2 ESTADO DEL ARTE EN EL DISEÑO DE LOS MECANISMOS LEVA PALPADOR

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1 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador ESTADO DEL ARTE EN EL DISEÑO DE LOS MECANISMOS LEVA PALPADOR Co base a las cosderacoes que descrbe Cardoa y Clos, [00] para el proceso de dseño de u mecasmo leva palpador (defcó de la ley de desplazameto, obtecó del perfl de la leva y comprobacó del perfl), e éste capítulo se realza u aálss del estado del arte del proceso; se muestra el dseño de la ley de desplazameto utlzado curvas de Bézer; se estuda la obtecó del perfl de la leva utlzado el método aalítco de Cardoa y Clos, [00]; se aalza la comprobacó del perfl de la leva estudado su rado de curvatura para palpadores crculares de traslacó por ser estos los estudados e esta tess y se aalza la teoría de cotacto y los esfuerzos e la superfce todo aplcado al caso levas.. DISEÑO DE LAS LEYES DE DESPLAZAMIENTO Para dseñar la ley de desplazameto s ( θ ) de los mecasmos leva palpador, la mayoría de autores cosultados [Che, 98; Mabe y Reholtz, 987; Shgley y Ucker, 988; Koloc y Vlácavík, 993; Wlso y Sadler, 993; Norto, 995; 000; 00; Erdma y Sador, 998; Calero y Carta, 999]; descrbe y utlza para éste f el uso de polomos algebracos co base caóca y polomos trgoométrcos co base Fourer como los dcados e las ecuacoes. y.: 0... (.) = ( ) s θ = aθ = a + aθ + a θ + + a θ Departamet d Egyera Mecàca

2 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador ( θ ) = + s ( θ) + cos( θ) 0 m (.) = s c s c pero estudos recetes llevados a cabo por Reyes, [000] e su tess doctoral téccas de dseño geométrco asstdo por ordeador para Mecasmos Leva-palpador, muestra que o es adecuado defr la ley de desplazametos del palpador co polomos de base caóca o de base Fourer puesto que auque so fácles de mapular preseta las sguetes desvetajas: Los coefcetes a, c y s de las ecuacoes. y. o tee sgfcado geométrco. Por lo tato la modfcacó de u determado coefcete o produce u efecto tutvo sobre la forma de la fucó, ésto trae cosgo que obteer curvas de característcas deseadas por medo de la mapulacó de los coefcetes sea u proceso dfícl. Los coefcetes de los polomos se obtee al solucoar u sstema de ecuacoes que se orga de las restrccoes partculares que debe cumplr la ley de desplazameto; por lo tato el dseño de la ley requere u plateameto y solucó partcular para cada caso, lo que ocasoa que sea egorroso automatzar el proceso. La base caóca de polomos algebracos o garatza establdad umérca especalmete s el grado del polomo es elevado. La mposcó de las codcoes de cotudad e la uó etre los tramos D, S y B de la ley de desplazameto resulta laboroso. Reyes, [000] gualmete muestra e su tess doctoral que la defcó de la ley de desplazameto del palpador por medo de la base de polomos de Berste preseta vetajas frete a la utlzacó de la base de moomos, éstas vetajas se descrbe al fal del sguete apartado, ua vez se ha defdo el plateameto de la curva de Bézer. Departamet d Egyera Mecàca

3 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 3.. Curva de Bézer La defcó de la ley de desplazameto del palpador [Cardoa y Clos, 000 y Zayas, 00] puede realzarse utlzado curvas de Bézer o paramétrcas. Ua curva de Bézer o paramétrca de grao es ua combacó leal de polomos de la base de Berste B ( u) sobre u domo utaro B u u u Cu u ( ) = ( ) = ( ) ; = 0,..., (.3) dode! = C = ;! ( )! co las sguetes propedades: satsface la formula recursva { 0,..., } : B ( u) = ( u) B ( u) + ub ( u), 0 co B 0 = so ua partcó de la udad B ( u) = 0 = postvdad B ( u) 0, u [ 0,] smetría B ( u) = B ( u) preseta u mo para la abscsa u = Departamet d Egyera Mecàca

4 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 4 costtuye ua base umérca estable e ésta base ua fucó polómca b ( u) de grado se expresa de la sguete maera: b ( u) = b B ( u) = 0 [ 0,] u (.4) dode los + coefcetes b se deoma ordeadas de Bézer; el gráfco de la fucó b ( u) se llama curva de Bézer o Paramétrca, cada ordeada b defe u puto b coordeadas b = ( / b, ) deomado puto de cotrol y dada su defcó se ecuetra equespacados e el eje de las abscsas. de E la ecuacó.4 el polomo B (u) curva ( u) se puede terpretar como la flueca de b e la b. Esta flueca es ma para u = / dode B (u) preseta su mo valor, cocdedo co la abscsa del puto b esto hace que la represetacó gráfca de la curva teda a ser próxma a la del polígoo de cotrol (Fgura.), por lo tato al desplazar vertcalmete u puto b modfcado el valor de su ordeada, la curva tede a segurlo deformádose e sus proxmdades. b(u) b 4 b 3 b 5 b 0 b b b 6 b 7 b 8 u Fgura. Curva de Bezer. Tomado de Zayas, [00] Departamet d Egyera Mecàca

5 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 5 Para defr ua fucó b ( θ ) de la varable depedete θ defda e el domo o utaro θ [, ] θ θ f co la utlzacó de las curvas de Bézer b( u) ecuacó.4 el cambo leal de varable sguete es ecesaro realzar e la [, ] u [ 0,] θ θ θ f u ( θ ) θ θ = (.5) θ θ f la dervada de b ( θ ) respecto a θ se calcula ( ( θ )) ( ) ( θ ) ( ) dbu dbu du dbu = = dθ du dθ du θ f θ (.6) la dervada b ( u) de u polomo ( u) b de grado es u polomo de grado = ; e la base Berste se puede comprobar que los coefcetes b de la dervada se obtee como ( b b ) b = + = 0,..., (.7) ésto dca que las dervadas r-ésmas e los extremos u = 0, u = solo depede de los r + putos de cotrol mas próxmos, es decr, e u = 0 sólo depede de los coefcetes b...br e u = de los coefcetes b r... b 0 y, por lo tato, la mposcó de codcoes de cotudad r-ésma e la uó etre dos curvas resulta más seclla e la base de Berste que e la base caóca o moomal, ya que solo se ve volucrados r + coefcetes de cada curva. Co base a lo descrto aterormete, se puede decr que las dos vetajas prcpales que preseta las curvas de Bézer y que descrbe Reyes, [000] e su trabajo so: Departamet d Egyera Mecàca

6 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 6 Naturaleza tutva: de la fgura. se puede observar que la curva tede a segur el polígoo de cotrol, desplazádose sempre co base a la ubcacó de éste. Esto hace que se pueda teer ua aturaleza tutva sobre la ley de desplazameto de la leva, caso que o ocurre co los polomos algebracos. Facldad de cotudad co los tramos rectos: para la uó de ua curva de Bézer r co ua recta, para cosegur ua cotudad C deseada, es sufcete que los r + putos de cotrol más próxmos a la uó se ecuetre sobre la prologacó de la recta. Las curvas de Bézer o paramétrcas costtuye ua buea herrameta para geerar las curvas de desplazameto, velocdad, aceleracó o sobreaceleracó, o obstate preseta certas lmtacoes [Reyes, 000]: E la uó de dos curvas o se garatza cotudad r C de maera automátca. El grado de la curva depede del úmero de putos de cotrol. S la curva tee ua forma compleja su grado ha de ser elevado y el desplazameto de los putos de cotrol cetrales produce pocos cambos e la forma de la curva. Falta de cotrol local, es decr, el desplazameto de u puto de cotrol afecta a toda la curva. Las abscsas de los putos de cotrol so fjas.. OBTENCIÓN DEL PERFIL DE LEVAS Los métodos de obtecó del perfl de levas se dvde e gráfcos y aalítcos. Auque se hace refereca a los métodos gráfcos, e esta tess solo se desarrolla el método aalítco de obtecó del perfl segú Cardoa y Clos, [00] para palpadores de rodllo. Departamet d Egyera Mecàca

7 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 7 El desarrollo del método gráfco se ecuetra e cas la totaldad de las referecas cosultadas [Kozhevkov, 98; Che, 98; Mabe y Reholtz, 987; Wlso y Sadler, 993; Erdma y Sador,998; Calero y Carta, 999, etre otros] a modo de resume se puede decr que el método cosste e realzar ua versó cemátca del mecasmo leva palpador, e la cual la leva se cosdera fja y la guía del palpador móvl, el perfl de la leva es la evolvete del haz de curvas defdas por las dsttas poscoes del palpador. E la actualdad los métodos gráfcos de dseño de levas ha sdo susttudos por los métodos de dseño aalítco. Este proceso ha sdo facltado por el uso de los ordeadores, obteédose vetajas respecto al dseño gráfco. La prmer vetaja es que ua vez se ha programado las expresoes para la geeracó de los perfles de levas se puede obteer los perfles y otras formacoes del dseño e u tempo mucho meor que co el método gráfco. Además el proceso teratvo de dseño para obteer el perfl co las característcas geométrcas deseadas se hace más rápdo, smulado el comportameto de los mecasmos ates de fabrcarlos. Ua seguda vetaja es la precsó umérca del ordeador, la cual es muy superor a la precsó lograda co el método de dseño gráfco, lo que cotrbuye a dsmur el error del dseño fal de la leva. Ua tercer vetaja es que el ordeador utlzado para dseñar la leva també puede sumstrar la formacó ecesara para la fabrcacó de la msma co máquas de cotrol umérco.. Método aalítco de obtecó del perfl de levas Los métodos aalítcos de obtecó del perfl se expoe utlzado como ejemplo los mecasmos de leva de dsco co palpador plao (Fgura.3c) o co palpador de rodllo (Fgura.b). E ésta seccó se mecoa alguos de los dferetes efoques desarrollados e las referecas cosultadas. U prmer efoque es el presetado por Rothbart, [956] y por Erdma y Sador, [998], e él se utlza el método aalítco-geométrco, se dbuja el mecasmo leva palpador y se stúa los águlos y las dstacas requerdas segú el tpo de mecasmo que se esta aalzado, ua vez hecho esto se deduce las expresoes para la determacó de las coordeadas Departamet d Egyera Mecàca

8 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 8 cartesaas o polares del perfl de leva. Los autores expoe casos de mecasmos de levas co palpadores plaos y crculares. Chakraborty y Dhade, [977] muestra u método aalítco vectoral dode los autores utlza u cojuto de sstemas de coordeadas trdmesoales para aalzar la geometría de las superfces e cotacto, basado e coceptos de curvatura desde el puto de vsta de la geometría dferecal. E el cálculo se establece matrces de trasformacó de coordeada que permte obteer la expresó del perfl de la leva. Che, [98] y Wlso y Sadler, [993] utlza també el método aalítco geométrco y se basa e la teoría de la evolvete para obteer las expresoes matemátcas que defe el perfl de leva. Gozález-Palacos y Ageles, [993] expoe u método aalítco vectoral para la sítess de las superfces de mecasmos de levas plaos y espacales, basado e la teoría del torllo; e su trabajo utlza uas magtudes llamadas duales escalares, vectores, matrces y las superfces de los elemetos se obtee a través de la aplcacó de la geometría de superfces regladas. E Koloc y Vlácavík, [993] se muestra u método aalítco vectoral que utlza coordeadas polares para defr el rado vector de poscó del puto de cotacto leva palpador, luego se defe la versó cemátca del mecasmo y a partr de aquí se halla uas expresoes que permte defr el perfl de la leva y sus característcas geométrcas como por ejemplo su rado de curvatura. Shgley y Ucker, [988]; Norto, [995; 00] y Mabe y Reholtz, [000], utlza el método aalítco vectoral, e su aálss coloca dos vectores ortogoales que defe las coordeadas cartesaas del puto de cotacto leva palpador co respecto a u sstema de coordeadas fjo crustado e el eje de gro de la leva. E su trabajo expresa dos ecuacoes de lazo vectoral que se guala para defr las coordeadas de los putos del perfl como fucó del águlo de gro de la leva y se aplca para el caso de palpadores de geometría seclla: crcular y plao. El aexo muestra las leyes de desplazameto del movmeto Departamet d Egyera Mecàca

9 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 9 armóco (Fgura A-) y las leyes de desplazameto del movmeto cclodal (Fgura A-) desarrolladas por Klomok y Muffley, [955] y utlzadas e las referecas Shgley y Ucker, [988] y Mabe y Reholtz, [000]. Cardoa y Clos, [00] utlza el método aalítco vectoral para obteer el perfl de la leva. A cotuacó se preseta el procedmeto aalítco de obtecó de perfl de leva, basado e el efoque expuesto por Cardoa y Clos, [00] para mecasmos de levas co palpador, crcular. Cuado los palpadores tee movmeto de traslacó, la ley geeral d( θ ) desplazameto es de d( θ ) = s( θ ) + do (.8) dode s( θ ) es la ley de desplazameto especfcada y d 0 es u parámetro que depede del rado base R b de la leva y del valor de la excetrcdad ε del palpador (Fgura.), para el palpador crcular el parámetro d 0 que tervee e la fucó es ( ) d = R + R ε (.9) o b r ε C Rr Rb O P do Fgura. Parámetro d o e mecasmo leva palpador crcular Departamet d Egyera Mecàca

10 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 30 E el caso de u palpador crcular de cetro C y rado de rodllo R, el perfl de la leva es la evolvete de u haz de crcufereca. La trayectora que descrbe los cetros de esas crcuferecas es la curva de paso y su poscó se calcula segú la fgura.3 como r ε OC θ = (.0) { ( )}, d ( θ), e la base fja x,y la ecuacó paramétrca de la curva de paso es { ( θ) } [ Sθ ] ( θ) ( ) ( ) εcosθ + d θ sθ OC = { OC } = (.) xy,, εsθ + d θ cosθ x, y Ref. Guía ε C P Rr Ref. Leva y θ ε C y O θ x d(θ) O P d(θ) x Fgura.3 Iversó cemátca. Adaptado de Zayas, [00] el perfl de la leva OP ( θ), equvale al lugar geométrco de los putos stuados a ua dstaca R de la curva de paso e la dreccó de su ormal ( θ) r ecerra la curva; la ecuacó paramétrca del perfl es teror y drgda haca el área que ( θ ) = ( θ) + ( θ) R r OP OC (.) Departamet d Egyera Mecàca

11 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 3 para calcular la ormal utara teror a la curva de paso ( θ), se ecesta el vector tagete a la curva t ( θ) que se calcula ( d ( ) ) s d( ) ( ( ) ) cos ( ) d θ ε θ+ θ cosθ t( θ ) = OC ( θ ) = (.3) dθ d θ ε θ d θ s θ etoces dode [ ] 90 ( ) θ = R 90 ( θ) ( θ) R es la matrz de rotacó que mpoe u gro de t (.4) t o 90 e setdo horaro COMPROBACIÓN DEL PERFIL Como se mecoo e el apartado.7, la comprobacó del perfl costtuye el últmo paso del proceso de dseño geométrco y dmesoameto de ua leva, para ello es ecesaro determar el águlo de presó y el rado de curvatura..3. Águlo de presó E la bblografía cosultada, [Shgley y Ucker, 988; Norto, 000; Rothbart, 956; Wlso y Sadler, 993; Koloc y Vlákavík, 993; Mabe y Reholtz, 000; Che, 98 y Erdma y Sador, 993] el águlo de presó se defe como el águlo compreddo etre el eje del vástago del palpador (dreccó del movmeto del palpador) y la líea de accó de la fuerza ormal (dreccó ormal comú) ejercda por la leva sobre el palpador. Departamet d Egyera Mecàca

12 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 3 Como crtero de dseño los autores especfca que es ecesaro teer e cueta la ecuacó. para mateer el águlo de presó e valores ferores a o 30 para palpadores de traslacó, debdo a que la expereca ha puesto de mafesto que valores pequeños de águlo de presó evta cargas laterales excesvas (compoete de la fuerza perpedcular al vástago) sobre el eje del palpador. E.C. Varum, [956] desarrollo u omograma utlzado e las referecas Mabe y Reholtz, [000] y Shgley y Ucker, [988], para el cálculo del águlo de presó de palpadores de traslacó co ley de desplazameto dseñadas por movmetos armócos y cclodales (Fgura.4). El omograma relacoa el rado prmaro de la leva R o, el desplazameto mo del palpador L y el águlo de gro β de la leva utlzado para realzar el desplazameto mo. Fgura.4 Nomograma para el cálculo del águlo de presó e los mecasmos leva palpador co movmeto cclodal y armóco. Tomado de Mabe y Reholtz, [000] Para utlzar el omograma se debe determar la relacó LR o, ésta e cojuto co el valor del águlo de gro de la leva, srve para leer el valor del águlo de presó mo. El Departamet d Egyera Mecàca

13 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 33 omograma dca águlos de presó de hasta los que o sobrepasa los o 30. o 90, s be sólo so aceptables para el dseño Normalmete la bblografía básca cosultada tee formacó de valores de águlos de presó de levas co leyes de desplazameto dseñadas por movmetos armócos y cclodales, pero para leyes de desplazameto dseñadas por curvas de Bézer o se ha ecotrado referecas..3. Rado de curvatura Es comú ecotrar varos métodos para determar el valor del rado de curvatura de las levas; dferetes autores muestra su procedmeto segú el efoque que utlza para el dseño de la ley de desplazameto. E Che, [98] se muestra el método del polo de velocdades, el método de las varables complejas y el método aproxmado de Kraskov, aalzado los casos de palpadores de traslacó y de rotacó; e Wlso y Sadler, [993] se calcula a partr de susttur e la expresó paramétrca obteda de cálculo dferecal las dervadas correspodetes de las expresoes para el cálculo de las coordeadas del perfl obteedo las ecuacoes del rado de curvatura segú el tpo de palpador; e Shgley y Ucker, [988]; Norto, [995, 00]; y Mabe y Reholtz, [000] se utlza el msmo procedmeto, a través de dos ecuacoes de cerre vectoral para llegar a las msmas expresoes de cálculo. Para el caso de palpadores de rodllo de traslacó, los autores Che, [98], Shgley y Ucker, [988] y Mabe y Reholtz, [000] muestra gráfcos para calcular el valor del rado de curvatura mímo del perfl e fucó de las leyes de desplazameto cclodales, armócas y del rado prmaro de la leva. El aexo muestra éstos gráfcos, los cuales fuero desarrollados por Gater y Ucker, [979]; la fgura A- muestra para las leyes de desplazameto armócas y la fgura A- para las leyes de desplazameto cclodales. Los gráfcos relacoa el rado prmaro de la leva R o, el desplazameto mo del palpador L, el rado del rodllo del palpador crcular R y el águlo de gro β de la leva utlzado para realzar el desplazameto mo. r Departamet d Egyera Mecàca

14 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 34 A cotuacó se expoe las expresoes de cálculo del rado de curvatura para el caso de palpador crcular co movmeto de traslacó [Zayas, 00]. El rado de curvatura del perfl de la leva rc ( θ ) y el de la curva de paso rcp ( ) rado del rodllo R r (Fgura.5), ya que la prmera curva es la offset de la seguda ( θ) ( θ) c cp r θ dfere e el r = r R (.5) R r C r cp r c Fgura.5 Rado de curvatura de la curva de paso para calcular el rado de curvatura rcp ( θ ) de la curva de paso se derva la ecuacó.0 respecto a θ e la base móvl, { OC( )}, ( ) d( ) ( ) d/ dθ d/ dθ d ( ) ( ) ( ) ε θ θ ε θ = d θ d θ ε d θ d θ ( xy, ) ( x, y) ( x, y) (.6) parametrzado e setdo horaro de maera que la compoete ormal (haca el teror) de la dervada se expresa como ( ) OC θ OC OC ( θ ) = OC θ ( ) eje3 (.7) ( θ ) = ( d ( θ) ε) ( d ( θ) ε) d( θ) ( d ( θ) d( θ) ) OC (.8) Departamet d Egyera Mecàca

15 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 35 susttuyedo la ecuacó.5 y.6 e r c OC = OC se tee r cp ( θ ) = 3/ ( d ( θ) + ( d ( θ) ε) ) ( d ( θ ) ε) ( d ( θ) ε) d( θ) ( d ( θ) d( θ) ) (.9) que es equvalete a r ( θ ) = 3/ ds ( Ro + s) + dθ dθ dθ cp ds d s ( Ro s) ( Ro s) (.0) que aparece e las referecas que utlza leyes de desplazameto tradcoales..4 TEORÍA DE CONTACTO APLICADA AL CASO LEVAS S se cosdera u cldro que rueda sobre la superfce de ua leva bajo la accó de la fuerza ormal costate o varable y s la fuerza ocasoa ua deflexó e la huella de cotacto s exceder el puto de flueca, ua vez pasa el cldro la superfce regresará a su geometría orgal; e la próxma revolucó el cldro deflexoará de uevo la huella de cotacto, estos esfuerzos resultates e la huella so los que se cooce como esfuerzos de cotacto o esfuerzos de hertz e hoor a Herch Hertz que realzo el prmer estudo aalítco completo. Los esfuerzos de cotacto para el caso de cldros paralelos (caso levas) se puede estudar co dos hpótess posbles: hpótess del esfuerzo plao, cuado los cldros so axalmete cortos e hpótess de deformacó plaa cuado so axalmete largos. Departamet d Egyera Mecàca

16 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador Esfuerzos de cotacto a rodadura pura A partr de Tmosheko y Gooder, [95]; Nema, [98] y Norto, [998] se cosdera que a rodadura pura los esfuerzos e la dreccó ormal so a compresó, mos e la superfce y va dsmuyedo co la profuddad al r alejádose de la líea cetral (Eje Z de la fgura.3). E la líea cetral los esfuerzos prcpales so: σ =-P x σ =-P z (.) σ =-υp y el esfuerzo cortate mo resulta del aálss del círculo de Mohr y esta sobre el eje de las Z por debajo de la superfce: τ = 0,304P zτ = 0,786a (.).4. Esfuerzos de cotacto a rodadura co fuerza tagecal Cuado e u mecasmo leva palpador de rodllo se preseta el caso de carga combada: fuerza ormal (rodameto) y fuerza tagecal (deslzameto), el estado de esfuerzos se dstorsoa comparatvamete co el caso a rodadura pura (Fgura.6), esto se debe a la carga tagecal, por lo tato es de esperar que u pequeño deslzameto ocasoe ua pequeña dstorsó y que grades deslzametos ocasoe dstorsoes mayores. Los deslzametos e los mecasmos levas palpador geeralmete so producdos por varacoes e las velocdades de gro de la leva o por mal arraque del mecasmo. Departamet d Egyera Mecàca

17 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 37 E Tmosheko y Gooder, [95] y Johso, [985] se observa que los aspectos geométrcos de la teoría de cotacto (relacó de rados y área de la huella de cotacto) o varía de rodadura pura a carga combada. F? σz a X σz τxz σx F? τxz σx Z Fgura.6 Esfuerzos de cotacto a rodadura co fuerza tagecal E Hlls et al. [993] y Norto, [998] se ecuetra defdas las ecuacoes de dstrbucó de esfuerzos de Smth y Lu, [953] para el caso de cldro sobre cldro y los esfuerzos se muestra como compoetes depedetes segú se presete o o. La fuerza tagecal o deslzate esta represetada co el subídce t y la fuerza ormal esta represetada co el subídce. Para obteer el estado completo de esfuerzos se debe sumar la carga a deslzameto más la carga ormal e sus respectvas dreccoes, como se muestra e la ecuacó.3. S se trata de rodllos axalmete cortos como las levas, el estudo de los esfuerzos se puede cosderar bdmesoal, e caso cotraro debe desarrollarse de forma trdmesoal. σ = σ +σ x x x t σ z= σ z +σz (.3) t τ =τ +τ xz xz xz t Departamet d Egyera Mecàca

18 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador Esfuerzos e la superfce de cotacto Para evaluar los esfuerzos e la superfce a ua profuddad z = 0, de Smth y Lu, [953] y Norto, [998] se tee los esfuerzos: Para x a x σ = - P - a x σ x =0 σ =σ z x τ xz =0 σ x t = - f x a σ z =0 (.4) t x τ = - f - a xzt τ xz t =0 Para x > a x x σ x = - f t - - a a (.5) para x < a x x σ x = - f t + - a a (.6) dode P, a y x so las defdas e el apartado.8 y f es la fuerza tagecal utara defda por: f = µ P (.7) Departamet d Egyera Mecàca

19 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador Esfuerzos por debajo de la superfce de cotacto Smth y Lu, [953] també defero los esfuerzos por debajo de los putos de cotacto dode la carga tagecal tee u efecto sgfcatvo e la dstrbucó de los esfuerzos, e Johso, [985]; Jacobso y Kalker, [000] y Norto, [998] se muestra el desarrollo de la formulacó, la ecuacó.8 muestra la compoete ormal y la ecuacó.9 la compoete tagecal para cldros axalmete cortos. Esfuerzos a carga ormal: z a + x +z π σ x = - α- -3xψ P π a a z σ z = - [ - α] aψ x P π τ xz = - z αp π (.8) Esfuerzos a carga tagecal: x ( ) ( ) x σ x = - x -a -3z α+π + a -x -z f t π a a ψ σ = - α z t π z f (.9) ( ) z z τ xz = - a + x +z ψ -π -3xzα f t π a a dode los factores α y ψ está dados por: Departamet d Egyera Mecàca

20 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 40 k - π k α= k k k k +k -4 + k k k a (.30) k + π k ψ = k k k k +k -4 + k k k a (.3) y k y k por: ( ) a x z k= + + ( ) x k = a- +z (.3).4.3 Deformacó e el cotacto La deformacó δ se cooce como, el cambo de logtud por udad de logtud y se defe l F l l I I δ = (.3) l I dode l I es la logtud cal, l F la logtud fal deformada y δ la dfereca de las dos logtudes, el subídce dca que la deformacó ocurre e la dreccó ormal (que para el caso de la formulacó ates defda es la dreccó z-z) geeralmete debdo a fuerzas de tesó o compresó. Es deseable que cuado se presete deformacó esta ocurra e la regó elástca del materal para evtar que exsta deformacoes permaetes e la superfce. Departamet d Egyera Mecàca

21 Estado del arte e el dseño de los mecasmos leva palpador 4 E Arvd, [947] se muestra la expresó empírca.33 ormalmete utlzada para el estudo de la deformacó ormal e el cotacto etre cldros cortos como es el caso de las levas.,7 F δ= 0, 0003ε c E (.33) 0,8 l dode εe es ua costate del materal defda como ε = E 3 E E υ υ E E υ υ (.34) y E es el módulo de elastcdad y υ el coefcete de Possó. Departamet d Egyera Mecàca