Material docente del curso de Mecánica de Medios Continuos. Facultad de Ingeniería_Medellín. Profesor: Francisco Javier Vélez Hoyos CÁLCULO TENSORIAL

Transcripción

1 Materal docete del curso de Mecáca de Medos Cotuos. Facultad de Igeería_Medellí Profesor: Fracsco Javer Vélez Hoyos CÁLCULO TENSORIAL Vectores Suma y resta (regla del paralelogramo) S Regla del paralelogramo a D Regla del tragulo b s a b D a b Producto por escalar a a Producto escalar a. b a b cos s a b a. a a a. a a. a Vector utaro (versor) a aˆ aˆ a Proyeccó escalar

2 ˆ b bb a. b b a. b proy a a cos b a cos a cos b b b b b b. b comp a proy a a cos b b ab. b Vectores ortogoales (perpedculares) ab. 0 Producto vectoral c ab b a (atcomutatvos) A c a b se (área del paralelogramo) ˆ ˆ s a b : a b 0 ˆj j kˆ k kˆ ˆj ˆ Trple producto escalar a. b c c a. b : v Volume del paralelepípedo Trple producto vectoral.. w a b c a c b a b c Vectores e el sstema de coordeadas cartesaas a a ˆ a ˆj a kˆ y z a b a a j a kˆ b b j b kˆ a b a b j a b kˆ Suma: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z y z y y z z

3 Producto escalar:. ˆ ˆ ˆ. ˆ ˆ ˆ a b a a j a k b b j b k a b a b a b y z y z y y z z a a a a y z Coseos y águlos drectores v. ˆ v cos v.ˆ cos v ˆ. ˆ v Producto vectoral ˆ ˆj kˆ ay az a y ˆ a a a z a b a ˆ ˆ ay az j k by bz b b bz by b b b y z ˆ ˆ y z z y z z y y a b a b a b a b j a b a b kˆ Trple producto escalar a ay a z a.b c b by bz c cy c z T) Dados los putos A(,3,), B(,-,), C(0,,3) y D(,,4) Hallar - Area del paralelogramo defdo por AB y AC - Volume del paralelogramo defdo por AB, AC y AD 3- Vector proyeccó de AB sobre BC Coveo de suma de Este Vector: a a ˆ a ˆj a kˆ a a eˆ a eˆ a eˆ y z a a eˆ : a a eˆ,,3 Notacó Idcal -Los ejes del sstema de coordeadas se represeta como

4 -Los compoetes de u vector a a a a (,,3) j a 3 ˆ a ˆ a a -Vector utaro: a (,,,3) j a aa j j a k aa k -Producto escalar Subídces lbres: Aparece ua vez e la epresó Ej: El úmero de subídces lbres dca el orde del tesor Subídces Mudos: Aparece dos veces dcado suma (o puede aparecer más de dos veces) Producto escalar: a b ab ab a3b3 a b (,,3) Ej) Smplfcar la epresó (cotraer co ayuda de la otacó dcal) a a a3 3 b a j j b a a a b a b a b a3 a3 a333 b 3 a3 j j b3 3 3 j j j T) Epadr la epresó: A j (, j,,3) Delta de Kroecker (operador de susttucó) 0 s j s j Propedades eˆ eˆ eˆ eˆ eˆ ˆ e3 0 0 eˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e j e e e e e e : I eˆ eˆ eˆ eˆ eˆ eˆ Susttucó de ídces v v v v j j 3 j 3

5 j v v v v v 3 3 j v v v v j j 3 v v 3 T3) Calcular ) jj ) Símbolo de deotacó s (, j, k),,3,,3,, 3,, k s (, j, k),3,, 3,,,,,3 0 para el resto de casos k p. vectoral eˆ eˆ eˆ de base j j k k j j k k T4) Probar que: a b a b eˆ Dádcas k j k Tesores de orde superor El producto dádco (tesoral) de vectores geera u tesor de orde: uv u v A : Α -E el sstema cartesao: ˆ j j ˆ A u v u eˆ v eˆ (, j,,3) u v e eˆ j j A A eˆ e j Tesor compoetes base

6 Represetacó matrcal: A A A A A A A A 3 3 A A A Orde de u tesor: Dado por el úmero de subídces lbres -Número de compoetes de u tesor: Dado por el mámo valor del rago del subídce, elevado al úmero de subídces lbres Ej: Orde de los tesores:,, f,, k j kl Operacoes co tesores Dados tesores de orde A y B se defe: Suma: C A B B A Compoetes: C A B Producto por escalar Comp D A D A Producto escalar ˆ ˆ ˆ k k y A A e ej e A eˆ A eˆ A eˆ k jk j k k y eˆ vector y Tesores ( orde) C A B ( A eˆ eˆ ) ( B eˆ eˆ ) A B eˆ eˆ kl jk l j kl k l A B eˆ eˆ B A eˆ eˆ : B A (o comutatvo) jl l jl j C eˆ eˆ (tesor de orde) l l jk

7 Doble producto escalar A c d, B u v Doble cotraccó (:) A: B ( c d) : ( u v) ( c u)( d v) : escalar e compoetes: A: B ( A eˆ eˆ ) : ( B eˆ eˆ ) k j kl k l AB kl k jl AB l jl jl A B ( escalar) B : A comutatvo Doble cotraccó ( ) : AB ( c d ) ( u v) ( c v)( d u) : escalar A: B ( A eˆ eˆ ) ( B eˆ eˆ ) j kl k l jk AB kl jk l AB jl l l A B B A ( comutatvo) j ( escalar) T5) S los compoetes de yt so, T 4 hallar T :, T E geeral A: B A B,ecepto s alguo es smétrco

8 T6) Desarrollar y smplfcar la epresó: A: ( ) para los casos a) A A ( A smétrca) y b) A A ( A atsmétrco) j j Doble cotraccó de T de 4 orde y de orde ( eˆ eˆ eˆ eˆ ) : ( eˆ eˆ ) kl j k l pq p q kp eˆ eˆ eˆ kl pq kp lq j kl kl j eˆ (T orde) eq T7) Probar que: a Ab A( a b) Producto vectoral de tesor y vector A X ( A eˆ eˆ ) ( eˆ ) jkl k l j k k A eˆ eˆ (T. orde) Represetacó de los compoetes de u tesor de orde T T eˆ eˆ T eˆ eˆ T eˆ eˆ T eˆ eˆ j 3 3 T eˆ eˆ T eˆ eˆ T eˆ eˆ 3 3 T eˆ eˆ T eˆ eˆ T eˆ eˆ Proyeccó sobre la base e ˆk T.ˆ e T eˆ eˆ eˆ T eˆ T eˆ k j k jk k T eˆ T eˆ T eˆ k k 3k 3 Resulta 3 vectores tesores k : T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e T e Te T3e 3 t ( e ) T eˆ ˆ : ˆ ˆ ˆ ˆ k Tke k T e T e Te T3e 3 t ( e) k 3: T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3e T3 e T3e T33e 3 t ( e3) () ( eˆ ) t : t T eˆ

9 t T ˆ T e T eˆ ( eˆ ) () () T T T3 T E compoetes: T T T 3 0 T T3 T3 T 33 0 T 3 Compoetes Compoetes ormales tagecales Propedades de los tesores de orde Tesor smétrco T A es smétrco s A A A A Matrcalmete Propedad A A j A A A A j A A A j 3 sm A A A A3 j A A A A A A A A Aj A A A sm T Tesor at smétrco T A es atsmétrco s A A A A (6 compoetes depedetes) 0 A A3 at A A 0 A 3 (3 compoetes depedetes) A3 A3 0 Propedad A A A A A A A j A A Aj A A A at j

10 sm at T T De y : A A A A A A A Todo tesor de orde puede descompoerse e ua parte smétrca y otra atsmétrca T8) S es smétrca y es atsmétrco, probar que : =0 Traza de u tesor 33 Tr A A A A A Es u varate: o depede del sstema de refereca Tesor detdad de orde 0 0 ˆ ˆ e ej ˆ ˆ ˆ ˆ A e ej Akl ek el Akl jk Tr 3 e el Al e el A ˆ ˆ ˆ ˆ T9) Demuestre que T : Tr T Determate: A A A A A3 Iversa: Co A A k j k s A AA A A Modulo de u tesor 0 v v v vv T T T T T Tesor ortogoal T T Q tq Q Q Q Q Trasformacó ortogoal de vectores Dados a. b vectores arbtraros

11 La trasformacó ortogoal: a Q a b G b T a b Q a Q b ( a Q ) ( Q b) a b a b s b a a a a a a a b a a a a a a Ley de trasformacó de los compoetes de u tesor, ', v' c s v ( v) ' : v y' s c v y v ' v c s v' v : v s c v y y' Q Q Q Q : ortogoal T j Deduccó y trasformacó de vectores y tesores 3D (7-8: A, B, C) v QV T QT Q T -Hallar la M. de trasformacó del sstema cos cos cos Q cos cos cos cos cos cos 0 cos se 0 se cos al '

12 T0) T T T 3 0 s Q Sea e X Hallar T eˆ A eˆ ' T j A eˆ A eˆ eˆ' A A A Op. Ortogoal D ' ' j v AV v A v, ' ' ',, 3 Coseos drectos eˆ ' eˆ c ˆ ˆ ˆ e ce c e 3 ' ' eˆ ˆ ˆ ˆ ˆ c e c e c e3 e Q ' eˆ ˆ ˆ ˆ 3 c 3e c 3e c 3e3 c c c Q c c c c c c *Smlar/ eˆ Q eˆ Q Q ' T j j ' ' V QV V Q V ley de traformacó de tesor de prmer orde

13 TENSIONES Itroduccó Equlbro Fuerza tera Desplaz. Deformacó ' F Fe kd Fe kd F.Elastca Rgdez CILINDRO A TRACCIÓN Propedad tesva Propedad etesva F A EA E F E l l TENSION Tesó o esfuerzo Medda de la tesdad de la fuerza (epresada como la fuerza dstrbuda) por udad de área, detro de u cuerpo o sobre su cotoro U medo cotuo se cosdera lbre de esfuerzos s las úcas accoes que preseta so las fuerzas teratómcas ecesaras para mateer udas las partículas del msmo. b : Fuerza por udad de masa t : Fuerza por udad de superfce (traccó) Fuerzas de cuerpo: Fuerzas a dstaca dstrbudas e el volume del m.c Ej: Fuerza gravtacoal, Fuerza ercales, Fuerza E.M Fuerzas de superfce: Fuerzas que actúa sobre el cotoro de volume de materal cosderado, ejercdas por el cotacto de las partículas del cotoro co el eteror,, f b t dv f t t ds v v s v

14 Vector traccó (vector de esfuerzos o de tesó) Postulados de Cauchy - El vector de traccó que actúa e u pto materal p. de u m.c segú u plao de ormal ˆ, solo depede del puto y de la ormal - Prcpo de accó-reaccó: El vector de traccoes e u puto P de u m.c, segú u plao de ormal ˆ, es gual y de setdo cotraro al vector de traccoes e el msmo puto P segú u plao de ormal - ˆ ˆ ˆ t, ˆ tˆ, ˆ - a) Hallar y ; d y d b) s m m, k k hallar / ; d / d - La traccó e u puto de u M.C so como la fgura... ˆ a) t b) E cual plao a 0 b c t A B C,00,0 0, AB 0,, AC, 0, AB AC COMPONENTES DE ESFUERZO t t eˆ t eˆ t eˆ () () () 3 3 E gral : t t eˆ ( ) ( ) j j : t () j Compoete de u T. de orde

15 : Compoete e la dreccó del eje Xj del vector () t Asocado a u plao cuya ormal es paralela a X ˆ ˆ ˆ ˆ () t e j e e 3e3 E gral : t () eˆ j ˆ () ˆ ˆ ˆ kek e j t e j Multplcado. por e ˆ j : ( ) ( ) t eˆ t eˆ * ˆ eˆ eˆ eˆ eˆ eˆ k k j k kj j j k kj j j (proy. De s sobre el plao del s. de co..) Traccó sobre ua superfce arbtrara ˆ (,, ) 3 s s s ˆ ˆ s e s s s s ' pp h 3 3 Equlbro de fuerzas ( ley de ewto) ( ) ( ) t : valor medo de t e s 3 ( ˆ ) vb t s t s t s t s3 ˆ 3 vb t s t s t s t s 3 ˆ v 3 t a b t t t s 3

16 ˆ 3 v sh, lmt t t t 3 h 0 ˆ t t pero : t eˆ t eˆ ( ˆ ) j j 3 ˆ ˆ t ˆ t (, ˆ ) ˆ (,...) Co: ˆ ˆ e ej,tesor de tesoes (esfuerzos) de cad... Nota : Postulados de Cauchy ˆ, ˆ ˆ, ˆ t ˆ ˆ t, ˆ t, t ˆ ˆ ˆ Ej: Los compoetes del tesor de tesoes e el puto P de u medo cotuo so t y su magtud Pa 0.5 calcular el vector de traccó e el puto P segú b) la dreccó del plao ABC de la fgura a) la dreccó del (plao ) ˆ 3 e ˆ A) t t ˆ ˆ ˆ e e 3e3 B) AB 3,,0, AC 3,05 ˆ ˆ kˆ AB AC 3 0 0ˆ 5 ˆj 6kˆ 3 0 5

17 0ˆ5 ˆj 6kˆ ˆ ˆ t ˆ REPRESENTACIÓN DEL ESTADO TENSORIAL DE UN PUNTO Notacó cetfca Notacó geeral Tampó ormales y z y y yz z yz z T. tagecales cortates CRITERIO DE SIGNOS o : traccó ˆ t o : compresó

18 traccó tesoes ormales: o a compresó Caras, lsto (puetes) :setdo del eje b tesoes tagecales: ab : setdo del eje b (falta algo) ' a) Hallar q esta al meos u plao lbre de tesoes. b) Hallar la dreccó de dcho plao t ˆ ˆ 0 Propedades del tesor de esfuerzos Ecuacó de equlbro tero Fuerza: * t ds bdv adv v' v' v' t ˆ t ( ˆ ) * equlbro e el cotoro E la base: e ˆ : j ds b dv a dv j j v' v' v' T. dvergete: A Ads dv dv v v v ds dv v' v' bj a jdv 0 v' S S ' v dv : bj a j b a a 0: ecuacó de equlbro + b=0 Mometos/Equlbro v' t ds bdv 0 v' T T) j

19 *Ej)Presa prsmátca Ecuacoes de equlbro (cauchy) b b a V j bj bj a j, j,,3 * t, t : V * j t j (, t), j,,3 Ej) Dado u cuerpo e equlbro estátco, dode el campo del tesor de tesoes (de cauchy)e la dedo 6 ; ; ; Hallar el vector de fuerzas maszas e el puto (,4,) T) El campo de tesó de u m.c vee represetados por: A) Desprecado las fuerzas maszas Está el cuerpo e equlbro? B) Hallar el vector tesó (traccó) e el puto (,,3) segú el plao 3 6 y z a b c C) Determar la proyeccó del vector de tesó segú la dreccó ormal y tagecal del plao 3 6 Ej) plao e el que las traccoes sea ormales Dagoalzacó: tesoes y dreccoes prcpales Valor prcpal de esfuerzo

20 t t ˆ ( p) ( p) p ( p) ( p) j p j Pero: t ˆ t j j ( p) ( p) ( p) ( p) () ( p) ( p) ( p) j j ( p) ˆ ˆ ˆ ( p) ( p) ( p) : 0 0 ecuacó de autovalores 0 ( p) ( p) 3 0 ( p) ( p) 3 0 ( p) ( p) Ecuacoes 4 Icogtas Codcó de ormalzacó: S o trval: j j ( p) ( p) ( p) ˆ ˆ ( p) ( p) det 0 Ecuacó caracterstca del tesor de esfuerzos: 3 ( p) ( p) ( p) 3 0 Races: : () () (3) Valores prcpales del tesor de esfuerzos : Varates del tesor de esfuerzos: tr, tr tr 3 det kk, kk, 3 det( ) prcpal

21 - Cada valor prcpal ( p) está asocado a ua dseccó p.p dada por u vector ˆ eˆ eˆ eˆ ( p) ( p) ( p) ( p) 3 3 : sstema de ejes prcpales del tesor de esfuerzo 0 0 () 0 () (3) 3 Nota: s e ˆ Ej) 3B () e e ( ) () 0( ) 0 0 Pa Estado tesoal de u grafcado 0 0 Hallar los t. ppales y las dreccoes dode se produce T) S hallar los t. ppales y las dreccoes p.p Tesó meda: m 3 Tr 3 3 Estado de T. Hdroestatco: Aquel e el que 3 : ˆ * () : costtuye ua base ortoormal () () () () ˆ ˆ ˆ ˆ 3 () () () () () Matrz de traformacó de base: A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j 3 (3) (3) (3) (3) ˆ ˆ ˆ ˆ 3 p A A a 3 0

22 0 0 0,,3 0 pa 0 () () () S 0 3,, A

23 Crculo de Mohr 3-D Crculo de Mohr -D Coocda de las dreccoes prcpale tomada como 3 : Z 0 X y y y z Tomado plaos paralelos a 33 0 Reduccó a dmesoes y y y t y t p, ˆ t y y t y 0 t ( p, ˆ) ˆ t 0 y y y z 0 Estado tesoal sobre u plao

24 c s ˆ ˆ s c y c c ys t ˆ y y s yc ys t ˆ cos cos se se y y ˆ cos cos s cos t m se yse y T3) y y cos y s y s y cos Dagoalzacó del tesor de esfuerzos y s y cos 0 y y ta y y s cos ta y y ta y y y y

25 y y cos y s y y y : C R y y y : C R Problema verso C : y y R : * y cos s Crculo de Mohr e D (estado plao) Crcufereca, cos De *: s Crcufereca: c,0, R A

26 a cos,s R R *Ej) / 0 Represetar el estado de las tesoes