Concepto de función compleja y conjuntos especiales en C

Transcripción

1 Concepto de función compleja y conjuntos especiales en C Genaro Luna Carreto * 1. Distancia compleja y ejemplos Los números complejos estan formados por la triada (R 2, +, ), donde las operaciones tienen las siguientes definiciones: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (1) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (2) Como es bien sabido, los complejos cumplen los mismos axiomas de campo que los reales, razón por la cual forman también un campo. Por otro lado, recuerde que durante el estudio y desarrollo del álgebra lineal, ya se había considerado a R 2 como espacio vectorial, tomando la misma suma y el clásico producto por escalar. Así que muchas técnicas y conocimientos de lineal se retomarán. Recuerde que los elementos del plano, las parejas ordenadas, tienen por lo menos, dos representaciones geométricas diferentes: punto y vector. Dichas representaciones, son obligadas a convivir en el mismo plano, ocasionando confusión. Sin embargo, se usará indistintamente una y otra representación geométrica, según nos convenga. En el inciso (a) de la siguiente figura, se encuentran dos números complejos z 1, z 2 representados como puntos. * Profesor de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México. 1

2 Estamos interesados en calcular la distancia entre ellos. Sin duda, podemos realizar la misma construcción que en álgebra lineal, como se ve en el inciso (b) de la figura. Se dibujan los puntos z 1, z 2, pero ahora como vectores. Después, notamos que la distancia entre ellos viene dada por la longitud del vector anclado que va desde z 2 a z 1. Es posible hallar un vector equivalente al vector anclado haciendo la diferencia z 1 z 2. De manera que parece razonable, definir la distancia entre los números complejos z 1, z 2 como z 1 z 2. Ejemplo 1.1. Sea R = {z C : z i = 1}. Describe gráficamente al conjunto R. Si consideramos lo explicado anteriormente, la expresión z i, se puede leer como la distancia entre z e i. Así que busco la colección de números complejos que se encuentren a una distancia 1 de i. Intuitivamente, es posible imaginar que se trata de una circunferencia. Sin embargo, podemos hacerlo algebraicamente. Sea z = a + bi, entonces z i = 1 (3) a + bi i = 1 (4) a + (b 1)i = 1 (5) a2 + (b 1) 2 = 1 (6) a 2 + (b 1) 2 = 1 (7) La última expresión, es una circunferencia con centro en (0, 1) y radio 1. (8) Genaro Luna Carreto 2 Primavera 2017

3 De esta manera, R es el conjunto de complejos que se encuentran sobre la circunferencia mencionada. Ejemplo 1.2. Qué representará gráficamente R = {z C : z i < 1}? Realizando operaciones análogas al ejercicio anterior, estaríamos hablando de los números complejos que se encuentran en el interior del círculo con centro en i = (0, 1) y radio 1. Claro, sin considerar a los puntos sobre la circunferencia. En la siguiente figura se muestra al conjunto R con un sombreado gris. La línea punteada de la circunferencia, indica que ésta, no ésta en R. Ejemplo 1.3. Sea R = {z C : 1 < z i < 2}. Determine los números complejos que se encuentren en R. Represente a R en el plano complejo. Si escribimos z i = z ( 1 i), entonces los complejos que se encuentran en R, son aquellos que se encuentran a una distancia más grande que 1 de 1 i, pero menor que 2. Si z = a + bi, entonces 1 < z i < 2 (9) 1 < a + bi i < 2 (10) 1 < a i(b + 1) < 2 (11) 1 < (a + 1) 2 + (b + 1) 2 < 2 (12) 1 < (a + 1) 2 + (b + 1) 2 < 4 (13) (14) Genaro Luna Carreto 3 Primavera 2017

4 Veámoslo por partes. La expresión (a + 1) 2 + (b + 1) 2 < 4, representa el interior del un círculo con centro ( 1, 1) y radio 2. Mientras, 1 < (a + 1) 2 + (b + 1) 2, es el conjunto de complejos que están fuera del círculo con centro ( 1, 1) y radio 1. Si intersecta ambos conjuntos, quedará un anillo. Justamente los elementos del anillo (sin las orillas) conforman R. Gráficamente, R se muestra en la figura siguiente: Ejercicios 1. Considere el conjunto R = {z C : z + 2 z i = 0} Represente geométricamente los números complejos que satisfacen las condiciones dadas. 2. Vecindades y conjuntos abiertos en C Con la finalidad de generalizar las ideas de límite, derivada e integral, etc., es necesario también generalizar el concepto de intervalo abierto, presente como hipótesis en los teoremas más importantes del cálculo. De esta forma, surgen las vecindades. Definición 2.1. Sea ɛ > 0 y z 0 C. Genaro Luna Carreto 4 Primavera 2017

5 (i) El conjunto de puntos D ɛ (z 0 ) = {z C : z z 0 < ɛ} (15) es llamado ɛ-vecindad centrada en z 0. Es usual también llamarlo disco con centro en z 0 y radio ɛ. (ii) El conjunto de puntos D ɛ (z 0 ) = {z C : 0 < z z 0 < ɛ} (16) es llamado ɛ-vecindad perforada, centrada en z 0. De acuerdo a lo estudiado en ejemplos y ejercicios anteriores, ambos representan, efectivamente un disco o círculo sin orillas en el plano complejo. Los incisos (i) e (ii) de la definición se muestra en a siguiente figura. La diferencia entre uno y otro, es que en la vecindad perforada, el centro no se encuentra en el conjunto. En el caso del gráfico, z 1 / D ɛ1 (z 1 ) Note que las ɛ-vecindades son ambientes adecuados para definir funciones, ahora de variable compleja, pues contienen una cantidad infinita de puntos y caminos sobre los cuales moverse en dirección hacia el centro, sin ser necesariamente el centro. Definición 2.2. Sea U C. Se dice que U es abierto en C, si para cada z U, existe ɛ > 0 tal que D ɛ (z) U. Genaro Luna Carreto 5 Primavera 2017

6 Por sencillez, en lugar usar letras griegas, algunas veces se usa, por ejemplo r > 0. Por otro lado, se usa el término vecindad, como equivalente a conjunto abierto, aunque algunos autores no lo manejan así. Ejemplo 2.1. Sean U, W C conjuntos abiertos. Demuestra que U W y U W son abiertos. Mostremos lo referente a la intersección. Sea z 0 U W. Por definición existen r 1, r 2 > 0 tales que: Sea r = mín{r 1, r 2 }. Es claro que D r1 (z 0 ) U y D r2 (z 0 ) W (17) D r (z 0 ) D r1 (z 0 ) U y D r (z 0 ) D r2 (z 0 ) W (18) por lo tanto D r (z 0 ) U W. A continuación hay una explicación geométrica. No siempre es adecuado, pero correremos el riesgo. U está punteado junto con el disco asociado a z 0, observe que D r1 (z 0 ) U. En el caso de W tiene un punteado más alargado, junto con el disco asociado a z 0, también D r2 (z 0 ) W. En este caso, se nota que el radio más pequeño, es r 1. De manera que r = mín{r 1, r 2 } = r 1. Ahora verifique que las contenciones conjuntuales en (18), son obvias. Se elige el radio mínimo, porque como se nota en el caso de r 2, el disco podría quedar fuera. Es frecuente usar el término conjunto cerrado, para referirse a los complementos de conjuntos abiertos. Después de que resuelva los ejercicios sugeridos, Genaro Luna Carreto 6 Primavera 2017

7 podrá argumentar que F = {z C : Re(z) 0} es cerrrado. En un tiempo libre grafique F. Ejercicios Muestre que toda ɛ-vecindad es un conjunto abierto. Sugerencia: Revise sus apuntes de cálculo en varias variables. Se dará cuenta esto ya estaba demostrado, pero para el caso del espacio vectorial R n. Sin embargo, aquella demostración sólo usaba la desigualdad triangular que satisface la norma de R n. Por suerte, el módulo de complejos satisface la desigualdad triangular, de manera que la demostración esencialmente es la misma. 2. Muestre que U = {z C : Re(z) > 0} es un conjunto abierto en los complejos. 3. Sea U = {z C : z z 0 ɛ}, donde ɛ > 0. El conjunto U es abierto? 4. Muestre que la intersección de dos abiertos es abierta. 3. Puntos límites y regiones Definición 3.1. Sea z 0 C y S C. Se dice que z 0 es un punto de acumulación o punto límite de S, si cada ɛ-vecindad perforada de z 0, contiene puntos de S. Esto es, si ɛ > 0 [ ] D ɛ (z 0 ) \ {z 0 } S No necesariamente se tiene que un punto límite de un conjunto, se encuentra en el conjunto. Considere S = D 1 (i). El origen es punto de acumulación de S, pero no está en S. Teorema 3.1. Sea S un conjunto que contiene a todos sus puntos de acumulación. Entonces S es cerrado. Demostración. Sea z T = C S. Existe r > 0 tal que D r (z) T, de lo contrario, para cualquier r > 0, el disco D r (z) tiene puntos que no están en T, es decir, el disco D r (z) contiene puntos de S, lo cual, según la definición, indica que z es punto límite de S, pero esto es una contradicción pues z / S Genaro Luna Carreto 7 Primavera 2017

8 y según las hipótesis, S contiene sus puntos límites. En resumen, para cada z T, existe r > 0 tal que D r (z) T, en consecuencia T es abierto. Según la definición de conjunto cerrado su complemento es cerrado, pero el complemento de T es precisamente S. Definición 3.2. Se dice que un conjunto C es conexo, si cada par de puntos en C puede ser unido por una poligonal, totalmente contenida en C. Definición 3.3. Un dominio en los complejos es un conjunto abierto y conexo. A los dominios es usual llamarlos regiones abiertas. Ejemplo 3.1. Sea r < z z 0 < R. Es bien sabido que representa gráficamente un anillo. Es posible mostrar que es la intersección de abiertos, así que es abierto. Además, en la gráfica se muestra como dos puntos cualesquiera z 1 y z 2 se pueden unir por una colección finita de segmentos de recta, esto es, una poligonal. Ejemplo Muestra que cualquier ɛ-vecindad es un conjunto conexo. Por lo tanto, es un dominio. 4. Concepto de función de variable compleja Existe la posibilidad de definir un función de variable compleja en forma semejante a las funciones reales. Genaro Luna Carreto 8 Primavera 2017

9 Definición 4.1. Sean D, W subconjuntos de números complejos. Una función f es un conjunto de pares ordenados: donde w W. f = {(z, w) : z D} La forma de la definición indica que cualquier elemento de D aparece como abscisa en alguna pareja de f, pero no necesariamente cada elemento de W como ordenada en alguna pareja. Como siempre D es llamado dominio, en tanto W es el codominio. La imagen o rango es el conjunto de las ordenadas de las parejas de f, así que es un subconjunto de W. Si una función no contiene dos parejas ordenadas diferentes con el mismo primer elemento, es frecuente llamarla univaluada o unívoca. De lo contrario es llamada multivaluada. Ésta últimas, pueden descomponerse en una colección de funciones unívocas llamadas ramas. Ejemplo 4.1. Colocaré un ejemplo sencillo donde se entienda lo explicado. Sean S = {i, 1 i, 0} y W = C. Definamos una función: f = {(i, 3 + i), (0, 8i), (i, 1 2i), (1 i, 1 i), (1 i, 5 + 3i)} (19) Es obviamente multivaluada, con dominio S, codominio C e imagen {3 + i, 8i, 1 2i, 1 i, 5 + 3i}. Una rama: {(i, 3 + i), (1 i, 5 + 3i), (0, 8i)} Sin duda, se trata de una función univaluada. Igual que ocurrió en el caso de funciones reales, ésta notación puede cambiarse, ganando simplicidad, pero perdiendo claridad. Por ejemplo, se escribirá f(z) = z 2, sin decir explícitamente cual es el dominio, en cuyo caso se entenderá que es el conjunto de valores más grande, donde la función está definida. Ejemplo 4.2. Sea f(z) = z 1 2. Es bien sabido que cada complejo tiene dos raíces cuadradas de la forma ( z 1 2 cos θ ) ( 2 + isenθ, z 1 2 cos θ + 2π + isen θ + 2π ) (20) Genaro Luna Carreto 9 Primavera 2017

10 por lo tanto la función raíz cuadrada compleja es multivaluada. Restringiéndo los valores a una sola raíz para cada z, se obtendría una función univaluada, esto es, una rama de la raíz cuadrada. Ahora sea f una función de variable compleja (univaluada). Si z = x + iy está el dominio, f(z) es un número complejo en el codominio de f, esto es, f(z) = w = u + iv W. Obviamente, u, v de dependen de quien sea z, es decir, son funciones de x, y. Así pues, si z = x + iy f(z) = u(x, y) + iv(x, y) (21) Ejemplo 4.3. Identifica a u(x, y), v(u, y) si f(z) = z 2 + z + 1. f(z) = z 2 + z + 1 (22) f(x + iy) = (x + iy) 2 + x + iy + 1 (23) = x 2 + 2xyi + i 2 y 2 + x + iy + 1 (24) = x 2 y 2 + x yi + 2xyi (25) = (x 2 y 2 + x + 1) + (y + 2xy)i (26) (27) por lo tanto u(x, y) = x 2 y 2 + x + 1 y v = y 2xy Ejercicios 3. Escribe la función f(z) = 1 z iv(x, y). + z en la forma f(z) = u(x, y) + Genaro Luna Carreto 10 Primavera 2017