NOTAS SOBRE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD CAMPOS ESCALARES, VECTORIALES Y TENSORIALES Página 44. x y 1 +

Transcripción

1 CAMPOS ESCALARES, VECTORIALES Y TENSORIALES Pága 44 Camos escalares, vectorales y tesorales: se ecara calmete el tratameto de los camos escalares. S a cada uto (x, y, z) de ua regó del esaco, se hace corresoder u úmero f (x, y, z), f es u camo escalar; esto es, ua fucó escalar de tres varables. E los cco rmeros ejemlos sguetes, el camo está defdo ara todo uto del esaco; e el últmo, lo está e todos los utos (x, y, z), exceto dode x + y = 0, es decr sobre el eje z. f ( x, y, z) = x + y 3 z ; f ( x, y, z) = x + y + z ; f ( x, y, z) = x + y ; f x y ( x, y, z) = + + z ; 4 9 f ( x, y, z) = x + y z ; f ( x, y, z) = x + y S f es u camo escalar, toda suerfce f (x, y, z) = costate, se dce sotímca o de gual valor. Para los ejemlos recedetes, las suerfces sotímcas so, resectvamete: Todos los laos eredculares al vector + j 3k ; Todas las esferas co cetro e el orge; Todos los cldros crculares rectos, co el eje z como eje de smetría; Ua famla de elsodes; Ua famla de coos; Todos los cldros crculares rectos, co el eje z como eje de smetría. Dsttas suerfces sotímcas del msmo camo escalar, o se tersecta, dado que se asoca u solo úmero f (x, y, z) co u uto (x, y, z). S se hace asar ua recta aralela a u vector u utaro or u uto (x 0, y 0, z 0 ), llamado s a la medda del deslazameto sobre la recta, co s = 0, equvalete a (x 0, y 0, z 0 ), se tee que ara cada valor de s, corresode u uto (x, y, z) sobre la recta y or ede u valor escalar f (x, y, z). S la dervada d f ( x, y, z ) x = x 0 y = y0 z = z0, exste, se tee la dervada dreccoal de f (x, y, z), evaluada e s = 0 o (x 0, y 0, z 0 ), e la dreccó del vector u. La dervada dreccoal de f, es la tasa de cambo del camo escalar f (x, y, z), or udad de dstaca e la dreccó del vector u ; s esta se toma aralela al eje x es la x f y la ( x, y, z), smlarmete, e la dreccó ostva de los ejes y, z, es la z f ( x, y, z), resectvamete. y f ( x, y, z)

2 CAMPOS ESCALARES, VECTORIALES Y TENSORIALES Pága 45 U vector utaro e ua determada dreccó, se tee hacedo d R /, dode R = x + y j + z k ; etoces: d x d y d z u = + j + k Debe observarse que x (s), y (s), z (s) so fucoes del arámetro s. Co dervadas arcales cotuas e la regó, la dervada dreccoal uede escrbrse: d f f d x f d y f = + + x y z f f f S el vector gradete de f se defe como sgue: grad f = + j + k, la dervada dreccoal, es el roducto escalar o roducto uto del vector u or el vector gradete f : d f = u grad f Como u grad f = u grad f cos θ = grad f cos θ, la comoete del grad f e ua dada dreccó, roorcoa la dervada dreccoal d f /, e esa dreccó y el vector grad f se oreta e la dreccó de la mayor tasa de cambo de la fucó f. S u auta e la dreccó de grad f, se tee que u grad f = u grad f cos θ = = grad f y etoces la magtud de grad f exresa la tasa máxma de crecmeto de f or udad de dstaca, además a través de cualquer uto (x 0, y 0, z 0 ) dode grad f 0, asa ua suerfce sotímca f (x, y, z) = costate y grad f es ormal a ella e el uto (x 0, y 0, z 0 ). Alcado la defcó de grad f a los ejemlos revamete rouestos, se tee que e el rmero, grad f es costatemete eredcular a todo lao de la forma x + y - 3 z = = costate y e el segudo, las suerfces sotímcas so esferas cetradas e el orge y la recta de accó del vector grad f = R asa or el orge autado la flecha haca afuera. Ejemlo: calcular la d f / e la dreccó del vector j - k, e el uto (,, ), sedo f (x, y, z) = x + y - z : grad f = x + y j k = + j - k e (,, ) ; u vector utaro e la dreccó 4 4 cosgada, es: u = + j k ; como d f = u grad f = + + = 3, sgfca que e la dreccó esecfcada y artedo de (,, ), el valor de la fucó aumeta tres udades or udad de dstaca. U camo vectoral F, es ua regla que asoca u vector F (x, y, z) a cada uto (x, y, z) de ua regó; es ua fucó vectoral de tres varables: F (x, y, z) = F (x, y, z) + F (x, y, z) j+ F 3 (x, y, z) k. S F está defdo; es o-ulo e cada uto de ua regó del esaco y es tagete e todos los utos a ua curva, esta es la líea de flujo o de correte o la curva característca. d z

3 CAMPOS ESCALARES, VECTORIALES Y TENSORIALES Pága 46 Como la dreccó de ua líea de flujo, es determada úcamete or el camo vectoral F, o es osble que dos curvas característcas se cruce. S la magtud de F es cero e algú uto del esaco, o hay defcó de dreccó e ese uto y cosguetemete, o asa or él, ua líea de flujo. S R es el vector de oscó de u uto arbtraro de ua líea de correte y s rereseta la logtud de u arco meddo sobre la curva, etoces el vector utaro, tagete a la d R d x d y d z curva e el uto, es: T = = + j + k Como T debe teer la msma dreccó de F, se tee: T = β F, dode β = β (x, y, z) es ua fucó escalar. Se deduce ara los comoetes: d x d y β F = ; β F = ; β F3 = S F ; F y F 3 so todas o-ulas, uede elmarse β y escrbrse: d x F d y = = F d z F 3 Se dsoe de dos etdades formales fudametales ara medr la tasa de cambo de u camo vectoral, la dvergeca y el rotacoal. La dvergeca de u camo vectoral, es u camo escalar que evalúa e cada uto, cuáto dverge el camo; el rotacoal de u camo vectoral, es u camo vectoral que evalúa e cada uto, la rotacó del camo e su vecdad. Sedo u camo vectoral F = F + F j+ F 3 k ; δ S el área de ua seccó cualquera que lmta ua suerfce de cotrol; u vector utaro, ormal a la suerfce δ S, or la que e t fluye u volume F t δ S, se tee que el volume que atravesa el área δ S e la dreccó or udad de temo, es aroxmadamete F δ S, llamado flujo del camo vectoral F a través del área δ S. Cosderado el flujo total del camo F, a través de las ses caras de u araleleíedo recto, equeño, fto, dode se drge haca afuera e las ses caras; dvdedo el flujo or el volume x y z y asado al límte cuado este tede a cero, se obtee la dvergeca de F e el uto (x, y, z) o dv F. El flujo total salete de las caras aralelas al lao y - z, es: [ F (x + x, y, z) - F (x, y, z) ] y z F La dfereca etre los valores F, está dada or: x. Resulta etoces que la x cotrbucó eta al flujo salete or las caras cosderadas, es: F x y z x d z Sumado todos los aortes, se tee: F x F F + + x y z. y z 3

4 CAMPOS ESCALARES, VECTORIALES Y TENSORIALES Pága 47 Luego, dvdedo or x y z, resulta la dv F = F x F F + + y z 3 Ejemlos: hallar la dv F, s F = x + y z j + x z 3 k ; dv F = + y z + 3 x z ; Hallar la dv F, s F = x e y + e xy j + se (y z) k ; dv F = e y + x e xy + y cos (y z) Para formalzar la ocó de vector rotacoal o rotor, se alca u vector de camo F, e u uto de coordeadas (x + x, y + y), oscoable olarmete medate u módulo r y u argumeto θ. El orge del rado vector se ubca e el uto de coordeadas (x, y, z). E el uto de alcacó de F, se cosdera dos vectores utaros; u r e la dreccó de r y ormalmete a este u φ, tagete a ua trayectora crcular. Se cumle que: uθ = seθ + cos θ j Las dos rmeras comoetes del vector de camo F e el uto (x + x, y + y, z), uede exresarse como: F F F ( x + x, y + y, z ) = F ( x, y, z ) + x + y x y F F F ( x + x, y + y, z ) = F ( x, y, z ) + x + y x y F 3 se desestma e razó de cetrarse el terés e la comoete que roduce gro athoraro de F u φ. Exresado x, y e térmos de (r, φ), resulta: x = y = r r cosθ se θ Se tee ara la comoete athorara de F sobre el círculo e (r, φ) : F F uθ = F + θ + θ θ + x r F y r cos se se F F + θ + θ θ x r F cos y r se cos Su valor romedo, es: π F u θ θ π d 0 y como Dado que las tegrales sobre u eríodo, de se θ ; cos θ y (se θ) (cos θ), so ulas π 0 se θ dθ = π 0 cos θ dθ = π, el valor romedo se terreta como: F F r ; dvdedo or, se obtee la velocdad r x y agular rovocada or el vector de camo F, alrededor del eje z :

5 CAMPOS ESCALARES, VECTORIALES Y TENSORIALES Pága 48 F F ; la velocdad x y camo F, alrededor del eje x, es : F3 F ; la velocdad y z camo F, alrededor del eje y, es : F z F3 x agular debda agular debda al vector al de vector de Iteresa coocer el vector rotacó ; rotacoal o curl del camo vectoral ara exresar su tedeca a rotar. Elmado el factor /, se tee que el curl F es: curl F = F y F z F F F F + j + k ; o be: z x x y 3 3 curl F = j k F F F3 Ejemlo: calcular curl F, s: F = x y z + x y z j + y z 3 k curl F j k 3 = = ( yz x y z ) + ( x y ) j + ( x y z xz ) k 3 x yz x y z y z Los tres oeradores cosderados: gradete; dvergeca y rotacoal; se relacoa co el oerador vectoral abla: f f f grad f = f = + j + k f j k x y z = x + y + z F F F F = F = + j + k ( F + j F + k F ) = + + dv 3 3 curl F = F = + j + k ( F + j F + k F3 ) = j k F F F 3

6 CAMPOS ESCALARES, VECTORIALES Y TENSORIALES Pága 49 El Oerador Lalacao, está comuesto de dos oeradores: grad y dv. El Lalacao de u camo escalar se defe como dv (grad f). El grad f es u camo vectoral y la dvergeca de grad f es u camo escalar, or lo tato el Lalacao de u camo escalar f es u camo escalar. E otacó abla, es: ( f ) y ara smlfcar frecuetemete se escrbe: f = f. Se tee: lalacao f f f = = = + + = ( f ) f ( f ) f, dado que: f f f f f ( f ) = + j + k = + + x y f z, dode: = = + + La ecuacó f = f = 0 es la llamada ecuacó de Lalace o Ecuacó Lalacaa; toda fucó que satsfaga esta ecuacó e ua regó dada, se dce que es armóca e esa regó. El Oerador Lalacao es el más mortate oerador dferecal e Físca-matemátca. S f es u escalar, etoces f (x, y, z) deota el valor de f e el uto (x, y, z); roorcoa ua medda de la dfereca etre el valor romedo del camo e la vecdad medata del uto y el valor recso del camo e el uto. S f es ostvo e u uto y f deota la temeratura, sgfca que la temeratura e la vecdad del uto e romedo, es mayor que la temeratura e el uto msmo. E artcular, s la temeratura toma su mímo valor e algú uto del esaco, es razoable eserar que el valor de f o sea egatvo e ese uto. El Lalacao uede cosderarse como ua geeralzacó e tres dmesoes del oerador d /d x. S f es cero, el valor medo de f e u etoro esférco o cúbco del uto será exactamete gual al valor de f e el cetro de la esfera o del cubo. S (x, y, z) es u uto fjo e el esaco y f deota el valor medo de f e el teror de ua esfera o cubo co cetro e (x, y, z) y la esfera o cubo es sufcetemete equeña, se tedrá aroxmadamete: f - f (x, y, z) = k f (x, y, z), dode k es ua costate ostva, deedete solamete de las dmesoes de la esfera o cubo. El oerador dferecal formal: = = + +, uede ser alcado a camos vectorales ara obteer u uevo camo vectoral. S F es u camo vectoral, etoces: F = ( F / x ) + ( F / y ) + ( F / z ). Ejemlo: s F = x y + y z 3 j + x y z 4 k, se tee : x F 3 F = y ; = z j ; = 6 y z j + x y z y z F Luego: F = y + ( z y z) j + x y z k k Cuado se usa e este setdo, ara oerar e camos vectorales roducedo camos vectorales, se llama Oerador Lalacao Vectoral.

7 CAMPOS ESCALARES, VECTORIALES Y TENSORIALES Pága 50 U tesor es u objeto algebraco de varas comoetes, que geeralza los cocetos de escalar, vector y matrz, co deedeca del sstema de coordeadas elegdo. El úmero de ídces ecesaro ara esecfcar s ambgüedad ua comoete, determa el orde del tesor (u escalar se cosdera como u tesor de orde 0; u vector, u tesor de orde y dada ua base vectoral, los tesores de segudo orde uede ser reresetados or ua matrz). El camo tesoral es u valor tesoral defdo e cada uto e ua varedad (objeto geométrco que geeralza la ocó tutva de curva o -varedad y de suerfce o -varedad a cualquer dmesó y sobre cueros dversos; ua varedad de dmesó es u esaco localmete smlar a R. La roedad más geeral que dstgue u escalar de u vector y a ambos de ua catdad tesoral, es el úmero de ídces (rago del tesor) e su matrz de reresetacó (como se aotó, los escalares so los tesores de rago cero y los vectores so los tesores de rago uo). E mecáca clásca el esaco es R 3 ; e la Teoría de la Relatvdad Esecal el esaco base es somorfo a R 4 y e la Teoría Geeral de la Relatvdad, es el esaco tagete a ua varedad loretzaa de cuatro dmesoes. E matemátca es usual costrur la teoría sobre ua varedad remaaa o varedad seudoremaaa -dmesoal. Puede vsualzarse los tesores como matrces de orde sueror, geeralzacoes -dmesoales de los escalares; vectores de -dmesó y matrces de -dmesoes. Los úmeros reales o be fucoes o dferecales cosgados e las referdas matrces so las comoetes del tesor e ua base cocreta. U tesor uede etederse como u objeto cuyos comoetes se trasforma bajo cambos de coordeadas segú reglas que troduce trasformacoes covarates (varates o equvaletes) o cotravarates (to de varaca de forma que reseta certos tesores, e artcular los vectores tagetes del esaco-temo). E la Relatvdad Geeral, los vectores fla rereseta vectores cotravarates metras que los vectores columa rereseta vectores covarates. Tesor de segudo orde, e tres dmesoes. By Saaz (Ow work) [CC BY-SA 3.0 (htt://creatvecommos.org/lceses/by-sa/3.0) or GFDL (htt:// va Wkmeda Commos El tesor es ua magtud físca mult-ídce tal que e u determado sstema de refereca β ',..., β ' S, ua magtud tesoral está dada or u cojuto de comoetes Tα α y al cambar a u sstema de refereca dferete S se tee comoetes co valores dferetes ',..., ' m T β,..., β,...,. α, co la m sguete relacó etre las comoetes de la magtud, e uo y otro sstema de refereca: T, T A... A A... A β β,..., β β ',..., β ' T T α ' α ' m α..., α = m α ',..., α ' m β ' β ' α α. m β α

8 CAMPOS ESCALARES, VECTORIALES Y TENSORIALES Pága 5 E la últma exresó se ha emleado el coveo de sumacó de Este (o se cosga el símbolo de sumaσ ). Además α α es la matrz del cambo de base de coordeadas y T A α ' α A ' es la matrz del cambo de base verso, que es la matrz trasuesta de la ateror. Dado u esaco vectoral V de dmesó sobre u cuero K, su esaco dual V* es el cojuto de todas las alcacoes leales f : V K. El esaco dual es u esaco vectoral de la msma dmesó que V. Los elemetos de V y de V* so referdos como vectores y covectores, resectvamete. U tesor es ua alcacó multleal (alcacó leal e cada uo de sus argumetos), de la forma: T : V V V V K * 443 K 4 * 443 K ; de este modo u tesor r T asoca cada r covectores w,..., w r y s vectores v,..., v s co u escalar T (w,..., w r, v,..., v s ). Se llama to del tesor al ar (r, s). U tesor se clasfca or su orde (úmero de arreglos que requere ara ser descrto). S es la dmesó del tesor (dmesó del esaco vectoral sobre el que se costruye) y r+s el orde, u tesor requere de r+s comoetes ara ser descrto. s Ejemlos: escalares que so tesores de orde cero, ues requere u solo úmero real ara ser descrtos e cualquer sstema de coordeadas, 0 =. U escalar es varate ate cualquer cambo de coordeadas; s φ es u escalar e u sstema de coordeadas y φ' es el msmo escalar e otro sstema de coordeadas etoces: φ = φ'. Los vectores y covectores so tesores de orde uo; requere comoetes ara ser descrtos. E u esaco trdmesoal, se defe medate tres comoetes y la trasformacó de coordeadas de u vector de u esaco a otro se realza medate ua trasformacó leal. S se tee u vector exresado or sus comoetes A e u sstema y A' e otro sstema, la trasformacó de coordeadas ara que el vector se matega varate uede exresarse como: A' = α ' k A k, dode α ' k es el coseo del águlo etre el -ésmo eje de coordeadas y el k-ésmo. So tesores de orde dos, las matrces y las formas cuadrátcas; requere ara ser descrtos x = comoetes. Ua matrz x, se rereseta e u sstema de coordeadas como trasformacó varate A k, hacedo A' k = α ' l α k' m A lm, dode α ' l es el coseo del águlo etre el -ésmo eje de u sstema co el l-ésmo eje del otro sstema. Vsualzacó trdmesoal e colores del tesor de tercer orde, éslo de Lev-Cvta. By Ara Kresch, correctos made by Xmaster3 ad Luxo. Los tesores de orde m geeralzados, requere m comoetes ara ser defdos. Como geeralzacó de las trasformacoes aterores, se tee: = A ',, K, = α' k α' k Kα k A ' k, k, K, k, dode A k, k, K, k so las comoetes del tesor e u sstema de coordeadas; so las comoetes del msmo tesor e otras A,, K, coordeadas y los α ' k so los coseos de los águlos etre los -ésmos ejes de u sst. y los k -ésmos e el otro sst. Coforme al coveo de sumacó de Este, todo subídce que aarece dos veces e cualquer térmo de ua exresó dca que estos debe ser sumados sobre todos los valores que ese ídce toma; or ejemlo, a x mlca a x + a x + a 3 x 3 y a j b jk equvale a a b k + a b k + a 3 b 3k.

9 CAMPOS ESCALARES, VECTORIALES Y TENSORIALES Pága 5 El coceto de covaraza y cotravaraza se basa e la descrcó de u elemeto e dos sstemas de coordeadas. S se toma u vector e u esaco trdmesoal, e el que la oscó de u uto arbtraro uede exresarse segú tres coordeadas u, u, u 3 y s r (u, u, u 3 ) es el r vector de oscó de ese uto, etoces e exste dos cojutos de vectores base: e = u y ε = u, sedo =,, 3, vectores que e geeral o so utaros forma ua base ortogoal, mas los cojutos e y ε so sstemas recírocos de vectores y or eso: e ε j = δ j. E el cálculo tesoral es usual deotar al cojuto de vectores base ε como e forma que establece ua dfereca co la base e, resultado como sgue la relacó de recrocdad: e e j = δ j, dode δ j, es la fucó delta de Kroecker. Co las bases e y e u vector a uede escrbrse: a = a e + a e + a 3 e 3 = a e, a = a e + a e + a 3 e 3 = a e. Los a so los comoetes covarates del vector a y los a, los comoetes cotravarates. S el cálculo tesoral se alca a ua varedad dferecal o suerfce curva, el esaco básco que srve ara defr las magtudes, es el esaco tagete a dcha varedad e cada uto. Cuado se emlea coordeadas curvlíeas, como exste ua relacó somórfca etre dervacoes sobre la varedad y el cojuto de elemetos del esaco tagete, uede costrurse ua base del esaco vectoral tagete formada or las dervadas dreccoales segú las dreccoes dadas or las coordeadas; así ua base vectoral del esaco tagete e cada uto vee dada or: Β =, K, ; además, la base del esaco cotagete, que es el dual del esaco x x tagete, uede exresarse medate la dferecal exteror de las coordeadas cosderadas * Β = d x, K, d x. como fucoes reales sobre la varedad: { } Las oeracoes co tesores de orde cero (escalares); uo (vectores) y dos (matrces) so coocdas. El cojuto de todos los tesores -veces covarates y q-veces cotravarates defdos sobre el esaco vectoral V que se deota como T q ( V ) forma u esaco vectoral ( T ( V ), +, R ) q, co la suma y la resta defdas ara los tesores de u msmo orde, V j...k y W j...k, como sgue: S j...k = V j...k + W j...k, D j...k = V j...k - W j...k. Este esaco vectoral es de dmesó + q, dode es la dmesó del esaco vectoral V. Co relacó al cambo de orde de los ídces de u tesor, s T j...k so las comoetes de u tesor, de la msma maera el cojuto formado or el tercambo de dos ídces, es decr T j...k, també lo es. Coforme a estos tercambos de ídces se detfca subesacos vectorales: Se dce que el tesor es smétrco s el tercambo de cualquer ar de ídces o altera el tesor: T j...k = T j...k, el cojuto de todos los tesores smétrcos del esaco T V, +, R Sym T V, +, R ( q ( ) ) forma u subesaco del msmo deotado como ( ) ( ( ) ) q. Se dce que el tesor es atsmétrco s el tercambo de cualquer ar de ídces altera el sgo del tesor: T j...k = - T j...k, el cojuto de todos los tesores atsmétrcos de orde k de u esaco tesoral també forma u subesaco deotado como ( Alt ( Tq ( V )), +, R ), que es de dmesó! / ( k! ( - k)! ).

10 CAMPOS ESCALARES, VECTORIALES Y TENSORIALES Pága 53 E geeral, u tesor o es smétrco atsmétrco y u tesor de orde semre uede exresarse como la suma de u tesor smétrco S j y uo atsmétrco A j : T j = ½ (T j + T j ) + ½ (T j - T j ) = S j + A j, lo que o es osble ara tesores de orde >. El roducto dos tesores (roducto exteror) es u tesor cuyo rago es la suma de los jk l jkl ragos de los factores; las comoetes se obtee a artr de los tesores orgales: A B = C. E ua varedad remaaa uede defrse ua oeracó sobre tesores, que e geeral o es osble realzar e ua varedad cualquera. Esa oeracó (ley de subr o bajar ídces) ermte k k ' substtur e los cálculos u tesor de to Tl or otro de to Tl ' co tal que k + l = k' + l'. Esta oeracó se basa e la exsteca de u somorfsmo etre esacos de tesores covarates y cotravarates defdos sobre varedades remaaas o seudoremaaas (M, g j ). Para emlear la subda y bajada de ídces es ecesaro usar el tesor métrco g j (y su verso g j, llamado cotesor métrco). Cualquer magtud físca reresetada or u tesor (covarate o cotravarate) de tercer rago, uede exresarse or varos cojutos de magtudes relacoables merced a la γ β βλ α α γ αβ αβγ oeracó de subr y bajar ídces: T, T, T, T, T, T, T, T. αβγ αβ α γ La cotraccó de tesores es ua oeracó que reduce el orde total de u tesor to (, m) a otro to (, m ). E térmos de comoetes, la oeracó mlca sumar el ídce de u tesor cotravarate y u covarate. Por ejemlo, u tesor (, ) T uede ser cotraído a u escalar a través de T, emleado el coveo de sumacó de Este. La cotraccó se emlea co el roducto tesoral ara cotraer el ídce de cada tesor; uede també terretarse e térmos de la defcó de u tesor como u elemeto de u roducto tesoral de coas del esaco V co el esaco V*, descomoedo rmero el tesor e ua combacó leal de tesores más smles, y luego alcado u factor de V* a u factor de V : T V V V * ; uede escrbrse como la combacó leal: T = v w α + v w α + K+ v N w N α N. La cotraccó de T e el rmero y últmo esaco es etoces el vector: α (v ) w + α (v ) w α N (v N ) w N. El roducto tero de dos tesores se roduce al cotraer su roducto exteror. Dados j l j l dos tesores A y B su roducto extero es A. Igualado ídces k = l, se obtee el roducto tero k m j B k k m A. α B k m βγ β γ j S la varedad dferecable tee estructura de varedad remaaa o seudoremaaa, etoces se uede defr estructuras más comlejas y erquecer la oeratora del cálculo tesoral sobre esa varedad. U tesor métrco g es u tesor -covarate y smétrco defdo sobre toda la varedad: () g (X, Y) = g (Y, X ), X, Y T M ; det (g) 0, X T M. Puede robarse que ua varedad remaaa o seudoremaaa M R es localmete sométrca al esaco euclídeo s y sólo s su tesor de curvatura de Rema se aula. S la varedad tee curvatura o ula uede demostrarse que la artcularzacó de las dervadas dreccoales de R o tee las roedades de varaca eseradas; or ello, la dervada o-covarate de u vector tagete e geeral, o resulta e u vector tagete també a la varedad, y or tato, o da lugar a u objeto tesoral defble sobre la varedad. m m

11 CAMPOS ESCALARES, VECTORIALES Y TENSORIALES Pága 54 T Dada ua -forma (tesor -covarate totalmete atsmétrco): = T, K, d x... d x Λ ( V ) álgebra graduada de -formas que oera segú: d : Λ Λ +, dt = d. La dferecacó exteror d es ua alcacó e el T, K, α + ( T ) = d x d x K d x Λ ( V ) x α. La dferecacó exteror es ua combacó leal de + dervadas arcales de las comoetes de la -forma orgal; geeralzas las oeracoes de gradete, rotacoal (curl) y dvergeca, cuado se cosdera el cálculo tesoral sobre R 3, se tee: grad f = d curlf = d dvf = d Observacó: * deota el oerador dual de Hodge f f C ( R ) = Λ ( R ) F F C ( R, R ) = Λ ( R ) ( F) F C ( R R, R) = Λ ( R )