Geometría Analítica. 26th March 2008

Transcripción

1 26th March 2008 Sistema de coordenadas cartesianas Dos rectas perpendiculares, que se cortan un punto llamado origen O. Unadelasrectaseshorizontal:OX. Otraesvertical:OY. Pseubicaenelplanomidiendosudistanciaacadarecta. LadistanciadePalarectaOY sedenotax. LadistanciadePalarectaOX sedenotay. Y = R (x,y)= (3,4) O X = R

2 Sistema de coordenadas cartesianas Conjuntos de puntos: OX:ejedelasx,oejedelasabscisas. OY:ejedelasy,oejedelasordenadas. A = {todoslospuntosdecoordenadas (x,y)talesque C}, C: Condición que satisfacen dichas coordenadas. Cuadrantes del sistema de coordenadas: 1er. Cuadrante = {(x,y) :x >0,y >0} 2do. Cuadrante = {(x,y) :x <0,y >0} 3er. Cuadrante = {(x,y) :x <0,y <0} 4to. Cuadrante = {(x,y) :x >0,y <0}. Lugares Geométricos Definición(Lugar geométrico) Los conjuntos de puntos del plano que satisfacen alguna condición geométrica o algebraica, los llamaremos Lugares Geométricos.

3 Distancia entre dos puntos Teorema de Pitágoras: d(a,b) 2 =d(a,c) 2 +d(c,b) 2. y 2 Y B y 1 C A O x 2 x 1 X Distancia entre dos puntos: d(a,b) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. (1) Ecuación de la circunferencia A = (a,b)puntofijoyr unnúmerorealmayorque0. CircunferenciaconcentroenelpuntoAyradior: Conjuntodepuntos (x,y)delplanotalesquesudistanciaalpuntoavaler. C = {P = (x,y) :d(p,a) =r}. Ecuación de la circunferencia: C : (x a) 2 + (y b) 2 =r 2.

4 Observaciones 1 Si Cesunacircunferenciadeecuación (x a) 2 + (y b) 2 =r 2 entonces su ecuación puede escribirse como: C : x 2 +y 2 +Ax +By +C =0. ConA= 2a,B = 2b,C =a 2 +b 2 r 2. 2 SiM = {(x,y) :x 2 +y 2 +Ax +By +C =0},laecuacióndelconjuntoM puede escribirse: (x + A 2 )2 + (y + B 2 )2 = A2 +B 2 4C. 4 M:Circunferenciadecentro ( A 2, B 2 )yradio A 2 +B 2 4C 2,cuando A 2 +B 2 4C 0. SiA 2 +B 2 4C <0,entoncesM =. Ejemplo {(x,y)/(x a) 2 + (y b) 2 >r 2 }Representaalazonaexteriorala circunferenciadecentroen (a,b)yradior. Y r b O a X

5 Ejemplo {(x,y)/(x a) 2 + (y b) 2 r 2 }Representaalazonainteriorala circunferenciadecentroen (a,b)yradior. Y b O r a X Ecuación de la recta A = (x 1,y 1 )yb = (x 2,y 2 )puntoscualquieracona B. RectaquepasaporlospuntosAyB: x 1 =x 2 oy 1 =y 2 quecorrespondenarectasverticalyhorizontal respectivamente. x 1 x 2 ey 1 y 2 P = (x,y)pertenecealarectaquepasaporayb,síysolamentesí alguna de las siguientes condiciones se cumple: 1 P =A 2 P =B 3 PestáenelsegmentoAB 4 BestáenelsegmentoAP 5 AestáenelsegmentoPB

6 Ecuación de la recta Supongamos que estamos en el caso(3). Gráficamente tenemos: y 2 Y B y P y 1 A C D O x 1 x x 2 X P = (x,y) L (x x 1 )(y 2 y 1 ) = (y y 1 )(x 2 x 1 ). Ecuacióndelarecta,forma1 Sea Llarectadeecuación (x x 1 )(y 2 y 1 ) = (y y 1 )(x 2 x 1 ). Sia=(y 2 y 1 ),b= (x 2 x 1 ),c = (x 2 y 1 x 1 y 2 ): Ecuacióndelarectaforma1 L :ax +by +c =0.

7 Ecuacióndelarecta,forma1 Teorema Elconjuntosolucióndelaecuaciónax +by +c =0es: i)elconjuntovacíosia=0,b =0,c 0. ii)todoelplano R Rsia=b=c =0. iii)unarectaverticalsia 0yb=0. iv)unarectahorizontalsia=0yb 0. v)unarectaoblicua(inclinada)sia 0yb 0. Observación ax +by +c =0representasiempreunarecta,talque: Sia=0yb 0entonceslarecta es horizontal. Sia 0yb =0entonceslarecta es vertical. Finalmente,sia 0yb 0 entonces la recta es inclinada.

8 Ecuacióndelarecta,forma1 Proposición Sea L :ax +by +c =0unarectaconb 0. SiA=(x 1,y 1 )yb = (x 2,y 2 )sonpuntoscualesquierade L,distintosentresi, entonces y 2 y 1 x 2 x 1 esindependientedeaybyvale a b. Demostración....verpizarra... Pendiente Sea Lunarectanovertical.SiA=(x 1,y 1 )yb = (x 2,y 2 )sondospuntos diferentesde L,entoncesalrealm= y 2 y 1 x 2 x,selellamapendientedelarecta 1 L. Ecuacióndeunarecta,forma2 LrectadependientemyquepasaporA=(x 0,y 0 ). Ecuacióndelarectaforma2 L : (y y 0 ) =m(x x 0 ).

9 Ecuacióndeunarecta,forma3 LlarectaquepasaporA=(x 1,y 1 )yb = (x 2,y 2 ). Six 1 =x 2 entonceslaecuaciónde Les L :x =x 1. Six 1 x 2 entonces: Ecuacióndelarectaforma3 L : (y y 1 ) = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ). Ecuación de una recta, forma principal L :ax +by +c =0rectanovertical(b 0).Seamsupendiente. Ecuación de la recta forma principal L :y =mx +n.

10 Paralelismo y perpendicularidad Simetral DadosdospuntosP,Q R 2 distintos,llamamossimetraldepyq,allugar Geométrico que satisface d((x,y),p) =d((x,y),q). Ecuación de la Simetral verpizarra... P L Q Paralelismo Definición:(Paralelismo) DiremosquedosrectasL 1 yl 2 sonparalelas(denotadol 1 L 2 )sise cumple L 1 =L 2 obien L 1 L 2 =. Dadas las rectas no verticales setieneque L 1 : y =m 1 x +n 1, y L 2 : y =m 2 x +n 2 (x,y) L 1 L 2 y =m 1 x +n 1 =m 2 x +n 2 y =m 1 x +n 1 y (m 1 m 2 )x =n 2 n 1 Perolaecuación (m 1 m 2 )x =n 2 n 1 tienesoluciónúnicasólopara m 1 m 2 0.

11 Paralelismo Propiedad DosrectasnoverticalesL 1 yl 2 sonparalelassiysólosim L1 =m L2. Perpendicularidad Perpendicularidad SedicequedosrectasLyL sonperpendicularesuortogonales(denotado L L ),sisecumpleque: P,Q L, (P Q), L esparalelaalasimetralentrepyq. S L P Q L

12 Paralelismo y perpendicularidad Teorema SeanLyL dosrectas.entoncesl L siysólosiunadelassiguientes afirmaciones es cierta. LeshorizontalyL esvertical(oviceversa). LyL sonoblicuasym L m L = 1. Demostración....verpizarra...