dada la frmacó dsbl, cuál s la rbabldad d qu lluva l róm f d smaa? Dfcs: rm: s cualqur rcs accó qu gra bsrvacs y qu ud sr rbl. r jml, arrjar u dad, slccar u dvdu y rgsrar su s y su alura, slccar ua musra d rducs labrads r ua mrsa ara hacr u crl d caldad, slccar u día al azar y rgsrar l úmr d vcs qu s saura u srvdr. sac musral ascad a u rm: s l cju d ds ls rsulads sbls dl rm. L arms S. jmls: S arrja ua mda ua vz. S{cara,cca} ó S{,} ó S{é,fracas} S arrja ua mda ds vcs. S{,,,,,,,} S arrja ua mda hasa qu aarc r rmra vz ua cara. S{,,,,,,,,,,...} {,,... / N, s <, } 4 S rgsra l m rascurrd dsd qu s a la có a u srvdr hasa qu la có s fcvza.

4 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 SR, S l ssma u m-u l m, dríams S,. Cm s bsrva, u sac musral ud sr f, cm ls jmls y, f umrabl, cm l jml f umrabl, cm l jml 4. Sucss vs: N sól sams rsads rsulads dvduals d u rm s qu ud rsars clccs cjus d lls. S dma sucs v a cualqur subcju dl sac musral. S S s f f umrabl, cualqur subcju s u v. S S s f cas d subcju d S s u v. Ls vs ls dsgarms gral c las rmras lras dl abcdar mayúscula:, B, C,... v lmal sml: css d u úc rsulad dvdual. v cmus: css d más d u v lmal. jmls: ls jmls arrs, sbls vs s sal cara {cara}{}. úmr d caras s mr gual qu {,,,,,}. úmr d rs rqurds s mr gual qu 5 {,,... S / 5 }. B úmr d rs rqurds s ar {,,... S /, N}. 4 l m s mayr d mus, l cas d u ssma s mu Rlacó c Tría d cjus: Cm u v sucs s u cju, val las msmas rlacs qu ría d cjus. S s u subcju d S dmad sucs cr sgur. s u subcju d S dmad sucs msbl. B s l sucs uó. Ocurr cuad curr ó B curr. B s l sucs rsccó. Ocurr cuad curr y curr B. c ó s l us cmlm d. Ocurr cuad curr. 4

5 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 c B B s l sucs dfrca. Ocurr cuad curr y curr B. S dc qu sá cd B qu mlca B y s da B s la ralzacó d cduc a la ralzacó d B, s dcr s d lm d rc a B. Ds sucss y B s dc muuam cluys dsjus s B. Rcrdms alguas rdads: scavdad: B C B C B C B C B C B C Cmuavdad: B B B B Dsrbuvdad: B C C B C B C C B C Lys d D Mrga: c U I y I U c c c Irracó uva d la rbabldad: Sugams qu s r vcs u msm rm alar frma dd y baj las msmas cdcs. Sa l úmr d vcs qu curr l sucs las rcs. S dma frcuca rlava d la scuca d rcs a fr La vdca mírca musra qu cuad crc, fr d a sablzars alrddr d u úmr qu llamarms. Qué rdads la frcuca rlava? fr S fr S 5

6 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 B B B S B fr B fr fr B La dfcó amáca d rbabldad, qu darms a cuacó, s css c la da uva qu s d lla. mas d rbabldad: Dad u rm alar y u sac musral ascad S, a cada v s l ascará u úmr qu arms y qu llamarms rbabldad dl v. sa asgacó db sasfacr ls sgus amas:. ara d v.. S a. S,,..., s ua clccó fa d sucss muuam cluys, s dcr qu j, cs j U b. S,...,,,... s ua clccó fa umrabl d sucss muuam cluys, s dcr s j, cs j U jml: Csdrms l jml qu s arrja ua mda ua vz, ara l cual l sac musral s S{cara,cca}. S dmams {cara} y {cca} a ls ds vs lmals, cm S, cs -. r l a, cualqur asgacó d rbabldads d la frma: y - c, sasfac ls amas. rdads d la rbabldad: c ara d sucs c c c Dm: S U a 6

7 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 7 la rcra gualdad usams l ama us c. Dm: c S S B B y B B Dm: S B B B y éss ds vs s cluys. r l ama a B B Dad qu, r l ama, B-, rsula B y, dsjad, s b la sguda afrmacó. 4 Dads ds sucss cualsqura y., B B B B Dm: c B B B y ss ds vs s cluys, cs, r l ama a, c c B B B r ra ar, c B B B y ss ds vs s dsjus, cs B B B B B B c c D y rsula qu B B B cm quríams dmsrar. 5 Dads ds sucss cualsqura y., B B B Dm: sa rdad s dduc mdaam d la rdad arr y dl ama. jrccs: a Dmsrar, usad la rdad 4 qu, dads rs sucss cualsqura,, y,

8 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 b rbar, usad duccó qu, dads,,..., sucss cualsqura, U sgacó d rbabldads: Sugams qu l sac musral S ascad c cr rm s f f umrabl. s cas, ua mara sml d rabajar s asgar rbabldads a ls sucss lmals, ya qu cualqur sucs srá uó d sucss lmals y éss s bvam muuam cluys. Dsgad a ls sucss lmals d S, S U la uó dría sr fa s l sac musral fus f. S ccms, d mara qu, cs dad cualqur sucs, su rbabldad s ud br sumad las rbabldads d ls lmals qu l cm, s dcr: jmls: S arrja u dad qulbrad. s cas, S{,,,4,5,6} y, r surl qulbrad, ls sucss lmals {} ara,..,6 rbabldad /6. S dsams calcular la rbabldad dl sucs l rsulad s ar, usad qu 4 6 s b 4 6 / Sugams ahra qu s arrja u dad l cual la rbabldad d las caras ars s l dbl qu la rbabldad d las caras mars, sa qu, s llamams a la rbabldad d cada cara mar, 5 y 4 6 Cm la suma d las rbabldads db sr gual a, y, s cas, rrjams ua mda qulbrada hasa br cara. Cuál s la rbabldad d qu la cara sa bda u úmr ar d lazams? S rrsams l sac musral al cm l hcms más arrba, dríams 8

9 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 {,,,,,,,,,,,,...} Vrms más adla qu las cdcs d s rm s razabl asumr qu br cara l - ésm lazam r l a: ya qu s <<, cs sacs d qurbabldad: Sa u rm alar cuy sac musral ascad S s f y sa # S l símbl # rrsa l cardal dl cju. Drms qu l sac s d qurbabldad s ls sucss lmals gual rbabldad, s dcr s Cm S. # S Dad cualqur sucs, #. S # jmls: D ua ura qu c blllas blacas y rjas s ra blllas c rscó. a Cuál s la rbabldad d qu s raga al ms ua bllla rja? b Cuál s la rbabldad d qu la rmra bllla raída sa rja y la sguda blaca? Sudrms qu las blllas sá umradas, d mara d dr csdrar qu s S, / { R, R, R, B, } y B raa d u sac d qurbabldad, cs { } su cardal s #S

10 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 c sd {, S / { B, }} c a c. Cm # 4, B 4 4 rsula c B. Cm # B 6 B. 5 b B {, S / { R, R, R }, { B, }} Csdrms l jml r sud ahra qu las raccs s ralza s rscó. s cas, {, / { R, R, R, B, B }, } # S 5 4. S c c a B. Cm #, 9 rsula c. c sd {, S / { B, }} 6 B. Cm # B 6 B. b B {, S / { R, R, R }, { B, } Obsrvacó: Qué asaría s ls jmls arrs lgésms cm sac musral S { B, B, B, R, R, B, R, R }, dad B: bllla blaca y R: bllla rja? Sría razabl sur qurbabldad?.

11 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 rbabldad cdcal Csdrms ua ura qu c 4 blllas rjas y 5 blacas. D las 4 blllas rjas, s lsas y rayadas y d las 5 blllas blacas, 4 s lsas y ua sla s rayada. Sugams qu s ra ua bllla y, s qu la hayams mrad, algu s dc qu la bllla s rja, cuál s la rbabldad d qu la bllla sa rayada? Sa ls sucss : la bllla s rayada y B: la bllla s rja. Obvam, s gua frmacó rva, /9/ y B4/9. S mbarg, cm sabms qu la bllla s rja, la rbabldad d qu sa rayada s ½, ya qu, d las rjas la mad s lsa y la mad rayada. Obsrvms, qu al currr B, l sac musral s rduc. gral, dad u rm y su sac musral ascad, qurms drmar cóm afca a la rbabldad d l hch d sabr qu ha currd r v B. Dfcó: Sa y B vs als qu B >, la rbabldad dl v cdcal a la currca dl v B s B B B jmls: l jml arr, B4/9 y B / 9 B B 4 / 9 4 Csdrms ua blacó la qu cada dvdu s clasfcad sgú ds crrs: s radr d HIV y rc a cr gru d rsg qu dmarms R. La crrsd abla d rbabldads s: radr N radr c rc a R B..7. N rc a R B c sa blacó, la rbabldad d qu u dvdu sa radr s.6 y la rbabldad d qu sa radr y rzca al gru d rsg R s B.. Dad qu ua rsa slccada al azar rc al gru d rsg R, cuál s la rbabldad d qu sa radr?. B. B.5 B.

12 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 s dcr qu 5 d cada dvdus dl gru d rsg R, s rbablm radrs d HIV. Calculms ahra la rbabldad d qu ua rsa sa radra d HIV, dad qu rc al gru d rsg R. c c B. B.6 c B.98 s dcr qu sól d cada dvdus rcs al gru d rsg R, s sbls radrs d HIV. rdads d la rbabldad cdcal: Dad u sucs B fj al qu B >, B s ua rbabldad, l sd qu sasfac ls amas d rbabldad y r l a das las rdads qu s dduc a arr d lls. r jml:. B ara d sucs.. S B. S B B Dm: S B. B B jrccs: Vrfcar qu B sasfac l ama a. Vrfcar qu B B B B Rgla dl rduc: Dads ds sucss y B, als qu B >, S admás, >, B B B B B jml: l jml rsad al cmz, sugams ahra qu s ra ds blllas s rscó. Cuál s la rbabldad d rar ua bllla rja y ua blaca, s rd? Sa C: la rmra bllla s rja y D: la sguda bllla s blaca. dbms calcular C D. lcad la rgla dl rduc

13 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz C D C D C La rgla dl rduc s scalm úl cuad l rm csa d varas aas ya qu s ud gralzar. sí, r jml, s > y >, s y s d a sucss. jml: l msm jml, cóm dms br la rbabldad d qu la sguda bllla raída sa blaca sucs D?. Sabms calcular, usad la rgla dl rduc la rbabldad d qu la sguda sa blaca y la rmra sa rja. Hms vs qu sa rbabldad s C D 5 8. Dl msm md dms br la rbabldad d qu ambas blllas sa blacas sucs D C c. sa rbabldad s c c c 5 4 C D C D C S ahra bsrvams qu l sucs D ud scrbrs cm s b D D C D C c c D D C D C Cóm dms br ahra la rbabldad d qu la rmra bllla haya sd rja sucs C sabd qu la sguda fu blaca sucs D? La rbabldad rqurda s C D 5 8 C D. D 5 9 Ls rsulads y s jmls d alcacó d ls ds Trmas qu vrms a cuacó: l Trma d la rbabldad Tal y l Trma d Bays, rscvam. Dfcó: Ua clccó d vs musral S s,,..., csuy ua arcó dl sac

14 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 4. j j. >. U S Trma d la rbabldad al: Sa,...,, ua arcó dl sac musral S y sa B u sucs cualqura, B B Dm: U U B B S B B Cm j B B j, cs B B B B. U Trma d Bays: Sa,...,, ua arcó dl sac musral S y sa B u sucs cualqura al qu B >, j j j B B B Dm: j j j j B B B B B l umradr s alcó la rgla dl rduc y l dmadr l Trma d la rbabldad al.

15 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 l Trma d Bays dscrb cóm s sbl rvsar la rbabldad cal d u v rbabldad a rr ara rfljar la frmacó adcal qu s rv la currca d u v rlacad. La rbabldad rvsada s dma rbabldad a srr. jml: Sugams qu cra ruba ara dcar la rsca d ua frmdad u dvdu, da rsulad sv dca la rsca d la frmdad u dvdu frm c rbabldad.99 y u dvdu sa c rbabldad. fals sv. r l a, dcha ruba dca la frmdad u dvdu sa c rbabldad.98 y la dca u dvdu frm c rbabldad. fals gav. s dcr qu s dams : la rsa adc sa frmdad y B: la ruba s sva, B.99 B c. B c. B c c. 98 S su, bas a suds rvs, qu la cdca d sa frmdad cra blacó s., s dcr qu la rbabldad a rr d s.. S slcca al azar u dvdu d sa blacó, s l alca la ruba y l rsulad s sv, cuál s la rbabldad d qu fc adzca la frmdad? Dbms calcular la rbabldad a srr d, B: B.99. B.47 c c B B r l a, la rbabldad d qu sé frm, habd sd sv l rsulad d la ruba s armadam.5. Las rbabldads a srr dd furm d las rbabldads a rr. S s alca la ruba a dvdus d ua blacó la cual la cdca d la frmdad s much mayr, ambé aumará la rbabldad a srr. Vrfqu és, sud ahra qu.. Más adla, dsarrllarms r jml d alcacó d ss Trmas. Iddca La dfcó d rbabldad cdcal s rm rvsar la rbabldad asgada a u sucs, cuad s sab qu r sucs B ha currd. Hay cass ls qu B, mras qu rs B, s dcr qu la currca dl sucs B alra la rbabldad d currca d. 5

16 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 jml: D ua ura qu c 4 blllas gras y 6 blacas s ra ds blllas s rscó, cuál s la rbabldad d qu la sguda bllla sa blaca, sabd qu la rmra s gra? Dmad : la sguda bllla s blaca y B: la rmra bllla s gra, 6 B. 9 r ra ar, c c B B B B y, r l a, B, s dcr qu la currca dl sucs B mdfca la rbabldad dl sucs. Obsrvms qu la rbabldad d qu la sguda bllla sa blaca ccd c la rbabldad d qu la rmra l sa. jrcc: Vrfcar qu, camb, s las raccs s ralza c rscó, B. Drms qu ls vs y B s dds s la frmacó acrca d la currca d u d lls afca la rbabldad d currca dl r, Dfcó: Ls vs y B s dds s B B S la gualdad s cuml, dcms qu y B s dds. rscó: Sugams B >, y B s dds s y sól s B. B Dm: S B > B sá b dfda, r r sr y B B dds, B B, cs B B B lcad la rgla dl rduc, s B>, B B B B. Obsrvacó: S B, cm B B, B, y r l a la gualdad B B smr s sasfac. 5 6

17 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 7 jml: D u maz d 4 caras sañlas, s ra ua cara al azar. Csdrms ls sgus sucss: : la cara s ca sada B: la cara s ca C: la cara s ca u r C B 4 4 B B B, cs y B s dds. 4 C C C, cs y C s dds. rdads: S ls sucss y B s cluys, s dcr s B y s >, B >, cs y B s dds. Dm: fc, s cas,. B B S B, cs B s dd d cualqur sucs al qu >. Dm: Cm B B, B y r l a B B, s dcr qu y B s dds. S B,, y < > B y B s dds. Dm: Cm B B B B. Lug, y B s dds. 4 S y B s sucss dds, y B c ambé l s. Dm: B B B B B c c c B B. jrcc: Dmsrar qu s y B s sucss dds, c y B c ambé l s.

18 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Iddca d más d ds vs: La dfcó d ddca d ds vs ud drs a más d ds. Dfcó: Ls vs d cju d ídcs { },,..., s dds s ara d,..., y ara,,..., als qu < <... <, s vrfca s dcr qu s csar vrfcar... cdcs. Obsrvacó: S ls sucss,,..., s dds, cs s dds d a ars r la rcírca s cra. jmls: Sa { w, w, w w } y ls sucss S u sac d qurbabldad y csdrms, 4 { w, w } B { w, w } C { w w } 4 4, B C. dmás, B B 4 C C 4 B C B C 4 s dcr, qu ls sucss s dds d a ars. S mbarg, B C B C 4 y, r l a, ls sucss, B y C s dds. Vams u jml ambé ara l cas, l cual s sasfac la facrzacó d B C y s cuml ara algua d las rsccs dbls. Sa S { w, w, w, w 4, w 5, w 6, w 7, w 8 } u sac d qurbabldad y csdrms ls sucss { w, w, w, w } B { w, w, w, w } C { w, w, w w } , 4 7 8

19 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Cm as, B C. dmás, B B 4 B C B C 4 C C 8 S bsrva qu s sasfac ua d las gualdads, r sí s sasfac B C B C. 8 Falm, vrms u jml l qu ulzams ls dfrs ccs y rdads sudadas sa Sccó. jml: Muchs ssmas d cmuacó rabaja c rms bass d das, cm r jml, ssmas d arjas d créd ssmas d rsrvas d asajs aérs. Dbd al vlum d das vlucrad, la vlcdad d accs al ssma dd d las caracríscas d las udads d almacam ulzadas, cm así ambé d las rds d cmucacó ccadas a la bas d das. Ns ccrarms l rmr asc, s dcr l rblma dl almacam. Csdrms udads d almacam csss dscs las, cada u d ls cuáls sá cmus r u cju d alls ccércs dmads sas. Cada sa sá a su vz subdvda áras d almacam dmadas scrs. l accs al dsc s ralza mda ua cabza lcra/grabadra qu s ud mvr haca adla haca arás a l larg d u braz fj. l dsc ra baj s braz y la cabza l mdfca u da cuad l crrsd scr asa baj lla. Csdrms u dsc qu css d 76 sas, umradas d a 75, c 8 scrs cada ua, umrads d a 7. Sugams qu, l mm qu s db accdr a u da qu s cura l scr d la sa 5, la cabza s cura sbr la sa. cs, db mvrs rmr lugar hasa la sa 5 s mvm s llama búsquda s y lug db srar hasa qu l scr as baj lla s ríd d m s dma rard racal raal dlay. S l cabzal s muv r jml a ua vlcdad d. mlsguds ms r sa, la búsquda dl jml dmadaría ms. S admás sums qu l dsc ralza ua racó cmla ms, l rard racal 9

20 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 ud dmrar r y ms, c u rmd d 5 ms. r úlm, sugams qu l accs ccr al da dmra. mlsguds. s ssma s d auralza rbablísca alara. Las dmadas d accs arrba ms alars y s dmada das alars, l sd d qu sabms c acacó qué da s va a rqurr. alcms l sgu jml. Sugams qu las rbabldads d qu ua dmada d accs crrsda a cada ua d las 76 sas s guals y qu accss sucsvs s dds. Sugams ambé qu la cabza lcra/grabadra s cura sbr la sa, cuál s la rbabldad d qu l m al d búsquda s ara las ds sgus dmadas d accs sa a l sum 5 ms? Sa l sucs la búsquda cmbada dmra a l sum 5 ms y dfams, ara cada,,..., 75, ls sucss T : l rmr d ls ds accss sgus crrsdrá a u da qu sá sbr la sa cs T T T Cm s bsrva, dbms calcular T, s dcr dbms calcular la rbabldad d qu la búsquda cmbada dmr a l sum 5 ms dad qu l rmr accs s a la sa, ara,,..,75. r jml, cóm calcularíams T? 6 S la rmra búsquda s llva a la sa 6, dmadará 6-. ms 9. ms, r l a la búsquda al llvará a l sum 5 ms s la sguda búsquda dmra a l sum.8 ms. Cm.8 ms s ud rcrrr a l sum 9 sas.8/., dms r más allá d la sa 6-97 d la sa 695. ras alabras T6 srá la rbabldad d qu l sgud dd d accs s rfra a u da qu sá r las sas 7 y 5 clusv. Dad qu sums qu das las sas s qurbabls, 9 T6 76 Dl msm md, s calcula das las rbabldads cdcals rqurdas y s b l valr d dd.. 4

21 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Varabls alaras dscras l ralzar u rm gralm sams rsads algua fucó dl rsulad más qu l rsulad sí msm. sí, r jml, al arrjar u dad ds vcs dríams sar rsads sól la suma d ls us bds y l ar d valrs qu d rg a s valr d la suma. sa cadad d rés, más frmalm sa fucó a valrs rals dfda sbr l sac musral s dma varabl alara. Varabl rqu ma dss valrs y alara rqu l valr bsrvad ud sr rdch as d la ralzacó dl rm, auqu sí s sab cuáls s sus sbls valrs. Dad qu l valr d ua varabl alara adla l abrvarms v.a. s drmad r l rsulad d u rm, drms asgar rbabldads a ls sbls valrs cjus d valrs d la varabl. jml: S arrja ds vcs u dad qulbrad. U sac musral ascad s: S {, / {,,,4,5,6}} sbls v.a. ascadas c s rm s: : úmr d caras ars Y: mám uaj Z: suma d us Dfcó: Sa S u sac musral ascad c u rm alar. Ua varabl alara s ua fucó qu asca a cada lm w S u úmr ral w, s dcr : S R Cm s bsrva, gral rrsarms a las v.a. c lras mayúsculas:, Y, Z, c. y sus valrs c lras músculas, s dcr w sgfca qu s l úmr ral ascad al rsulad w S a ravés d. jmls: Vlvd al jml arr,,5 Y,5 5 Z,5 7, Y, Z, 4, Y, Z, 4 S arrja ua mda qulbrada vcs, s l úmr d caras s mar cas crar

22 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 S arrja ua mda qulbrada hasa qu s b la rmra cara, : úmr d rs csars 4 arr dl sa qu s a la có a u srvdr, s rgsra l m qu dmra ccrars la msma, : m rqurd ara la có. ls jmls, y las v.a. ma u úmr f f umrabl d valrs, mras qu l jml 4 la v.a. ma valrs u cju f umrabl, l rval, u rval, M s s u m mám m u. Nacó: Idcarms c R l rag d la v.a., s dcr l cju d valrs sbls d la v.a.. jmls: ls jmls arrs, R {,,} R Y {,,,4,5,6} R Z {,,4,5,6,7,8,9,,,} R {,} R {,,,...} N 4 R, ó,m s s u m u Dfcó: Ua v.a. s dscra s ma u úmr f f umrabl d valrs. jml: l cas dl jml, cóm calcularíams la rbabldad d qu la v.a. Z m l valr 7, sud qu ls lazams s dds? {, S / Z, 7} {,6,,5,,4,4,,5,,6, }. Z Dfcó: La fucó d rbabldad uual d masa d la v.a. dscra, s df ara d cm { w S / w } S cuml las sgus rdads:

23 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 R La fucó d rbabldad uual d ua v.a. s dc cóm s dsrbuy la rbabldad al r ls dss valrs d, y s drma a arr d la rbabldad d ls sucss ascads a cada valr d. jmls: Hallms la fucó d rbabldad uual d la v.a. : úmr d caras ars al arrjar ds vcs u dad qulbrad. Rcrdms qu R {,,}. {, S /, {,,5 } {, S / {,,5 }, {,4,6 } {, S / {,4,6}, {,,5 } {, S /, {,4,6 } dms rsumr sa frmacó ua abla d la frma: /4 / /4 mda u gráfc l cual, ara cada valr d s csruy ua barra u rcágul crad, cuya alura s rrcal a Dagrama d Barras Hsgrama

24 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 4 Dfcó: La fucó d dsrbucó acumulada d ua v.a. dscra c fucó d rbabldad uual s df ara d R, cm R y y y F, s dcr qu F s la rbabldad d qu la v.a. m valrs mrs guals qu. jml: Vlvd al jml, hallms la fucó d dsrbucó acumulada d la v.a., cuya fucó d rbabldad uual s /4 / / S > < < < < < F F F F F F F Rsumd: < < < s s 4 s 4 s F Cóm s F? Obsrvams qu s raa d ua fucó scalra, dcrc qu ma valrs r y.

25 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 rdads d la fucó d dsrbucó acumulada: R, F,. F s móa dcrc, s dcr qu s < F F. [ ] F s cua a drcha, s dcr lm F h F. v lm F y lm F - h v cada u, l valr dl sal s la rbabldad uual, s dcr F F dd lm h lím r la zqurda. arcular s ma valrs h < <..., cs F F ara d y F. Dm: Darms sól dmsracs huríscas d sas rdads. Dmsracs rgursas ud crars, r jml, S. Rss 988 B. Jams 98. Obv, ya qu { w S / s } valrs r y. F Csdrms l sucs y da rbabldad ma { w / w } { w / w } { w / < w } Cm,, s dcr y, r l a, < 5

26 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 6 F F Rcrdms qu ua fucó g s cua a drcha s lm h g h g. r l a, la cudad a drcha d F d rsula d su dfcó: F. v { } / lm lm lm S w w F w w F / lm lm lm v < F F rscó: Sa a y b als qu b a, cs < < < < a F b F b a a F b F b a a F b F b a a F b F b a Dm: Dmsrms la rmra gualdad ] ] ],,, a b-f F a b a b b a b a < jrcc: Dmsrar las sgus gualdads, usad r jml qu a b a b a < y alcad la rdad v d las fucs d dsrbucó acumuladas. jml: Vlvd al jml, y usad la fucó d dsrbucó calculada as, calculms y F F F F

27 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 jml: U rm sól ds rsulads sbls, qu dmarms É y Fracas. l rm s r frma dd hasa qu s b l rmr é. Sa É, < <, y dfams la v.a. úmr d rcs hasa br l rmr é. Cm ya hms vs, R N. Hallms la fucó d rbabldad uual d la v.a.. cs, N. Vrfqums qu fc sa fucó sasfac las ds rdads R Dad qu < <, la rmr rdad bvam s sasfac. Rsc a la sguda, j j dd hms usad qu la suma d la sr gmérca Hallms la fucó d dsrbucó acumulada d la v.a.. q, s q <. q 7

28 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 < < < < 4 F F F - F < F j... j Hms usad qu la suma arcal d ua sr gmérca s q q q. Rcrdms qu la fucó d dsrbucó db sar dfda ara d R, cs F [ ] s s < dd [ a ] da la ar ra d a. jrcc: Vrfcar qu sa fucó d dsrbucó sasfac las rdads ucadas as. arámr d ua fucó d rbabldad: l jml arr la rbabldad d É la dsgams dd < <. Varad s valr bms dfrs fucs d rbabldad qu csuy l qu s dma ua famla d dsrbucs. l valr s dma arámr d la dsrbucó. l cas dl jml, la famla bda s dma Gmérca d arámr y drms qu ~ G. r jml, s l rm hubs cssd arrjar u dad qulbrad hasa br l rmr as, ~ G/6 y s hubs cssd arrjar ua mda qulbrada hasa br la rmra cara, ~ G/. sraza valr srad d ua v.a. dscra: Ua mrsa rvdra d srvc d Tlvsó Salal cls cra za, cada u d ls cuáls ud ar r craar d a 5 aqus d sñals l ab básc css u sl aqu y cada u d ls rs aqus cluy grus d sñals mácas rmum. Sugams qu, r ls cls, la dsrbucó dl úmr d aqus craads s la sgu: 8

29 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz úmr d cls rrcó 7.5% 7.5% 7.5%.% 7.5% S rsa l úmr rmd d aqus craads, sa l valr rmd d la blacó, dbríams calcular: Obsrvms qu, s hubésms ccd ls úmrs d cls qu craa cada úmr d aqus l al d la blacó, s sól las rrcs d cada úmr su rbabldad hubésms dd br l valr rmd, ya qu dch úmr ud scrbrs la frma: És mva la sgu dfcó. Dfcó: Sa ua v.a. dscra qu ma valrs R c fucó d rbabldad uual, la sraza valr srad d s df cm R smr qu <. S la sr d ls valrs abslus dvrg, la sraza R ud dfrs y dcms qu s. jmls: Sa : úmr d caras ars al arrjar ds vcs u dad qulbrad. Cm /4 / /4 cs,

30 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Sa ua v.a. qu ma sól ds valrs qu dsgarms y É y Fracas c la sgu fucó d rbabldad uual - sd < <. Ua v.a. d s s dc qu s ua v.a. d Brull y su sraza s: Vams u jml qu s. Sa ua v.a. c la sgu fucó d rbabldad uual 6 π s N r cas rmr lugar, bsrvms qu s ua fucó d rbabldad uual, ya qu π 6 y, r l a la suma d las rbabldads s. Calculms la sraza d, 6 π 6 π 4 Csdrms uvam u rm qu sól ds rsulads sbls y qu s r frma dd hasa qu s b l rmr é. S É, < <, y s dfms la v.a. úmr d rcs hasa br l rmr é, hms dmsrad qu su fucó d rbabldad uual sá dada r Calculms la sraza d. N

31 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Cm la sr d cas vlucrada la úlma gualdad s cvrg, la drvada d la suma s la suma d las drvadas, cs. y r l a hms dmsrad qu. Irracó d la sraza: s l cr d gravdad d la fucó d rbabldad uual. s dcr qu s magams qu sbr cada valr sbl d,, clcams ua masa, l u d qulbr dl ssma s. s sd, dms dcr qu s ua mdda dl cr d la dsrbucó. Ora rracó d sá rlacada c u rsulad qu sudarms más adla, dmad ly d ls grads úmrs. Imagms qu s r dfdam u rm alar y qu cada rcó usra v.a. ma dfrs valrs. S ha dmsrad qu l rmd d ls rsulads bds d a sablzars u úmr qu s, s s qu ésa s. sraza d ua fucó d ua v.a. dscra: Vlvams al jml csdrad al cmz dl arágraf ddcad a la sraza. Sa la v.a. : úmr d aqus d rgramas craad r u cl slccad al azar y csdrms su fucó d rbabldad uual: Sugams qu l cs dl srvc Y s fucó dl úmr d aqus craad, sgú la sgu fórmula: Y Cuál s l valr srad dl cs agad r cl? s dcr, cuál s Y?. arr d la fucó d rbabldad uual d, dms br la d fucó d rbabldad d Y ya qu, r u lad R Y {6,9,,5,8} y, r jml, Y.75. cs, y Y y y, Y

32 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 5 Obsrvms qu, Y h, sd h. rscó: S s dscra y ma valrs,,..., cs h s dscra c valrs y, y,..., sd y j h ara al ms u valr d. rscó: S la v.a. fucó d rbabldad uual ara d R, cs la sraza d cualqur fucó ral h, sá dada r h h R s la sr s absluam cvrg, sa s h <. Dm: Sa Y h, cs Y R y j Y y j y j y j j j / h y j j / h y j h. rdads d la sraza: Laldad S a y b s csas rals, a b a b. Dm: Sa h a b, cs h a b a b a b R R R a b. S s ua v.a. al qu c, cs c. Dm: c c c. Varaza d ua v.a. dscra: Csdrms las sgus fucs d rbabldad: 4 / / / y 4 5 Y y / 5/ / / /

33 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 z Z z sas rs v.a. la msma sraza, s mbarg la frma d su dsrbucó s muy dfr. jrcc: Grafcar las rs fucs d rbabldad uual y vrfcar qu YZ. Dfrms ua mdda d la varabldad d ua varabl alara alrddr d su sraza. Dfcó: Sa ua v.a. dscra c fucó d rbabldad uual y sraza, la varaza d, qu s dará V, ó, s V R [ ]. y l dsví sadard d, s V. jmls: Calculms la varaza y l dsví sadard d las rs v.a. qu acabams d rsar, cuya sraza s gual a. V VY Y V Z Z Csdrms : úmr d caras ars al arrjar ds vcs u dad qulbrad cuya fucó d rbabldad uual s /4 / /4 y su sraza s, cs V 4 4.

34 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 4 Sa ua v.a. Brull c fucó d rbabldad uual - c < <. Rcrdms qu, cs [ ]. V rscó: V. Dm: R R V R R R. jml: Csdrms uvam u rm qu sól ds rsulads sbls y qu s r frma dd hasa qu s b l rmr é. S É, < <, hms dfd la v.a. úmr d rcs hasa br l rmr é, cuya fucó d rbabldad uual sá dada r: N Hms dmsrad qu. Dmsrarms ahra qu. V Calculms. [ ]

35 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 5 j j cs, V cm quríams dmsrar. rdads d la varaza y dl dsví sadard: V a b a V y b a a. Dm: Obsrvms qu, gral, R h h h V. cs, R R b a b a b a b a b a V R R V a a a a y, r l a,. b a a

36 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 arcular, bsrvms qu a a y b, y r l a u camb d scala afca la varaza r ua raslacó la afca. S s ua v.a. al qu c, cs V. Dm: jrcc. 6

37 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Varabls alaras dscras Dsrbucó Bmal: Muchs rms alars sasfac las sgus cdcs: l rm css d rubas, sd fj. Las rubas s décas y cada ruba hay sól ds rsulads sbls, qu dmarms É y Fracas F. Ua ruba d s s dma say d Brull. Las rubas s dds, s dcr qu l rsulad d ua ruba fluy sbr l d las ras. La rbabldad d É s ma csa das las rubas. Dfcó: U rm qu sasfac ss cuar rqurms s dma rm Bmal. jmls: S arrja ua mda vcs y s llama É al sucs sal cara. S arrja u dad qulbrad vcs y s llama É al sucs s b u as. S arrja vcs u dard a u blac crcular d rad R, l cuál c l cr u círcul d rad R/4 y s dma É al sucs l dard maca l círcul cral. 4 S ra 4 blllas c rscó d ua ura qu c 5 blllas blacas y gras y s dma É al sucs las 4 blllas s blacas. 5 s l qu sgu u rm Bmal? S ra blllas s rscó d ua ura qu c 5 blllas blacas y gras y s dma É al sucs la bllla raída s blaca. NO, l s ya qu s dmams B al sucs la -ésma bllla raída s blaca, 4 B B B 7 y, r l a s vrfca la rcra cdcó. raldad amc s vrfca la sguda ya qu las rubas s décas la cmscó d la ura varía. Obsrvms qu, s mbarg la cuara cdcó s sasfac. Varabl alara bmal: Csdrms u rm bmal qu css d rcs y l cual. Dmarms v.a. bmal a la varabl Nacó: ~ B,. : úmr d és las rcs

38 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 8 Calculms su fucó d rbabldad uual. ara ll, bsrvms rmr lugar qu R {,,,...,}. Sa R, ua scuca sbl c és y - fracass s: F F y su rbabldad, dada la ddca d las rcs, s. r, hay scucas sbls cd és, cs } {,,..., Vrfqums qu. fc,. Hms usad la fórmula dl Bm d Nw: b a b a. Fucó d dsrbucó: S ~ B,, [ ] > < F s s s dd [] da la ar ra d. jml: Sugams qu s arrja u dad qulbrad vcs y s llama É al sucs s b u as. La v.a. : úmr d ass ls rs dsrbucó Bmal d arámrs y /6, sa ~ B,/6, cs F F

39 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 9 sraza y varaza d ua varabl alara bmal: Sa ~ B,, y V Dm: l cas, s ua v.a. Brull y ya hms dmsrad qu s cas, y V -. Sa ahra >,!! -!!!!!!!. j j j j j Rcrdms qu. V!!!!!!!!! j j j j j

40 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 raldad, ara qu la dmsracó arr sa válda db sr, r s mda vrfcar qu, s, y r l a la rsó hallada s válda ara d. Falm, V l sgu gráfc s musra la fucó d rbabldad uual crrsd a la dsrbucó Bmal ara dss valrs d y. ud bsrvars cóm la dsrbucó s smrza a mdda qu d a.5. Cóm sría ls gráfcs ara valrs d >.5? B,. B,.5 B, B, B, B, B, B, B,

41 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 l sgu gráfc s musra la fucó d rbabldad uual crrsd a la dsrbucó Bmal ara dss valrs d y. B 5,. B,. B 5, B 5, B, B 5, B 5, B, B 5,

42 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Varabl alara Gmérca: Sugams qu s r frma dd u say d Brull c rbabldad d É csa das las rubas. S df la v.a. Nacó: ~ G. : úmr d rcs hasa br l rmr É. l sudar gral las v.a. dscras, hms rbad qu la fucó d rbabldad uual d sá dada r N. y su fucó d dsrbucó acumulada r F dd [ ] da la ar ra d. [ ] s s < sraza y varaza d ua varabl alara gmérca: Sa ~ G, y V Dm: L hms dmsrad al sudar gral la sraza y la varaza d ua v.a. dscra. rscó rdad d Fala d Mmra: Sa ~ G y sa y m úmrs aurals cualsqura, > m > > m Dm: jrcc. Sugrca: Dmsrar qu s ~ G, >. jml: Sa : úmr d rs hasa br l rmr as ua sucsó d rs d u dad qulbrad, cs ~ G /6. 4

43 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz > / 6 6 / 6 V / 6 l sgu gráfc s musra la fucó d rbabldad uual crrsd a la dsrbucó Gmérca ara dss valrs d. G. G.5 G G G G G G G

44 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Varabl alara Bmal Ngava: Sugams qu s r frma dd u say d Brull c rbabldad d É csa das las rubas. S df la v.a. : úmr d rcs hasa br l r-ésm É r. Nacó: ~ BN r,. sa v.a. s ua gralzacó d la v.a. Gmérca, la cual crrsd al cas r. Obsrvms qu R {r, r, r,...} y hallms su fucó d rbabldad uual. Sa u úmr aural, r. ara qu sa csaras rcs ara br l rmr É, l r-ésm É db currr la rcó y las - rcs rvas db habr acam r - És. Cm las rcs s dds r r la rbabldad d ua cfguracó d s s, r hay varas cfguracs d sa frma. Cuáas? Taas cm frmas d lgr r las - rmras rcs, aqullas dd currrá ls r- És, sa. r r l a la fucó d rbabldad uual srá: r r { r, r, r,...} r Fucó d dsrbucó: S ~ BN r,, F [ ] r r r r s < r s r dd [] da la ar ra d. jml: S ra c rscó blllas d ua ura qu c blllas blacas y 7 rjas. S df : úmr d raccs hasa br la cuara bllla rja. ~ BN 4,7/

45 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz rscó: Sa ~ BN r,, r r V Dm: L dmsrarms más adla usad qu ua v.a. Bmal Ngava ud rsars cm suma d v.a. Gmércas dds. Obsrvacó: sa v.a. sul ambé dfrs cm l úmr d Fracass as d br l r-ésm É. S la dams, cs su rag srá R * {,,,...} N {} y su fucó d rbabldad uual: r r * s cas, * r * r y V Varabl alara Hrgmérca: Sugams qu La blacó a sr musrada css d N lms dvdus blacó fa Cada lm dvdu ud sr clasfcad cm É Fracas y hay D És la blacó. S ra d la blacó ua musra d lms dvdus, d frma al qu cualqur subcju d amañ la msma rbabldad d sr lgd. Sa : úmr d és la musra d amañ. S dc qu dsrbucó Hrgmérca d arámrs, N y D y s da ~ H,N,D jml: D ua ura qu c blllas blacas y 7 gras s ra 4 blllas s rscó y s df : úmr d blllas blacas raídas. 45

46 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 46 Cóm calcularíams la rbabldad d qu s raga blllas blacas? Cm ds ls cjus d 4 blllas la msma rbabldad d sr raíds, la rbabldad d u cualqura d lls srá 4. r r lad hay 7 cjus qu c blllas blacas y gras y, r l a la rbabldad dda srá:. 4 7 rscó: S ~ H,N,D, D D N N D N D, m, ma Dm: l úmr d subcjus dss d amañ qu s ud rar d ua blacó d amañ N s N. D ss cjus, hay D N D qu c És y - Fracass y s b la fucó d rbabldad. l rag d valrs sbls d rsula d bsrvar qu s db sasfacr rs cdcs: D N - - D D las ds rmras s b:, m, D D D la rmra y la rcra s b:, ma, D N D N. rscó: S ~ H,N,D, N D N D N N V N D Dm: jrcc cal.

47 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 47 Obsrvacs: l facr N N qu aarc la rsó d la varaza s dma facr d crrccó r blacó fa. S s quñ rlacó a N, la hrgmérca ud sr armada r la dsrbucó Bmal d arámrs y D/N. Obsrvms qu, s cas l facr d crrccó fa s armadam. Lím d la fucó d rbabldad uual d ua v.a. Bmal: rscó: Sa ~ B, y sugams qu y, d mara qu fj, cs: {}!. N N Dm:!!!!....!... Obsrvms qu:... cs,!, cm quríams dmsrar.

48 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 sa rscó sugr qu la fucó d rbabldad uual dría sr armada r la fucó d rbabldad lím, r cuád s csdra qu s grad y s quñ ara qu la armacó sa bua? lgus aurs sugr,. y. la sgu abla s rsa a md d jml, algus valrs acs d la rbabldad y su armacó ara l cas ~ B, /6 rb. aca Bmal rmacó Cm s bsrva, la armacó s basa bua, aú cuad s cuml la cdcó.. Varabl alara ss: Ua v.a. cuya fucó d rbabldad uual s la bda la rscó arr, s dc qu dsrbucó d ss d arámr >, y s a ~. s dcr, ~ s su fucó d rbabldad uual sá dada r: N N! Vrfqums qu s, fc, ua fucó d rbabldad uual: {} s bv qu. r ra ar!!, ya qu! s l dsarrll sr d. 48

49 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 49 jml: Sa : úmr d msajs rchazads r sgud r u srvdr, y sugams qu ~ 5. a Calcular la rbabldad d qu s rchac acam msajs u sgud..84! 5 5 b Calcular la rbabldad d qu s rchac a l sum msajs u sgud ! rscó: S ~, cs y V Dm:.!!!!! j j j r ra ar,!!!!.!! j j j cs. V

50 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 l sgu gráfc s musra la fucó d rbabldad uual crrsd a la dsrbucó d ss ara dss valrs d. él ud bsrvars cóm la dsrbucó s smrza alrddr d a mdda qu s arámr crc. lambda. Dsrbuc ss lambda lambda lambda lambda lambda lambda lambda 5 lambda rcs d ss: Ua alcacó mra d la dsrbucó d ss surg rlacó c la currca d vs a l larg dl m, r udad d ára, r udad d vlum, c. l qu sgu s rfrrms, s érdda d graldad a currcas d u v a l larg dl m, qu drms squmazar la frma: 5

51 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 arr dl sa y hasa l mm currr 5 vs. Imagms qu dvdms l rval, u úmr muy grad d quñs subrvals, d mara qu s sasfac las sgus cdcs: La rbabldad d qu curra u v u subrval quñ s armadam rrcal a la lgud dl subrval. La rbabldad d qu curra más d u v u subrval s dsrcabl c rsc a la rbabldad d qu curra u. La currca d u v u subrval s dd d l qu curr r subrval dsju. arcular, s ds ls rvals s d gual lgud /, la v.a. : úmr d vs qu curr l rval, s cas bmal, sd É la currca d u v cada u d ls subrvals y Érbabldad d qu curra u v. S l úmr d subrvals s sufcm grad y r l a l sufcm quñ, r l rsulad lím qu hms rbad, la varabl dsrbucó d ss. jmls: Msajs d crr lcróc qu llga a ua caslla d crrs. msó d arículas r ua susaca radacva. ccds qu curr u cruc d rua. 4 Númr d rrrs ua ága d u lbr. 5 Númr d larvas d cr sc u rr. jrcc: ara cada u d ss jmls, dscur qu suacs s vrfca las rs cdcs ucadas. Dfcó: Sugams qu s bsrva la currca d u v a l larg dl m y qu s ua cadad sva θ >, al qu La rbabldad d qu curra acam u v u rval quñ d lgud Δ s armadam gual a θ Δ, s dcr: curra u v Δ θ Δ Δ g h sd h ua fucó gh al qu lm. h h 5

52 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 La rbabldad d qu curra más d u v u rval quñ d lgud Δ s dsrcabl cuad s la cmara c la rbabldad d qu curra u v, s dcr: curra más d u v Δ Δ l úmr d vs qu curr u rval s dd dl úmr d vs qu curr r rval dsju. cs, l úmr d currcas dl v u rd d lgud dsrbucó d ss d arámr θ, s dcr qu la v.a. : úmr d currcas dl v l rval d lgud sasfac ~ θ Obsrvacs: Cóm s rra la cadad θ? ud rrars cm la asa mda a la cual curr ls vs la udad d m. S la sul llamar asa mda d currca sdad dl rcs d ss. Cuál s la dfrca r u rcs d ss y ua v.a. c dsrbucó ss? La dfcó arr, qu raldad s u rma, da las cdcs baj las cuáls crs rms alars qu rduc cm rsulads vs l m lgud, ára, vlum, c ud sr mdlads mda la dsrbucó d ss. Csdrms ls jmls a 5. Sól baj cras cdcs, sasfac las rdads d u rcs d ss. jml: Sugams qu l úmr d msajs d crr lcróc qu llga a ua caslla d crrs sgu u rcs d ss d sdad θ msajs / mu. a Cuál s la rbabldad d qu s rcba gú msaj r las hs y las : hs? Sa : úmr d msajs u rd d mus, ~ 6. cs, -6. b Cuál s l úmr srad d msajs mda hra? Sa : úmr d msajs u rd d mus ~ 6 6 c Cuál s la rbabldad d qu s rcba gú msaj r las : hs y las : hs? La rsusa s la msma dl ím a rqu la dsrbucó dd sól d la lgud dl rval y d su ubcacó. 5

53 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Varabls alaras cuas jml: C l f d ralzar u crl d caldad ua fábrca d barías, s md l m d duracó d barías lgdas al azar y s df la v.a. : m d duracó d ua baría La v.a. s scalm cua m, sd su rag l rval ral [,. r sugams qu mdms la duracó d la baría días, s dcr dscrzams l rag d la v.a. y s cvr N N {}. r raars d ua v.a. dscra, su fucó d rbabldad uual ud rrsars mda u hsgrama c ára al gual a. S mdms la duracó hras, bms u hsgrama c mayr úmr d rvals d mr lgud cada u, r qu sgu d ára al gual a. S cuams aumad la rcsó d la mdcó mus, sguds, décmas d sgud, c, bms cm lím d ls hsgramas ua curva suav, y la rbabldad d qu la duracó d la baría s cur r ds valrs a y b a < b sará dada r l ára baj la curva r a y b. Dfcó: Ua v.a. s cua s s ua fucó f : R R [, llamada fucó d dsdad d la v.a. al qu f d R 5

54 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 arcular, s [ a, b], cs a b f d y a a a a R. b a rdad: ara qu ua fucó f sa ua fucó d dsdad, db sasfacr f f d R Obsrvacó: Nar qu f s ua rbabldad, d hch ud sr mayr qu. s smlm l valr d ua fucó u u. jml: Sa a f s r cas Ora frma d rsar la dsdad s f a I [ ], dd la fucó I s df cm, I s s a Calcular l valr d la csa a. f d a d a b Calcular. d a a 6 a. 6 f d 6 d Dfcó: La fucó d dsrbucó acumulada d ua v.a. cua c fucó d dsdad f s df ara d R, cm 54

55 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 F f d jml: l jml arr, bgams la fucó d dsrbucó acumulada d la v.a.., f d S < F d, F f d S S >, F f d d 6 Rsumd, d F 6 s < s s > Obsrvams qu s raa d ua fucó cua, dcrc qu ma valrs r y. rdads d la fucó d dsrbucó acumulada: Sa ua v.a. cua, 55

56 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 R, F,. F s móa dcrc, s dcr qu s < F F. [ ] F s cua d u. v lm F y lm F - Obsrvms qu las rdads, y v ya las hms dmsrad gral al csdrar las v.a. dscras. Rsc a la rdad, l cas dscr rbams qu la fucó d dsrbucó s cua a drcha d u, mras qu s cas s cua d u. rscó: Sa a y b als qu a b, cs a b a < b a < b a < < b F b F a. Dm: Rsula mdaam dl hch qu, s s cua, rscó: S s ua v.a. cua c fucó d dsdad f y fucó d dsrbucó acumulada F, cs d u dd F s drvabl, ' F F f Dm: Rsula dl Trma Fudamal dl Cálcul Igral, y d la dfcó d F. Dsrbucó Ufrm: Dfcó: S dc qu dsrbucó Ufrm l rval [,B ], s su fucó d dsdad s f I, B [ B] s dcr, la dsdad s csa sbr l rval [,B ] y fura d él. y B s ls arámrs d la dsrbucó. Nacó: ~ U,B. 56

57 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 57 Fucó d dsrbucó: Hallms la fucó d dsrbucó acumulada d ~ U,B. S < d d f F. S B B d B d f F B. S > B B B B B d B d f F B. Rsumd, > < B B B F s s s

58 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 rcls d ua dsrbucó cua: Sa ua v.a. cua c fucó d dsdad f y fucó d dsrbucó acumulada F y sa < <. l rcl -ésm d la dsrbucó d s l valr al qu F f d jmls: Sa c fucó d dsdad f I [, ]. Su fucó d 6 dsrbucó sá dada r F 6 s < s s > Obgams l 5-rcl d sa dsrbucó.5. Buscams.5 al qu F F Sa ~ U,B. Su fucó d dsrbucó sá dada r.5 6 /

59 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 F B s < s B s > B Hallms l 5-rcl d sa dsrbucó.5. Buscams.5 al qu F F B.5 B B. l 5-rcl s dma mdaa d la dsrbucó. sraza valr srad d ua v.a. cua: Dfcó: Sa ua v.a. cua c fucó d dsdad f, la sraza valr srad d s df cm f d smr qu f d <. S sa gral s, la sraza ud dfrs y dcms qu s. jml: Sa ~ U,B, f d B B d B B B B B. rscó: S la v.a. cua fucó d dsdad f, cs la sraza d cualqur fucó ral h, sá dada r h h f d 59

60 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 s h f d <. rdad Laldad: S a y b s csas rals, a b a b. Dm: Sa h a b, cs a b f d a f d b h f d h f d a b. jml: Ds scs cm ua rgó ara crlar ua lmada cadad d cr rcurs. sa : rrcó dl rcurs crlada r la sc. Sugams qu ~ U,, s dcr f s s [,] [,] s mdl d asgacó d rcurss s dma br sc vara ra ya qu s aálg a qubrar ua vara u u alar. La sc qu crla la mayría dl rcurs, crla la cadad. Sa h ma, s s < l valr srad ara la cadad crlada r la sc qu más crla s: h f d ma, f d f d f h d / / / d d / / / Varaza d ua v.a. cua: Dfcó: Sa ua v.a. cua c sraza y dsdad f, la varaza d, qu s dará V, ó, s 6

61 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 6 [ ] d f V y l dsví sadard d, s V. rscó: V. Dm: d f d f V d f d f d f cm quríams dmsrar. jmls: Sa ~ U,B, hms dmsrad qu, B s dcr l u md dl rval. Hallms la varaza d. Cm V, csams calcular. B - B B B B B B B d d f B B B B cs, B B B V. 4 B B B B B B B

62 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 B r l a, V. rdad d la varaza y dl dsví sadard: Sa ua v.a. cua c dsdad f, V a b a V y a b a Dm: : Obsrvms qu, gral, cs, s h a b,. h h V h f d V a [ a b a b ] f d [ a b a b] f d b [ a a ] f d a [ ] f d a V, cm quríams dmsrar. Obvam, a. a b 6

63 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Varabls alaras cuas Dsrbucó Ufrm: Rcrdms qu dsrbucó ufrm l rval [,B ], s su fucó d dsdad s f I, B [ B] Nacó: ~ U,B. Su fucó d dsrbucó acumulada sá dada r: F B s < s B s > B sraza y varaza d ua varabl alara ufrm: Sa ~ U,B, hms dmsrad qu B B y V. Dsrbucó Nrmal: S dc qu dsrbucó Nrmal d arámrs y R, > s su fucó d dsdad s Nacó: ~ N,. f π l gráfc d la fucó d dsdad rmal frma d camaa c j d smría y us d fló y -. 6

64 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 - sa dsrbucó, dca la scó d la curva y s l arámr d dsrsó. l sgu gráfc s musra dsdads crrsds a y dss valrs d. Dsdads Nrmal N, N,/4 N, N,

65 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 65 La mraca d la dsrbucó rmal radca sól qu frcum la rácca s halla varabls qu sa dsrbucó r jml, ls rrrs d mdcó s rqu, baj cras cdcs, sul sr ua bua armacó a la dsrbucó d ras varabls alaras. S ud vrfcar qu fc la fucó s ua fucó d dsdad, s dcr qu la gral sbr da la rca s. N l harms, r sí vrfcarms qu su gráfc s smérc rsc d, u l cual alcaza su úc mám y qu us d fló y -. rbms rmr lugar qu la dsdad s smérca rsc d, sa qu f f fc, π π f π π f y, r l a, s vrfca la gualdad. Obsrvms ahra qu la dsdad alcaza u úc mám.. jrcc: Vrfcar qu la drvada sguda s mr qu y r l a s raa d u mám y qu la dsdad ds us d fló y -. f π π

66 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Dsrbucó Nrmal Sadard: S dc qu Z dsrbucó rmal sadard s sus arámrs s y, s dcr Z ~ N,. Su fucó d dsdad sará dada r f z z π Su fucó d dsrbucó, qu s ará Φ z, s: z Φ z F z d π sa fucó sá abulada, ya qu su gral ua rsó aalíca ccda. jml: Z ~ N,, Z.5 Φ Z >.5 - Z.5 - Φ Z.5 Φ.5 - Φ rcls d la dsrbucó Nrmal Sadard: Sa < <, l rcl - ésm d la dsrbucó rmal sadard s l valr z al qu Φ z, s dcr, s l valr qu dja a su zqurda u ára gual a. jml: Z ~ N,, l rcl 99 d la dsrbucó s. ya qu Φ

67 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 67 rdads d la dsrbucó Nrmal: S, ~, ~ N Z N Dm: z F z z z Z z F Z Cm Z F s drvabl d u, π z z f z F z z Z F z z Z f z π y, r l a Z ~ N, cm quríams dmsrar. S., ~ y, ~ N Z N Z > Dm: jrcc. Sa, ~ N y ~ N, Z. S dams y z a ls -ésms rcls d y Z rscvam, z Dm: l -ésm rcl d s l valr al qu F. F Φ z z.

68 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 sraza y varaza d ua varabl alara rmal: Hallarms calm la sraza y la varaza d la dsrbucó rmal sadard y lug, ulzad rdads ya dmsradas, hallarms la sraza y la varaza d ua dsrbucó rmal gral. rscó: Sa Z ~ N,, cs Z y VZ. Dm: Z z zf z dz z dz π us l grad s ua fucó grabl mar. V Z Z Z Z z z z dz π z z π dz lcad gracó r ars, c u z dv z π z dz du dz v π z s b V Z z π π dz lm M z z z z π M M. lcad la rgla d L Hsal, y M lm M lm M π M M π M M lm M lm π M M π M M y, r l a, VZ. 68

69 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 rscó: Sa ~ N,, cs y V. Dm: Rcrdms qu, s ~ N,, cs ~ N,. Cm Z, r laldad d la sraza,. Cm V Z V, r rdads d la varaza, V V. Dsrbucó Gamma: S raa d ua famla d dsrbucs qu rv u mdl adcuad ara hsgramas qu rsa cr d asmría. s d rsar a las v.a. c dsrbucó Gamma, s csar rcrdar cóm s df la fucó Gamma facral, la cual cuml u rl mra muchas ramas d la Mamáca.. Dfcó: Dad >, s df la fucó Gamma fucó facral cm Γ d rdads: S >, Γ Γ S N, Γ! Γ π Dm: Sa >. lcad gracó r ars c u y dv d, 69

70 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 7 Γ d d Γ Γ lm. d M M M jrcc. Γ d d lcarms l sgu camb d varabl: u, c l cual d du. cs, π π π Γ du du du u u u, ya qu la gral d la úlma gualdad s la gral d la dsdad rmal sadard y r l a s gual a. Dfcó: S dc qu dsrbucó Gamma d arámrs y >, > s su fucó d dsdad sá dada r, I f Γ Nacó: ~ Γ, b ~ G,. l sgu gráfc s musra la dsdad crrsd a ~ G, ara dss valrs d ls arámrs.

71 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Dsdads Gamma G, G, G,/ G, Dfcó: S, la dsrbucó s dma Gamma sadard. s dcr, dsrbucó Gamma sadard d arámr ~ Γ, s su dsdad sá dada r: f I, Γ sa fucó d dsdad s srícam dcrc s, y s > alcaza u mám y dsués dcrc. La dsrbucó Gamma sadard sá abulada ara dfrs valrs d. Vlvd a la dsdad Gamma gral, s u arámr d scala ya qu valrs d dss d, cmrm ad la curva. 7

72 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Dsdads Gamma Sadard G, G, G5, sraza y varaza d ua varabl alara Gamma: rscó: ~ Γ,, cs y V. Dm: d d d Γ Γ Γ Γ Γ d. Γ Γ Γ Obsrvms qu la úlma gral s la gral, sbr d su rag, d la dsdad d ua v.a. c dsrbucó Γ, y r l a s gual a. Calculms ahra. 7

73 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 7 Γ Γ Γ d d d Γ Γ Γ Γ Γ d. Obsrvms qu la úlma gral s la gral, sbr d su rag, d la dsdad d ua v.a. c dsrbucó Γ, y r l a s gual a. Falm,, V cm quríams dmsrar. rdad: S ~ Γ, y a >, a ~ Γ, / a. Dm: jrcc. Na: sa úlma rdad rm br rbabldads ara ua v. a. c dsrbucó Gamma a arr d ua dsrbucó Gamma sadard. fc, sugams qu ~ Γ,, cs ~ Γ, y, r jml F Obsrvacó: lgus aurs, r jml J. Dvr, ulza ra aramrzacó d la dsrbucó Gamma, dfd cm sgud arámr d la dsrbucó a /. s dcr:, ~ β Γ s su fucó d dsdad sá dada r, I f Γ β β s cas, β y β V. Dsrbucó cal: S raa d u cas arcular d la dsrbucó Gamma, ya qu ua v.a. cal s ua v.a. Gamma c arámr. Dfcó: dsrbucó cal d arámr > s su fucó d dsdad sá dada r:, I f Nacó: ~ ε.

74 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Dsdads cal / Fucó d dsrbucó d ua v.a. cal: S ~ ε, su fucó d dsrbucó acumulada sá dada r F s s > fc, s >, F d, cm quríams dmsrar. rscó: S ~ ε, cs y V. Dm: S dduc mdaam d la sraza y la varaza d ua v.a. Gamma c arámr. 74

75 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 jml: Sugams qu l m d rsusa d ua rmal ccada lía s ua v.a. c dsrbucó cal c sraza gual a 5 sguds. a Cuál s la rbabldad d qu l m d rsusa sa mayr d sguds? Obsrvms qu, dad qu 5, ~ ε /5, cs > 5 F.5. b Cuál s la rbabldad d qu l m d rsusa sé r 5 y sguds? 5 F F rscó rdad d Fala d Mmra: Sa ~ ε, y sa s y úmrs rals svs cualsqura, > s > s > Dm: jrcc. Sugrca: Usar qu s ~ ε, s > s. Rlacó d la dsrbucó cal c ls rcss d ss: Sugams qu la currca d cr d vs sgu u rcs d ss d sdad asa mda d currca ν, y r l a la v.a. : úmr d currcas u rval d lgud dsrbucó ν. S ud dmsrar qu la v.a. T: m hasa la currca dl rmr v quvalm, m r la currca d ds vs sucsvs, dsrbucó cal. rscó: Dad u rcs d ss d sdad ν, s s df la v.a. T: m hasa la currca dl rmr v, cs T~ εν. Dm: S, F T. Sa >, F T T >. T fc, s l m hasa la rmra currca s mayr qu, ha currd gú v l rval, y rcírcam. cs, 75

76 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 y r l a F! ν ν ν T, F ν s s > s dcr, T~ ε ν. jrcc: Dmsrar qu l m d sra hasa la sguda currca dl v dsrbucó Γ, ν. 76

77 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Fucó gradra d mms: Dfcó: S s ua varabl alara, l mm d rd d s df cm smr qu la sraza sa. Nms qu r mm: scó d mm: rlacad c ua mdda d dsrsó r mm: rlacad c ua mdda d asmría 4 4 mm: rlacad c la urss Dfcó: La fucó gradra d mms d ua v.a. s ua fucó a valrs rals, dfda cm M M R f d s s dscra s s cua smr qu l valr srad sa ara d h, h, h >. sa úlma s ua cdcó écca csara ara qu M sa dfrcabl. S dma fucó gradra d mms rqu ls mms d ud sr bds drvad sa fucó y valuad la drvada, al cm l sablc l sgu rma. Trma: Sa ua v.a. ara la cual s la fucó gradra d mms M, cs M La dmsracó s basa l sgu lma d Cálcul avazad vr r jml, dvacd Calculus, D. Wddr 96: 77

78 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 78 Lma: S la fucó g dfda r d f g g ó cvrg ara d, h h ara algú > h, cs s las drvadas d rd d g ara d, h h y ara d r sv y s b cm d f g g ó Dmsracó dl Trma: S la fucó gradra d mms s ara d, h h ara algú > h, alcad l lma, d f M M ó d f M M ó valuad sas drvadas, ó d f M M jmls: Sa ua v.a. c dsrbucó cal d arámr, sa c dsdad, I f d d d M smr qu. < Calculms ahra y V.

79 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz M Cm, V calculms. 4 M cs,. V Sa ua v.a. c dsrbucó Bmal d arámrs, y, sa ~ B,. Su fucó d rbabldad uual s s M. Calculms ahra y V. M. M. cs,. V rdad: Sa ua v.a. c fucó gradra d mms M, cs s Y a b, cs a M M b Y. Dm: jrcc.

80 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Ucdad d M : dmás d rmr calcular mms d ua v.a., la fucó gradra d mms rm dfcar la fucó d dsdad d rbabldad d ua v.a. dbd a la rdad d ucdad, la cual sablc qu hay ua crrsdca u a u r fucs d dsdad rbabldad y fucs gradras d mms. Trma d Ucdad: S s la fucó gradra d mms d ua varabl alara, s úca. dmás la fucó gradra d mms drma a la fucó d dsdad rbabldad d la v.a. salv a l sum u cju d rbabldad. cuacó, rsams ua abla c la fucó gradra d mms d alguas d las dsrbucs qu hms sudad. Dsrbucó M B, N, G, Ua,b b a b a G BNr, r jrcc: ara qué valrs d s cada ua d las fucs gradras d mms d la abla arr? 8

81 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Gracó d Númrs lars Númrs lgds al azar s úls dvrsas alcacs, r las cuáls dms mcar: Smulacó méds d M Carl: s smula u rcs aural frma cmuacal. sas alcacs s ralza muy varads cams c l f d mular dss cmrams: físca r jml, ara smular clss r arículas, gría dsñ d bras hdráulcas, us, c., vrss d caal, rds, srvcs a cls, call crs, c. La smulacó a ravés d la cmuadra s ua hrrama drsa ara cmrdr la auralza d ssmas cmljs. Musr: c l f d slccar ua submusra d ua blacó. álss Numérc: alguas éccas ara rslvr rblmas d aálss umérc cmljs ha sd dsarrlladas usad úmrs alars. rgramacó: la gracó d valrs alars ud sr úl ara r a ruba la fcvdad d u algrm. També s úls crlgía. sar d qu fu la década dl 4 qu las rmras cmuadras mdras fur dsarrlladas, la smulacó ya sía frma mbrara aú as d qu la cmuadra aarcra sca. sí, r jml, la sguda mad dl sgl I, s ralzaba rcas arrjad agujas al azar sbr ua surfc rglada c l f d smar l úmr π. 98 W. S. Gss, baj l sudóm d Sud, ralzaba u musr rmal c l f d dscubrr la dsrbucó d u smadr d la crrlacó ua dsrbucó rmal bvarada. s mm ls úmrs alars s graba mda méds bsrvacals mcasms físcs als cm rar u dad, rar ua cara d u maz mda ua rula. Dad l sfurz qu sgfcaba grar úmrs alars cada vz qu ra csars, arc razabl qu s haya csrud als úmrs y lug abulad. T 97 ublcó ua abla c 46 úmrs alars mads frma alara d frms csals. Cada úmr ra u d ls rs,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y l usuar maba vars d lls y agrgaba u u dcmal ara frmar u úmr alar r y. Dsd s mm fur russ ua sr d gradrs d úmrs alars. La rmra máqua fu usada 99 r Kdall y Babg-Smh c l f d rducr ua abla d dígs alars y 955 la RND Crra ulzó sam ua abla d dígs alars qu fu bda a arr d ua rula lcróca scalm dsñada. RNI fu ua famsa máqua d úmrs alars qu fu usada r la lría bráca, s dcr la Brsh rmum Savgs Bds Lry. c dsués d la aarcó d las cmuadras, s cmzó a buscar maras fcs d br úmrs alars, us aú cuad s día usar las ablas ss és ra u rcurs lmad, ya sa r l sac d mmra csar cm 8

82 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 r rsular, algus cass, cras. S b máquas cm RNI dría habr rabajad ju c ua cmuadra, ua slucó la qu la cmuadra rv d arcía más sasfacra. La búsquda s ró, cs, a la rduccó d úmrs alars usad racs armécas ua cmuadra. Jh v Numa sugró u rc, alrddr d 946, usar l méd dl cuadrad md. Su da ra calcular l cuadrad dl úmr alar arr y mar ls dígs dl md dl úmr calculad. sí, r jml, s qurms grar u úmr alar d dígs y l úmr arr s l uv úmr srá La rmra rgua qu cab hacr s: rqué mv u úmr grad r s rcdm qu s drmísc, va a rsular alar?. La rsusa s qu l úmr s alar, r arc srl, l sd qu ua alcacó la rlacó ral r u úmr y l sgu gú sgfcad físc. r l a, l carácr alar s ua caracrísca dsabl y dría sr qu l cuadrad md rsulas sr u bu bad dl úmr arr. s clar, d das frmas, qu u mcasm d sa auralza dría habr rmlazad a RNI. Las scucas d úmrs gradas frma drmísca rcb l mbr d scucas sud-alaras quas-alaras, s b srs s rfrrms a llas cm scucas alaras, sbrdd qu sól arc alaras. Númrs alars grads frma drmísca ua cmuadra fuca muy b muchísmas alcacs, a cdcó d qu l méd d gracó sa bu. Vlvd a la rusa d v Numa, ésa arc sr ua bua fu d úmrs alars. dría sucdr qu la scuca caga u ccl cr d rcs, sd l cas rm l dl cr l cual, s aarc la scuca, sgurá réds smr. arr d ls añs 5 s ralzar dvrsas rcas c l méd rus r v Numa. Trabajad c úmrs d 4 dígs lugar d, G.. Frsyh rbó c 6 úmrs cals. C d lls rmó c l ccl 6,, 4, 8, 6, c. Y c ras ds rmó cr. fc, 6** 7 ** 44 4** 68 8** 656 Mróls ralzó muchas rubas c ls úmrs dl mddl-squar, scal c ssmas d úmrs bars. Msró qu scucas d dígs, hay ccls dfrs ls qu la scuca ud car, l más larg d ls cuals lgud 8

83 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 4. sas falcas dl mddl-squar s alguas d las csdracs qu dbms hacr a u gradr d úmrs alars. rc csdrarms méds ara grar úmrs c dsrbucó ufrm l rval,. És dms lgrarl grad rs r y u úmr aural m y lug mad la fraccó: U m Usualm m s u úmr muy grad. l más ular d ls gradrs d úmrs alars s l Méd Lal d Cgrucas, qu s u cas scal dl méd rducd r Lhmr 949. Dads cuar úmrs m, a, c y, frmams la scuca d úmrs alars d la sgu frma a c md m, s dcr qu s l rs r d dvdr a c r m y r l a s u r r y m-. sa s ua scuca lal cgru. Tgams cua qu m s l módul m> a s l mullcadr a <m c s l crm c <m s la smlla valr cal l cas qu c, l méd rcb l mbr d mullcav scucal. r jml, s m y a c 7, cs la scuca bda s 7, 6, 9,, 7, 6, 9,... camb, s m 8, ara la msma lccó dl rs d las csas, la scuca sría:, 7,, 7... És musra qu la lccó d ls úmrs m, a y c s crucal y qu smr s cará u l, s dcr u ccl d rcs, qu s llama ríd. s clar qu cua más grad sa m, mayr s la sbldad d qu l ríd sa larg. raldad, las dsas lccs d ls arámrs s smdas a ua baría d ss c ls qu s chqua las rdads d ls úmrs grads. 8

84 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Cm ya bsrvams más arrba, c ss algrms s gra úmrs alars qu s cmra cm s rvs d ua dsrbucó U,. La rgua qu s razabl hacrs s rqué és s sufc. l sgu rma s da ua rsusa. Trma: Sa U ua varabl alara c dsrbucó U, y G ua fucó d dsrbucó acumulada cua y srcam crc. S G U, cs la fucó d dsrbucó acumulada d s G, s dcr F G. Dm: Rcrdms qu s U ~ U,, cs su fucó d dsrbucó s d la frma F U u u s u s < u < s u r l a, cm G s ua fucó srcam crc y su mag rc al rval,, cs F G U U G FU G c l qu quda dmsrad l rma. G jml: l cas d ua varabl ~, la fucó d dsrbucó acumulada s d la frma F s s > Dad y,, la vrsa d F s F y l y Lug, s U ~ U,, l U ~ 84

85 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 S la dsrbucó G sals s csa d a rzs, srá su vrsa. S mbarg s ud dmsrar qu s ua H c las rdads rqurdas l rma arr, d mara qu, auqu s dmsracó, ucarms l sgu rsulad. Trma: Sa U ua varabl alara c dsrbucó U, y G ua fucó d dsrbucó acumulada. s ua fucó H al qu H U dsrbucó acumulada G. jmls: Qurms grar ua varabl c dsrbucó d Brull d arámr a arr d ua v.a. ufrm. dms alcar l sgu rcdm. Grams U ~ U, y dfms: s < U s < U fc, la uva varabl ma sól ds valrs y y dad qu, U y r l a la dsrbucó dsada. Nms qu lugar dl rval, ] dríams habr mad cualqur rval, d lgud. 85

86 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Vcrs alars Hasa ahra hms sudad mdls d rbabldad ara ua úca varabl alara. S mbarg, muchs cass rsa csrur mdls qu vlucr a más d ua varabl. Csdrarms calm l cas d vcrs alars bdmsals y lug drms las dfcs y rdads a vcrs d dmsó mayr qu. Dfcó: Sa Y v.a. dscras dfdas sbr u sac musral S. La fucó d rbabldad cjua dl ar,y, Y,y s df cm l cju R {, y / R, y R } Y Dad cualqur cju Y, y, Y y s l rcrrd rag dl vcr alar,y. R, Y, Y Σ Σ Y, y, y Ua fucó d rbabldad cjua sasfac:, y, y Y, y y Y jmls: D ua ura qu c 6 blllas blacas y 4 gras s ra s rscó blllas. S df : úmr d blllas blacas raídas Y s l úmr d blllas gras raídas s ar ó s l úmr d blllas gras raídas s mar Hallms la fucó d rbabldad cjua dl vcr,y. Obsrvms qu ls sbls valrs d s,, y, y ls sbls valrs d Y s y. dms rsumr la frmacó ua abla d la frma sgu: Y / 5/ 9/ 5/ 86

87 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 fc, Y,, Y quval al sucs s ra blllas gras y r l a rbabldad /. Y,, Y quval al sucs s ra blllas gras y l úmr d blllas gras s ar y r l a rbabldad. D sa frma, s cmla la abla d rbabldads cjuas. Rr l jml, sud qu las raccs s ralza c rscó. Dfcó: Sa,Y u vcr alar dscr c fucó d rbabldad cjua Y,y, las fucs d rbabldad margal d Y sá dadas r Y y y Y Y, y, y jmls: l jml rsad as, hallms las fucs d rbabldad margal. rmr lugar, hallms. Rsc a Y y, Y Y Y Y,, Y Y Y Y Y Y,,,,,, Y Y Y Y Y Y, 9 9, 5 5, 5 5,,, Y Y 5 6, 9 5 4, Obsrvms qu las fucs d rbabldad margal s b sumad sbr flas clumas las fucs d rbabldad cjua cdas la abla, d ahí su mbr. 87

88 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Y y Y / 5/ 6/ 9/ 5/ 4/ / 9/ 5/ 5/ Dfcó: Sa,Y u vcr alar dscr c fucó d rbabldad cjua Y,y, la fucó d dsrbucó acumulada cjua d,y sá dada r F Y, y,, R s y s y Y Dfcó: Sa Y v.a. cuas dfdas sbr u sac musral S. l vcr alar,y s cu s s ua fucó, dmada fucó d dsdad cjua,, y : R R, al qu f Y, Y f, y d dy R arcular, s [ a, b] [ c, d ], b d, Y Y f, y dy d. a c Ua fucó d dsdad cjua sasfac:, y, y f Y f Y, y d dy jml: Sa,Y u vcr alar cu c fucó d dsdad cjua f Y, y y Y s, y r cas 88

89 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 89 a Hallar l valr d la csa. dy d y d dy y d dy y f Y, y y dy y dy y y, r l a,. 5 6 b Calcular. 4, 4 Y 4 / 4 / 4 / 4 / , 4 dy y d dy y Y 4 / 4 / y y dy y

90 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Sa,Y u vcr alar cu c fucó d dsdad cjua f, y y I, y, Y sd T {, y /, y }. T a Hallar l valr d la csa. b Hallar, Y. c Hallar Y. - a f Y, y d dy y dy d y y d d d 4 / b, Y y dy d y y d d / / / / 4 4 /

91 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 / / y y d c Y y dy d / d / d / s jml rsarms a la dsrbucó Ufrm sbr ua rgó, la cual gralza a la dsrbucó Ufrm sbr u rval sudada l cas d varabls alaras. Drms qu l vcr alar dsrbucó Ufrm sbr ua rgó R s su dsdad s csa sbr la rgó y fura d lla, s dcr 9

92 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4, Y ~ U f Y, y s s, y, y s mda vrfcar qu, us ára d dy d dy ára. També s mda vrfcar qu ára B, Y B B R. ára Dfcó: Sa,Y u vcr alar cu c fucó d dsdad cjua, y, la fucó d dsrbucó acumulada cjua d,y sá dada r f Y F Y, y y f Y s, d ds, y R Dfcó: Sa,Y u vcr alar cu c fucó d dsdad cjua, y, las fucs d dsdad margal d Y sá dadas r f Y f f Y y f f Y Y, y dy, y d jmls: Sa,Y u vcr alar cu c fucó d dsdad cjua f Y 6, y 5 y s, y r cas Hallms las fucs d dsdad margal. S [,], f us ara ss valrs d la dsdad cjua f Y, y. 9

93 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Sa [,], 6 6 y 6 f y dy y cs, f I [, ]. 5 S [,], f y y Y us ara ss valrs d y la dsdad cjua f Y, y. Sa [,] y, f Y y y d y y cs, f Y y y I [, ] y. 5 Sa,Y u vcr alar cu c fucó d dsdad cjua f, y y I, y, Y sd T {, y /, y }. S [,], f T us ara ss valrs d la dsdad cjua f Y, y. Sa [,], f y dy cs, I [ ]. S [,], f y f, y y. y Y us ara ss valrs d y la dsdad cjua f Y, y. Sa [,] y, 9

94 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 f Y y y y d y y y y y y y. cs, y y y I [ ] y. f Y, Dfcó: Sa,Y u vcr alar dscr c fucó d rbabldad cjua Y,y y margals y Y y, y sa al qu >, la fucó d rbabldad cdcal d Y dad sá dada r y, y Y Y. Dl msm md, sa y al qu Y y >, la fucó d rbabldad cdcal d dad Y y sá dada r Y, y y Y y. Y S ud vrfcar qu, fc sas fucs s fucs d rbabldad ya qu, r jml, Y y sasfac Y ara d y y y y Y La rmra cdcó s sasfac ya qu > y, y, y. Rsc a la sguda, Y Y y Y, y, y y y y Y. jml: S arrja ds vcs u radr cuyas caras sá umradas,, y 4. S df las varabls alaras : suma d ls us bds Y: úmr d ass Hallms rmr lugar la fucó d rbabldad cjua d,y y las fucs d rbabldad margal. 94

95 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Y y /6 /6 /6 /6 /6 9/6 Y /6 /6 /6 6/6 /6 /6 /6 /6 /6 4/6 /6 /6 /6 Obgams, r jml, la fucó d rbabldad cdcal d Y, dad 4 Y 4 Y 4 Y 4 Y 4, /6 4 /6 Y 4, 4 Y 4, 4 qu, dms rsumr la sgu abla: /6 /6 /6 y Y 4 y / / camb, la fucó d rbabldad cdcal d Y, dad, sará dada r y Y y D la msma frma, ud brs das las fucs d rbabldad cdcal d Y dad, y las d dad Y y. cua al cas cu, sugams qu l jml l cual la dsdad cjua saba dada r f, y y I, y, Y, dsams hallar Y. 4 sd T {, y /, y } T 95

96 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz , 4 Y Y Y r u lad, 4 / / 4 / / 4, dy y d dy y Y 4 / 4 / y y dy y y, r r 4 / 4 / y y y dy y y Y. cs, / / 8 4 Y. Cóm calcularíams? 4 Y hra s alcabl drcam la dfcó d rbabldad cdcal rqu y y Y. S rqur la sgu dfcó. Dfcó: Sa,Y u vcr alar cu c fucó d dsdad cjua f Y,y y margals f y f Y y, y sa al qu f >, la fucó d dsdad cdcal d Y dad sá dada r, f y f y f Y Y. Dl msm md, sa y al qu f Y y >, la fucó d dsdad cdcal d dad Y y sá dada r

97 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 f, y Y Y y. fy y f S ud vrfcar qu, fc sas fucs s fucs d dsdad ya qu, r jml, fy y sasfac fy y ara d y fy y dy La rmra cdcó s sasfac ya qu f > y f, y, y. Rsc a la sguda, f Y, y fy y dy dy,. f Y y dy f f f f Y jml: Vlvd al jml y a la rgua qu mvó sa dfcó, Y 4 / f Y / 4 d Hallms la dsdad cdcal d, dad Y/4. f f,/ 4 / 4 I, / 4 Y Y / 4 I, / 4. f / 4 Y 6 Nms qu, dad Y y, ma valrs l rval,-y. D ahí qu, cm Y /4, ma valrs l rval, ¾. Falm, Y 4 / d /

98 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Iddca d varabls alaras Dfcó: Las varabls alaras Y s dds s y sól s ara d y s sasfac S sa cdcó s sasfac, drms qu Y s dds. Cas : S l vcr,y s dscr, la cdcó d ddca s quval a la sgu: Y s dds s y sól s,, Lug, ara rbar qu ds varabls dscras s dds, s sufc c hbr u u, l qu,. Cas : S l vcr,y s cu y,, cs, claram, Y s dds. ara rbar qu ds varabls cuas s dds dbríams hbr u cju,, s dcr u cju d mdda ula l qu s sasfaga la cdcó,. S dma sr d ua dsdad al cju d valrs ls cuals la dsdad s sva. S l sr d la dsdad cjua s gual al rduc carsa d ls srs d las dsdads d Y s mda crar u cju así: basaría c hbr u rcágul,, al qu l rval, sé cd l sr d, l rval, l sr d Y y l rcágul,, sé cd l sr d,y. Ora frma d rbar qu Y s dds s crar u u, l cual, y l cual das las dsdads sa cuas. r cudad, la cdcó s cumlrá u r rcagular dl u. Obsrvms qu s Y s dds, las fucs d rbabldad dsdad cdcal ccd c las crrsds margals. jmls: Csdrms l rmr jml rsad ara l cas dscr, cuya fucó d rbabldad cjua y sus fucs d rbabldad margal sá dadas r: 98

99 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Y y Y / 5/ 6/ 9/ 5/ 4/ / 9/ 5/ 5/ Claram Y s dds ya qu, r jml, 4 Y, Y. Sa Y v.a. dds c dsrbucó cal d arámr, cs la fucó d dsdad cjua dl vcr, Y sará dada r f Y y, y f f y I, I, Y y y I, I, y. sraza d ua fucó d ds varabls alaras Hms vs qu, dada ua v.a. y ua fucó ral h, h ambé s ua v.a. y qu ara calcular su sraza csams hallar la dsrbucó d h ya qu s b a arr d la fucó d rbabldad uual d dsdad d la v.a., sgú sa ésa dscra cua, la frma h h ó h h f d U rsulad smlar s b l cas d ua fucó ral d u vcr alar y sá dad r las ds rscs sgus, cuya dmsracó harms. rscó: Sa Y ds varabls alaras dscras c fucó d rbabldad cjua Y, y y sa h, y :R R, cs h, Y s ua varabl alara y h, Y smr qu sa sraza sa. h, y, y y Y 99

100 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 rscó: Sa Y ds varabls alaras cuas c fucó d dsdad cjua f Y, y y sa h, y :R R, cs h, Y s ua varabl alara y h, Y Y smr qu sa sraza sa. h, y f, y d dy rscó: Sa Y ds v.a. dscras cuas c fucó d rbabldad cjua d dsdad Y, y ó f Y, y rscvam y sa a y b úmrs rals, cs a by a b Y Dm: Harms la dmsracó ara l cas cu. La dmsracó ara l cas dscr s smlar. Sa h, Y a by, cs h, Y h, y f, y d dy a by f, y d dy Y a f, y d dy b y f, y d dy Y a f Y, y dy d b y f cm quríams dmsrar. Y Y Y, y d dy a f d b y f y dy a b Y Y rscó: S Y s v.a. dds, Y Y. Dm: jrcc.

101 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Cvaraza y crrlacó Dfcó: Sa Y ds v.a. c srazas y Y rscvam, la cvaraza r Y s df cm Cv, Y [ Y ] Y sgú sa Y dscras cuas. Obsrvacó: Cv, V. y y y f Y Y Y Y, y, y d dy Ida uva: S Y ua fur rlacó sva, l sd qu valrs grads d aarc ascads c valrs grads d Y y valrs quñs d aarc ascads c valrs quñs d Y, cs la mayría d ls rducs y Y srá svs y r l a la cvaraza srá sva. r ra ar, s Y ua fur rlacó gava, l sd qu valrs grads d aarc ascads c valrs quñs d Y y valrs quñs d aarc ascads c valrs grads d Y, cs la mayría d ls rducs y srá gavs y r l a la cvaraza srá gava. Y

102 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Cv,y > Cv,y < Cv,y rscó: Cv, Y Y Y. Dm: L harms sól ara l cas dscr. ara l cas cu s dmusra frma smlar. Dms y Y, Cv Y [ Y ] y, y, Y Y y Y Y

103 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 y y y Y Y Y, y y Y, y y Y, y Y Y, y, y Y Y y y y y Y, y y Y, y Y Y Y y y Y y Y Y Y Y Y cm quríams dmsrar. Y Y y Y y Y jmls: Csdrms uvam l rmr jml rsad ara l cas dscr, cuya fucó d rbabldad cjua y sus fucs d rbabldad margal sá dadas r: Y y Y / 5/ 6/ 9/ 5/ 4/ / 9/ 5/ 5/ y calculms Cv,Y. Cv, Y Y Y j, j Y j Y Csdrms uvam l rmr jml rsad ara l cas cu, s dcr u vcr alar,y c fucó d dsdad cjua f Y 6, y 5 y s, y r cas

104 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 4 y margals [ ] 5 6, I f y [ ]. 5 6, y I y y f Y Calculms Cv,Y. rmr lugar, dy d y y d dy y y Y y y dy y y dy y y r ra ar, d d y y dy y y dy y y Y cs, 5 5 7, Cv Y. rdad: S Y s v.a. dds, Cv,Y. La rcírca s cra gral. Dm: Hms vs qu s Y s dds, Y Y y r l a s mda qu Cv,Y. ara jmlfcar qu la rcírca s gral cra, csdrms u vcr alar dscr c la sgu fucó d rbabldad cjua y Y 4 Y /5 /5 /5 /5 /5 /5 4 /5 /5

105 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 /5 /5 /5 /5 /5 S bsrva qu Y s dds ya qu, r jml, Y, Y 5 S mbarg, s ud vrfcar qu Cv,Y. fc, Y Y cs, Cv, Y 4. Obsrvacó: La cvaraza dd d las udads qu s rsa las varabls alaras. s cv ud salvars sadarzádlas. D s md s b ua mdda d la furza d la rlacó r las v.a. qu dd d sus udads. 5 Dfcó: Sa Y ds v.a. c srazas y Y rscvam y varaza sva, l cfc d crrlacó r Y s df cm Cv, Y ρ, Y Y sd y Y ls dsvís sadard d Y rscvam. rscó: Sa a, b, c y d úmrs rals, a, c y Y ds v.a. cualsqura c varaza sva, cs dd sg da la fucó sg. ρ, Y ρ a b, cy d sg ac ρ, Y 5

106 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 ρ, Y Y a b c rbabldad, ara crs valrs rals a y b, a. Obsrvms qu l cfc d crrlacó md rlacó lal r las v.a. Dm: Cv a [ a b cy d ] a b cy d b, cy d [ acy ad bcy bd ] a b c Y d ac Y ad bc Y bd [ ac Y ad bc Y bd ] [ Y Y ] ac Cv, Y. ac r ra ar, a b a cy d y c Y y, r l a ρ Cv a b, cy d ac Cv, Y a b, cy d sg ac ρ, Y a c a b cy d cm quríams dmsrar. Csdrms la sgu fucó ral, [ Y ] [ V ] q W sd V Y Y y W. Obsrvms qu q. Cm Y [ W ] V V W W q V s ua fucó cuadráca qu ma valrs mayrs guals qu, su gráfc, cra al j l cra u sl u. s dcr qu la cuacó q a l sum ua raíz y r l a su dscrma s mr gual qu. Rcrdms qu l dscrma d ua cuacó d sgud grad a b c s b 4ac. usr cas, l dscrma s y, r l a, 4 [ V W ] 4 V W Y 6

107 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 [ V W ] [ V W ] [ Y ] 4 4 V W V W Y [ ] [ Y ] Y [ ρ, Y ] ρ, Y. Dmsrarms las ds mlcacs. S ρ, Y, y vlvd a la dmsracó d la rdad arr, s qu q, sa al qu al [ V W ], r admás V W, us V y W sraza gual a. cs la v.a. V W varaza cr y r l a s csa c rbabldad, s dcr sa, V W V W V W Y Y. Y cs, Y a b c rbabldad, sd a y b Y. Fala vrfcar qu a. fc, s fus gual a, és mlcaría qu V Var Y. Y Sa Y a b ara crs valrs a y b. cs ρ, Y ρ, a Cv, a b b a b a a a b b a b a[ ] b a cm quríams dmsrar. a a a a ± 7

108 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Vcrs alars. só a más d ds dmss Dfcó: Sa,..., varabls alaras dscras, la fucó d rbabldad,..., s df cm: cjua dl vcr alar,...,,...,,..., y, dad cualqur cju R,,...,...,...,,...,,..., sa fucó sasfac las sgus rdads:,...,,...,,...,...,...,,,..., frma smlar a l hch ara l cas bdmsal s ud dfr las fucs d rbabldad margal. r jml, la fucó d rbabldad margal d sá dada r:...,...,,,..., y la fucó d rbabldad margal d, sá dada r:,,...,...,,,..., Dsrbucó mulmal: s ua gralzacó d la dsrbucó Bmal. Sugams qu s r vcs frma dd ua rca, qu cada rcó hay rsulads sbls, cada u d ls cuals curr c rbabldad y qu sas rbabldads s ma csas das las rcs. s rm s dma rm mulmal. S dfms : úmr d vcs qu curr l rsulad. 8

109 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 la dsrbucó cjua d,..., s dma dsrbucó mulmal d arámrs,,.... Nacó:,..., ~ M,,... La crrsd fucó d rbabldad cjua sá dada r,...,!!!...!,...,... s, r cas fc, rmr lugar hay qu ar qu s..., la fucó d rbabldad uual s cr. Sa ahra, als qu.... Idcad r R cada u d ls rsulads sbls, ua d las sbls cfguracs qu rduc rsulads R, s R... R R... R... R... R algu d ls crrsds ' s dría sr, cuy cas aarcría gu d ls R. Cm hms suus ddca r las rcs, sa cfguracó rbabldad..., r s sól ua d las cfguracs sbls qu rduc rsulads R ara. Cuáas cfguracs dfrs hay?...!!!!!!!!!!!!...! y s b la fucó d rbabldad dada. 9

110 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Obsrvacó: La dsrbucó margal d s bmal d arámrs y ara d. gral, las margals d ua dsrbucó mulmal s bmals mulmals. jml: D ua ura qu c blllas rjas, gras, 4 azuls y blaca s ra blllas c rscó. Dfd : úmr d blllas rjas : úmr d blllas gras : úmr d blllas azuls 4 : úmr d blllas blacas l vcr,,, 4 dsrbucó mulmal, s dcr,,, 4 ~ M, a Cuál s la rbabldad d qu s bga blllas rjas, 5 gras, 4 azuls y gua blaca?, 4,,,,, 4,5,4,!!5!4!! b Calcular la rbabldad d br a l sum ds blllas rjas. Cm ~ B,, cs 7.5 c Calcular la rbabldad d br blllas rjas y blacas. Cm las v.a. qu s rsa s y 4, df ua uva v.a. Y. l vcr alar, 4, Y ambé drá dsrbucó mulmal., 4, Y ~ M, y, r l a, la rbabldad dda srá, 6,, 4, Y,,7!!!7! 6 7.6

111 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Dfcó: l vcr alar,..., f,..., : R R s cu s s ua fucó, dmada fucó d dsdad cjua, al qu,...,... f,,..., d... d R,..., sa fucó sasfac las sgus rdads: f,...,,...,,...,... f,... d... d,... frma smlar a l hch ara l cas bdmsal s ud dfr las fucs d dsdad margal. r jml, la fucó d dsdad margal d sá dada r: f... f,,..., d... d,..., y la fucó d dsdad margal d,, sá dada r: f,... f,,..., d... d,,..., Dfcó:,..., s varabls alaras dds s y sól s,...,...,..., l cas dscr,..., f,...,,...,...,..., f f salv, vualm, u cju d rbabldad cr l cas cu.

112 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 jmls: l cas d la dsrbucó mulmal, las cms dl vcr alar s v.a. c dsrbucó bmal dds y és qu s uv ya qu su suma s csa s gual a, ud vrfcars alcad la dfcó. Sa,, u vcr alar c dsrbucó ufrm l rsma d vércs,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, cuy vlum s gual a 6. cs, su fucó d dsdad cjua dada r f,,,, / 6 s,, r cas s mda vrfcar qu las cms dl vcr s varabls alaras dds, ya qu f f 6 6 d d d d s s s s [,] [,] [,] [,] f cs, d 6 d 6 s s [,] [,] f,, f f f,,,, Dsrbucó d la suma d ds varabls alaras Sa Y ds v.a. d las cuáls s cc la dsrbucó cjua. sams rsads la dsrbucó d la v.a. V Y. Csdrarms ds jmls, u ara l cas d u vcr alar dscr y r ara l cas cu.

113 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 jmls: Sa ~ Y ~, v.a. dds, y sa V Y. Claram l rcrrd d la v.a. V s l cju,...} {,, V R. Sa V R,, Y Y Y r sr Y dds. cs, Y!!!!!!!. cs, V Y dsrbucó d ss d arámr. O sa Y ~ s rsulad s d r duccó al cas d v.a. : s,..., s v.a. dds als qu ~ ara,...,, cs... ~.... Sa Y v.a. dds c dsrbucó cal d arámr, sa, sa ~ Y ~ dds, y sa V Y. La v.a. V ma valrs l rval,, r l a, s v, F V v. Sa v >,, } /, { } /, { v y y v y y d dy y f f d dy y f v Y v F Y Y V us Y s dds. cs, dy d y dy d y f f v Y v y v v y v Y v y v v dy y v y dy d y

114 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 v v y dy v dy v v v Drvad rsc d v, s b la dsdad d V Y, qu s f V v v v v v I v v I v v,, l qu dmusra qu V dsrbucó Gamma d arámrs,. S ud dmsrar qu, gral, s ~ Γ, Y ~ Γβ, s varabls alaras dds, cs Y ~ Γβ, Fucó gradra d mms d la suma d v.a. dds: Sa, rc Y ds v.a. dds, cs la fucó gradra d la suma Y s l rduc d las fucs gradras, s dcr M M M Y Y fc, s r jml Y s ds v.a. cuas dds, M Y y f Y, y d dy f fy y d dy Y Y y f d f Y y dy M M Y cm quríams dmsrar. ara l cas dscr, s dmusra frma smlar. y s mda vrfcar qu s,...,, s v.a. dds, M... M jmls: Dmsrarms, usad fucs gradras d mms qu s ~ Y ~ s v.a. dds, Y ~. fc, 4

115 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 5 M M M Y Y y s b la fucó gradra d mms d ua v.a. ss c arámr. Rcrdms qu la fucó gradra d mms drma la dsrbucó d la v.a.. Dmsrarms ahra, usad fucs gradras d mms qu s Y s v.a. dds c dsrbucó cal d arámr, sa ~ Y ~, cs V Y ~ Γ,. fc, M M M Y Y y s b la fucó gradra d mms d ua v.a. Γ,. Sumas y rmds d varabls alaras la ága, dmsrams qu. a a a a Qué curr c la varaza d ua cmbacó lal d ds varabls alaras? [ ] a a a a a a V [ ] [ ] a a a a a a a a [ ] a a a a, cv a a V a V a La sgu rscó gralza ss rsulads ara d. rscó: Sa,...,, v.a. cualsqura c y V y a a a,...,, úmrs rals, cs < j j j a a a a V a a, cv

116 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 6 Dm: rmr lugar, rbms la rsó ara la sraza mda duccó. Cm djms, ya l hms dmsrad ara, sugams ahra qu la rsó s cra ara y rbémsla ara. a Y a a a sd a Y. Cm ara s cuml, s b a a a Y a Y a y, ulzad la hóss ducva a a a a cm quríams dmsrar. rbms ahra la rsó crrsd a la varaza. j j j j j j a a a a a a a V, cv j j j j j j a a a a j j j j j j a a a a j j j j j j j a a a a, cv Td cua qu s j,, cv V y qu, cv, cv j, bms l rsulad qu quríams dmsrar.

117 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 7 Crlar: Sa,...,, v.a. dds c y V y a a a,...,, úmrs rals, cs a a V a a Dm: Rsula mdaam dl hch qu, r sr las v.a. dds, j j, cv. Crlar: Sa,...,, v.a. dds décam dsrbudas..d. c y V,..., y a a a,...,, úmrs rals, cs a a V a a Dm: S vrfca mdaam a arr dl crlar arr. rdad: Sa,...,, v.a. dds décam dsrbudas..d. c y V,...,, cs a V b V V Dm: jrcc.

118 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Dsgualdad d Chbyshv: ara calcular la rbabldad d u v dscr érms d ua v.a. s csar ccr la dsrbucó d la v.a. La dsgualdad d Chbyshv rv ua ca qu dd d la dsrbucó s sól d la sraza y la varaza d. rscó: Sa ua v.a. c y V <, cs ε >, ε > ε Dm: L harms ara l cas cu. La dmsracó ara l cas dscr s smlar. f d f d { / > ε} { / ε} f d { / > ε} f d { / > ε} ε f d ε > ε cs, cm quríams dmsrar. ε > ε Obsrvacó: La ca qu rv la dsgualdad d Chbyshv ud sr grsra, r aú, frmava, r jml, s ε. jml: Sa ~ U,, cs 5 y V /. lcad la dsgualdad d Chbyshv, / 5 > 4. 5 r, s calculams frma aca sa rbabldad, 6 5 > F 9 F. 8

119 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Frmas quvals d la dsgualdad d Chbyshv: ε >, ε ε a >, > b c >, raldad, b y c s cras ara d >, r s la dsgualdad s rval Las ds úlmas frmas musra cm l dsví sadard md l grad d ccracó d la dsrbucó alrddr d. Ly d ls Grads Númrs: Sa ua v.a. c fucó d dsdad f fucó d rbabldad uual y c. Sugams qu s dsa smar. Cm hms vs qu la sraza d ua v.a. s ud sar cm u rmd d sus valrs, arc razabl smarla mda l rmd d valrs bsrvads d. r suus qu ua suacó ral sól drms u úmr f d bsrvacs y s rguams: usad sól u úmr f d valrs d, ud hacrs frca cfabl rsc d? La rsusa s SI y s dmusra a ravés d la Ly d ls Grads Númrs qu s dc qu l rmd cvrg a cuad l úmr d bsrvacs amañ d la musra d a f. Obsrvms l qu sucd la sgu fgura Fgura :Cmram asóc dl rmd musral. l rmd dl úmr bsrvad d caras,, cuad 4 mdas qulbradas s arrjadas s arma al valr md d la dsrbucó. 9

120 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 qué sd cvrg a? Sa ua sucsó d varabls alaras, drms qu cvrg rbabldad a la v.a. y l arms, s > ε ε lm > Ly d ls Grads Númrs: Sa,,... v.a. dds décam dsrbudas musra alara c y V <, cs sd l dmad rmd musral. Dm: Sabms qu y V, cs alcad la dsgualdad d Chbyshv, y, r l a V > ε ε ε ε > > ε lm ε > lm ε Lug,, cm quríams dmsrar. Vrsó Brull d la Ly d ls Grads Númrs: Csdrms rcs dds d u rm alar y sa u sucs c rbabldad, csa las rcs. S llamams a la frcuca abslua d úmr d vcs qu curr las rcs y f / a la frcuca rlava, cs s dcr, f f > ε ε >

121 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Dm: Cm ~ B, c, cs y V -. Lug f V f V y, alcad la dsgualdad d Chbyshv, Lug, cm quríams dmsrar. V f ε f > ε ε ε > lm ε f > ε lm ε > jml: Cuáas rcs dl rm dbría hacrs ara qu la frcuca rlava dfra d ms d. c rbabldad mayr gual qu.95? s cas, ε. y qurms crar al qu r, dad qu. f < f < l valr mím d dd d y s mám cuad.5. r jml,

122 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Dsrbucó d la suma d varabls alaras dds: gral s dfícl calcular la dsrbucó d la suma d ua cmbacó lal d v.a. dds, aú cuad ga la msma dsrbucó. S mbarg, algus cass la dsrbucó d la suma d cmbacs lals s ccda. Rcaulms algus rsulads. a S,,..., s v.a. dds als qu ~ B,, cs ~ B,. arcular, s ~ B,, cs ~ B,. b S,,..., s v.a. dds als qu ~, cs ~. c S,,..., s v.a...d. als qu ~ G, cs ~ BN,. d S,,..., s v.a...d. als qu ~ ε, cs ~ Γ,. S,,..., s v.a. dds als qu ~ Γ,, cs ~ Γ,. f S,,..., s v.a. dds als qu ~ N, y a, a,..., a s ~ a. úmrs rals, cs a Na, arcular, s, s v.a...d. als qu ~ N,,...,, cs ~ N, y T ~ N,. Dm: Tds ss rsulads ud dmsrars fáclm usad fucs gradras d mms. Cm jml, dmsrms la rdad, s dcr qu s

123 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4, s v.a. dds als qu,,..., ~ Γ,. ~ Γ, cs r sr las v.a. dds, la fucó gradra d la suma s l rduc d las fucs gradras, cs M M cm quríams dmsrar. ~ Γ, Vrms ahra qu, cuad las v.a. s rmals, la dsrbucó rmal rsula ua bua armacó ara la dsrbucó d y T. Trma Cral dl Lím: Sa,... v.a...d c y V, <, cs s s sufcm grad, T a ~ N, a ~ N,, dch d r md, T d Z d ~ N, Z ~ N, dd la cvrgca dsrbucó d s rra l sgu sd: T a Φ a a Φ a s dcr, qu las fucs d dsrbucó cvrg a la fucó d dsrbucó rmal sadard. Dm: L dmsrarms baj la hóss d qu la fucó gradra d mms d, s y s fa. M

124 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 4 Sugams calm qu y. s cas, la fucó gradra d mms d T sá dada r T T M M M M M / / / / / r sr las dds. Sa l u M u L, cs [ ] [ ] [ ] [ ] l ' ' l ' l l ' '' ' '' ' ' M M M M u M u M u M u M u u M L M M u M u M u u M L M L u u u u hra, ara rbar l rma, dmsrarms qu / / T M quvalm, qu. / / L lcad la rgla d L Hsal ds vcs, / / / ' lm / ' lm / / lm L L L. / '' lm / '' lm / / L L r l a hms rbad l Trma Cral dl Lím ara y. l cas gral rsula csdrad las v.a. sadarzadas *. Obsrvacó: Qué sgfca sufcm grad? Cóm sabms s la armacó s bua? l amañ d musra rqurd ara qu la armacó sa razabl dd d la frma d la dsrbucó d las. Mras más smérca y acamaada sa, más rádam s b ua bua armacó.

125 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Fgura : Dsrbucó d ara dsas dsrbucs cuad, 5 y. a Dsrbucó dscra, b Dsrbucó Ufrm, c Dsrbucó cal jml: l sumar úmrs, ua calculadra arma cada úmr al r más róm. Ls rrrs d armacó s su dds y c dsrbucó U-.5,.5. a S s suma 5 úmrs, cuál s la rbabldad d qu l valr abslu dl rrr al cda 5? S llamams al rrr crrsd al -ésm sumad, l rrr al s cs, 5 5 T. T > T T5 5

126 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz / T 5 5 / 5 Φ 5 / 5 Φ 5 / 5 5 / Φ.4 Φ Hms usad qu y V y r l a T 5 y V T 5. b Cuás úmrs ud sumars a f d qu l valr abslu dl rrr al sa mr gual qu c rbabldad mayr gual qu.9? Buscams l valr d al qu. 9 T T.9 T.9 T. 9 / / lcad la armacó rmal, dbms hallar al qu Φ Φ.9 Φ.9 Φ / / / /.95 / s dcr, qu s ud sumar a l sum 446 úmrs ara qu l valr abslu dl rrr al sa mr gual qu c rbabldad mayr gual qu.9. rmacó d la dsrbucó bmal r la rmal: Sa ~ B,, cs s l úmr d és rcs d u rm bmal c rbabldad d é gual a, y / s la rrcó musral d és. Dfams las sgus varabls alaras s s buv É la rcó s s buv Fracas la rcó ara,...,. sas v.a. s dds, ~ B, y. lcad l Trma Cral dl Lím, s s sufcm grad, 6

127 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 a a ~ N, ~ N, S csdra qu la armacó s bua s 5 y B5, B,....4 B, B5, B, B, Fgura : Dsrbucó d Crrccó r cudad: Cuad s arma ua dsrbucó dscra r ua cua, cm s l cas d la armacó d la dsrbucó bmal r la rmal, s csar fcuar ua crrccó. Csdrms l sgu jml: Sa ~ B,.6 y calculms frma armada 5 y 5. S alcams drcam l TCL, bms: Φ Φ

128 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 S b, 5 5, ls valrs armads sasfac sa rsrccó. ara var s rblma, s fcúa la sgu crrccó, dmada crrccó r cudad, Φ Φ gral, cuad la v.a. s dscra y -, la crrccó s ralza la frma: a a a.5 a.5 S la dsaca r ds valrs sucsvs d s >, cóm alcaría la crrccó r cudad? jml: Sa ~ B6,/. Calcular frma armada la rbabldad d qu sa mayr gual qu Φ Oras alcacs dl Trma Cral dl Lím: a Sa,,..., v.a...d. c dsrbucó ss d arámr, cs ~ r l a, cualqur v.a. c dsrbucó d ss c arámr sufcm grad ud sr armada r la dsrbucó rmal. b Sa,,..., v.a. dds c dsrbucó Gamma d arámrs y, sa ~ Γ, cs ~ Γ, r l a, cualqur v.a. c dsrbucó Γm, c arámr m sufcm grad ud sr armada r la dsrbucó rmal. 8

129 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Ua alcacó d suma d v.a. dds y gracó d úmrs al azar: Rcrdms qu u rcs d ss rm mdlar ua suacó la qu ls vs curr a l larg dl m sac, vlum, c.. Hms vs, qu baj crs suuss, s dfms la varabl cadad d vs qu curr l rval [,] cs ~, dd s la asa mda d currcas sdad dl rcs. També hms mcad qu, s dams - T m qu rascurr r qu mzams a mdr y l mm qu curr l rmr v - T m qu rascurr r l rmr v y l sgud v. y, gral, - T m qu rascurr r l -- ésm v y l -ésm v N las T s varabls alaras dds y c dsrbucó cal, das c l msm arámr. s clar qu, s a u l rsara l m qu rascurr dsd l c hasa la - ésma currca, sa varabl alara dría rsars cm T Vams la rcírca, s dcr, vams cm dms csrur u rcs d ss a arr d v.a...d. c dsrbucó cal. rscó: Sa W, W,..., W,... v.a. dds c dsrbucó. Csdrms l sgu rcs. Cmzams a mdr l m y csdrams qu curr l rmr v l sa W, l sgud l sa W W, y gral l -ésm v l sa W W. W. S ara >, dfms la varabl alara cadad d vs qu curr l rval [,] cs s ua varabl dscra y su dsrbucó s. 9

130 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Dm: Sa N U{} y csdrms l v [ ]. Obsrvms qu [ ] hub ó más vs l rval [,] hub r l ms vs l rval [,] W Calculms la rbabldad d dch v: W Cm las W, W,..., W,... s varabls alaras dds y c dsrbucó Г,, cs W ~ Γ, y r l a W f S s ds s c S W ~ Γ, y cscuca fs s s I, s. cs,! Llamms W s! s! s a la fucó d dsrbucó acumulada d ua Γ,. Igrad r ars ua vz, s csdrams ds s ds y u s! u s! - s -! bms s v v - -s

131 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4!!!!!! ds s s ds s s s s Falm, r duccó, dsués d M ass bms!... M M Cm s ds rsula!! y r l a W! S mams l cmlm rsula <! qu crrsd a la fucó d dsrbucó acumulada d ua varabl c dsrbucó, al cm quríams dmsrar. s rsulad s muy úl ara grar varabls alaras c dsrbucó d ss a arr d cals, a las qu dms grar fáclm a arr d U,. Sugams qu dsams grar ua varabl alara c dsrbucó. ara ll basa ulzar la rscó arr mad. dms dscrbr l algrm d la sgu frma:

132 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 as : grams ua v.a. W c dsrbucó. as : chquams s W. S és curr, cuams c l as sgu. S, camb, W rmams y. as : grams ua v.a. W c dsrbucó, dd d W. as 4: chquams s W W. S és curr, cuams c l as sgu. S, rmams y. as -: grams ua v.a. W c dsrbucó, dd d W, W,., W -. as : chquams s W W. W rmams y.. S és curr sgums, s

133 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 aas d ua vsgacó La sadísca s rm ralzar frcas y sacar ccluss a arr d ls das. rayd la frmacó qu c, drms cmrdr mjr las suacs qu lls rrsa. Ls méds sadíscs abarca das las aas d la vsgacó, dsd l dsñ d la vsgacó hasa l aálss fal d ls das. dms dsgur rs grads aas:. Dsñ: laam y dsarrll d las vsgacs. Dscrcó: Rsum y lracó d ls das. Ifrca: rdccs y ma d dcss sbr las caracríscas d ua blacó bas a la frmacó rcgda ua musra d la blacó. la aa d Dsñ s df cóm s dsarrllará la vsgacó c l f d rsdr las rguas qu l dr rg. U dsñ b ralzad ud ahrrar sfurzs aas srrs y ud rdudar u aálss más scll. sa aa s crucal, us u sud brm dsñad c das crrcam rclcads rgsrads ud sr caaz d rsdr las rguas qu rgar l sud. Ua vz frmulad l rblma, la aa d Dsñ s dfrá, r ras csas, la blacó bjv, ls amañs d musra, ls mcasms d slccó d dvdus, ls crrs d clusó y clusó d sujs, ls méds d asgacó d raams, las varabls qu s mdrá y cóm s rará al qu d rabaj ara l cumlm dl rcl. Ls méds d álss lrar sadísca Dscrva ayuda a cmrdr la srucura d ls das, d mara d dcar a u aró d cmram gral cm aarams dl msm. Ua frma d ralzar és s mda gráfcs d sclla labracó rracó. Ora frma d dscrbr ls das s rsumédls u, ds más úmrs qu caracrc al cju d das c fdldad. lrar ls das rmrá dcar das rrós srads y s ayudará a dcdr qué méds sadíscs ud sr mlads aas srrs dl aálss d mara d br ccluss váldas. Falm, la Ifrca sadísca s rm a hacr rdccs y smacs cm dcdr r ds hóss usas rlavas a la blacó d la cual rv ls das s d hóss. La caldad d las smacs ud sr muy varada y sá afcadas r rrrs. La vaja d ls méds sadíscs s qu, alcads sbr das bds a arr d musras alaras, rm cuafcar l rrr qu dms cmr ua smacó calcular la rbabldad d cmr u rrr al mar ua dcsó u s d hóss. ara dr qué d rblmas csdrarms sadísca mms, r jml, las sgus mdcs d la rrcó d la masa d la Trra c rsc a la Lua

134 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Marr II 8. Marr IV 8.5 Marr V 8.6 Marr VI 8. Marr VII r VI 8.5 r VII 8. rbabldad dríams sur qu las sbls mdcs s dsrbuy alrddr dl vrdadr valr 8.5 sgud ua dsrbucó drmada y s rguaríams Cuál s la rbabldad d qu s bga 7 mdcs mrs qu l vrdadr valr? sadísca, a arr d ls 7 bsrvacs s rguaríams: S csss ls das c la hóss d qu l vrdadr valr s 8.5? Cuá cfabl s dcr qu l vrdadr valr sá l rval 8.998, 8.8? Las éccas dl aálss lrar s ayuda a rgazar la frmacó qu rv ls das, d mara d dcar algú aró d cmram así cm ambé aarams mras al mdl subyac. Ns guía a la srucura subyac ls das d mara ráda y sml. sadísca Dscrva amarms ls das frma dscrva c l f d: Orgazar la frmacó Szar la frmacó Vr sus caracríscas más rlvas rsar la frmacó Dfms: blacó: cju al d ls sujs udads d aálss d rés l sud Musra: cualqur subcju d sujs udads d aálss d la blacó sud. Udad d aálss d bsrvacó: bj baj sud. ud sr ua rsa, ua famla, u aís, ua sucó gral, cualqur bj. Varabl: cualqur caracrísca d la udad d bsrvacó qu rs rgsrar y qu l mm d sr rgsrada ud sr rasfrmada u úmr. Valr d ua varabl, Da, Obsrvacó Mdcó: úmr qu dscrb a la caracrísca d rés ua udad d bsrvacó arcular. 4

135 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Cas Rgsr: cju d mdcs ralzadas sbr ua udad d bsrvacó. Das cuaavs squma d Tall y Hja Ns da ua rmra armacó ráda a la dsrbucó d ls das s rdr d vsa las bsrvacs. jml: La sgu abla c 45 bsrvacs crrsds a la furza d cmrsó d cra alacó d lum-l Ordams ls das d mr a mayr Sarams a cada bsrvacó ds ars: all y hja Lsams frma vrcal y crc ls alls y agrgams las hjas a la drcha dl all crrsd. jml. Csdrms l sgud da : 8 9 TLLO HOJ lgms u úmr d dígs a la drcha d cada úmr qu crrsdrá a las hjas: s cas. Sarams ss dígs d ls rsas, qu csurá ls alls. s cas bdrms 8 alls, d 8 a

136 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz Qué dms vr s d dagrama? Rag d las bsrvacs, valrs mám y mím. Frma d la dsrbucó: smría, asmría a drcha, asmría a zqurda y cuás cs la dsrbucó. scó dl cr d la dsrbucó y ccracó d ls das. Dsvacs marcadas rsc al cmram gral: ulrs valrs aícs. jml: Ls sgus das crrsd a ms d falla d cabls Kvlar 49/y smds a ua rsó dl 9%: TIMOS D FLL l crrsd squma d all y hja rsula: s cas cada all ha sd dvdd lías: la rmra s lsa las hjas a 4 y la sguda las hjas 5 a 9. S bsrva asmría a drcha y u valr aljad dl rs: 7.8 6

137 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Vams r jml: jml: Ccracó d Imuglbula Img 98 ñs sas r 6 mss y 6 añs d dad. Img d ñs Img d ñs l squma d all y hja rsula s l sgu: * * * s cas cada all ha sd dvdd 5 lías: la rmra s lsa las hjas y, la sguda las hjas y, la rcra las hjas 4 y 5, la cuara las hjas 6 y 7 y r úlm la qua lía las hjas 8 y 9. Cóm lgms l úmr d alls? Hay rglas huríscas ara lgr l úmr d alls. gral s rcmda ulzar r 8 y. 7

138 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 l úmr d alls db sr al qu rma msrar ua mag gral d la srucura dl cju d das. uqu s algus crrs ara dfr l úmr d alls, la dcsó dd fudamalm dl sd cmú. Dmasads dalls gral srá c frmavs, dmasad agruam ud dsrsar la mag dl cju. Cuad l vlum d das s muy grad cv usar r d gráfcs qu ambé s d fácl rracó. jml: Csdrms l sgu jml c das sbr csum dar r cáa d rías aíss dsarrllads. Ls das s rsa rdads d mr a mayr r smlcdad. Csum d rías r cáa aíss dsarrllads Slccad cm all la udad bms l gráfc d all-hjas d la zqurda d la fgura. s gráfc s acumula u úmr mra d hjas cada all, r l qu dríams sar rdd frmacó acrca d la srucura d ls das. l gráfc d la drcha, cada all ha sd dvdd ds lías, la rmra s lsa las hjas a 4 y la sguda as hjas 5 a 9. Cm ud bsrvars, al adr la scala s bsrva más dalls y arc habr ds grus d aíss, u c mayr csum r cáa d rías y r c mr csum, ya qu la dsrbucó d la varabl ds cs. Varacó dl úmr d alls. Das d csum d rías r cáa

139 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 l rblma d adr la scala s qu dría cmzar a aarcr dalls surflus, smlm arbubls al azar. Gráfc d all-hjas salda c salda. Cmaracó d grus. Ls gráfcs d all-hjas s úls ara cmarar la dsrbucó d ua varabl ds cdcs grus. l gráfc s dma all-hjas salda c salda rqu ambs grus cmar ls alls. cuacó s musra u gráfc d la rsó arral ssólca S a ls mus d cmzada la assa acs smds a ds éccas aséscas dfrs a las qu s rfrrms cm T y T. Cmaracó d la rsó arral ssólca acs smds a ds éccas aséscas mus dl c d la assa. T T l gráfc s musra las sgus caracríscas d la S ls ds grus d acs. - La dsrbucó d S frma smlar ambs grus: U c mda y frma smérca y armadam acamaada. - Dfrcas scó. Ls acs dl gru T vls d S lvm mayrs qu ls acs dl gru T. - Smlar dsrsó. Ls valrs d S d ls acs d ambs grus s cura rags armadam guals, salv r l valr aíc ulr qu s bsrva l gru T. 9

140 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Hsgrama S dvd l rag d ls das rvals class, qu s surga. Las class db sr cluys y hausvas. S cua la cadad d das cada rval clas, s dcr la frcuca. També s ud usar ara cada rval la frcuca frcuca rlava cadad al d das S grafca l hsgrama u ar d js crdads rrsad las abscsas ls rvals y sbr cada u d lls u rcágul cuya ára sa rrcal a la frcuca rlava d dch rval. Obsrvacs: N s crrs óms ara lgr la cadad d rvals. gral, r 8 y 5 rvals dbría sr sufcs. Ulzar muchs muy cs rvals ud sr c frmav. S db buscar u qulbr r u hsgrama muy rrgular y u dmasad suavzad. N s csar qu ds ls rvals ga la msma lgud, r s rcmdabl qu así sa. És facla su rracó. l hsgrama rrsa la frcuca la frcuca rlava a ravés dl ára y a ravés d la alura. s rcmdabl mar frcuca rlava alura dl rcágul lgud dl rval D sa mara l ára s y ds hsgramas s fáclm cmarabls ddm d la cadad d bsrvacs las qu s basa cada u. jml: Ls sgus das crrsd a rcajs d Ocas Nafas:

141 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Ls agruams 7 class: Clas Frcuca f Frcuca rlava fr [84, 86] , 88] , 9] ,9] 4. 9,94] ,96] ,98].895 Tal 4 Hsgramas ara das d OCTNOS scala Dsdad scala Frcuca cas cas gral, s l hsgrama s muy rrgular ud sr msbl dscubrr la frma. s cas s cv mar rvals más achs. Qué frmas ud r u hsgrama? U asc a r cua la dsrbucó d ls das s la smría. U cju d das qu s dsrbuy smércam, s dc qu s asmérc. La asmría ud vrs l squma d Tall y Hja l Hsgrama y ambé ud arcars a ravés d la scó rlava r mda y mdaa. Más adla, u bl l vrms a ravés d la scó rlava r la mdaa y ls cuars. ls sgus gráfcs msrams alguas d las frmas sbls qu ud r u hsgrama: 4

142 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Dsrbucó acamaada Dsrbucó ufrm smría a drcha smría a zqurda Hsgrama c rvals d dsa lgud Ls das d la sgu abla rsa ls cass d rubéla fcads al SINV dura l añ sgú grus d dad. Nms qu ls rvals d dad dfr lgud. Nfcacs d cass d rubéla. rga, añ. Fu: SINV Irval añs Frcuca f Frcuca rlava f r [, 497.5% [, 87 8.% [, 5.% [ 5, % [, % [5, 5 5.% 5 8.6% Tal 47.% 4

143 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 S rróam s csruy u hsgrama csdrad cm alura d la barra la frcuca rlava s b la gráfca sgu. La úlma cagría d dad s rucó arbraram 8 añs ara dr rrsarla. 5% % 5% % 5% % 5% % dad arr d s gráfc ccluríams qu la rrcó d cass s ablm mayr ls grus d a 5 añs, d 5 a añs d a 5 añs qu ls grus d mrs d añ d a añs. dmás, la rrcó d cass l gru d 5 a 5 añs mrsa cm abl. l rblma s qu la mag vsual ascams la frcuca d cass c l ára d la barra, r ll arc habr más fcacs d g d 5 a 5 qu d cualqur r gru d dad. Rcrdms qu la barra db r ua alura al qu l ára bas alura sa gual a la frcuca a la frcuca rlava. s dcr, frcuca l rval alura d la barra. lgud dl rval D s md l ára d la barra ccd c la frcuca l rval. La alura d la barra dfda d s md s dma scala dsdad rqu dca l úmr d das r udad d la varabl. La úlma cluma d la sgu abla musra la scala dsdad ara ls das d rubéla y la fgura sgu rsa l hsgrama qu s b usad la scala dsdad. scala dsdad. Nfcacs d cass d rubéla. rga, añ. Fu: SINV. Cagría añs Frcuca f Frcuca rlava f r scala dsdad [, 497.5%.5% [, 87 8.% 8.% [, 5.% 7.77% [ 5, % 5.89% [, %.8% [5, 5 5.%.% 5 8.6%.% Tal 47.% -- 4

144 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Hsgrama usad scala dsdad. Nfcacs d cass d rubéla. rga, añ. Fu: SINV % % 8% 6% 4% % % dad s gráfc, l rcaj d cass d rubéla fcads ara cada gru sá rrsad l ára d la barra. l hsgrama musra qu ua ala rrcó d cass curr mrs d 5 añs y qu la rrcó dscd a mdda qu auma la dad. s gráfc sams rrsad la dsdad d fcacs r cada añ d dad. l sgu jml s musra cóm varía l asc dl hsgrama sgú la lgud d las class. jml: Ccracó d Img Lgud d Clas. g/l Lgud d Clas. g/l 44

145 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Lgud d clasg/l Mddas d Rsum Rsumrms la frmacó d ls das rvs d varabls umércas mda mddas d fácl rracó qu rflj sus caracríscas más rlvas. La mdda a lgr ddrá d cada rblma. Mddas d scó Crad U md d rsumr u cju d das umércs s a ravés d u úmr qu rrs a ds, l sd d sr u valr íc ara l cju. La rgua qu ams rsdr s: Cuál s l valr cral qu mjr rrsa a ls das? S la dsrbucó s smérca dfrs mddas dará rsulads smlars. S s asmérca s u cr vd y dfrs crrs ara rsumr ls das ud dfrr csdrablm, a raa d caar dfrs ascs d ls msms. 45

146 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Sugams qu ms u cju d das qu gércam rrsarms r:,,..., rmd Mda Musral: s l u d qulbr dl cju d das. jml: Furza d cmrsó d cra alacó d lum-l jml: Sugams qu las bsrvacs s:,,,. s cas. S rmlazams l valr r 7, las bsrvacs s:,,, 7 y. 7 La mda musral s ua mdda muy ssbl a la rsca d das aómals ulrs. Mdaa Musral: s ua mdda dl cr d ls das a dvd a la musra rdada ds ars d gual amañ. Dja la mad d ls das a cada lad. Sa ls sadíscs d rd musrals:... 46

147 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Dfms cm mdaa ~ s s La mdaa s rss a la rsca d das aícs. També ud sr úl cuad algus das ha sd csurads. jmls: Sugams qu ls das s:, 5,, 4, 6, 8, 7, 7, 6. Cm 9, / 5. Ordams la musra: ~ 6 Sugams qu ls das s:, 5,, 4, 6, 8, 7, 7. Cm 8, / 4.5 y r l a la mdaa musral s l rmd d las bsrvacs qu cua las scs 4 y 5 la musra rdada ~ 5.5 jrccs: Csdrms ls ds cjus d das sgus: s:,,, ~ y s:,,,7 y ~ y Qué asa s, l sgud cas, s rgsra 7 lugar d 7? Dada ua musra d salars d ca blacó, sría más adcuad mar la mda la mdaa musral ara rrsarla? Mda - dada: s u rmd calculad sbr ls das ua vz qu s ha lmad % d ls das más quñs y % d ls das más grads. s ua mdda rmda r la mda y la mdaa. Frmalm dms dfrla cm: 47

148 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4... [ ] [ ] [ ] s dcr, s b rmdad ls das lug d lmar u úmr d bsrvacs cada rm d la musra rdada gual a la ar ra d. Ora sbl mara d dfrla s lmad das cada rm s s r y, cuad l s, rlad r ds mdas -dadas, ua la cual s da [ ] cada rm y ra la qu s da [ ] das cada rm. jmls: Sa l sgu cju d bsrvacs, ya rdadas y calculms la mda.-dada. Dbms dar da cada rm y calcular l rmd d ls 8 das rsas, s dcr Sa l sgu cju d bsrvacs, ya rdadas y calculms la mda.-dada. Usad la dfcó dada calm, dbms dar [.] [.] da cada rm y calcular l rmd d ls das rsas, s dcr C la sguda dfcó, dbríams calcular ds mdas, ua dad ua bsrvacó cada rm d la musra rdada y ra dad ds bsrvacs cada rm, rlar lalm r ambas mdas. s dcr, calculams y la mda dada s b cm la rdada crrsd a. la rca qu asa r,7 y, 6:

149 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Obsrvms qu la mda s ua mda - dada c y la mdaa ua mda dada c a róm a.5 cm sa sbl. s sd, la mda dada s ua mdda rmda r la mda y la mdaa. s más rss a das aícs qu la mda. Cóm lgms? Ddd d cuas ulrs s rd clur y d cuá rbusa qurms qu sa la mdda d scó. Cm djms, cuad slccams ms la mda, s lgms l mám valr sbl ara l más crca sbl a.5 bms la mdaa. Cualqur da rmda rrsa u cmrms r ambas. Ua lccó basa cmú s., qu cluy u % d ls das. jml: s jml calcularms las rs mddas rsum. Ls das sgus, ya rdads, crrsd al úmr d ulsacs r mu acs c asma dura u sasm: Las crrsds mddas s:.8 ~ S la dsrbucó s smérca la mdaa y la mda dfca al msm u. S mbarg, s la dsrbucó d ls das s asmérca, srams qu la rlacó r ambas sga l sgu aró: smría drcha cla larga haca la drcha > ~ smría zqurda cla larga haca la zqurda < ~ La mdaa ud sr úl cuad algus das s csurads. ss cass s msbl calcular la mda musral, s mbarg sul sr sbl cmuar la mdaa. jmls: a Tm d survvca mss d acs c cra algía. Ls das qu s dca r aréss csura a drcha, s dcr, s sab qu l ac sbrvvó s m, r s cc l m ral d survvca Cm 5 la mdaa s l cav da, r l a ~ 8. s sbl calcularla auqu haya das csurads, rqu ls msms arca l cálcul d la mdaa. r jml, auqu ccms acam l m qu sbrvvó l ac cuy da s 45 sabms qu sa musra s da cuará l lugar u surr. b S, camb, ls das s: 49

150 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz s sbl calcular la mdaa dbd al da dcad cm. Sabms qu s ac sbrvvó r l ms mss, r dsccms l vrdadr valr, l qu ud cuar cualqur scó r la cuara y la úlma. Mddas d Dsrsó Varabldad Cuá dsrss sá ls das? Cuá crcas s ls das al valr íc? Grafqums ls ds cjus d das sgus y calculms ara cada u d lls su mda y su mdaa: s: 6 7 y s: ~ y 5 ~ y 6 sar d r gual mda gual mdaa, ls cjus d das dfr Cóm mdr la dfrca bsrvada? Rag Musral: s la dfrca r l valr más grad y l más quñ d ls das: Rag má mí jml: usrs cjus d das: Rag RagY 6 sa mdda s muy ssbl a la rsca d ulrs. dmás caa la dsrsó ra dl cju d das. 5

151 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Vams r jml: Sa ls sgus cjus d das s: 5 9 y s: 5 5 S calculams la mda, la mdaa y l rag musral d ambs cjus, bms: y ~ ~ y Rag Rag y. s dcr, qu las mddas ccd, r la dsrsó s la msma. rdrms ra mdda d varabldad. Varaza Musral: Md la varabldad d ls das alrddr d la mda musral. Varaza musral S Dsví sádar Musral S S jml: ls ds cjus d das arrs bms: S.5 S 4.58 S y.5 S y.56 l dsví sádar las msmas udads qu ls das, mras qu la varaza. l basars rmds, sas mddas s ssbls a la rsca d das aícs. r jml, s la musra d ls y s cambams l r u 5 bms S Y y S Y 5.477, mras qu s l cambams r u bms S Y 57.5 y S Y

152 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Cfc d Varacó: s ua mdda qu rlaca l dsví sadard c la mda d ua musra. S CV s ua mdda qu sá dsus, ya qu rdads sadíscas muy rsas. S mbarg dd d las udads y s l mullcams r s da ua da d la varabldad rlava. Dsaca Ircuarl: s ua mdda más rss qu l dsví sádar, basada l rag d ls das crals d la musra. Cmzarms r dfr ls rcls. l rcl % d la musra < < s l valr r dbaj dl cual s cura l % d ls das la musra rdada. ara calcularl: Ordams la musra d mr a mayr Buscams l da qu cua la scó. S s úmr s r s rla ls ds adyacs. jml: Csdrms ls sgus 9 das rdads: rcl scó Valr %. 9 5% Cuarl Ifrr 5% Mdaa 75% Cuarl Surr 95% Nms qu l rcl 5% sgud cuarl ccd c la mdaa. Llamarms cuarl frr rmr cuarl al rcl 5% y cuarl surr rcr cuarl al rcl 75%. Ls cuarls y la mdaa dvd a la musra rdada cuar ars gualm bladas armadam u 5 % d ls das cada ua d llas. r ls cuarls s halla armadam l 5% cral d ls das y l rag d éss s: d I dsaca rcuarl cuarl surr - cuarl frr. Obsrvacó: S l jml cambárams l úlm da r, la dsaca rcuarl cambaría, mras qu l dsví asaría d. a 4.!!!! 5

153 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Cuars y Dsaca r Cuars: Mddas muy crcaas a ls cuarls frr y surr s l cuar frr y l cuar surr. S calcula d la sgu mara: S rda la musra y s calcula la mdaa d ls das. Dvdms a la musra rdada ds ars: la rmra crrsd a ls das más quñs qu la mdaa y la sguda ar a la ls das más grads qu la mdaa S l amañ d la musra s ar, l cuar frr s la mdaa d la rmra mad, mras qu l cuar surr s la mdaa d la sguda mad. S l amañ d la musra s mar, a la rmra y a la sguda ar s las ad agrgáds a cada ua d llas la mdaa d ds ls das. l cuar frr s la mdaa d la rmra ar adda y l cuar surr s la mdaa d la sguda ar adda. s dcr, l cas mar, la mdaa rv l cómu d ls ds cuars. Dfms la dsaca r cuars cm: d C dsaca r cuars cuar surr-cuar frr. jml: Sa las sgus musras rdadas Cuar frr Cuar frr Cuar surr8 Cuar surr7.5 Dsví bslu Mda Dsvacó abslua rsc d la Mdaa: s ua vrsó rbusa dl dsví sádar basada la mdaa. Dfms la MD cm: MD mdaa ~ Cóm calculams la MD? Ordams ls das d mr a mayr. Calculams la mdaa. Calculams la dsaca d cada da a la mdaa. Dsrcams l sg d las dsacas y las rdams d mr a mayr. Buscams la mdaa d las dsacas s sg. Obsrvacó: S dsams cmarar la dsaca rcuarl y la MD c l dsví sadard s cv dvdrlas r csas adcuadas. s cas s cmara a S c 5

154 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 MD.675 ó d I.5 Númrs d Rsum: Ls 5 úmrs d rsum d la dsrbucó d u cju d das css l mím, l cuarl frr, la mdaa, l cuarl surr y l mám. jml: Ls sgus das crrsd a ms d CU sguds d 5 rabajs vads a u srvr y slccads al azar. CU Calculams ls 5 úmrs rsum y la mda musral ara s cju d das, ulzad l sfwar R. > summarysrvr M. s Qu. Mda Ma rd Qu. Ma Ralzams u squma d Tall y Hja y grafcams u hsgrama ara s cju d das: smcu CU N 5 Mda.8 Quarls.8,.6 Dcmal s a h cl : : : 46 : 58 4 : 7 Tdas las mddas y ls gráfcs musra qu s raa d ua dsrbucó asmérca c cla a drcha. 54

155 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 B-ls C las mddas arrs dms csrur u gráfc d fácl ralzacó y lcura. Cóm l hacms? Vams a dar ua vrsó, r val la a advrr qu hay varacs d u rgrama a r.. Rrsams ua scala vrcal u hrzal. Dbujams ua caja cuys rms s ls cuarls y dr d lla u sgm qu crrsd a la mdaa.. arr d cada rm dbujams u sgm hasa l da más aljad qu sá a l sum.5 d I dl rm d la caja. ss sgms s llama bgs. 4. Marcams c * a aqulls das qu sá r.5 d I y d I d cada rm y c a aqulls qu sá a más d d I d cada rm. lgus aqus, cm l R, dca a ds ls ulrs d la msma frma. Obsrvacó: Muchs aqus sadíscs ralza l bl usad ls cuars y la dsaca r cuars lugar d la dsaca rcuarl. Cm sas mddas s muy rómas, gral ls rsulads s aálgs. L mra s qu r ls cuars r ls cuarls yac armadam l 5% cral d ls das. jml: l b-l crrsd a ls ms d CU s l sgu 4 CU s rsa bsrvar qu l bl s dca a u d ls das cm ulr, mras qu l aálss arr s arcía vd. arr d u b-l dms arcar ls sgus ascs d la dsrbucó d u cju d das: scó drsó asmría lgud d las clas us aómals ulrs. 55

156 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Ls b-ls s scalm úls ara cmarar vars cjus d das, us s da ua ráda mrsó vsual d sus caracríscas. Oulrs: Ls méds qu hms vs s rm dfcar us aícs qu ud aarcr ua más varabls. Su dccó s mra us ud drmar flucar furm ls rsulads d u aálss sadísc clásc, dad qu muchas d las éccas habualm usadas s muy ssbls a la rsca d das aícs. Ls ulrs db sr cudadsam sccads. S hay vdca d rrr y su valr s sbl dbría sr lmads. smsm, la rsca d ulrs ud dcar qu la scala lgda s la más adcuada. Bls aralls Ua alcacó muy úl d ls bls s la cmaracó d la dsrbucó d ds más cjus d das grafcad ua scala cmú ls bls d cada ua d las musras. s sd ls bls s musra cm u méd muy fcv d rsar y rsumr ls das, al cm vrms l sgu jml. jml: Sugams qu s ds d rs 5 das crrsds a ms d CU vads a r srvr. S ralzams bls aralls ara ambs cjus d das bms l sgu gráfc. La sml cmaracó d ls bls bds rvla qu ls rabajs vads al sgud srvr s más largs. D hch, l 75% d ls rabajs musrads l sgud srvr ms d CU mayrs qu l cuarl surr d ls rabajs musrads l rmr srvr r. srvr d. srvr jml: Ls sgus bls crrsd a das d ccracó máma dara, ars r ml mlls d dód d azufr Bay, l sad d Nuva Jrsy, dsd vmbr d 969 hasa cubr d 97 agruads r mss. Hay 6 grus d das, cada u d amañ armadam. Ls bls musra alguas caracríscas d ss das frma muy ráda. 56

157 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Hay ua rduccó gral d la ccracó d dód d azufr a l larg dl m dbda a la cvrsó gradual la za al us d cmbusbls c baja ccracó d azufr. sa dsmucó s más fur ara ls cuarls surrs. També s musra ccracs más lvadas ara ls mss d vr dbd al us d caldras a ról. Claram s v u fc cíclc y amrguad. Ls bls musra ua dsrbucó asmérca a drcha, c rsca d ulrs algus mss, y qu la dsrsó d la dsrbucó s mayr cuad l vl gral d la ccracó s más al. QQ-l Nrmal rbably l: l QQ-l s u gráfc qu s srv ara valuar la crcaía a ua dsrbucó dada, arcular a la dsrbucó rmal. Csdrms la musra alara:,,... y ls crrsds sadíscs d rd... Obsrvms qu m,,..., mras qu ma,,.... arcular, s U, U,...U s v.a...d als qu U ~ U,, s ud dmsrar qu U. 57

158 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 r l a srams qu, s la dsrbucó subyac fus Ufrm y grafcásms U,..., U vs sus valrs srads,...,, l gráfc dbría arcrs a ua rca. r r lad, sabms qu s s ua varabl cua c fucó d dsrbucó F srcam crc, cs Y F ~ U, s sugr qu s sums qu ~ F, cs dms grafcar quvalm F vs vs F. Obsrvms qu s F s d la frma F G, sa, s dd d u arámr d scó y u d scala, cm s l cas d la rmal, dms grafcar vs G b vs G Cm,. G l gráfc srá armadam ua rca. Nms qu s F s la vrsa d F, cs l -ésm rcl d F,, s al qu F F 58

159 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 r l a, F s l -rcl d F. l QQ-l s grafca l j d abscsas ls rcls d la dsrbucó órca usr cas rmal y l j d rdadas las bsrvacs rdadas, qu ud sr vsas cm rcls mírcs. ls sgus gráfcs lusrams l us d sas éccas gráfcas c algus jmls. Cab bsrvar qu algus aqus sadíscs rrsa a ls rcls órcs d la dsrbucó rmal l j d abscsas y rs l j d rdadas 59

160 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 smrca a zqurda Clas Lvaas Nrmal Clas sadas smrca a drcha RjMdaa, NgrMda

161 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Ifrca sadísca - smacó uual La sadísca rv éccas qu rm br ccluss grals a arr d u cju lmad r rrsav d das. Cuad frms ms garaía d qu la cclusó qu bms sa acam crrca. S mbarg, la sadísca rm cuafcar l rrr ascad a la smacó. La mayría d las dsrbucs d rbabldad dd d cr úmr d arámrs. r jml:, N,, B,, c. Salv qu ss arámrs s czca, db smars a arr d ls das. l bjv d la smacó uual s usar ua musra ara br úmrs qu, algú sd, sa ls qu mjr rrsa a ls vrdadrs valrs d ls arámrs d rés. Sugams qu s slcca ua musra d amañ d ua blacó. s d br la musra sabms cuál srá l valr d cada bsrvacó. sí, la rmra bsrvacó ud sr csdrada ua v.a., la sguda ua v.a., c. r l a, as d br la musra darms,,..., a las bsrvacs y, ua vz bda la musra, darms,,..., a ls valrs bsrvads. Dl msm md, as d br ua musra, cualqur fucó d lla srá ua v.a., r jml: ~,, S, ma,...,, c. Ua vz bda la musra ls valrs calculads srá dads ~, s, ma,...,, c., Dfcó: U smadr uual d u arámr θ s u valr qu ud sr csdrad rrsav d θ y s dcará θˆ. S b a arr d algua fucó d la musra. jml: C l f d sudar s u dad s qulbrad, s arrja l dad vcs frma dd, béds ass. Qué valr dría ulzars, bas a sa frmacó, cm smacó d la rbabldad d as? arc razabl ulzar la frcuca rlava d ass. s cas, s llamams a la rbabldad qu qurms smar, ˆ. Méds d smacó uual Cóm br smadrs ara u rblma dad? sudarms ds méds qu rrca smadrs uuals: l méd d mms y l méd d máma vrsmlud. Méd d mms: La da básca css gualar cras caracríscas musrals c las crrsds caracríscas blacals. Rcrdms la sgu dfcó. 6

162 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Dfcó: Sa ua v.a. c fucó d rbabldad uual l cas dscr fucó d dsdad f l cas cu. S dma mm d rd N mm blacal d rd a, s dcr - f d l cas dscr l cas cu s sas srazas s. Cm ya hms vs cuad sudams fucó gradra d mms d ua varabl alara, ls mms sá rlacads c ls arámrs d la dsrbucó ascada. Dfcó: Dada ua musra alara d rd a,...,,, s dma mm musral Dfcó: Sa,,..., ua m.a. d ua dsrbucó c fucó d rbabldad uual fucó d dsdad qu dd d m arámrs θ, θ,..., θ m. Ls smadrs d mms d θ, θ,..., θ m s ls valrs ˆ θ ˆ θ,..., ˆ, θ m qu s b gualad m mms blacals c ls crrsds mms musrals. gral, s b rslvd l sgu ssma d cuacs,,..., m jmls: Sa,,..., ua m.a. d ua dsrbucó cal d arámr. Cm hay u sl arámr a smar, basa laar ua cuacó basada l rmr mm. 6

163 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 6 ˆ ˆ Sa,...,, ua m.a. d ua dsrbucó Γ,. Cm hay ds arámrs a smar, laams u ssma d cuacs basadas l rmr y l sgud mm. Usad qu s ~ Γ,, y V y la rlacó: V, Rmlazad, la sguda cuacó, s b: y, dsjad : ˆ Falm, rmlazad l smadr d la rmra cuacó, bms l smadr d :

164 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 ˆ Sa,,..., ua m.a. d ua dsrbucó U,θ. Cm hay u úc arámr a smar, laams ua cuacó basada l rmr mm. θ ˆ θ 4 Vams r úlm u jml qu s musra qu smr dms ulzar ls mms l rd aural. Sa,,..., ua m.a. d ua dsrbucó U-θ,θ. Cm hay u úc arámr a smar, arc aural laar ua cuacó basada l rmr mm. S mbarg, s l hacms, Obsrvams qu l rmr mm blacal dd d θ y r l a dms dsjar a arr d sa cuacó l smadr dl arámr. s cas, s csar laar ua cuacó basada l sgud mm: θ θ ˆ θ Méd d máma vrsmlud: s méd fu rducd r Fshr la década d 9. S basa la da d hallar ls valrs d ls arámrs qu hac qu la rbabldad d br ua musra dada sa máma. jml: S ralza ua cusa d ó a ua m.a. d rsas. S ls frmula ua úca rgua qu srá rsdda r S r NO. Sa,,..., las v.a. crrsds a la rsusa, als qu 64

165 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 s s la rsa rsd SI la rsa rsd NO ara,,..., y sa. Obsrvms qu las v.a. s dds y cada ua d llas dsrbucó,,..., s B,. cs, la fucó d rbabldad cjua dl vcr,,...,... S la musra bda s bsrva 7 NO s y SI s, sría 7,,..., La rgua s: qué valr d hac qu ls valrs musrals bds sa ls más rbabls? s dcr, buscams l valr d qu hac máma,,..., quvalm l,,..., ya qu l s ua fucó móa crc. Dbms mamzar la sgu fucó d g l,,..., l 7 l ara ll, cm sa fucó s drvabl rsc d, buscams ls sbls us crícs, gualad a la drvada rmra. g ˆ s valr s fc l qu mamza g us g 7 / / < Dfcó: Sa,,..., v.a. c fucó d rbabldad cjua r,,..., fucó d dsdad cjua f r,,..., qu dd d m arámrs θ, θ,..., θ m. Cuad,,..., s ls valrs bsrvads y la fucó 65

166 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 d rbabldad d dsdad cjua s csdra fucó d ls arámrs θ, θ,..., θ m, s dma fucó d vrsmlud y s da L θ, θ,..., θ m. Ls smadrs d máma vrsmlud MV d θ, θ,..., θ m s ls valrs ˆ θ ˆ θ,..., ˆ, θ m qu mamza la fucó d vrsmlud, sa ls valrs als qu L ˆ ˆ ˆ ~ ~ θ, θ,..., θ m L θ, θ,..., θ m θ, θ ~ ~ ~ ~,..., θ m La frma gral d ls MV s b rmlazad ls valrs bsrvads r las v.a.. jmls: Sa,...,, ua m.a. d ua dsrbucó cal d arámr. f,,..., f r l a, la fucó d vrsmlud s L Obsrvms qu clums ls dcadrs rqu, dad qu l rag d la v.a. dd dl arámr a smar, dms sur qu das las bsrvacs s gavas. l L l l L ˆ Vrfcar qu l u críc bd s fc u mám. Obsrvms qu s cas l MV ccd c l d mms. Sa,,..., ua m.a. d ua dsrbucó N,. f,,..., f π 66

167 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 67 π r l a la fucó d vrsmlud s y mamzarla quval a mamzar su lgarm L l l, l π, l, l L L y, rmlazad l valr smad d la sguda cuacó, s b ls MV d ls arámrs ˆ ˆ Sa,...,, ua m.a. d ua dsrbucó U,θ. L, π

168 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 f,,..., f I, θ I, θ θ θ y la fucó d vrsmlud s L θ I, θ θ Obsrvms qu, s cas, s sbl mar lgarm drvar rqu l arámr argum d la fucó d vrsmlud drma l sr d la dsdad. alcms cóm s sa fucó ara hallar su mám L θ s < < θ θ θ cas crar s ma < θ cas crar θ s θ > ma s θ ma Grafqums L θ cm fucó d θ. Cm s ud bsrvar, l mám d la fucó d vrsmlud s alcaza θ ma y r l a l MV dl arámr s ˆ θ ma 68

169 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 rdad d Ivaraza d ls MV: Sa θˆ l MV d θ y sa h ua fucó ycva c dm l rag d valrs sbls d θ, cs l MV d h θ s h θˆ. r jml, l cas d ua m.a. d ua dsrbucó N, hms vs qu l MV d s ˆ cs l MV d s ˆ us la fucó h s ycva s su dm s rsrg a ls rals svs, s dcr s h :R R. gral, sa θ ˆ ˆ,..., θ m ls MV d θ,...,θ m y sa ua fucó h : R m R, baj qué cdcs l MV d h θ,..., θ m s h ˆ θ,..., ˆ θ m? sa rdad, dmada rdad d varaza d ls MV, s cuml s la fucó h ud sr cmlada a ua fucó ycva. rdads d ls smadrs y crrs d slccó Obsrvms qu, dada ua musra,...,,, dd ~ F θ uual dl arámr θ, bd bas a lla, s ua v.a. θˆ. La dfrca ˆ θ θ, u smadr s l rrr d smacó y ua smacó srá más rcsa cua mr sa s rrr. s rrr s ambé ua v.a. dad qu dd d la musra bda. ara alguas musras srá sv, ara ras gav. Ua rdad dsabl s qu la sraza dl rrr sa, s dcr qu rmd l rrr bd al smar a arr d dfrs musras sa cr. Dfcó: U smadr uual θˆ dl arámr θ s ssgad s ˆ θ θ θ θ 69

170 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 S θˆ s ssgad, s dma ssg d θˆ a b ˆ θ ˆ θ θ θ. r l a, u smadr s ssgad s su dsrbucó cm valr srad al arámr a smar. Dfcó: U smadr uual θˆ dl arámr θ basad ua musra asócam ssgad s,...,,s θ ˆ θ θ θ jmls: Sa : úmr d és rcs d u rm bmal c rbabldad d é gual a. cs ~ B, y hms vs qu l MV d s ˆ /, sa la frcuca rlava d és. Vrfqums qu s smadr s ssgad. ˆ y, r l a, s ssgad. Sa,,..., ua m.a. d ua dsrbucó N,. Ls MV d y s ˆ ˆ Cm, ˆ, s smadr s ssgad. Vrfqums qu l smadr d la varaza l s. ˆ,,,,, 7

171 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 7,,,,, [ ] [ ],,,, V V r l a l MV d la varaza s ssgad, r s asócam ssgad ya qu su sraza d a cuad l amañ d la musra d a f. jrcc: Vrfcar qu la varaza musral S s u smadr ssgad d la varaza blacal cualqura sa la dsrbucó. Sa,...,, ua m.a. d ua dsrbucó U,θ. l smadr d mms d θ s ˆ θ y l MV s ma ˆ θ. l smadr d mms s ssgad. fc, θ θ θ θ θ θ ˆ Vrfcarms qu l MV l s. ara ll, csams br la dsdad d la v.a. ma U. Rcrdms qu, s,...,, s ua m.a. d ua dsrbucó U,θ, cs < < θ θ θ u u u u u F u F U s s s cs, u I u u f U θ θ θ. Calculms la sraza dl MV.

172 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 7 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ma u du u du u u U cs, l MV s ssgad r s asócam ssgad. Cuad hay más d u smadr ssgad ara u msm arámr, cóm dcdms cuál cv usar? r jml, sa,...,, ua m.a. d ua dsrbucó N,. s mda vrfcar qu ls sgus s ds smadrs ssgads d : ˆ ˆ ˆ Las varazas d ss smadrs s ˆ ˆ ˆ,,, V V V y arc aural lgr l smadr más rcs, s dcr l d mr varaza. rc d smacó ssgada d míma varaza: r ds ls smadrs ssgads d θ, lgr l d mr varaza. l smadr rsula s dma IMVU ssgad d míma varaza ufrmm. s ua mdlgía qu rm hallar smadrs IMVU muchas suacs. Trma: Sa,...,, ua m.a. d ua dsrbucó N,. cs s smadr IMVU d. arr d s rsulad dducms qu, s s vdca d qu la m.a. rv d ua dsrbucó Nrmal, arc cv usar cm smadr d. S mbarg, s ls das s Nrmals s smadr dría llgar a sr ua ésma lccó. jml: Sa las sgus dsrbucs smércas alrddr dl arámr a N, : π f

173 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 b Cauchy d arámr : f π c U -, : f I, La dsrbucó d Cauchy frma d camaa cm la dsrbucó Nrmal, r clas más sadas qu ésa. La dsrbucó Ufrm clas, r l a dríams dcr qu clas más lvaas qu la Nrmal. Csdrms ls sgus smadrs d : ~ ma m ˆ ˆ ˆ l cas a, ˆ s IMVU y r l a, s la lccó crrca. l cas b, ˆ y ˆ s mals rqu ambs s muy ssbls a la rsca d bsrvacs aícas y la dsrbucó Cauchy rduc ua mra rrcó d llas. r l a la mjr lccó r ss rs smadrs sría ˆ. També dríams ulzar ua mda dada. l cas c l mjr smadr s ˆ rqu la dsrbucó clas. rrr sadard d u smadr: l frmar l rsulad d ua smacó uual s csar brdar frmacó sbr la rcsó d la smacó. Dfcó: l rrr sadard d u smadr θˆ s su dsvacó sadard, s dcr ˆ θ V ˆ θ θ S l rrr sadard dd d arámrs dsccds, éss s rmlaza r u smadr y s b l rrr sadard smad. jml: Sa,,..., ua m.a. d ua dsrbucó N,. cs s l MV d y su rrr sadard s V, 7

174 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Cm dd dl arámr, dms rmlazarl r la varaza musral y bms l rrr sadard smad S ˆ Dfcó: Sa θˆ u smadr d θ, su rrr cuadrác md s CM θ ˆ θ ˆ θ θ θ S l smadr θˆ s ssgad l rrr cuadrác md s gual a la varaza dl smadr. CM ˆ θ V ˆ θ b ˆ θ, sd b ˆ θ ˆ θ θ θ l ssg dl smadr. rscó: [ ] Dm: CM θ θ θ ˆ θ θ ˆ θ θ θ ˆ θ θ ˆ θ ˆ θ θ θ ˆ θ θ θ θ θ θ θ θ ˆ ˆ ˆ θ ˆ θ ˆ θ θ θ ˆ θ ˆ θ ˆ θ θ [ ˆ θ ˆ θ ˆ θ θ ] θ θ θ θ θ θ θ Usad qu la sraza d ua v.a. s ua csa y la sraza d ua csa s gual a ésa, s b CM θ ˆ θ ˆ θ ˆ θ θ b ˆ θ ˆ θ θ ˆ θ ˆ θ ˆ θ θ θ θ θ θ θ V ˆ θ y, r l a, [ ] θ CM ˆ θ V ˆ θ b ˆ θ, cm quríams dmsrar. θ θ 74

175 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 rc d smacó d mr rrr cuadrác md: Dads ds más smadrs dl arámr θ, lgr l d mr CM. s rc s rduc, l cas d smadrs ssgads, al d míma varaza r ls ssgads mcad más arrba, ya qu l rrr cuadrác md s rduc a la varaza cuad u smadr s ssgad. S mbarg, s rm admás slccar, r jml, r u smadr ssgad y r qu l s, bas a la varaza y al ssg. S l smadr ssgad ua varaza much mr qu l ssgad, dría sr rfrbl su us. Dfcó: Sa θ y sa,,..., θˆ u smadr uual d θ basad sa musra. Drms qu { } ua m.a d ua dsrbucó qu dd d u arámr θˆ s ua sucsó css más brvm qu θˆ s u smadr css d θ s ˆ θ θ ε ˆ. s dcr, s >, θ θ > ε jml: Sa,,..., ua m.a d ua dsrbucó c y V <, cs s u smadr css d. fc, alcad la dsgualdad d Chbyshv, V > ε ε ε > ε jrcc: Vrfcar qu, s jml, ˆ s css d. rscó: Sa,,..., ua m.a d ua dsrbucó qu dd d u arámr θ y sa θˆ u smadr d θ basad la musra d amañ. S a ˆ θ θ sa, s l smadr s asócam ssgad θ b V ˆ θ θ cs, θˆ s css d θ. Dm: S l smadr s ssgad, la dmsracó s mdaa, a arr d la dsgualdad d Chbyshv,. N darms la dmsracó l cas gral. 75

176 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 jmls: Sa,,..., ua m.a d ua dsrbucó c y V <, cs s u smadr css d. fc, y V. r l a, s sasfac las ds cdcs d la rscó. Sa,,..., ua m.a. d ua dsrbucó U,θ. Hms dmsrad as qu l MV d θ, ˆ θ ma s asócam ssgad us θ ˆ θ θ. ara rbar qu s css, vrfcarms qu su varaza d a cr cuad l amañ d la musra d a f. r V [ ˆ θ ] ˆ ˆ θ ˆ θ θ θ θ θ θ θ cs, dbms calcular la sraza dl cuadrad d la v.a. U ma. Rcrdad qu su dsdad sá dada r f U u u I, θ u θ θ θ θ θ u u θ U u du θ θ θ θ u du θ. cs, V ˆ θ θ θ θ θ θ r l a, l MV s css. l úlm jml qu vrms lusra cm dmsrar la cssca d u smadr a arr d la Ly d ls Grads Númrs y d las rdads d la cvrgca rbabldad. rmr lugar rcrdms qu s,,...,,... Y, Y,..., Y,... s sucss d v.a. als qu a Y b, cs: a ± Y a ± b b Y ab 76

177 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 a c s b Y b d g g a s g s ua fucó cua a. s c s ua sucsó umérca al qu c c, cs c ca Sa,,..., ua m.a d ua dsrbucó c y V <, dmsrarms qu la varaza musral S s u smadr css d la varaza blacal. S r la Ly d ls Grads Númrs., cs r la rdad d r ra ar, alcad uvam la Ly d ls Grads Númrs V [,,, ] Cm admás, s b S y r l a la varaza musral s u smadr css d. 77

178 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Ifrca sadísca Irvals d cfaza Cuad s b ua smacó uual d u arámr, s cv acmañar dcha smacó r ua mdda d la rcsó d la smacó. U md d hacrl s frmar l smadr y su rrr sadard. Or md s rmlazar la smacó uual r u rval d valrs sbls ara l arámr. jml: Sugams qu ms ua m.a.,,..., d ua dsrbucó N, c varaza ccda. r sr ls das rmals, sabms qu ~ N, ~ N, y, r l a, sabms qu la rbabldad d qu.96 s.95, s dcr s cur r.96 y

179 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 arr d sa rsó bms s dcr, qu la rbabldad d qu l rval.96,.96 cga al vrdadr valr dl arámr s.95. s rval s dma rval d cfaza ara d vl d cfaza.95. Dfcó: Sa,,..., ua m.a. d ua dsrbucó qu dd d u arámr θ. Dadas ds fucs d la musra a,,..., y b,,..., als qu a,,..., θ b,,..., c quñ r jml,.,.5,., l rval [ a,,...,, b,,..., ] s dma rval d cfaza d vl - ara l arámr θ. Irracó: Sugams qu, bas a dfrs musras calculams ls crrsds rvals d cfaza ara θ. cs l - % d lls cdrá al vrdadr valr θ. 79

180 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 Obsrvacs: N s crrc dcr la rbabldad d qu θ rzca al rval a,b s - rqu θ s ua varabl alara. l rval s alar ya qu sus rms s fucs d la musra y r l a, dbms dcr la rbabldad d qu l rval a,b cga al arámr θ s - Ua vz csruíd l rval a arr d ua musra dada, ya sd hablar d rbabldad. d cas, ms cfaza d qu l rval cga a θ. La cfaza sá usa l méd d csruccó d ls rvals, qu s asgura qu - % d las musras rducrá rvals qu c a θ. Irvals d cfaza ara ls arámrs d ua dsrbucó rmal Dsrbucó : Sa ds v.a. Z ~N, y U ~ χ Γ, dds, cs Z T ~ U S dc qu T dsrbucó d Sud c grads d lbrad. sa dsrbucó sá abulada ara dfrs valrs d. Su dsdad s smérca rsc al y frma d camaa, r clas más sadas qu la dsrbucó rmal sadard. Cuad d a f, la dsrbucó d Sud d a la dsrbucó rmal sadard. rscó: Sa,...,, ua m.a. d ua dsrbucó N,, cs a ~ N, ~ N, b S ~ χ c S c y S s dds d ~ S Dm: a Ya hms vs qu cualqur cmbacó d v.a. rmals dds s rmal y l rmd s ua cmbacó lal arcular. 8

181 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 b y c sá fura dl alcac d s curs. d Rsula d a b y c us ~ N, y S ~ χ s v.a. dds. cs, r dfcó d la dsrbucó d Sud, S ~ S Irval d cfaza ara la mda d la dsrbucó rmal c varaza ccda: Sa,,..., ua m.a. d ua dsrbucó N,, c varaza ccda, cs ~ N, z / z / d dd s dduc l sgu rval d cfaza d vl - ara, z z /, ε / ε Irval d cfaza ara la mda d la dsrbucó rmal c varaza dsccda: Sa,,..., ua m.a. d ua dsrbucó N,, cs S ~ 8

182 rbabldads y sadísca Cmuacó Faculad d Ccas acas y Naurals. Uvrsdad d Bus rs a M. Bac y la J. Maríz 4 8 /, /, S d dd s dduc l sgu rval d cfaza d vl - ara, S S /, /,, Irval d cfaza ara la varaza d la dsrbucó rmal c mda ccda: Sa,...,, ua m.a. d ua dsrbucó N,, c mda ccda, cs, ~, ~ N Γ χ Cm admás las v.a. s dds Γ, ~ χ Cóm lgms ls rcls d la dsrbucó χ qu crra u ára gual a -? /, χ, / χ