Complementariedad lineal. Aplicaciones.

Transcripción

1 L. Feng (UI), V. Linetsky(NU), J. Nocedal(NU), M. Smelyanskiy(INTEL).

2 Problemas Modelar fuerzas de contacto en simulación de fenómenos físicos: Precisión baja-moderada. Tiempo real Video juegos. INTEL. Robótica. Grasping. Finanzas. Valuar opciones americanas. Precisión alta. Tiempo real. Ingeniería química. Economía. Modelos de equilibrio. Ingeniería mecánica. Fricción. Contacto. 1 Otras aplicaciones. 2 1 M. Ferris and J-S. Pang. Engineering and Economic Applications of Complementarity Problems. SIAM Review, 39(4), pp (1997). 2 M. Ferris, D Ralph, J-S. Pang, S Scholtes. Complementarity Problems: 40 years on. Math. Programming, 101(1), 2004.

3 Problemas Modelar fuerzas de contacto en simulación de fenómenos físicos: Precisión baja-moderada. Tiempo real Video juegos. INTEL. Robótica. Grasping. Finanzas. Valuar opciones americanas. Precisión alta. Tiempo real. Ingeniería química. Economía. Modelos de equilibrio. Ingeniería mecánica. Fricción. Contacto. 1 Otras aplicaciones. 2 1 M. Ferris and J-S. Pang. Engineering and Economic Applications of Complementarity Problems. SIAM Review, 39(4), pp (1997). 2 M. Ferris, D Ralph, J-S. Pang, S Scholtes. Complementarity Problems: 40 years on. Math. Programming, 101(1), 2004.

4 Problemas Modelar fuerzas de contacto en simulación de fenómenos físicos: Precisión baja-moderada. Tiempo real Video juegos. INTEL. Robótica. Grasping. Finanzas. Valuar opciones americanas. Precisión alta. Tiempo real. Ingeniería química. Economía. Modelos de equilibrio. Ingeniería mecánica. Fricción. Contacto. 1 Otras aplicaciones. 2 1 M. Ferris and J-S. Pang. Engineering and Economic Applications of Complementarity Problems. SIAM Review, 39(4), pp (1997). 2 M. Ferris, D Ralph, J-S. Pang, S Scholtes. Complementarity Problems: 40 years on. Math. Programming, 101(1), 2004.

5 Problemas Modelar fuerzas de contacto en simulación de fenómenos físicos: Precisión baja-moderada. Tiempo real Video juegos. INTEL. Robótica. Grasping. Finanzas. Valuar opciones americanas. Precisión alta. Tiempo real. Ingeniería química. Economía. Modelos de equilibrio. Ingeniería mecánica. Fricción. Contacto. 1 Otras aplicaciones. 2 1 M. Ferris and J-S. Pang. Engineering and Economic Applications of Complementarity Problems. SIAM Review, 39(4), pp (1997). 2 M. Ferris, D Ralph, J-S. Pang, S Scholtes. Complementarity Problems: 40 years on. Math. Programming, 101(1), 2004.

6 Problemas Modelar fuerzas de contacto en simulación de fenómenos físicos: Precisión baja-moderada. Tiempo real Video juegos. INTEL. Robótica. Grasping. Finanzas. Valuar opciones americanas. Precisión alta. Tiempo real. Ingeniería química. Economía. Modelos de equilibrio. Ingeniería mecánica. Fricción. Contacto. 1 Otras aplicaciones. 2 1 M. Ferris and J-S. Pang. Engineering and Economic Applications of Complementarity Problems. SIAM Review, 39(4), pp (1997). 2 M. Ferris, D Ralph, J-S. Pang, S Scholtes. Complementarity Problems: 40 years on. Math. Programming, 101(1), 2004.

7 Problemas Modelar fuerzas de contacto en simulación de fenómenos físicos: Precisión baja-moderada. Tiempo real Video juegos. INTEL. Robótica. Grasping. Finanzas. Valuar opciones americanas. Precisión alta. Tiempo real. Ingeniería química. Economía. Modelos de equilibrio. Ingeniería mecánica. Fricción. Contacto. 1 Otras aplicaciones. 2 1 M. Ferris and J-S. Pang. Engineering and Economic Applications of Complementarity Problems. SIAM Review, 39(4), pp (1997). 2 M. Ferris, D Ralph, J-S. Pang, S Scholtes. Complementarity Problems: 40 years on. Math. Programming, 101(1), 2004.

8 Problemas Modelar fuerzas de contacto en simulación de fenómenos físicos: Precisión baja-moderada. Tiempo real Video juegos. INTEL. Robótica. Grasping. Finanzas. Valuar opciones americanas. Precisión alta. Tiempo real. Ingeniería química. Economía. Modelos de equilibrio. Ingeniería mecánica. Fricción. Contacto. 1 Otras aplicaciones. 2 1 M. Ferris and J-S. Pang. Engineering and Economic Applications of Complementarity Problems. SIAM Review, 39(4), pp (1997). 2 M. Ferris, D Ralph, J-S. Pang, S Scholtes. Complementarity Problems: 40 years on. Math. Programming, 101(1), 2004.

9 Formulación PCL Encontrar vectores x y s en R n que cumplan con las siguientes condiciones s = Mx + q, (x, s) 0, x T s = 0, en donde M es una matriz real tal que y T My 0, y 0; q es un vector en R n. Formulación (KKT) [ ] Mx + q s F (x, s) = = 0, (x, s) 0. Xs Nota: Si M es simétrica entonces el problema anterior es un problema de optimización. (Tarea).

10 Etapas principales de una simulación.

11 Fracción de tiempo de CPU para cada etapa.

12 Estructura de un PCLm. Matriz del PCLm JDJ T + E, en donde J es rectangular con renglones que corresponden a las restricciones, y columnas que corresponden a los cuerpos. D es una matriz diagonal por bloques que incorpora inercia en el modelo físico. E es diagonal con entradas positivas. (JDJ T + E)λ = e. JDJ T + E es simétrica positiva definida. λ es el vector de fuerzas de contacto.

13 Estructura de un PCLm. Matriz del PCLm JDJ T + E, en donde J es rectangular con renglones que corresponden a las restricciones, y columnas que corresponden a los cuerpos. D es una matriz diagonal por bloques que incorpora inercia en el modelo físico. E es diagonal con entradas positivas. (JDJ T + E)λ = e. JDJ T + E es simétrica positiva definida. λ es el vector de fuerzas de contacto.

14 Estructura de un PCLm. Matriz del PCLm JDJ T + E, en donde J es rectangular con renglones que corresponden a las restricciones, y columnas que corresponden a los cuerpos. D es una matriz diagonal por bloques que incorpora inercia en el modelo físico. E es diagonal con entradas positivas. (JDJ T + E)λ = e. JDJ T + E es simétrica positiva definida. λ es el vector de fuerzas de contacto.

15 Estructura de un PCLm. Matriz del PCLm JDJ T + E, en donde J es rectangular con renglones que corresponden a las restricciones, y columnas que corresponden a los cuerpos. D es una matriz diagonal por bloques que incorpora inercia en el modelo físico. E es diagonal con entradas positivas. (JDJ T + E)λ = e. JDJ T + E es simétrica positiva definida. λ es el vector de fuerzas de contacto.

16 Estructura de un PCLm. Matriz del PCLm JDJ T + E, en donde J es rectangular con renglones que corresponden a las restricciones, y columnas que corresponden a los cuerpos. D es una matriz diagonal por bloques que incorpora inercia en el modelo físico. E es diagonal con entradas positivas. (JDJ T + E)λ = e. JDJ T + E es simétrica positiva definida. λ es el vector de fuerzas de contacto.

17 Ejemplo. 907 cuerpos; restricciones nz = Jose Luis Morales. ITAM,

18 Black-Scholes-Merton model Consider an American put option with strike price K > 0 and maturity time T > 0. If the option is exercised when the underlying asset price is S, the option holder receives the payoff Ψ(S) = (K S) + = max(k S, 0). Let V (t, S) be the option value at time t [0, T ] when the asset price is S.

19 Formulation V t σ2 S 2 2 V V + (r q)s rv 0, V Ψ 0 S2 S ( V t σ2 S 2 2 V V + (r q)s rv ) (V ψ) = 0, S2 S t [0, T ), S (0, ), subject to the terminal condition (payoff at maturity): V (T, S) = Ψ(S), S (0, ), where σ is the volatility of the underlying asset, r is the risk free interest rate, and q is the dividend yield paid by the underlying asset.

20 Computational form. Let ψ(x) = Ψ(Ke x ) and u(t, x) = V (T t, Ke x ) ψ(x) (i.e., we make a state variable change x = ln(s/k), and transform the terminal value problem into an initial value problem). Then u(t, x) solves ( u t u t Au Aψ 0, u 0, Au Aψ) u = 0. with t (0, T ], x Ω, and the initial condition u(0, x) = 0, x Ω, Ω = R.

21 A is given by Af = 1 2 σ2 2 f x 2 + µ f x rf, µ = r q 1 2 σ2. To numerically solve the transformed problem, we localize the problem to a bounded computational domain Ω = [x, x] and impose a vanishing boundary condition on Ω: u(t, x) = 0, t (0, T ], x {x, x}.

22 Discretized form: FEM in space + Crank-Nicolson in time. (M + ka)u j Mu j 1 + kf 0, uj T [(M + ka)u j Mu j 1 + kf ] = 0, u j 0, u 0 = 0, 1 j N, N = T /k k is the step-size in time. Bz + b j 0, j = 1,..., N z T (Bz + b j ) = 0, z 0.

23 Discretized form: FEM in space + Crank-Nicolson in time. (M + ka)u j Mu j 1 + kf 0, uj T [(M + ka)u j Mu j 1 + kf ] = 0, u j 0, u 0 = 0, 1 j N, N = T /k k is the step-size in time. Bz + b j 0, j = 1,..., N z T (Bz + b j ) = 0, z 0.

24 Definitions h: the step-size in space A = a 0 a 1 a 1 a a1 a 1 a 0, M = h , 1 4 where a 0 = 2 3 rh + 1 h σ2, a ±1 = 1 2 µ rh 1 2h σ2, µ = r q 1 2 σ2.

25 Discretized Heston model M = spatially: two-dimensional rectangular finite elements h x, h v temporally: Crank-Nicolson scheme. M 11 M 12 0 M 21 M M12 0 M 21 M 11 M 12 = M 21 = 1 4 M 11; A = 4 1 0, M 11 = h xh v A 11 A 12 0 A 21 A A12 0 A 21 A 11