= ; para hallar este, se va hallar el determinante de la matriz e igualar a cero. Solución: restamos a la matriz, una matriz escalar cuyo escalar es

Transcripción

1 VALORES Y VECTORES PROPIOS. Esto es parte de un ejercicio aun más detallado al cual debemos hallarle sus valores y sus vectores propios. También recibe el nombre de valores y vectores característicos o eigen valores y eigen vectores. Se trata que, si tenemos un sistema de ecuaciones homogéneo en el cual de todas maneras hay solución, la idea es que como existe la probabilidad de que una solución sea única, tratemos que no ocurra esta posibilidad y esto es posible si restamos a la matriz de coeficientes una matriz escalar, cuyo escalar ; sea el valor que haga posible lo deseado. = ; para hallar este, se va hallar el determinante de la matriz e igualar a cero. Ejemplo: Dado el sistema [ ] [ ] [ ], hallar los valores y vectores propios. Solución: restamos a la matriz, una matriz escalar cuyo escalar es [ ] [ ] = [ ] *******(1) Hallando su determinante: Si sumamos las tres columnas y esta suma la ponemos en la primera columna: [ ], escalonamos [ ] El determinante por cofactores es: ( ) {(2 )(-1- )+2} = ( ){ 2 - } Este resultado se llama polinomio característico, al igualar a cero, se llama ecuación característica: ( ){ 2 - }= 0 Al resolver la ecuación: (5- )( )( = 0 ; entonces: = 5; = 0; = 1 Estos 3 valores se llaman valores característicos VECTORES CARACTERÍSTICOS: Ahora reemplazamos el valor de cada en la ecuación homogénea y cuando resolvamos el sistema siempre tendrá solución infinita, la solución para cada, se llama vector característico. Para = 5

2 [ ] [ ] [ ] ( ) Escalonando ( ) Cuya solución es infinita: canonizando: ( ) De donde { parámetro z= m y= m; x= m (x,y,z) = m (1,1,1) luego la solución es {(1,1,1)} es el primer vector propio Hacemos lo mismo para cada valor propio que se halló anteriormente Para = 1 [ ] [ ] [ ] ( ) escalonando ( ) Cuya solución es infinita: canonizando: ( ) De donde { parámetro z= m y=-3m; x=5 m (x,y,z) = m(5,-3,1) luego la solución es {(5,-3,1)} es el segundo vector propio Para = 0 [ ] [ ] [ ] ( ) Escalonando ( ) Cuya solución es infinita: canonizando: ( ) De donde { parámetro z= m y= m; x= - 4 m (x,y,z) = m(-4,1,1) luego la solución es {(-4,1,1)} es el tercer vector propio. Estos vectores propios forman una matriz muy importante llamada P=[ ] Cada vector propio es una columna de la matriz P. Matriz Inversa Método de Cayley-Hamilton.

3 Aprovechemos la teoría de los valores y vectores propios para obtener una nueva manera de obtener la inversa de una matriz. Cuando queremos hallar los valores propios restamos a cada elemento de la diagonal principal y luego hallamos el determinante, al generarse el polinomio característico, ocurre que la propia matriz es una solución del polinomio, y esta forma se aprovecha para obtener otra forma de inversa de una matriz. Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz A = [ ] Solución: 1.- Restamos, a cada elemento de la diagonal principal [ ] 2.- Encuentre su determinante por el método que quiera, por ejemplo utilice el método de cofactores: (3- ){(3- ) 2-10} - 2{(3- )-8} + 4{5-4(3- )} 3.- Desarróllelo y expréselo como un polinomio: (3- ){ } - 2{3- -8} + 4{ )} = Reemplace por la matriz A, = 0 Note que es una ecuación matricial, por eso al escalar 21 le acompaña la matriz identidad. 5.- Despejando A multiplicando a cada miembro Resulta: 6.- [ ] [ ] [ ] - [ ]+ 9[ ] [ ]= [ ] Luego A -1 = [ ]

4 SEMEJANZA DE MATRICES. Se sabe cuando dos matrices son iguales, es decir tienen los mismos elementos en cada posición, pero para decir que son equivalentes; una de ellas debe provenir de la otra por medio de operaciones elementales. Ejemplo si tenemos la matriz A = [ ] y le hacemos cualquier operación elemental por ejemplo ; se obtiene. [ ] Esta ya no es la matriz A, es otra matriz por decir B, pero como se obtuvo de la matriz A, por medio de una operación elemental se llama Matriz Elemental. Si le volvemos aplicar otra operación elemental, por ejemplo, multiplicamos por (-2) a la fila 3 se obtiene: [ ], que ahora es otra matriz, diferente a la primera A y diferente a la segunda B, llamémosla matriz C. Como a esta matriz se le aplicó más de una operación elemental, podemos decir que es equivalente a la matriz A.( A C), pero con respecto a B no es equivalente si no matriz elemental, porque respecto a esta matriz solo se le aplicó una operación elemental. Luego, llamamos Matrices Equivalentes a dos matrices en la cual una de ellas se ha obtenido de la otra por medio de más de una operación elemental. Dos matrices equivalentes tienen la característica de tener el mismo rango y además tener el mismo determinante, por eso que; un método para hallar el determinante es usar operaciones elementales y convertirla en una diagonal superior o inferior y multiplicar los elementos de su diagonal para hallar el determinante. Igualmente para obtener el rango de una matriz se aplican operaciones elementales escalonando la matriz y al final se cuenta el número de filas no nulas al que llamamos rango de la matriz. A veces se da una matriz que es muy complicada de trabajar y es preferible trabajar con otra que sea más sencilla y que tenga todas sus propiedades de la primera, pero esta no es una equivalente, porque no tiene muchas propiedades.

5 Este tipo de matriz se llama Matriz Semejante, no es tan sencilla de obtener, por que debe encontrarse una matriz P que tenga su determinante diferente de cero, que haga posible que exista su inversa y aplicar: B = P -1 A P Si encuentra esta matriz entonces al operar con la matriz A, el resultado es otra matriz, a la cual llamamos B y se puede decir que la matriz A es una matriz semejante a B. Características de 2 Matrices Semejantes: 1.- Son cuadradas y con el mismo orden. 2.-Tienen la misma traza, la suma de los elementos de la diagonal son las mismas 3.- Tienen el mismo determinante. 4.- Tienen el mismo Polinomio característico. 5.- Tienen los mismos valores propios. 6.- Ambas son diagonalizables. Propiedades de Semejanza: Dadas las matrices, A, B y C, se cumple: 1.- A es semejante a sí mismo. A A 2.- Si A es semejante a B, entonces B es semejante a A. A B B A 3.- Si A es semejante a B y B es semejante a C, entonces A es semejante a C A B y B C A C La tercera propiedad es muy importante para demostrar cuando dos matrices son semejantes. DIAGONALIZACIÒN DE UNA MATRIZ: Queremos, encontrar una matriz que al multiplicarla con otra la diagonalice es decir; convertir una matriz en una matriz diagonal, para esto se aplica: P -1 A P = B P es la matriz que está conformada por los vectores propios de A, la cual al aplicar la formula se forma una matriz diagonal B que tiene la particularidad que en su Diagonal principal aparecen los valores propios de la matriz A.

6 Ejemplo: Diagonalizar la matriz A = [ ] 1.- Hallando los valores propios: [ ], sumando todas las columnas[ ] Escalonando [ ] luego el determinante es: (5- ) {(- )(-3- )-(-1)(2)} = (5- ) { } = (5- ) ( +2)( +1) = 0 Los valores propios son : -1, -2 y Hallando los vectores propios: se Debe reemplazar el valor de cada en el siguiente sistema y encontrar su solución para cada uno [ ] [ ] [ ] Cuando = - 1 el sistema queda: [ ] [ ] [ ] [ ] escalonando [ ] [ ] canonizando [ ] { z = m; y = m ; x = -3m (x,y,z) = m(-3,1,1) Cuando = - 2 el sistema queda: [ ] [ ] [ ] [ ] escalonando [ ] canonizando [ ] { z = m; y = 2/9 m ; x = -5/9m (x,y,z) = m(-5/9,2/9,1) Nota: use de preferencia valores enteros, si m=9 (-5,2,9) Cuando = 5 el sistema queda: [ ] [ ] [ ]

7 [ ] escalonando [ ] canonizando [ ] { z = m; y = m ; x = m (x,y,z) = m(1,1,1) 3.- Formando la matriz P =[ ] Que aplicando la formula P -1. A. P = [ ] matriz diagonalizada. Nota: observe que, los elementos de la diagonal principal son los valores propios de A. Ahora tome en cuenta que por la teoría anterior de semejanza podemos decir también que esta matriz ya diagonalizada es semejante a la matriz A. Luego podemos combinar este concepto con la tercera propiedad de semejanza y aplicarla para determinar cuando dos matrices son semejantes. Por ejemplo si nos dan dos matrices A y B y queremos saber si son semejantes, no es tan fácil determinarlo, pero podemos aplicar la tercera propiedad, haciendo que tanto A como B sean semejantes a una tercera matriz, de tal manera que ambos sean semejantes. Esta tercera matriz es generada por la diagonalización de cada matriz, me explico: Dado la matriz A = [ ] y la matriz B =[ ] como podemos saber si son Semejantes. 1.- Analizamos por sus características, si ya lo son deben tener la misma traza. Traza de A = 4 ; Traza de B = 4, esto no nos asegura que sean semejantes. 2.- Analizamos el determinante, si ya son semejantes deben tener igual determinante. Det A = 1, Det B = 1, tampoco nos ayuda porque no podemos decir que son semejantes. 3.- si no hubiera salido la misma traza ó el mismo determinante aseguraríamos que no son semejantes. Ahora debemos recurrir a la diagonalización hallando los valores propios de ambos. a.- [ ] (2- ){(1- ) 2 +1} 3{ 3(1- )-2} su polinomio es;

8 b.- [ ] (1- ){(2- )(1- ) 3}-1{2-2(2- )} su polinomio es; si son semejantes deben tener el mismo polinomio, al no ser iguales podemos decir que NO SON SEMEJANTES. Nota: de haber tenido el mismo polinomio debe hallarse los valores propios que aún siendo los mismos no asegura que sean semejantes, era necesario diagonalizarlo Caso particular: cuando llegamos al extremo de tener el mismo polinomio 1.- Cuando los valores propios son todos diferentes, esto asegura que sea Diagonalizable. 2.- Si existe valores propios iguales, ocurre lo que llamamos multiplicidad y es necesario encontrar los vectores propios, porque pueda ser que la matriz sea diagonalizable o no, en caso que una matriz cualquiera no sea diagonalizable, entonces podemos concluir que NO SON SEMEJANTES. Por el contrario si ambas son diagonalizables si serían semejantes. Ejercicios: Son Diagonalizables? a.- [ ] b.- [ ] c.- [ ] d.- [ ]