G = (V, A) T G. Σ a T c a = 50

Transcripción

1 Algoritmo greedy obre grafo Análii y Dieño de Algoritmo Algoritmo greedy obre grafo Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal Algoritmo de Prim Camino mínimo Algoritmo de Dijktra Heurítica greedy El problema del coloreo de un grafo El problema del viajante de comercio 1

2 Árbole generadore minimale Problema Dado un grafo conexo G = (V, A) no dirigido y ponderado con peo poitivo, calcular un ubgrafo conexo T G que conecte todo lo vértice del grafo G y que la uma de lo peo de la arita eleccionada ea mínima. Solución Ete ubgrafo e neceariamente un árbol: árbol generador minimal o árbol de recubrimiento mínimo (en inglé, minimum panning tree [MST]). Árbole generadore minimale G = (V, A) T G Σ a T c a = 0

3 Árbole generadore minimale Aplicacione Dieño de rede: rede telefónica, eléctrica, hidraúlica, de ordenadore, de carretera p.ej. Contrucción de rede de mínimo cote Refuerzo de línea crítica Identificación de cuello de botella Enrutamiento (evitar ciclo) Solucione aproximada para problema NP. Algoritmo de agrupamiento (análii de cluter) Árbole generadore minimale Algoritmo greedy para reolver el problema: Algoritmo de Krukal: Comenzando con T=, coniderar la arita en orden creciente de cote y añadir la arita a T alvo que hacerlo uponga la creación de un ciclo. Algoritmo de borrado invero: Comenzando con T=A, coniderar la arita en orden decreciente de cote y eliminar la arita de T alvo que eo deconectae T. Algoritmo de Prim: Comenzando con un nodo raíz arbitrario, hacer crecer el árbol T dede hacia afuera. En cada pao, e añade al árbol T el nodo que tenga una arita de menor cote que lo conecte a otro nodo de T.

4 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal Elemento del algoritmo de Krukal Conjunto de candidato: Arita del grafo. Función de elección: La arita de menor cote. Función de factibilidad: El conjunto de arita no contiene ningún ciclo. Criterio que define lo que e una olución: El conjunto de arita eleccionado conecta todo lo vértice (árbol con n-1 arita). Función objetivo: Suma de lo cote de la arita. Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal función Krukal( Grafo G(V,A) ) { et<arita> C(A); et<arita> S; Ordenar(C); // Solución inicial vacía while (!C.empty C.empty() && S.ize()!= ()!=V.ize V.ize() ()-1) { x = C.firt(); // Arita de menor cote C.erae(x); if (!HayCiclo HayCiclo(S,x)) // Solución factible? S.inert(x); if (S.ize()==V.ize()-1) return S; ele return No hay olución ;

5 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal v a a u Añadir la arita crearía un ciclo. La arita forma parte del árbol generador minimal. Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal 1 1

6 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal 1 1 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal 1 1

7 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal 1 1 1

8 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal 1 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal Optimalidad del algoritmo de Krukal Teorema: El algoritmo de Krukal halla un árbol generador minimal. Demotración: Por inducción obre el número de arita que e han incluido en el árbol generador minimal. 1

9 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal Optimalidad del algoritmo de Krukal Demotración Cao bae: Sea k 1 la arita de menor peo en A. Entonce, exite un AGM tal que k 1 T. Suponemo que e cierto para n-1: La (n-1)-éima arita incluida por el algoritmo de Krukal pertenece al AGM. Demotramo que e cierto para n: La n-éima arita incluida por el algoritmo de Krukal pertenece al AGM. 1 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal Optimalidad del algoritmo de Krukal Demotración Cao bae Por reducción al aburdo: Sea k 1 la arita de menor peo en A. Supongamo un AGM T que no incluye a k 1. Conideremo T' k 1 con peo(t' k 1 ) = peo(t') + peo(k 1 ). En T' k 1 aparece un ciclo ( por qué?), pero i eliminamo cualquier arita del ciclo (x), ditinta de k 1, obtenemo un árbol T*=T'+k 1 -x con peo(t*) = peo(t') + peo(k 1 ) peo(x). Por tanto, como peo(k 1 ) < peo(x), deducimo que peo(t*) < peo(t'). Contradicción. 1

10 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal Optimalidad del algoritmo de Krukal Demotración Inducción Por reducción al aburdo: Supongamo un AGM T' que incluye a {k 1,..., k n-1 pero no incluye a k n. Conideremo T' k n con peo(t' k n ) = peo(t') + peo(k n ). Aparece un ciclo, que incluirá al meno una arita x que NO pertenece al conjunto de arita eleccionada {k 1,..., k n-1 Eliminando dicha arita del ciclo, obtenemo un árbol T*=T'+k n -x con peo(t*) = peo(t') + peo(k n ) peo(x). Pero peo(k n ) < peo(x), por lo que peo(t*) < peo(t'). Contradicción. 1 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal función Krukal( Grafo G(V,A) ) // Eficiencia { et<arita> C(A); et<arita> S; Ordenar(C); // O(A log A) while (!C.empty C.empty() && S.ize()!= ()!=V.ize V.ize() ()-1) { // O(1) x = C.firt(); // O(1) C.erae(x); if (!HayCiclo HayCiclo(S,x)) S.inert(x); if (S.ize()==V.ize()-1) return S; ele return No_hay_olucion ; // O(1) // O(V) // O(V) )) // O(V) O(AV) 1

11 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal Implementación eficiente del algoritmo de Krukal (como combinación de componente conexa) Se comienza con un conjunto de n componente conexa de tamaño 1 (cada nodo en una componente conexa). La función de factibilidad me aceptará la arita de menor coto que una do componente conexa (para garantizar que no hay ciclo). En cada iteración quedará una componente conexa meno, por lo que, finalmente, el algoritmo terminará con una única componente conexa: el árbol generador minimal. 0 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal 1 1 1

14 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal función Krukal( Grafo G(V,A) ) { S = ; Ordenar(A); // Orden creciente de peo // O(A log A) for (i=0; i<v.ize() ()-1; i++) MakeSet(V[i]); // O(1) while (!A.empty A.empty() && S.ize()!= ()!=V.ize()-1) { (u,v) = A.firt(); // O(1) if (FindSet(u)!= FindSet(v)) // O(1) S = S {(u,v u,v); // O(1) Union(u,v); // O(V)??? if (S.ize()==V.ize()-1) return S; ele return No hay olución ; Cuello de botella del algoritmo Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal Repreentación de conjunto dijunto Etructura de dato union-find find : Lita enlazada de elemento con puntero hacia el conjunto al que pertenecen MakeSet(): Creación del conjunto, O(1). FindSet(): Encontrar el conjunto al que pertenece, O(1). Union(A,B): Copia elemento de A a B haciendo que lo elemento de A también apunten a B...

15 Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal Repreentación de conjunto dijunto Etructura de dato union-find find : Union(A,B) Cuánto tardan en realizare la n unione? Análii del peor cao: O(n ) Union(S 1, S ) copia 1 elemento. Union(S, S ) copia elemento. Union(S n-1, S n ) copia n-1 elemento. Mejora: Copiar iempre el menor en el mayor. Peor cao: Un elemento e copia como máximo log(n) vece, luego n unione e hacen en O(n log n). El análii amortizado de la operación no dice que una unión e de orden O(log n). Árbole generadore minimale Algoritmo de Krukal función Krukal( Grafo G(V,A) ) { S = ; Ordenar(A); // Orden creciente de peo // O(A log A) for (i=0; i<v.ize() ()-1; i++) MakeSet(V[i]); // O(1) while (!A.empty A.empty() && S.ize()!= ()!=V.ize()-1) { (u,v) = A.firt(); // O(1) if (FindSet(u)!= FindSet(v)) // O(1) S = S {(u,v u,v); // O(1) Union(u,v); // O(log V) if (S.ize()==V.ize()-1) return S; ele return No hay olución ; O(A log V)

16 Árbole generadore minimale Algoritmo de Prim Elemento del algoritmo de Prim Conjunto de candidato: Vértice del grafo. Función de elección: El vértice u aún no eleccionado que e conecte mediante la arita de menor peo a un vértice v del conjunto de vértice eleccionado. Función de factibilidad: El conjunto de arita no contiene ningún ciclo. Criterio que define lo que e una olución: n-1 arita. El conjunto de arita (u,v) conecta todo lo vértice. Función objetivo: Suma de lo cote de la arita. 0 Árbole generadore minimale Algoritmo de Prim S En cada iteración, añadimo la arita de menor cote que añade un nuevo nodo a nuetro árbol S 1

17 Árbole generadore minimale Algoritmo de Prim 1 1 Árbole generadore minimale Algoritmo de Prim 1 1

18 Árbole generadore minimale Algoritmo de Prim 1 1 Árbole generadore minimale Algoritmo de Prim 1 1

19 Árbole generadore minimale Algoritmo de Prim 1 Árbole generadore minimale Algoritmo de Prim Optimalidad del algoritmo de Prim Teorema: Sean T un AGM de G=(V,A), S T un ubárbol de T y (u,v) la arita de menor peo conectando lo vértice de S con lo de V-A. Entonce, (u,v) T. Demotración: El teorema anterior e puede demotrar fácilmente i tenemo en cuenta que un AGM tiene ubetructura optimale

20 Árbole generadore minimale Algoritmo de Prim Optimalidad del algoritmo de Prim Teorema: Sea T un AGM y (u,v) una arita de T. Si T 1 y T on lo do árbole que e obtienen al eliminar la arita (u,v) de T, entonce T 1 e un AGM de G 1 =(V 1,A 1 ), y T e un AGM de G = (V,A ) Demotración: Por reducción al aburdo: Si tenemo en cuenta que peo(t) = peo(u,v) + peo(t 1 ) + peo(t ), no puede haber árbole generadore minimale mejore que T 1 o T, pue i lo hubiee T no ería óptimo. Árbole generadore minimale Algoritmo de Prim Implementación del algoritmo de Prim Clave: Seleccionar eficientemente la arita que e añadirá al árbol generador minimal. Solución: Utilizar una cola con prioridad en la que tengamo lo vértice aociado al menor cote de una arita que conecte cada vértice con un vértice que ya forme parte del AGM (infinito i no exitiee dicha arita).

21 Árbole generadore minimale Algoritmo de Prim función Prim( Grafo G(V,A) ) { PriorityQueue Q; // Cola con prioridad foreach (v V) { cote[v] = ; ; padre[v] = NULL; Q.add(v, cote[v]); cote[r] = 0; S = ; while (!Q.empty Q.empty()) { u = Q.pop(); // Elección de una raíz r // Nodo ya explorado // Menor elemento de Q S = S {u; foreach ((u,v u,v) A incidente en u) if ((v S) && (cote(u,v) < cote[v])) { cote[v] = cote(u,v); // Actualizar prioridad padre[v] = u; // Vecino má cercano de u Reultado: El AGM etá almacenado en el vector de padre 0 Árbole generadore minimale Algoritmo de Prim función Prim( Grafo G(V,A) ) { PriorityQueue Q; foreach (v V) { // O(V log V) cote[v] = ; ; padre[v] = NULL; Q.add(v, cote[v]); cote[r] = 0; // O(log V) S = ; while (!Q.empty Q.empty()) { // V iteracione u = Q.pop(); // O(log V) S = S {u; foreach ((u,v u,v) A incidente en u) if ((v S) && (cote(u,v) < cote[v])) { cote[v] = cote(u,v); // O(log V) padre[v] = u; // O(1) Reultado: El AGM etá almacenado en el vector de padre Para cada arita del grafo O(A log V) 1

22 Árbole generadore minimale Algoritmo de Prim Eficiencia del algoritmo de Prim O(A log V + V log V) = O(A log V) ya que, en un grafo conexo, V-1 A V(V-1) Camino mínimo De la ETSIIT a la Facultad de Ciencia. km

23 Camino mínimo Problema Dado un grafo G ponderado con peo poitivo, calcular el camino de menor peo exitente entre un vértice y otro vértice t Camino má corto ----t Cote = t Camino mínimo Algoritmo de Dijktra (1) Dado un grafo G=(V,A) y un vértice, encontrar el camino de coto mínimo para llegar dede al reto de lo vértice en el grafo. IDEA: Mantener el conjunto de nodo ya explorado para lo cuale ya hemo determinado el camino má corto dede

24 Camino mínimo Algoritmo de Dijktra (1) Conjunto de candidato: Vértice del grafo. Solución parcial S: Vértice a lo cuale ya abemo llegar uando el camino má corto (inicialmente ) Función de elección: Vértice v del conjunto de candidato (V\S) que eté má cerca del vértice. Camino mínimo Propiedade de lo camino mínimo Si d(,v) e la longitud del camino mínimo para ir dede el vértice hata el vértice v, entonce e atiface que d(,v) d(,u) + d(u,v u,v) d,x d,u u d u,w d w,v v x d x,w w

25 Camino mínimo Algoritmo de Dijktra (1) Función de elección: Vértice v del conjunto de candidato (V\S) que eté má cerca del vértice. Eto e, elegir el vértice v que minimice π ( v) = min ( u, v) : u S d( u) + d( u, v) S d(u) u d(u,v) v Camino mínimo S d(u) u d(u,v) v S d(u) u d(u,v) v

26 Camino mínimo Algoritmo de Dijktra función Dijktra ( Grafo G(V,A), vértice ) { Set S = ; // Vértice ya eleccionado PriorityQueue Q; // Cola con prioridad foreach ( v V ) { d[v] = ; pred[v] = null; Q.add(v,d[v]); d[]=0; while (!Q.empty Q.empty()) { v = Q.pop (); S.add(v); // Selección del vértice foreach ( (v,w) A incidente en v ) if ( d[w] > d[v] + cote(v,w) ) { d[w] = d[v] + cote(v,w); pred[w] = v; Reultado: Camino mínimo almacenado en el vector pred[] 0 Camino mínimo Algoritmo de Dijktra función Dijktra ( Grafo G(V,A), vértice ) { Set S = ; PriorityQueue Q; foreach ( v V ) { d[v] = ; pred[v] = null; Q.add(v,d[v]); // O(log V) d[]=0; // O(1) while (!Q.empty Q.empty()) { v = Q.pop (); // O(log V) S.add(v); // O(1) foreach ( (v,w) A incidente en v ) if ( d[w] > d[v] + cote(v,w) ) { // O(1) d[w] = d[v] + cote(v,w); // O(log V) pred[w] = v; // O(1) Reultado: Camino mínimo almacenado en el vector pred[] 1

27 Camino mínimo Algoritmo de Dijktra función Dijktra ( Grafo G(V,A), vértice ) { Set S = ; PriorityQueue Q; foreach ( v V ) { // O(V log V) d[v] = ; pred[v] = null; Q.add(v,d[v]); d[]=0; while (!Q.empty Q.empty()) { v = Q.pop (); S.add(v); Para cada arita del grafo O(A log V) foreach ( (v,w) A incidente en v ) if ( d[w] > d[v] + cote(v,w) ) { d[w] = d[v] + cote(v,w); pred[w] = v; Reultado: Camino mínimo almacenado en el vector pred[] Camino mínimo S = Q = {,,,,,,, t ditancia al nodo t

28 Camino mínimo S = { Q = {,,,,,,, t t Camino mínimo S = { Q = {,,,,,, t t

29 Camino mínimo S = { Q = {,,,,,, t t Camino mínimo S = {, Q = {,,,,, t t

30 Camino mínimo S = {, Q = {,,,,, t t Camino mínimo S = {,, Q = {,,,, t t

31 Camino mínimo S = {,, Q = {,,,, t t 0 Camino mínimo S = {,,, Q = {,,, t t 1

32 Camino mínimo S = {,,, Q = {,,, t t Camino mínimo S = {,,,, Q = {,, t t 1

33 Camino mínimo S = {,,,, Q = {,, t t 1 Camino mínimo S = {,,,,, Q = {, t t 0

34 Camino mínimo S = {,,,,, Q = {, t t 0 Camino mínimo S = {,,,,,, Q = { t t 0

35 Camino mínimo S = {,,,,,, Q = { t t 0 Camino mínimo S = {,,,,,,, t Q = { t 0

36 Camino mínimo t 0 0 Camino mínimo Optimalidad del algoritmo de Dijktra Invariante: Para cada v S, d(v) e la longitud del camino mínimo para ir dede el vértice hata el vértice v. P' x P y S u v 1

37 Camino mínimo Optimalidad del algoritmo de Dijktra Demotración Por inducción obre el tamaño de S Cao bae: S = 0. Trivial. P' x P y S u v Camino mínimo Optimalidad del algoritmo de Dijktra Demotración Por inducción obre el tamaño de S Inducción: Supongamo que e cierto para S = k 0. Sea v el iguiente nodo que e añade a S y (u,v) la arita elegida para conectar S con v. El camino má corto de a u má (u,v) e un camino de a v de longitud d(v). Cualquier otro camino P de a v erá de longitud l(p) d(v) : Sea (x,y) la primera arita de P que abandona S y P el ubcamino de a x. La longitud de P e mayor que d(v) en cuanto abandona S.

38 Camino mínimo Optimalidad del algoritmo de Dijktra Demotración l (P) l(p') + l (x,y) d(x) + l (x, y) d(y) d(v) Peo no Hipótei Por El algoritmo de negativo inductiva definición Dijktra elige v ante que y P P' x y S u v Camino mínimo Implementación del algoritmo de Dijktra La implementación eficiente del algoritmo de Dijktra e baa en el uo de una etructura de dato adecuada: Una cola con prioridad. Operación Algoritmo Dijktra Array Heap binario Heap n-ario Heap Fibonacci add min update V V A V V 1 log V log V log V n log n V n log n V log n V 1 log V 1 iempty V Total V A log V A log A/D V A+V log V Análii amortizado

39 Heurítica greedy El problema del coloreo de un grafo Bélgica Holanda Francia Andorra Portugal Epaña Suiza Italia Alemania Autria Heurítica greedy El problema del coloreo de un grafo Problema: Dado un grafo G=(V,A), e pretende colorear cada vértice de tal forma que do vértice adyacente no tengan el mimo color. Objetivo: Minimizar el número de colore utilizado. Problema NP No exite ningún algoritmo eficiente que no aegure haber utilizado un número mínimo de colore.

40 Heurítica greedy El problema del coloreo de un grafo Teorema de Appel-Hanke (1): Un grafo plano requiere a lo umo colore para colorear u nodo de forma que no haya vértice adyacente del mimo color. Si el grafo no e plano, puede requerir tanto colore como vértice haya. Heurítica greedy El problema del coloreo de un grafo Algoritmo greedy heurítico: O(V) función Coloreo ( Grafo G(V,A) ) { i = 1; while (grafo no coloreado) { Elegir un color c i Colorear todo lo vértice que e pueda con c i a partir de un vértice arbitrario (eto e, todo lo vértice que no ean adyacente a un vértice ya coloreado con c i ) i = i + 1;

41 Heurítica greedy El problema del coloreo de un grafo Algoritmo greedy heurítico: El orden en que e ecojan lo nodo e deciivo... Solución óptima 1 Solución ubóptima 1 0 Heurítica greedy El problema del coloreo de un grafo Aplicación: Dieño de lo emáforo de un cruce En un cruce de calle eñalamo lo entido de circulación. Para minimizar el tiempo de epera, contruimo un grafo cuyo vértice repreentan turno de circulación y cuya arita unen lo turno que no pueden realizare imultáneamente in que haya coliione. El problema del cruce con emáforo e convierte en un problema de coloreo de lo vértice de un grafo. 1

42 Heurítica greedy El problema del viajante de comercio Problema: Dado un grafo G=(V,A), encontrar un camino que empiece en un vértice v y acabe en ee mimo vértice paando una única vez por todo lo vértice de V (e decir, un circuito hamiltoniano). Objetivo: Obtener el circuito hamiltoniano de cote mínimo. Problema NP No exite ningún algoritmo eficiente para reolver el problema del viajante de comercio. Heurítica greedy El problema del viajante de comercio Heurítica greedy 1: Nodo como candidato Ecoger, en cada momento, el vértice má cercano al último nodo añadido al circuito (iempre que no e haya eleccionado previamente y que no cierre el camino ante de paar por todo lo vértice). Heurítica greedy : Arita como candidata Como en el algoritmo de Krukal, pero garantizando que al final e forme un circuito. Eficiencia: La del algoritmo de ordenación que e ue.

43 Heurítica greedy El problema del viajante de comercio Primera heurítica: Nodo como candidato Empezando en el nodo 1 Empezando en el nodo Circuito (1,,,,) Circuito (,,,,1) Solución = 1 Solución = Heurítica greedy El problema del viajante de comercio Segunda heurítica: Arita como candidata Circuito: (,), (,), (,), (1,), (1,) Solución = =