LOS CAMPOS DE JACOBI DEL GRUPO DE LIE DE LAS

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1 LOS CAMPOS DE JACOBI DEL GRUPO DE LIE DE LAS TRANSFORMACIONES DE MOEBIUS DE LA CIRCUNFERENCIA Natalí R. Vansteenkiste Daniela Emmanuele F.C.E.I.A. - Universidad Nacional de Rosario Proy. ING Movimientos básicos libres de fuerza en R-espacios simétricos. Parte II XIV Congreso Dr. Antonio Monteiro Bahía Blanca, 31 de Mayo, 1 y de Junio de 017

2 LOS MOVIMIENTOS DE MOEBIUS DE LA CIRCUNFERENCIA El grupo de Lie de los movimientos de Moebius de la circunferencia M es isométrico al producto riemanniano S 1 cuando la métrica elegida en la circunferencia S 1 es la usual, y la métrica en el disco = {z C : 0 < z < 1}, en coordenadas polares, es la siguiente: Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro / 4

3 LOS MOVIMIENTOS DE MOEBIUS DE LA CIRCUNFERENCIA El grupo de Lie de los movimientos de Moebius de la circunferencia M es isométrico al producto riemanniano S 1 cuando la métrica elegida en la circunferencia S 1 es la usual, y la métrica en el disco = {z C : 0 < z < 1}, en coordenadas polares, es la siguiente: ds = (dr + r dθ ) 1 r = } 1 {{ r dr + }{{} 0 drdθ + r } 1 r dθ F }{{} E G Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro / 4

4 LOS MOVIMIENTOS DE MOEBIUS DE LA CIRCUNFERENCIA El grupo de Lie de los movimientos de Moebius de la circunferencia M es isométrico al producto riemanniano S 1 cuando la métrica elegida en la circunferencia S 1 es la usual, y la métrica en el disco = {z C : 0 < z < 1}, en coordenadas polares, es la siguiente: ds = (dr + r dθ ) 1 r = } 1 {{ r dr + }{{} 0 drdθ + r } 1 r dθ F }{{} E G Como la variedad es un producto riemanniano, el espacio tangente en un punto de la variedad se descompone como sigue: (p 1, p ) M T (p1, p )M =T p1 S 1 T p Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro / 4

5 En tanto estamos considerando la métrica producto tenemos que: u,v M (p 1, p ) = (u 1,u ),(v 1,v ) M (p 1, p ) = u 1,v 1 S1 p 1 + u,v p ; u = (u 1,u ),v = (v 1,v ) T p1 S 1 T p. Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 3 / 4

6 En tanto estamos considerando la métrica producto tenemos que: u,v M (p 1, p ) = (u 1,u ),(v 1,v ) M (p 1, p ) = u 1,v 1 S1 p 1 + u,v p ; u = (u 1,u ),v = (v 1,v ) T p1 S 1 T p. Asimismo, la conexión de Levi-Civita y la curvatura se descomponen en cada factor riemanniano como sigue: M X Y = S1 X 1 Y 1 + X Y ; X,Y X (M ) R(X,Y)Z = R S1 (X 1,Y 1 )Z 1 + R (X,Y )Z ; X,Y,Z X (M ) Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 3 / 4

7 En tanto estamos considerando la métrica producto tenemos que: u,v M (p 1, p ) = (u 1,u ),(v 1,v ) M (p 1, p ) = u 1,v 1 S1 p 1 + u,v p ; u = (u 1,u ),v = (v 1,v ) T p1 S 1 T p. Asimismo, la conexión de Levi-Civita y la curvatura se descomponen en cada factor riemanniano como sigue: M X Y = S1 X 1 Y 1 + X Y ; X,Y X (M ) R(X,Y)Z = R S1 (X 1,Y 1 )Z 1 + R (X,Y )Z ; X,Y,Z X (M ) Los campos de Jacobi J (en tanto son campos vectoriales) también se descomponen como J = (J 1,J ) donde J 1 X (S 1 ) y J X ( ). Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 3 / 4

8 En [3] se probó que las geodésicas de M son (vía la isometría F ) de la forma γ = (γ 1,γ ) donde γ 1 parametriza la circunferencia con rapidez constante y γ es una geodésica en el disco, Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 4 / 4

9 En [3] se probó que las geodésicas de M son (vía la isometría F ) de la forma γ = (γ 1,γ ) donde γ 1 parametriza la circunferencia con rapidez constante y γ es una geodésica en el disco, de tipo I, aquellas cuya trayectoria coincide con la imagen de c 1 (r) = (r,θ 0 );r (0,1) Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 4 / 4

10 En [3] se probó que las geodésicas de M son (vía la isometría F ) de la forma γ = (γ 1,γ ) donde γ 1 parametriza la circunferencia con rapidez constante y γ es una geodésica en el disco, de tipo I, aquellas cuya trayectoria coincide con la imagen de c 1 (r) = (r,θ 0 );r (0,1) o bien, de tipo II, aquellas cuya trayectoria coincide con la imagen de c (θ) = (ρ(θ),θ) donde ρ satisface la ecuación diferencial para alguna constante µ > 1. ( ρ ) = µ + ρ (1 ρ )ρ Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 4 / 4

11 CAMPOS DE JACOBI A LO LARGO DE S 1 { Sea S 1 = (t 1,t ) R : i=1 de donde resulta Hausdorff y N. } (t i ) = 1. Consideramos la topología inducida por R, Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 5 / 4

12 CAMPOS DE JACOBI A LO LARGO DE S 1 { Sea S 1 = (t 1,t ) R : i=1 de donde resulta Hausdorff y N. } (t i ) = 1. Consideramos la topología inducida por R, Definimos las cartas: ϕ 1 : U 1 ( 1,1) R (t 1,t ) t 1,ϕ : U ( 1,1) R (t 1,t ) t 1 Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 5 / 4

13 ϕ 3 : U 3 ( 1,1) R (t 1,t ) t,ϕ 4 : U 4 ( 1,1) R (t 1,t ) t Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 6 / 4

14 ϕ 3 : U 3 ( 1,1) R (t 1,t ) t,ϕ 4 : U 4 ( 1,1) R (t 1,t ) t Tomamos la estructura diferenciable dada por el atlas maximal generado por {(U j,ϕ j ) : j = 1.,4} y como estructura de variedad riemanniana la dada por la métrica inducida. Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 6 / 4

15 { } Sea x la función coordenada dada por ϕ j y la base de T p U j. x p Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 7 / 4

16 { } Sea x la función coordenada dada por ϕ j y x la base de T p U j. p ( ( ) g 11 = x, = di p ),di p p x x x p donde i : S 1 R es la inclusión canónica y p = ( t0 1 0),t Uj. ( ) di p = x t 1 t1 0 i(p) t en U 1 y U i(p) p ( ) di p x p = t 0 t 1 0 t 0 p t 1 + i(p) t en U 3 y U 4 i(p) p Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 7 / 4

17 { } Sea x la función coordenada dada por ϕ j y x la base de T p U j. p ( ( ) g 11 = x, = di p ),di p p x x x p donde i : S 1 R es la inclusión canónica y p = ( t0 1 0),t Uj. ( ) di p = x t 1 t1 0 i(p) t en U 1 y U i(p) p ( ) di p x p = t 0 t 1 0 t 0 p t 1 + i(p) t en U 3 y U 4 i(p) El coeficiente que nos da la métrica inducida es: g 11 = 1 1 x en U 1 y U g 11 = 1 x en U 3 y U 4 Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 7 / 4 p

18 El símbolo de Christoffel será: { } Γ 1 11 = 1 x g 11 g 11 = x (1 x ) para U 1 y U Γ 1 11 = 1 x para U 3 y U 4 Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 8 / 4

19 El símbolo de Christoffel será: { } Γ 1 11 = 1 x g 11 g 11 = x (1 x ) para U 1 y U Γ 1 11 = 1 x para U 3 y U 4 El coeficiente de su tensor de curvatura: R = Γ1 11 Γ1 11 Γ1 11 Γ x Γ1 11 Γ1 11 x Γ1 11 Γ1 11 = 0 Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 8 / 4

20 El símbolo de Christoffel será: { } Γ 1 11 = 1 x g 11 g 11 = x (1 x ) para U 1 y U Γ 1 11 = 1 x para U 3 y U 4 El coeficiente de su tensor de curvatura: R = Γ1 11 Γ1 11 Γ1 11 Γ x Γ1 11 Γ1 11 x Γ1 11 Γ1 11 = 0 y el de su conexión: x x = Γ1 11 x = x (1 x ) x para U 1 y U x x = Γ1 11 x = 1 x x para U 3 y U 4 Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 8 / 4

21 Si γ es una geodésica en U j S 1, y J un campo de Jacobi a lo largo de γ será γ (x),j(x) T γ(x) U j con γ (x) = a(x) x,j(x) = b(x)γ (x). γ(x) Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 9 / 4

22 Si γ es una geodésica en U j S 1, y J un campo de Jacobi a lo largo de γ será γ (x),j(x) T γ(x) U j con γ (x) = a(x) x,j(x) = b(x)γ (x). γ(x) Luego R(γ (x),j(x))γ (x) = a 3 (x)b(x)r }{{} =0 x = 0 γ(x) Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 9 / 4

23 Si γ es una geodésica en U j S 1, y J un campo de Jacobi a lo largo de γ será γ (x),j(x) T γ(x) U j con γ (x) = a(x) x,j(x) = b(x)γ (x). γ(x) Luego R(γ (x),j(x))γ (x) = a 3 (x)b(x)r }{{} =0 La ecuación de Jacobi queda entonces: x = 0 γ(x) J (x) + R ( γ (x),j(x) ) γ (x) = 0 b (x)γ (x) = 0 Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 9 / 4

24 Si γ es una geodésica en U j S 1, y J un campo de Jacobi a lo largo de γ será γ (x),j(x) T γ(x) U j con γ (x) = a(x) x,j(x) = b(x)γ (x). γ(x) Luego R(γ (x),j(x))γ (x) = a 3 (x)b(x)r }{{} =0 La ecuación de Jacobi queda entonces: x = 0 γ(x) J (x) + R ( γ (x),j(x) ) γ (x) = 0 b (x)γ (x) = 0 Tomando las condiciones iniciales J(0) = 0,J (0) = 1 resulta J(x) = xγ (x) Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 9 / 4

25 CAMPOS DE JACOBI EN Consideramos en las coordenadas dadas por la carta: ϕ : U = R (r,θ) ϕ(r,θ) = (r,θ) Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 10 / 4

26 CAMPOS DE JACOBI EN Consideramos en las coordenadas dadas por la carta: ϕ : U = R (r,θ) ϕ(r,θ) = (r,θ) Veamos cuáles son los símbolos de Christoffel en : Como ( ) ( ) E F 0 1 r (g ij ) = = F G r 0, resulta 1 r Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 10 / 4

27 CAMPOS DE JACOBI EN Consideramos en las coordenadas dadas por la carta: ϕ : U = R (r,θ) ϕ(r,θ) = (r,θ) Veamos cuáles son los símbolos de Christoffel en : Como ( ) ( ) E F 0 1 r (g ij ) = = F G r 0, resulta 1 r Γ 1 11 = r 1 r Γ 11 = Γ = Γ 1 1 = Γ 1 1 = 0 Γ 1 = Γ 1 1 = r(1 r ) Γ 1 = r 1 r Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 10 / 4

28 Sea p. Los coeficientes del tensor métrico R en la base { } C =, de T p son: p p r θ Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 11 / 4

29 Sea p. Los coeficientes del tensor métrico R en la base { } C =, de T p son: p p r θ R = R 111 = R 1 11 = R 11 = R 1 11 = R 1 = R 1 11 = R 1 = R 1 1 = R 1 = R 1 = R = 0 R 11 = R 11 = (1 r ), R1 1 = r (1 r ) (1 r ), R1 1 = r (1 r ) Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 11 / 4

30 Sea p. Los coeficientes del tensor métrico R en la base { } C =, de T p son: p p r θ R = R 111 = R 1 11 = R 11 = R 1 11 = R 1 = R 1 11 = R 1 = R 1 1 = R 1 = R 1 = R = 0 R 11 = R 11 = (1 r ), R1 1 = r (1 r ) (1 r ), R1 1 = r (1 r ) La curvatura seccional en p = (r,θ) es: K(r,θ) = 1 1 r Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 11 / 4

31 Sea p. Los coeficientes del tensor métrico R en la base { } C =, de T p son: p p r θ R = R 111 = R 1 11 = R 11 = R 1 11 = R 1 = R 1 11 = R 1 = R 1 1 = R 1 = R 1 = R = 0 R 11 = R 11 = (1 r ), R1 1 = r (1 r ) (1 r ), R1 1 = r (1 r ) La curvatura seccional en p = (r,θ) es: K(r,θ) = 1 1 r Resulta variable, negativa e independiente de θ. Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 11 / 4

32 CAMPOS DE JACOBI EN A LO LARGO DE GEODÉSICAS DE TIPO I Buscamos los campos de Jacobi no triviales (normales). Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 1 / 4

33 CAMPOS DE JACOBI EN A LO LARGO DE GEODÉSICAS DE TIPO I Buscamos los campos de Jacobi no triviales (normales). Reparametrizando la geodésica c 1 por longitud de arco c 1 : (0,1) r c 1 (r) = (r,θ 0 ) obtenemos ( ( ) ) s c 1 (s) = c 1 (r(s)) = sin,θ 0 Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 1 / 4

34 CAMPOS DE JACOBI EN A LO LARGO DE GEODÉSICAS DE TIPO I Buscamos los campos de Jacobi no triviales (normales). Reparametrizando la geodésica c 1 por longitud de arco c 1 : (0,1) r c 1 (r) = (r,θ 0 ) obtenemos ( ( ) ) s c 1 (s) = c 1 (r(s)) = sin,θ 0 Así: 0 < r < 1 = 0 < s < π Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 1 / 4

35 [ ] Sea [a,b] = 0 + ε, π ε para ciertos ε, ε > 0, y sea γ(s) = c 1 (s) [a,b]. Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 13 / 4

36 [ ] Sea [a,b] = 0 + ε, π ε para ciertos ε, ε > 0, y sea γ(s) = c 1 (s) [a,b]. Llamemos p = γ(a). Sea J (s) un campo de Jacobi normal a lo largo de γ(s) con J (a) = 1. Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 13 / 4

37 [ ] Sea [a,b] = 0 + ε, π ε para ciertos ε, ε > 0, y sea γ(s) = c 1 (s) [a,b]. Llamemos p = γ(a). Sea J (s) un campo de Jacobi normal a lo largo de γ(s) con J (a) = 1. } B(a) = {e 1 (a) = γ (a) p ;e (a) = J (a) bon de T p p. Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 13 / 4

38 [ ] Sea [a,b] = 0 + ε, π ε para ciertos ε, ε > 0, y sea γ(s) = c 1 (s) [a,b]. Llamemos p = γ(a). Sea J (s) un campo de Jacobi normal a lo largo de γ(s) con J (a) = 1. } B(a) = {e 1 (a) = γ (a) p ;e (a) = J (a) bon de T p p. Tomando el transporte paralelo a largo de γ obtenemos bon B(s) = {e 1 (s);e (s)} de T γ(s) ; s [a,b]. Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 13 / 4

39 [ ] Sea [a,b] = 0 + ε, π ε para ciertos ε, ε > 0, y sea γ(s) = c 1 (s) [a,b]. Llamemos p = γ(a). Sea J (s) un campo de Jacobi normal a lo largo de γ(s) con J (a) = 1. } B(a) = {e 1 (a) = γ (a) p ;e (a) = J (a) bon de T p p. Tomando el transporte paralelo a largo de γ obtenemos bon B(s) = {e 1 (s);e (s)} de T γ(s) ; s [a,b]. Resulta que J (s) = u(s)e (s) para alguna función u(s). Intentaremos explicitar cuál es la función u = u(s). Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 13 / 4

40 [ ] Sea [a,b] = 0 + ε, π ε para ciertos ε, ε > 0, y sea γ(s) = c 1 (s) [a,b]. Llamemos p = γ(a). Sea J (s) un campo de Jacobi normal a lo largo de γ(s) con J (a) = 1. } B(a) = {e 1 (a) = γ (a) p ;e (a) = J (a) bon de T p p. Tomando el transporte paralelo a largo de γ obtenemos bon B(s) = {e 1 (s);e (s)} de T γ(s) ; s [a,b]. Resulta que J (s) = u(s)e (s) para alguna función u(s). Intentaremos explicitar cuál es la función u = u(s). Como e es paralelo a lo largo de γ, tenemos que: J (s) = u(s)e (s), J (s) = u (s)e (s), J (s) = u (s)e (s) Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 13 / 4

41 ( ) s γ (s) = cos r = e 1 (s) (r(s),θ0 ) Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 14 / 4

42 ( ) s γ (s) = cos r = e 1 (s) (r(s),θ0 ) En la base B(s): R(γ (s),j (s))γ (s) = i=1 R(γ (s),j (s))γ (s),e i (s) e i (s) = u(s) R }{{ 111 e } 1 (s) + u(s) R 11 e (s) =0 = K(r(s),θ)u(s)e (s) Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 14 / 4

43 ( ) s γ (s) = cos r = e 1 (s) (r(s),θ0 ) En la base B(s): R(γ (s),j (s))γ (s) = i=1 R(γ (s),j (s))γ (s),e i (s) e i (s) = u(s) R }{{ 111 e } 1 (s) + u(s) R 11 e (s) =0 = K(r(s),θ)u(s)e (s) Nótese que a lo largo de γ(s) K(r(s),θ) = 1 ( ) 1 r (s) = 1 s ( ) = sec 1 sin s Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 14 / 4

44 La ecuación a resolver queda entonces J (s) + R(γ (s),j (s))γ (s) = 0 ( ( ) s u (s) sec )u(s) e = 0 u (s) sec ( s )u(s) = 0 Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 15 / 4

45 La ecuación a resolver queda entonces J (s) + R(γ (s),j (s))γ (s) = 0 ( ( ) s u (s) sec )u(s) e = 0 u (s) sec ( s )u(s) = 0 Entonces, buscamos la solución del PVI: { ( u (s) sec s )u(s) = 0 u(a) = 0;u (a) = 1 Esta ecuación es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, a coeficientes variables, cuya solución viene dada por Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 15 / 4

46 u(s) = (s a) + 1 ( 6cos )(s a) 3 + a 1 sin( a ) cos 3 ( a )(s a) 4 ) ( ) cos( a + 9sin ( a 10 cos 4 ) (s a) 5 ( + O (s a) 6 ) a Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 16 / 4

47 u(s) = (s a) + 1 ( 6cos )(s a) 3 + a 1 sin( a ) cos 3 ( a )(s a) 4 ) ( ) cos( a + 9sin ( a 10 cos 4 ) (s a) 5 ( + O (s a) 6 ) a Así encontramos que en la base B(s) resulta J (s) = (s a) + 1 ( 6cos )(s a) 3 + a 1 sin( a ) cos 3 ( a )(s a) 4 ) ( ) cos( a + 9sin ( a 10 cos 4 ) (s a) 5 ( + O (s a) 6 ) e (s) a Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 16 / 4

48 Cuando graficamos J(s) para s [a,b] Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 17 / 4

49 CAMPOS DE JACOBI EN A LO LARGO DE GEODÉSICAS DE TIPO II Al resolver la ecuación (r (θ)) = µ+r (θ) (1 r (θ))r (θ) obtenemos que r(θ) debe satisfacer la ecuación: ± ( µ+1 ) 1 r.sin( arc cos 1 r µ+1 + µ+1 ) arc cos 1 r µ+1 = θ + cte Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 18 / 4

50 CAMPOS DE JACOBI EN A LO LARGO DE GEODÉSICAS DE TIPO II Al resolver la ecuación (r (θ)) = µ+r (θ) (1 r (θ))r (θ) obtenemos que r(θ) debe satisfacer la ecuación: ± ( µ+1 ) 1 r.sin( arc cos 1 r µ+1 + µ+1 ) arc cos 1 r µ+1 = θ + cte No es posible parametrizar la curva c por longitud de arco, pues no se puede explicitar r(θ) Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 18 / 4

51 Sea c (s) = c (θ(s)) la reparametrización de la curva c por longitud de arco c : I R s c (s) = (r(θ(s)),θ(s)) y c (s) = 1 Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 19 / 4

52 Sea c (s) = c (θ(s)) la reparametrización de la curva c por longitud de arco c : I R s c (s) = (r(θ(s)),θ(s)) y c (s) = 1 Sea [a,b] I,γ(s) = c (s) I y p = γ(a). Sea J (s) un campo de Jacobi normal a lo largo de γ(s) con J (a) = 1. { } B(a) = e 1 (a) = γ (a) γ(a) ;e (a) = J (a) es una bon de T p. γ(a) Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 19 / 4

53 Sea c (s) = c (θ(s)) la reparametrización de la curva c por longitud de arco c : I R s c (s) = (r(θ(s)),θ(s)) y c (s) = 1 Sea [a,b] I,γ(s) = c (s) I y p = γ(a). Sea J (s) un campo de Jacobi normal a lo largo de γ(s) con J (a) = 1. { } B(a) = e 1 (a) = γ (a) γ(a) ;e (a) = J (a) es una bon de T p. γ(a) Tomando el transporte paralelo a largo de γ obtenemos bases ortonormales B(s) = {e 1 (s);e (s)} de T γ(s) ; s I. J (s) = u(s)e (s), J (s) = u (s)e (s), J (s) = u (s)e (s) Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 19 / 4

54 γ (s) = c (s) (r(θ(s)),θ(s)) = e 1 (s) En la base B(s) : R(γ (s),j (s))γ (s) = i=1 R(γ (s),j (s))γ (s),e i (s) e i (s) = K(s)u(s)e (s) Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 0 / 4

55 γ (s) = c (s) (r(θ(s)),θ(s)) = e 1 (s) En la base B(s) : R(γ (s),j (s))γ (s) = y la ecuación de Jacobi queda: u (s) i=1 R(γ (s),j (s))γ (s),e i (s) e i (s) = K(s)u(s)e (s) 1 1 r (θ(s)).u(s) = 0 Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 0 / 4

56 CONCLUSIÓN Hemos probado que vale la siguiente Proposición: Sea γ : [a,b] M una geodésica parametrizada por longitud de arco en una variedad riemanniana de dimensión dos M y sea J(s) un campo de Jacobi normal a lo largo de γ tal que J(a) = 0 y J (a) = 1. Tomando el transporte paralelo de e 1 (a) = γ (a) y e (a) = J (a) a lo largo de γ obtenemos bases ortonormales {e 1 (s),e (s)} del T γ(s) M para todo s [a,b]. En esta base resulta que J(s) = u(s)e (s) para alguna función u = u(s) y la ecuación de Jacobi que verifica se reduce a u (s) + K(s)u(s) = 0 con condiciones iniciales u(a) = 0 y u (a) = 1. Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 1 / 4

57 REFLEXIONES FINALES Se han podido establecer los campos de Jacobi normales en la variedad : Geodésicas de tipo I, en forma explícita Geodésicas de tipo II, encontramos la ecuación diferencial que los define Aún así podemos graficar estas geodésicas en el siguiente diagrama Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro / 4

58 Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 3 / 4

59 BIBLIOGRAFÍA Arnold, V.I.; Mathematical methods of classical Mechanics, Graduate Texts in Math. 60 Springer, Berlin, Do Carmo, Manfredo P; Riemannian Geometry. Series Mathematics: Theory and Applications. Birkhauser Boston. USA, 199. Emmanuele, D.; Salvai, M.;Force Free Moebius Motions of the Circle. Journal of Geometry and Symmetry in Physics, 7, pp Sofía, Bulgaria, 01. Kobayashi, S.; Nomizu, K.; Foundations of Differential Geometry, Volúmenes I y II. Interscience Publishers, John Wiley & Sons, Lee, John; Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Math. 18. Springer, Berlin, 003. Lee, John M. - Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer-Verlag. New York, O Neill, B.; Semi-riemannian Geometry, Academic Press Inc, New York (1983). O Neill, B.; Elementos de Geometría Diferencial, Editorial Limusa-Wiley, S.A., México (197). Spivak, Michael - A Comprehensive Introduction to Differential Geometry; Vol. I; a Edición; Publish or Perish, Inc; Berkeley (USA), Warner, F. - Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, Natalí R. Vansteenkiste (U.N.R.) XIV Congreso Dr. A. Monteiro 4 / 4