-eiπ10 COM ANOMENEM A UNA SUCCESSIÓ? PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES CONCEPTES D INFINIT, D INFINITESIMAL I LES SEVES PROPIETATS

Transcripción

1 o DEFINICIÓ COM ANOMENEM A UNA SUCCESSIÓ? TERME GENERAL CÀLCUL DEL TERME GENERAL OPERACIONS AMB RECURRENTS PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES CONCEPTES D INFINIT, D INFINITESIMAL I LES SEVES PROPIETATS LÍMITS DE I LES SEVES PROPIETATS CREIXENTS I DECRECIXENTS CONVERGENTS I DIVERGENTS INFINITESIMALS, INFINITÈSIM I INFINITÈSIMS EQUIVALENTS NÚMERO e CÀLCUL DE LÍMITS: LES INDETERMINACIONS PROBLEMES --

2 DEFINICIÓ DE SUCCESSIÓ: successios Les successios só les fucios que tee com a domii el cojut dels ombres aturals i com a recorregut u subcojut dels reals. Per això s aomee fucios reals de variable atural. N R A tots els ombres aturals, els hi fem correspodre algu ombre real. Això és equivalet a umerar aquest subcojut de ombres reals: el primer, el sego, el tercer... Ua successió es la podem imagiar com ua lleixa amb ifiites guixetes, o hi aem posat ombres: a, a, a3,..., a,... El que tee e comú totes les successios és que tee u primer terme que s aomea a, i que tee ifiits termes més. El terme -èssim represeta el ombre real que està e el lloc úmero. --

3 EXEMPLES: ) És ua successió la sèrie de ombres següets?...,,, 0,,,... No és ua successió perquè o té u primer terme. ) És ua successió la sèrie de ombres següets?, 4, 6, 8,... És ua successió perquè té u primer terme que és a i ifiits termes més. ACTIVITATS PROPOSADES: ) És ua successió la sèrie de ombres següets?..., 4, 4, 0,, 4,... ) És ua successió la sèrie de ombres següets?, 3, 5, 7,

4 COM ANOMENEM A UNA SUCCESSIÓ? successios A l hora d aomear ua successió ho podem fer de diverses maeres, però depedrà del tipus de successió que teim. Ua de les maeres, que és comua a tots els tipus de successió, és aomeat us quats termes. EXEMPLE: ), 3, l, 3,... ), 4, 6, 8,... Els dos exemples só successios ja que tee u primer terme (el ombre i el ombre respectivamet), i es les presete aomeat els quatre primers termes. La diferècia e aquests dos N exemples és que e el primer cas R o veiem cap pauta o relació etre els termes, ordeació per de tat, és ombres ua reals totalmet aleatòria. E cavi, e la segoa successió podem veure ua pauta clara etre els termes i e podem seguir aomeat quats us més: a5 0, a6, a7 4,... La segoa successió la podem aomear diet: a. També la podem aomear els ombres parells. -4- a a

5 -e iπ 0 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Escriu els quatre primers termes de la successió els ombres sears. ) Aomea la successió: 3, 6, 9,,

6 TERME GENERAL: successios El terme geeral d ua successió és el cojut d operacios que hem de fer amb la per calcular a. Ua successió té terme geeral si hi ha ua relació etre el lloc i el ombre que correspo a aquest lloc. Algus exemples d aplicació del terme geeral: ) Calcula els quatre primers termes de la successió: a 3 a 3 a 3 a 3 a a ) Calcula els quatre primers termes de la successió: a 3 a 3 a 3 a 3 8 a a ) Calcula els quatre primers termes de la successió: a 3.() a 3.() a 3.() 3 a 3.() 6 a3 3.() 3 a4 3.() 4 4 4) Calcula els quatre primers termes de la successió: a ( )! a ( )! a! a! 6 a3 3! 4 a4 4! 0-6-

7 5) Calcula els quatre primers termes de la successió: a a a a, 5 3 a3 3 a4 4,37 4, 44 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula els quatre primers termes de la successió: a 3 ) Calcula els quatre primers termes de la successió: a 4 3) Calcula els quatre primers termes de la successió: a 3 4) Calcula els quatre primers termes de la successió: a ( 3)! 5) Calcula els quatre primers termes de la successió: a -7-3

8 CÀLCUL DEL TERME GENERAL: successios Aquest apartat el desevoluparem amb exemples umèrics, per tal d aar assolit les correspoets estratègies i competècies: ) Calcula el terme geeral de la successió:, 4, 6, 8,... a a. a 4 a. a3 6 a3.3 a4 8 a4.4 a. És la successió dels ombres parells. ) Calcula el terme geeral de la successió: 4, 6, 8, 0,... Aquesta successió és com la dels ombres parells però começa amb el 4 que resulta ser +, per això podem escriure com a terme geeral: a 3) Calcula el terme geeral de la successió:, 3, 5, 7,... Aquesta successió és com la dels ombres parells però começa amb l, que resulta ser -, per això podem escriure com a terme geeral: a Aquesta successió és la del ombres sears. 4) Calcula el terme geeral de la successió: 3, 5, 7, 9,... Aquesta successió és com la dels ombres parells però começa amb el 3, que resulta ser +, per això podem escriure com a terme geeral: a És la successió dels ombres sears começat pel

9 5) Calcula el terme geeral de la successió:, 4, 6, 8,... successios a a. a 4 a. a3 6 a3.3 a4 8 a4.4 a. És la successió dels ombres parells e egatiu. 6) Calcula el terme geeral de la successió:, 3, 5, 7,... Aquesta successió és com la dels ombres sears però e egatiu i começa amb el -, que resulta ser -+, per això podem escriure com a terme geeral: a Aquesta successió és la del ombres sears e egatiu. 7) Calcula el terme geeral de la successió: 4, 8,,6,... a 4 a 4. a 8 a 4. a3 a3 4.3 a4 6 a4 4.4 a 4. ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula el terme geeral de la successió: 6, 8,0,,... ) Calcula el terme geeral de la successió: 0,, 4, 6,... 3) Calcula el terme geeral de la successió:, 0,, 4,... 4) Calcula el terme geeral de la successió: 5, 7, 9,,... 5) Calcula el terme geeral de la successió:,, 3, 5,... 6) Calcula el terme geeral de la successió: 3,,, 3,... 7) Calcula el terme geeral de la successió: 4, 6, 8, 0,... 8) Calcula el terme geeral de la successió: 5, 0, 5, 0,

10 SUCCESSIÓ DE LES PRIMERES DIFERÈNCIES: successios Les successios de les primeres diferècies só aquelles e què la diferècia etre dos termes cosecutius és costat. Só successios o cada terme és igual a l aterior, més ua certa costat que s aomea diferècia (d). D aquestes successios més edavat e direm progressios aritmètiques: a a d a3 a d a4 a3 d... a a d Per això els seus termes els podem escriure com: a a d a3 a d a d d a d a4 a3 d a d d a 3d... a a ( )d Aquesta última expressió es coeix com a terme geeral d ua progressió aritmètica. Si la desevolupem ua mica resulta: a a ( )d a.d d a d. a d Resulta docs, que el terme geeral de les successios de les primeres diferècies les podem escriure com a poliomi de primer grau e fució de : a A. B Que comparat amb: Resulta: a d. a d a d. a d A d a A. B B a d - 0 -

11 EXEMPLES DE DE PRIMERES DIFERÈNCIES: successios ) Calcula el terme geeral de la successió: 7, 0, 3, 6,... Calculem les diferècies i el terme geeral: a a A d 3 a3 a d 3 B a d a4 a a 7 a A. B a 3 4 Podem comprovar el resultat: a 3 4 a 3.() 4 7 a 3.() 4 0 a3 3.(3) 4 3 a4 3.(4) 4 6 ) Calcula el terme geeral de la successió: 3,, 5, 9,... Calculem les diferècies i el terme geeral: a a 3 4 A d 4 a3 a 5 ( ) 4 d 4 B a d 3 ( 4) 7 a4 a3 9 ( 5) 4 a 3 a A. B a 4 7 Podem comprovar el resultat: a 4 7 a 4.() 7 3 a 4.() 7 a3 4.(3) 7 5 a4 4.(4)

12 ALTRES : successios ) Calcula el terme geeral de la successió:, 4, 9, 6,... a a a 4 a a3 9 a3 3 a4 6 a4 4 a ) Calcula el terme geeral de la successió:, 5, 0, 7,... a a a 5 a a3 0 a3 3 a4 7 a4 4 a 3) Calcula el terme geeral de la successió: 3,, 7, 48,... a 3 a 3 a a 3 a3 7 a3 3 3 a4 48 a4 3 4 a 3 4) Calcula el terme geeral de la successió:,, 9, 0,... a a 3() a a 3() a3 9 a3 3 3(3) a4 0 a4 4 3(4) a 3 - -

13 -e iπ 0 SUCCESSIÓ DE LES SEGONES DIFERÈNCIES: successios Les successios de les segoes diferècies só aquelles e què la diferècia etre dos termes cosecutius geera ua altra successió que resulta ser de primeres diferècies. Si calculem la diferècia etre dos termes cosecutius d aquesta segoa successió, resulta ser costat. a a b... a a b 3 a a b a a b b b d... b b d 3 b b d 4 3 b b d EXEMPLE: Calcula el terme geeral de la successió:, 4, 9,6,... a a 4 3 b a a b 3 a a b b b 5 3 d b b 7 5 d 3 Com ja hem vist es ha doat u poliomi de sego grau e fució de, que e geeral el podrem escriure com: a A B C Per calcular els paràmetres A, B i C podem substituir tres valors coeguts: 3 a A B C A B C a 4 4 A B C 4A B C 4 a 9 9 A 3 B 3 C 9A 3B C 9 Resolet el sistema d equacios resulta: A B C A 4A B C 4 B 0 a 0 0 a 9A 3B C 9 C 0-3 -

14 ACTIVITATS PROPOSADES: successios ) Calcula el terme geeral de la successió:, 5, 0, 7,... ) Calcula el terme geeral de la successió: 3,, 7, 48,... 3) Calcula el terme geeral de la successió:,, 9, 0,... 4) Calcula el terme geeral de la successió: 5,, 5, 44,

15 OPERACIONS AMB : successios Sigui a i b dues successios qualssevol amb: a a, a, a3,... b b, b, b3,... Podem defiir les operacios: ) SUMA: a b a b, a b, a3 b3,... c, c, c3,... c ) PRODUCTE PER UN ESCALAR: k.a k.a, k.a, k.a3,... c, c, c3,... c 3) RESTA: a b a b, a b, a3 b3,... c, c, c3,... c 4) COMBINACIÓ LINEAL: ka kb ka k b, ka kb, ka3 k b3,... c, c, c3,... c 5) PRODUCTE: a.b a.b, a.b, a3.b3,... c, c, c3,... c 6) DIVISIÓ: a a a a3,,,... c, c, c3,... c b b b b3 7) POTENCIACIÓ: b b b b a a, a, a3 3,... c, c, c3,... c - 5 -

16 -e iπ 0 EXEMPLE: successios Sigui a i b dues successios a, 4, 6,... i b, 3, 5,... a), 4 3, 6 5,... 3, 7,,... a b c b). a.,.4,.6,... 4, 8,,... c), 4 3, 6 5,...,,,... a b c, calcula: d) 3. a b 3., 4, 6,...., 3, 5,... 6, 6,8 0,... 4, 6, 8,... e) a. b., 4.3, 6.5,...,, 30,... c f) a b ,,,...,,,... c b 3 5 g) a, 4, 6,..., 64, 7776,... c Si teim e compte que a, 4, 6,... i b a) a b 4 b). a. 4 c) a b ( ) d) 3. a b , 3, 5,... e) a b..( ) 4 f) a b g) b a - 6 -

17 -e iπ 0 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Sigui a i calcula: successios b dues successios a 3, 6, 9,... i, 3, 5,... b, a) a b b) 3. a c) a b d). a 3b e) a. b a f) b b g) a ) Sigui a i b dues successios a 4 i b, calcula: a) a b b). a c) a b d). a 3b e) a. b a f) b b g) a - 7 -

18 RECURRENTS: successios Ua successió és recurret si cada terme depè d algu dels termes ateriors. EXEMPLES: ) Calcula dos termes més de la successió: a a 3a si a 3 i a 5 a3 a 3a.(5) 3.(3) 9 a4 a3 3a.(9) 3.(5) 53 ) Calcula dos termes més de la successió: a 3a a si a i a a3 3a a 3.( ).() 8 a4 3a3 a 3.( 8).( ) 40 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula dos termes més de la successió: a a a si a i a 3. ) Calcula dos termes més de la successió: a a 3a si a i a

19 DUES RECURRENTS IMPORTANTS: successios PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES - 9 -

20 -e iπ 0 PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES (PA) successios_recurrets DEFINICIÓ TERME GENERAL SUMA DELS TERMES EQUIDISTANTS SUMA DELS PRIMES TERMES INTERPOLACIÓ DE MITJOS DIFERENCIALS - 0 -

21 DEFINICIÓ (PA): PA Ua progressió aritmètica és ua successió recurret o cada terme ( a ) és igual a l aterior ( a ) més ua certa costat (d) que s aomea diferècia. Per això podem escriure: d a a La maera de determiar si ua successió és ua progressió aritmètica és fer la diferècia terme a terme, i si resulta ser ua mateixa costat podem afirmar que ho és. Só les aomeades successios de les primeres diferècies. EXEMPLES: ) Justifica si és o o ua progressió aritmètica la successió següet: a, 4, 6, 8,... a a 4 a3 a 6 4 d a4 a3 8 6 És ua progressió aritmètica perquè la diferècia etre dos termes cosecutius és costat. ) Justifica si és o o ua progressió aritmètica la successió següet: b,, 7, 8,... b b b3 b 5 3 d ct b4 b3 8 7 o No és ua progressió aritmètica perquè la diferècia etre dos termes cosecutius o és costat. - -

22 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Justifica si és o o ua progressió aritmètica la successió següet: a, 4, 6, 8,... ) Justifica si és o o ua progressió aritmètica la successió següet: a, 4, 6, 8,... 3) Justifica si és o o ua progressió aritmètica la successió següet: a,, 3, 4,... 4) Justifica si és o o ua progressió aritmètica la successió següet: a,, 4, 8,

23 TERME GENERAL (PA): PA El terme geeral d ua progressió aritmètica resulta ser: a a ( )d DEMOSTRACIÓ: Sabem que: a a d a3 a d a4 a3 d... a a d Per això els seus termes els podem escriure com: a a d a3 a d a d d a d a4 a3 d a d d a 3d... a a ( )d EXEMPLE: Calcula el terme geeral de la successió: a, 4, 6, 8,... a, 4, 6, 8,... a a 4 a3 a 6 4 d a4 a3 8 6 a a a ( )d a ( ) a - 3 -

24 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula el terme geeral d ua progressió aritmètica de primer terme i diferècia 3. ) Calcula el terme geeral d ua progressió aritmètica de primer terme 5 i diferècia -. 3) Calcula el terme geeral d ua progressió aritmètica de primer terme - 3 i diferècia 5. 4) Calcula el terme geeral d ua progressió aritmètica de primer terme 4 i diferècia

25 SUMA DELS TERMES EQUIDISTANTS (PA): PA Les progressios aritmètiques tee ua propietat que diu: La suma dels termes equidistats als extrems és igual a la suma dels extrems. Cal teir e compte que ua progressió aritmètica, igual que qualsevol successió, té ifiits termes. El que vol dir aquesta propietat és que si cosiderem ua progressió aritmètica fis u terme qualsevol (-èssim), tidrem u começamet i u fial; i per això la suma dels termes equidistats als extrems coicideix amb la suma dels extrems. EXEMPLE: Si cosiderem la progressió aritmètica els ombres parells i agafem els cic primers termes:, 4, 6, 8, 0. Com podem veure es compleix que: a, 4, 6, 8,0... a a5 0 a a4 4 8 a3 a3 6 6 Si cosiderem els set primers termes:, 4, 6, 8, 0, es compleix que: a, 4, 6, 8,0,... a a6 4 a a5 4 a3 a4 4 El valor ha caviat però cotiua esset costat

26 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula la suma dels termes equidistats als extrems dels quatre primers termes de la progressió aritmètica: a. ) Calcula la suma dels termes equidistats als extrems dels cic primers termes de la progressió aritmètica: a 3. 3) Calcula la suma dels termes equidistats als extrems dels set primers termes de la progressió aritmètica: a 5. 4) Calcula la suma dels termes equidistats als extrems dels vuit primers termes de la progressió aritmètica: a

27 SUMA DELS PRIMES TERMES (PA): PA Podem calcular la suma dels primers termes d ua progressió aritmètica amb la fórmula següet: S a a. DEMOSTRACIÓ: La suma dels primers termes és: S a a a3... a a Aquesta suma també la podem calcular del revés: S a a... a3 a a Si sumem les dues expressios resulta: S a a a a...( )... a a a a Tots els termes etre parètesis resulte ser iguals a la suma dels extrems: a a ai a j I com que teim ho podem escriure com: S a a. Aïllat la suma resulta: S a a. cvd

28 -e iπ 0 EXEMPLE: Calcula la suma dels 5 primers de la successió: 6,,, 6,... Primer hem de comprovar si és progressió aritmètica: a 6,,, 6,... a a 6 4 a3 a 4 a4 a3 6 ( ) 4 Efectivamet, és ua progressió aritmètica amb diferècia d=4 i primer terme a =6. Ara podem calcular el seu terme geeral: a a ( ) d a 6 ( ) a 4 0 Amb el terme geeral podem calcular el vit-i-ciquè terme: a 4 0 a I, fialmet, podem calcular la suma dels vit-i-cic primers termes: S a a. S 5 5 a a

29 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula la suma dels quize primers termes de la progressió aritmètica: a. ) Calcula la suma dels vit primers termes de la progressió aritmètica: a 3. 3) Calcula la suma dels seixata primers termes de la progressió aritmètica: a 5. 4) Calcula la suma dels cet primers termes de la progressió aritmètica: a

30 INTERPOLACIÓ DE MITJOS DIFERENCIALS (PA): PA Iterpolar vol dir afegir etremig de. Per això, amb la iterpolació dels mitjos diferecials el que es preté és afegir k termes etre us termes a i b, de tal maera que acabi format ua progressió aritmètica: a, x, x,..., xk, b Amb això el que obteim só k termes, o: a a a x a3 x... a xk a b Cal calcular la diferècia, i per això apliquem l expressió del terme geeral: a a ( )d b a k d I d aquí resulta: d b a k Fialmet, per calcular el k termes a iterpolar: x a d x x d... xk xk d

31 EXEMPLE: Calcula la iterpolació de mitjos diferecials de tres termes etre el 5 i el 5. Si afegim tres termes tidrem: a, x, x, x3, b I al ser a 5 i b 5, podrem escriure: 5, x, x, x3, 5 Calculem la diferècia perquè sigui ua progressió aritmètica: d b a k d I, fialmet, podrem calcular els tres termes: x x x ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula la iterpolació de mitjos diferecials de quatre termes etre el 0 i el 60. ) Calcula la iterpolació de mitjos diferecials de cic termes etre el 0 i el 30. 3) Calcula la iterpolació de mitjos diferecials de tres termes etre el 7 i el. 4) Calcula la iterpolació de mitjos diferecials de sis termes etre el 50 i el

32 PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES (PG) successios_recurrets DEFINICIÓ TERME GENERAL PRODUCTE DELS TERMES EQUIDISTANTS PRODUCTE DELS PRIMERS TERMES SUMA DELS PRIMERS TERMES SUMA DELS INFINITS TERMES (SÈRIES) INTERPOLACIÓ DE MITJOS PROPORCIONALS INTERÈS COMPOST - 3 -

33 DEFINICIÓ (PG): PG Ua progressió geomètrica és ua successió recurret o cada terme a és igual a l aterior a per ua certa costat (r) que s aomea raó. Podem escriure: r a a Per això, si volem saber si ua successió és ua progressió geomètrica el que hem de fer és el quociet terme a terme. Si dóa el mateix, resultarà ser la raó, i podrem assegurar que és u progressió geomètrica. EXEMPLE: Demostra que la successió 3, 6,, 4,... és ua progressió geomètrica. Calculem el quociet etre termes cosecutius: a 6 a 3 a3 a 6 a4 4 a3 Els quociets só tots iguals. És ua progressió geomètrica de raó. ACTIVITATS PROPOSADES: ) Demostra que la successió -3, -6, -, -4,... és ua progressió geomètrica. ) Demostra que la successió,, 4, 8,... és ua progressió geomètrica. 3) Demostra que la successió, -, 4, -8,... és ua progressió geomètrica

34 TERME GENERAL (PG): PG El terme geeral d ua progressió geomètrica resulta ser: a a r DEMOSTRACIÓ: Sabem que: a a a a r ; 3 r ; 4 r ;... r a a a3 a Per això els seus termes els podem escriure com: a a.r a3 a.r a.r.r a.r a4 a3.r a.r.r a.r 3... a a r EXEMPLE: Calcula el terme geeral de la successió: a 3, 6,, 4,... a 3, 6,, 4,... a 6 a 3 a3 a 6 a4 4 a3 r a 3 a a r a

35 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula el terme geeral d ua progressió geomètrica de primer terme i raó 3. ) Calcula el terme geeral d ua progressió geomètrica de primer terme 5 i raó -. 3) Calcula el terme geeral d ua progressió geomètrica de primer terme - 3 i raó 5. 4) Calcula el terme geeral d ua progressió geomètrica de primer terme 4 i raó

36 PRODUCTE DELS TERMES EQUIDISTANTS (PG): PG El producte dels termes equidistats als extrems és igual al producte dels extrems. EXEMPLE: Cosiderem els quatre primers termes d ua progressió geomètrica:, 4, 8, 6. És ua progressió geomètrica ja que: a 4 a a3 8 a 4 a4 6 a3 8 Docs la propietat el que diu és: a.a4.6 3 a.a Que com podem veure doe el mateix. Si cosiderem els cic primers termes:, 4, 8, 6, 3 Resulta: a.a a.a a3.a Si agafem més termes de la successió dóa u altre resultat, però el producte cotiua esset costat

37 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula el producte dels termes equidistats als extrems dels cic primers termes de la progressió geomètrica: a. ) Calcula el producte dels termes equidistats als extrems dels tres primers termes de la progressió geomètrica: a 3. 3) Calcula el producte dels termes equidistats als extrems dels sis primers termes de la progressió geomètrica: a 3.(). 4) Calcula el producte dels termes equidistats als extrems dels vuit primers termes de la progressió geomètrica: a

38 PRODUCTE DELS PRIMERS TERMES (PG): PG El producte dels primers termes d ua progressió geomètrica el podem calcular amb l expressió: P a.a DEMOSTRACIÓ: El producte dels primers termes el podem calcular: P a.a.....a.a Aquesta mateixa expressió la podem escriure del revés: P a.a.....a.a Multiplicat terme a terme les dues expressios resulta: P a.a. a.a..... a.a. a.a Cada u dels termes etre parètesis resulte ser iguals al producte dels extrems: a.a ai.a j I d aquí resulta: P a.a a.a P cvd EXEMPLE: Calcula el producte dels deu primers termes de la successió: 4,,,,... És ua progressió geomètrica amb a 4 i r a a r P a 4 a.a P0 amb u terme geeral: 0 a0 4 0 a.a 9, , ,98.0 8

39 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula el producte dels cic primers termes de la progressió geomètrica: a. ) Calcula el producte dels tres primers termes de la progressió geomètrica: a 3. 3) Calcula el producte dels sis primers termes de la progressió geomètrica: a 3.(). 4) Calcula el producte dels vuit primers termes de la progressió geomètrica: a

40 SUMA DELS PRIMERS TERMES (PG): PG La suma dels primers termes d ua progressió geomètrica la podem calcular amb l expressió: S a a.r r O, si teim e compte l expressió del terme geeral: a a r Podem trasformar-la amb: a a.r a a r S r r a a r S r.r a r a S r r Que també es pot expressar com: S a r r DEMOSTRACIÓ: La suma dels primers termes: Si multipliquem per r resulta: S a a... a a r.s r.a r.a... r.a r.a a a3... a r.a Si restem les dues expressios: S r.s r.a r.a... r.a r.a a a a3... a a a a3... a a r.a S r.s a r.a S r a r.a S a r.a r EXEMPLE: Calcula la suma dels deu primers termes de la successió: 4,,,,... És ua progressió geomètrica amb a 4 i r 0 S a a r r 4 4 7,99 S0-40 -, la suma resulta ser:

41 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula la suma dels cic primers termes de la progressió geomètrica: a. ) Calcula la suma dels tres primers termes de la progressió geomètrica: a 3. 3) Calcula la suma dels sis primers termes de la progressió geomètrica: a 3.(). 4) Calcula la suma dels vuit primers termes de la progressió geomètrica: a

42 SUMA DELS INFINITS TERMES (SÈRIES) (PG): PG Si la progressió geomètrica té ua raó etre - i : r El terme r s apropa a zero ràpidamet i podem calcular la suma de tots els ifiits termes, resultat l expressió: S a r DEMOSTRACIÓ: La suma dels primers termes d ua progressió geomètrica la podem calcular amb: a r a S r r a r a S r r r S a r EXEMPLE: Calcula la suma de tots els termes de la successió: 4,,,,... És ua progressió geomètrica amb a 4 i r aplicar l expressió: S a r Que e aquest cas resulta: S a 4 8 r - 4 -, i al teir r podem

43 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula la suma dels ifiits termes de la progressió geomètrica: a. ) Calcula la suma dels tres primers termes de la progressió geomètrica: a 3. 3) Calcula la suma dels sis primers termes de la progressió geomètrica: a ) Calcula la suma dels vuit primers termes de la progressió geomètrica: a

44 INTERPOLACIÓ DE MITJOS PROPORCIONALS: PG Iterpolar vol dir afegir etremig de. Per això, amb la iterpolació del mitjos proporcioals el que es preté és afegir k termes etre u terme a i b, de tal maera que acabi format ua progressió geomètrica: a, x, x,..., xk, b Amb això el que obteim só k termes, o: a a a x a3 x... a xk a b Cal calcular la raó, i per això apliquem l expressió del terme geeral: a a r b a r k I d aquí resulta: r k b a Fialmet, per calcular el k termes a iterpolar: x a.r x x.r... xk xk.r

45 EXEMPLE: Calcula la iterpolació de tres mitjos proporcioals etre 5 i 80. Si afegim tres termes tidrem: a, x, x, x3, b I al ser a 5 i b 80, podrem escriure: 5, x, x, x3, 80 Calculem la diferècia perquè sigui ua progressió aritmètica: r k b a r k b a 5 I, fialmet, podrem calcular els tres termes: x 5. 0 x 0. 0 x ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula la iterpolació de dos mitjos proporcioals etre 0 i 50. ) Calcula la iterpolació de quatre mitjos proporcioals etre i 0. 3) Calcula la iterpolació de tres mitjos proporcioals etre 3 i 48. 4) Calcula la iterpolació de cic mitjos proporcioals etre 4 i

46 INTERÈS COMPOST: PG L iterès compost és u cas particular de progressió geomètrica ja que és l iterès d'u capital que va creixet per l'acumulació dels seus rèdits. Els coceptes bàsics só: o INTERÈS ( I ) (rèdit, redimet) : guay que dóa a algú u capital que ha prestat o que li deue. Sempre es pot calcular amb: I C CO o TEMPS (t): durada de l operació fiacera (ormalmet só ays) o TAXA D'INTERÈS ( R % r ): percetatge que hom rep o paga e relació amb el capital ivertit o mallevat, per u determiat període de temps. R% R r 00 o PERÍODES DE CAPITALITZACIÓ (coversió): període de temps que s'estableix perquè els iteressos produïts s'acumuli al capital iicial. o FREQÜÈNCIA DE CAPITALITZACIÓ (k): ombre de períodes de capitalització que es produeixe e u ay. o TAXA NOMINAL: és la taxa d'iterès expressada e tat per cet aual. o CAPITAL INICIAL (Co): quatitat de diers que s'iverteixe iicialmet. o CAPITAL FINAL (C): quatitat de diers que s'obtee al fial del període impositiu. E el cas de l iterès compost es pot calcular amb l expressió: r C CO k k.t

47 -e iπ 0 DEMOSTRACIÓ: PG Capital fial amb iterès compost: C t C O r k k. t Suposem que disposem d u capital iicial C 0 que ivertim amb u iterès compost de taxa aual r, amb ua freqüècia de capitalització. E el primer període de capitalització tidrem: r r C C0 C0 C0 k k E el sego període: r r r r C C C0 C0 k k k k I així successivamet: 3 r r r r C3 C C0 C0 k k k k 3 4 r r r r C4 C3 C0 C0 k k k k Després de períodes de capitalització obtidrem: r r r r C C C0 C0 k k k k Si volem expressar aquest resultat e ays, cal teir e compte que: k k. t t Resultat fialmet: C t C O r k k. t cvd

48 EXEMPLE: PG Calcula el capital fial que obtidrem si ivertim durat 6 ays, a u iterès compost omial del,5% i u període de capitalització trimestral. De l euciat del problema deduïm: - El capital iicial és: C La taxa d iterès aual és: r,5 0, La freqüècia de capitalització és: k - Temps: 4 3 t 6 Com que és u iterès compost: r Ct CO ( )k.t k Que e aquest cas resulta ser: r Ct CO ( ) k.t k r 0, C6 CO ( ) k ( ) 3.483,88 k 4 El capital fial, després dels 6 ays, resulta ser de 3.483,88. Aquesta iversió ha aportat us iteressos de: I C C , ,

49 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula el capital fial que obtidrem si ivertim durat 3 ays, a u iterès compost omial del 3,5% i u període de capitalització semestral. ) Calcula el capital fial que obtidrem si ivertim durat 0 ays, a u iterès compost omial del,5% i u període de capitalització mesual. 3) Calcula el capital fial que obtidrem si ivertim 500 durat 0 ays, a u iterès compost omial del 4,5% i u període de capitalització quadrimestral

50 CONCEPTES D INFINIT, D INFINITESIMAL I LES SEVES PROPIETATS: successios Defiició d ifiit: Segos el Diccioari Maual de la Llegua Catalaa, de l Istitut d Estudis Catalas: - Que o té fi e el temps o l espai. E ua versió més ituïtiva podem dir: - És allò que està més ellà del ombre més gra possible. E ua successió la variable idepedet só els ombres aturals, que comece amb i o s acabe mai: N,,3,...,,... Qua la és molt i molt gra ho expressem com: I es llegeix com apropat-se a ifiit. Propietats de l ifiit: Cosiderem N i k R si k 9) k 0 si 0 k NTS si k 0 ) ) k si k 0 3) k. si k 0 4) 0) k 0 si k 0 si 0 k NTS si k 0 ) ) NTS 5) 6) 3) 0 4) 7) 5) 0 0 8)

51 ACTIVITATS PROPOSADES: Cosiderem N i k R. Calcula: ) ) 3) 3. 4) 5) 3 6) 3 7) 4 8) 3 9) 0) ) 4 ) 3 3) 4) 0-5 -

52 Defiició d ifiitesimal: successios Segos el Diccioari Maual de la Llegua Catalaa, de l Istitut d Estudis Catalas: - Que és molt petit. E ua versió més ituïtiva podem dir: - És u ombre que pot ser tat petit com vulguem E ua successió del tipus a, si, a Propietats de l ifiitesimal: Cosiderem N i k R i l ifiitesimal. ) ) k k si k 0 3) k. si k 0 4) 5) 6) 7) 8) 9) k si k 0 0) k si k 0 ) ) NTS - 5 -

53 -e iπ 0 3)

54 ACTIVITATS PROPOSADES: Cosiderem N i k R i l ifiitesimal, calcula: ) ) 3) 4. 4) 5) 3 6) 3 7) 4 8) 5 4 9) 3 0) ) 3 ) 4 3)

55 -e iπ 0 LÍMITS DE I LES SEVES PROPIETATS: successios Calcular el límit d ua successió és fer ua valoració del comportamet de la successió per a valors gras de la variable idepedet. Qua la variable idepedet assoleix valors gras és qua diem que s apropa a ifiit: La omeclatura que es fa servir per dir que aem a calcular el límit d ua successió a és: lim a Amb successios, la omés es pot apropar a ifiit, podem simplificar la omeclatura posat: lim a lim a I ja es sobreeté que és per a apropat-se a ifiit. U límit d ua successió pot doar quatre tipus de solucios: O: lim a L NTS L és u ombre real, NTS : vol dir que o té solució, i és qua diem que el límit o té límit

56 -e iπ 0 EXEMPLES: successios Calcula el comportamet de la successió per a valor gras de : ) a Fem ua taula de valors: a() 0,5 0, , , , ,99997 Amb aquesta taula de resultats veiem que per a valors gras de la successió s apropa a, cosa que podem escriure com: lim a lim ) a Fem ua taula de valors: a() 0,5 0 8, , , Amb aquesta taula de resultats veiem que per a valors gras de la successió resulta ser cada vegada més gra, cosa que podem escriure com: lim a lim

57 -e iπ 0 3) a successios Fem ua taula de valors: a() - 0-9, , Amb aquesta taula de resultats veiem que per a valors gras de la successió resulta ser cada vegada més gra e valor absolut, cosa que podem escriure com: lim a lim 4) a Fem ua taula de valors: a() , , , Amb aquesta taula de resultats veiem que per a valors gras de la successió va alterat el sige e fució de si la potècia és parell o sear, i per tat es és impossible saber el resultat, i hem de cocloure que o té solució, cosa que podem escriure com: lim a lim NTS

58 PROPIETATS DELS LÍMITS DE : successios Cosiderem dues successios a i b tals que: lim a a lim b b Amb aquestes codicios es compleixe les propietats següets: ) El límit de la successió suma és la suma dels límits: lim a b lim a lim b a b ) El límit de la successió resta és la resta dels límits: lim a b lim a lim b a b 3) El límit de la successió producte és el producte dels límits: lim a.b lim a.lim b a.b 4) El límit de la successió quociet és el quociet dels límits: a lim b lim a a lim b b 5) El límit de la successió potècia és la potècia dels límits: b lim a lim a lim b ab 6) El límit de l arrel quadrada d ua successió és l arrel quadrada del límit: lim a lim a a 7) El logaritme d u límit d ua successió és el límit del logaritme: log c lim a lim log c a log c a 8) El producte d ua successió ifiitesimal per ua successió acotada és també ifiitesimal. 9) Tota successió moòtoa creixet i acotada superiormet és també coverget

59 0) Tota successió coverget és acotada, però o totes les successios acotades só covergets. ) Si tots els termes d ua successió b esta compresos etre els respectius termes de dues successios a i c covergets i del mateix límit L, llavors la successió b és coverget i té el mateix límit L. ACTIVITATS PROPOSADES: Si lim a 4 i lim b 5 calcula: ) lim a b ) lim a b 3) lim a.b a 4) lim b b 5) lim a 6) lim a

60 CREIXENTS I DECREIXENTS: - SUCCESSIÓ CREIXENT: Diem que ua successió a és creixet si a a. EXEMPLE: Demostra que la successió a és creixet. a a a?? ( ) 0 si És creixet. - SUCCESSIÓ DECREIXENT: Diem que ua successió a és decreixet si a a. EXEMPLE: Demostra que la successió a a és decreixet. a a?? 0 0 ( ) 0 si ( ) És decreixet successios

61 CONVERGENTS I DIVERGENTS: successios - SUCCESSIÓ CONVERGENT: Diem que ua successió a és coverget si el seu límit és fiit: lim a L. EXEMPLE: Demostra que la successió a lim a lim és coverget. És coverget. - SUCCESSIÓ DIVERGENT: Diem que ua successió a és diverget si el seu límit és ifiit (positiu o egatiu): lim a o lim a EXEMPLES: Demostra que la successió a lim a lim és diverget. Demostra que la successió a lim a lim és diverget. és diverget. és diverget

62 INFINITESIMALS, INFINITÈSIM I INFINITÈSIMS EQUIVALENTS: successios SUCCESSIÓ INFINITESIMAL: Ua successió ifiitesimal és u cas particular de successió coverget, e la qual el límit resulta ser zero: lim a 0. INFINITÈSIM: U ifiitèsim és ua successió ifiitesimal i o ul la (successió coverget de límit zero i diferet de la successió 0, 0, 0,.... INFINITÈSIMS COMPARABLES: Dues successios a i b só dos ifiitèsims comparables si: lim a k 0 b INFINITÈSIMS EQUIVALENTS: Dues successios a i b só dos ifiitèsims equivalets si: lim a b TAULA D INFINITÈSIMS EQUIVALENTS: Si a és u ifiitèsim: a, podem escriure: ) si( ) ) cos( ) 3) ta( ) 4) b.l(b) b 0 5) e 6) l( ) - 6 -

63 NÚMERO e: successios INTRODUCCIÓ: Doada la successió: a Si calculem el comportamet per a valors gras de : a(), , , , , , , , , , , Com es pot veure e la taula de valors, a mesura que aem augmetat el valor de cada vegada va coicidit més decimals:,,7,7,78,78,788 I així successivamet. El resultat d aquest límit rep el om de ombre e : e lim, El ombre e és u ombre irracioal perquè té ifiits decimals diferets, i és el resultat d ua successió coverget

64 -e iπ 0 DEFINICIÓ DEL NOMBRE e : successios Hi ha moltes successios e què el seu límit es proporcioa el ombre e : EXEMPLES: a) b) c) d) a a a a lim e lim e 3 3 lim e 3 3 lim e Com es pot veure e aquests exemples: e lim b b si limb

65 CÀLCUL DE LÍMITS: LES INDETERMINACIONS. successios El primer que cal fer per calcular u límit és substituir la per ifiit i fer ua valoració. Com ja hem cometat, pot doar quatre tipus de solucios: L lim a NTS O L és u ombre real, i NTS : vol dir que o té solució, i és qua diem que el límit o té límit. Si es dóa això ja hem acabat el càlcul del límit. EXEMPLES:. lim(3 4 ) El primer que fem és substituir l ifiit: lim(3 4 ) 3 4 Per saber què dóa, traiem factor comú a la potècia més alta: 4 4 lim(3 4 ) lim (3 ) (3 ). lim( 33 4 ) El primer que fem és substituir l ifiit: 3 lim( 33 4 ) 3 4 Per saber què dóa, traiem factor comú a la potècia més alta: lim( 33 4 ) lim 3 ( 3 ) ( 3 ) Com es pot veure e els exemples, si la successió té u terme geeral del tipus poliòmic es hem de quedar amb el moomi de potècia més alta. És com dir que és molt més gra que (ifiitamet més gra)

66 -e iπ 0 INDETERMINACIONS: successios Ua idetermiació és u resultat d u límit del qual a priori descoeixem el seu valor, perquè depè de l ordre de l ifiit o ifiitèsim. Qua arribem a ua idetermiació o vol dir que o té solució, sió que el que hem de fer és resoldre la idetermiació per veure el resultat del límit. Ua idetermiació és com u carreró sese sortida que hem de mirar d esquivar. TIPUS D INDETERMINACIONS: Les idetermiacios só set: ) ) 0 0 3) 0. 4) 5) 6) 7) Qualsevol ombre elevat a zero dóa, però i el zero i l ifiit só qualsevol ombre: el zero és res i l ifiit o és cap ombre. Recorda que 0 o és cap idetermiació i dóa zero

67 -e iπ 0 RESOLUCIÓ D INDETERMINACIONS: successios ) ) 0 0 3) 0. 4) 5) 6) 7)

68 ) RESOLUCIÓ DE resolució_idetermiacios Posem us quats exemples: ) lim El primer que fem és substituir la per u valor molt gra que e diem ifiit: lim Arribem a la primera idetermiació. La podem resoldre si dividim a dalt i a baix per la potècia més alta de baix: lim 4 3 lim lim Torem a substituir per ifiit: lim ) lim lim lim id lim 4 3 lim lim

69 -e iπ 0 3) lim id lim. lim lim lim ) lim lim id lim lim lim Podem resoldre aquests tipus d idetermiació si mirem els moomis de les potècies més altes de dalt i de baix: ax lim bx a) Si la potècia més alta és a dalt dóa ifiit o meys ifiit, segos els siges dels coeficiets. b) Si la potècia més alta és a baix, dóa zero. c) Si la potècia més alta és a dalt i a baix, dóa el quociet dels coeficiets. ax... lim bx... sige( a) sige( b) sige( a) sige( b) ax... lim 0 bx... a b

70 -e iπ 0 Aquest criteri també el podem aplicar e límits del tipus: 5) 3 3 lim 4 3 lim lim lim ) lim lim lim lim 7 NTS 7) lim lim lim lim lim lim lim lim

71 -e iπ 0 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula: lim 3 ) Calcula: 3 lim ) Calcula: lim 3 4) Calcula: lim 5 3 5) Calcula: lim ) Calcula: 3 lim 5 7) Calcula: lim ) Calcula: lim ) Calcula: 5 4 lim 3 3 0) Calcula: 4 3 lim 3 3 ) Calcula: lim ) Calcula: lim

72 ) RESOLUCIÓ DE 0 0 resolució_idetermiacios Posem us quats exemples: ) lim lim 0 lim 0 lim lim lim : lim lim ) lim 0 0 lim 0 0 lim lim lim lim lim 3 lim 3 lim

73 -e iπ 0 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula: lim ) Calcula: lim 3 3) Calcula: lim ) Calcula: lim ) Calcula: lim 3 5 6) Calcula: lim 3 5 7) Calcula: 3 lim

74 3) RESOLUCIÓ DE 0. resolució_idetermiacios Posem us quats exemples: 3 ) lim. 3 lim lim. lim 6 6 lim 6 3 ) lim. 3 lim lim. lim lim 3 lim Com es pot veure e els exemples, per resoldre la idetermiació 0. cal operar; aleshores es trasforma e ua altra idetermiació del tipus, que aplicat el criteri de la potècia més alta podem acabar de resoldre amb comoditat

75 -e iπ 0 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula: ) Calcula: 3) Calcula: 4) Calcula: 5) Calcula: 3 lim lim lim. lim. 3 lim. 3 6) Calcula: lim

76 4) RESOLUCIÓ DE resolució_idetermiacios Posem us quats exemples: 3 3 ) lim lim lim lim 3 3 lim lim id lim lim lim lim lim ) lim 3 lim 3 id 3 lim lim lim id 3 3 lim 3 lim 3 Com podem veure e els exemples, la idetermiació pot estar origiada, bàsicamet, per ua resta de fucios racioals (exemple 37) i ua resta de fucios irracioals (exemple 38). E el primer cas, el que cal fer és míim comú múltiple i operar; així arribem a ua altra idetermiació del tipus,que podem resoldre pel mètode ràpid de la potècia més alta. E el sego cas, cal multiplicar a dalt i a baix pel cojugat; així també arribem a ua altra idetermiació del tipus

77 -e iπ 0 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula: ) Calcula: 3) Calcula: 3 3 lim lim lim ) Calcula: lim 5 9 5) Calcula: lim 6) Calcula: lim 6 4 7) Calcula: lim ) Calcula: lim

78 5) RESOLUCIÓ DE resolució_idetermiacios Posem us quats exemples: ) lim lim id. lim lim lim e lim lim. e e 3 ) lim 3 lim id lim lim lim 3 3 e lim 3 lim 3. 3 e e3 5 3) lim 5 lim id lim lim lim 5 5 e lim 5 5 e lim e5 5.

79 -e iπ 0 4) 5 7 lim lim 3 id 35 3 lim lim lim lim lim 3 7 e e e ) 5 4 lim 5 4 lim id lim lim lim 0.(5) lim lim lim 0 0 lim e e e

80 -e iπ 0 6) 3 lim lim lim lim lim 3 id 4 3 lim lim 3 3 lim lim lim e e e

81 -e iπ 0 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula: ) Calcula: 3) Calcula: 4) Calcula: 5) Calcula: 6) Calcula: 9 lim lim 5 lim lim lim 5 lim ) Calcula: 8) Calcula: lim lim 3-8 -

82 6) RESOLUCIÓ DE 00 resolució_idetermiacios Posem us quats exemples: ) lim 0 lim 0 id y lim l y l lim lim l lim l 0.l 0 0.( ) id l l l l y lim l lim lim id El terme l es comporta com si fos ua potècia de grau iferior si el comparem amb qualsevol poliomi. És com si tiguéssim la potècia de grau superior a baix, i coseqüetmet: l lim 0 l y 0 y e0 lim - 8 -

83 -e iπ 0 ) lim lim 0 y 3 lim id 3 3 l y l lim lim l lim l l 0.l 0 0.( ) 3 id Aplicat els ifiitèsims equivalets: l resulta: l y lim l lim lim lim Qua teim la potècia més alta a baix: 3 lim l y 0 y e Coseqüetmet: 3 lim

84 -e iπ 0 ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula: lim 3 3 ) Calcula: 3 3 lim

85 7) RESOLUCIÓ DE 0 resolució_idetermiacios Posem us quats exemples: ) lim lim 0 id y lim l y l lim lim l lim l l 0.l 0. id l l y lim El terme l es comporta com si fos ua potècia de grau iferior si el comparem amb qualsevol poliomi. És com si tiguéssim la potècia de grau superior a baix, i coseqüetmet: l l y lim 0 l y 0 y e0 lim ACTIVITATS PROPOSADES: ) Calcula: lim 3 3 ) Calcula: lim

86 PROBLEMES: successios ) Troba el terme geeral de la successió: 3 4,,,, ,, ) Troba el terme geeral de la successió:,,, 3) Troba el terme geeral de la successió:,,,,,,,,... 4) Troba el terme geeral de la successió: 3 4 5,,,,, ) Troba el terme geeral de la successió: -, 5, -0, 7, -6, 37, ,, ) Troba el terme geeral de la successió:,,, 7) Troba el terme geeral de la successió:, 3, 5, 7, 9,... 8) Troba el terme geeral de la successió:,,,, ) Troba el terme geeral de la successió:,,,,, ) Troba el terme geeral de la successió: ,,,, ) Troba el terme geeral de la successió: 0,, 4, 6, 8, 0,... ) Troba el terme geeral de la successió: 6,, 8, 7, 38, 5,... 3) Troba el terme geeral de la successió:,,,,, ) Troba el terme geeral de la successió:,,,,,... 5) Troba el terme geeral de la successió:, 4, 9, 6, 5, 36,

87 -e iπ 0 6) Troba el terme geeral de la successió:,, 4, 8, 6, 3, 64,8,... 7) Troba el terme geeral de la successió:,,,,, ) Troba el terme geeral de la successió: ,,,, ) Troba el terme geeral de la successió: 3 4,,,, ) Troba el terme geeral de la successió:,,,,, ) Escriu els quatre primers termes de la successió: a ( ) ) Troba la llei de recurrècia de la successió:, 4, 5, 9, 4, 3,... 3) Troba la llei de recurrècia de la successió:, 3,, 5, 5, 375,... 4) Costrueix ua successió que tigui com a llei de recurrècia a a amb a. 5) Calcula el terme que ocupa el lloc 00 d ua progressió aritmètica, el primer terme de la qual és 0 i la diferècia és 4. 6) Troba el primer terme d ua progressió aritmètica i la diferècia sabet que el tercer terme val 0 i el ciquè 40. 7) Els ombres, 3, 5, 7,... forme ua progressió aritmètica. Quat sume els 75 primers termes? I els primers termes? 8) Demostra que la suma dels primers termes d'ua progressió a a aritmètica de primer terme a i últim terme a és: S. 9) Qui és el terme seixatè de la progressió aritmètica 3,7,,..? 30) Quats termes de la progressió aritmètica 4,,0, sume 50?

88 -e iπ 0 3) Troba tres úmeros que formi progressió aritmètica de forma que el tercer i el primer sumi i que el producte del primer i el sego valgui 4. 3) Calcula la suma de tots els ombres parells etre 5 i 0. 33) Sabem que ua progressió aritmètica té u ombre imparell de termes; que la suma dels que ocupe u lloc parell és 30 i la suma dels que ocupe u lloc imparell és 45. Trobeu el terme cetral i el ombre de termes de la progressió. 34) Troba la suma dels ombres eters que va del 30 al ) Ua progressió aritmètica té de primer terme 5 i de vitè 9. Qui és el terme quizè? 36) Tres ombres forme progressió aritmètica. La suma és 36 i el producte val 307. Quis só aquests úmeros? 37) Iterpoleu 5 termes aritmètics etre el 5 i el 8. 38) Determieu la progressió aritmètica e la qual la suma dels primers termes és +. 39) Trobeu tres úmeros e progressió aritmètica que sumi i que el producte valgui ) E ua progressió aritmètica es sap que a 5 = 6 i a 0 = 0. Calcula a, a i la diferècia. 4) El producte dels tres termes d ua progressió aritmètica és 55, i la suma del primer i l últim és. Quis só aquests ombres? 4) U dipòsit coté aigua i sal. La quatitat iicial de sal és 8 Kg. Hi traiem u 0% del cotigut i hi afegim aigua pura. Repetim l'operació 8 vegades. Quia quatitat de sal queda al fial? 43) Quat de temps es tarda e retorar u deute de pagat 5000 el primer mes, 7000 el sego, 9000 el tercer, etc.?

89 -e iπ 0 44) E ua botiga rebaixe els articles successivamet u 0% cada setmaa. Quat costarà d aquí a cic setmaes u article pel qual hauríem de pagar aquesta setmaa? 45) La suma dels 8 termes d ua progressió aritmètica és 549 i el producte dels termes extrems és 80. Troba a i a. 46) Calcula la suma de tots els múltiples de 3 compresos etre 500 i ) Troba els dos termes cetrals d ua progressió aritmètica de 8 termes e la que l últim terme és el quàdruple del primer i la suma de tots dos és ) E ua progressió geomètrica, a = 3 / i a 6 = 3 3/. Calcula a 0 i a 3. 49) El primer terme d ua progressió geomètrica és 5 i el ciquè, 5. Troba la raó i idica si es tracta d ua successió decreixet o alterada. 50) Determia el terme cetral d ua progressió geomètrica d oze termes si P = ) Dedueix ua expressió que permeti calcular la suma + r + r r. 5) Sabet que = 047, idica el valor de utilitzat l expressió obtiguda e l exercici aterior. 53) La suma de tres ombres aturals és 35 i el seu producte, 000. Troba aquests ombres sabet que só tres termes cosecutius d ua progressió geomètrica. 54) La suma d ua progressió geomètrica il limitada decreixet és 0 i la diferècia etre el primer i el sego terme és 5/. Determia el primer terme i la raó. 55) Fa molts ays u egociat va proposar a u ramader el tracte següet: Li vec aquest cavall amb la codició que em pagui u

90 -e iπ 0 cètim d euro pel primer clau de la seva ferradura, dos cètims pel sego clau, quatre pel tercer i així successivamet, fis a arribar al clau úmero 3, que és l últim. A qui preu preteia vedre-li el cavall? 56) La successió,,, 3, 5, 8, 3,, 34,... és la successió de Fiboacci. Aquesta successió té ua regla recurret que permet, a partir d u cert valor de, determiar-e qualsevol terme si es coeixe els ateriors. Escriu cic termes més i idica la recurrècia euciada. 57) E ua progressió geomètrica: a = /3 i r = 3. Troba els termes ciquè i dotzè. 58) Troba el terme geeral i la raó de la progressió geomètrica e què a = 3 i a = 8. 59) Troba el producte de les sis primeres potècies aturals de base. 60) Calcula la suma de les deu primeres potècies aturals de base 0. 6) Calcula la suma ) Determia tres ombres e progressió geomètrica la suma dels quals sigui 4 i el seu producte 5. 63) Demostra que el terme a d'ua progressió geomètrica de raó r i de primer terme a és : a =a r - 64) Calcula la suma dels vuit primers termes de la progressió geomètrica 4,8,6,3, 65) Calcula el terme setè i la suma dels set primers termes de la progressió geomètrica següet: 9, -3,,. 66) Busca tres úmeros e progressió geomètrica que sumi 6 i que el producte sigui

91 -e iπ 0 67) Demostra que la suma dels termes d'ua progressió geomètrica és: a( r ) S r 68) A qui valor tedeix la suma? ) Trobeu la suma del termes d ua progressió geomètrica de 0 elemets, de raó,5, sabet que el primer val. 70) La suma de tres termes cosecutius d ua progressió geomètrica és 4 i el seu producte val 78. Qui valors tee aquests termes? 7) Iterpoleu 5 termes e ua progressió geomètrica de primer terme i setè terme 6. 7) Trobeu el límit de la suma dels termes d ua progressió geomètrica de primer terme 4 i de raó 3/

92 LÍMITS 73) Calcula el límit de: 74) Calcula: lim 5 7 9,,,, ) Calcula: lim ) Calcula: lim ) Calcula: lim 3 78) Calcula: lim ) Calcula: lim ) Calcula: lim 9 3 8) Calcula: lim ) Calcula: lim 3 83) Calcula: lim 84) Calcula: lim 85) Calcula: lim - 9 -

93 -e iπ 0 86) Calcula: lim ) Calcula: lim 3 88) Calcula: lim 89) Calcula: lim 90) Calcula: lim 4 9) Calcula: lim 9) Calcula: lim ) Troba el límit:,,,,,, ) Calcula: lim 3 95) Calcula: lim 96) Calcula: lim ) Calcula: lim 98) Calcula: lim

94 -e iπ ) Calcula: lim 3 00) Calcula: lim 0) Calcula: lim 3 0) Calcula: lim 03) Calcula: lim 04) Calcula: lim 05) 4 Calcula: lim 3 06) Calcula: lim ) Calcula: 3 lim 08) Calcula: lim 09) Calcula: lim 5 3 0) Calcula: 3 lim ) Calcula: lim

95 -e iπ 0 ) 3 lim 3) Calcula: 3 3 lim ) Calcula: lim 5) Calcula: lim 6) Calcula: lim ) Calcula: 8) Calcula: 3 lim 3 lim 4 9) Calcula: 3 lim 0 0) Calcula: ) Calcula: ) Calcula: 3 lim 4 3 lim lim 3) Calcula: lim ) Calcula: lim

96 -e iπ 0 3 5) Calcula: lim 3 6) Calcula: lim 4 7) Calcula: lim 3 8) Calcula: lim 9) Calcula: 4 lim