TEMA 2.1.3: FÓRMULA DE TAYLOR EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Transcripción

1 Asignatura: Matemáticas I Profesor: Roque Molina Legaz TEMA 2..: FÓRMULA DE TAYLOR EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. Programa detallado: Fórmula de Talor. Ejemplos. Etremos relativos de funciones de varias variables. Etremos condicionados: Método de los multiplicadores de Lagrange. Cálculo de etremos absolutos en conjuntos compactos. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos. En todo este tema vamos a seguir trabajando con funciones f : D n, vamos a ver como se puede etender a las mismas la fórmula de Talor, establecida para funciones con una sola variable. También veremos que, a partir de la misma, se pueden calcular los etremos relativos para estas funciones. Finalizaremos calculando etremos condicionados para funciones de varias variables, como caso particular, encontrando los valores máimo mínimo que sabemos (por el teorema de Weierstrass) alcanza una función de varias variables en un conjunto compacto. Como siempre, en el tema Aneo 2.. se pueden encontrar todos los razonamientos demostraciones de los resultados que aquí se incluen. Fórmula de Talor. Ejemplos. Theorem (Talor) Sea f : D n, con D conjunto abierto, una función de clase C m en cada punto de D. Entonces, siason puntos de D el segmento comprendido entre ellos está contenido en D, eiste un puntocen el interior de este segmento, tal que se verifica f fa i n... m! m! fa i i a i 2! i,j n i,i 2,...,i m n i,i 2,...,i m n 2 fa i j i a i j a j... m fa i... im i a i... im a im m fc i... im i a i... im a im epresión a la que se llamafórmuladetalor de orden n para la función f en el puntoa. Al último sumando, que lleva el puntoc, se le llamarestodelagrange de orden m. Si particularizamos la epresión anterior al puntoa,,...,, se obtiene la fórmula de McLaurin.

2 Remark Nuevamente observamos que la fórmula de Talor nos permite poner una función cualquiera de n variables como suma de un polinomio de grado m (polinomio de n variables) del resto (o término complementario). Eample Establecer, para una f, de dos variables, los primeros términos para las fórmulas de Talor McLaurin. Fórmula de Talor de orden n en el punto a,b : fa, b f, fa,b a fa,b 2! 2 fa,b 2! a fa,b fa,b b a b 2 fa,b 2 b 2 a fa,b 2 a2 b fa,b 2 a b 2 fa,b b... Fórmula de McLaurin de orden n :! 2! f, f, f, 2 f, 2 f, f, f, 2 f, 2 2 f, 2 2 f, 2 2 f,... Remark Por comodidad en la notación, por la similitud eistente entre estos desarrollos el binomio de Newton, podemos utilizar una abreviatura para representar cada uno de los corchetes anteriores. Así, pondremos f, fa,b a b fa,b 2!! a b a b 2 fa,b fa,b... para representar la fórmula de Talor anterior. Lo mismo podemos hacer para la fórmula de McLaurin. Eample Hallar el desarrollo de Talor de grado tres (término complementario en grado 4) para la función f, en un entorno del punto a,b,. Usar este desarrollo para calcular de forma aproimada el valor de,,2.

3 Etremos relativos de funciones de varias variables. En esta sección vamos a tratar de obtener los puntos en los que una función de n variables diferenciable, alcanza sus valores etremos locales, es decir, los máimos mínimos relativos. Definition Una función f : D n tiene unmáimorelativo (resp.mínimorelativo) en un puntoa D si eiste un entorno dea, Ua, tal que f fa, Ua (resp. f fa, Ua) Proposition (Condición necesaria de etremo relativo) Sea f : D n diferenciable en a D. Si f presenta enaun etremo relativo (a sea máimo o mínimo), entonces dfa, D. En este caso, se dice queaes unpuntocrítico de f. Remark Por la relación eistente entre la diferencial las derivadas parciales, la condición necesaria anterior se puede poner como: Si f presenta enaun etremo relativo (a sea máimo o mínimo), entonces fa, i,2,...,n i Nuevamente, esta condición solo es necesaria (es decir, si en a ha etremo relativo, sus derivadas parciales en dicho punto han de ser nulas ), pero no es suficiente (a queno siempre ocurrirá el recíproco). Sin embargo, sí que este resultado nos auda para calcular etremos relativos, puesto que nos da los posibles puntos candidatos a ser etremos: solo tenemos que "buscar" entre los valores que hacen nulas las derivadas parciales de f, es decir entre las soluciones del sistema de ecuaciones dado por las epresiones f,i,2,...,n i Al ser esta condición solamente suficiente, precisaremos de otra condición que nos asegure cuando un punto crítico será etremo relativo. Al igual que para las funciones con una sola

4 variable, esta condición suficiente vendrá dada por el estudio de la segunda derivada, aunque como para funciones de varias variables tenemos varias derivadas segundas, el criterio vendrá dado en términos de hessianos menores hessianos, introducidos en el tema anterior. Se puede probar que se verifica: Proposition Dada f : D n función de clase C 2 aun punto crítico de f, formamos la sucesión de números dada por, fa, 2 fa,..., n fa donde k fa representa el menor hessiano de orden k de f. Entonces: a) Si todos los términos de esta sucesión son positivos, el puntoaes un mínimo relativo. b) Si todos los términos son alternados, el puntoaes un máimo relativo. c) En otro caso, NO podemos afirmar nada sobre lo que ocurre en el puntoa. Eample Determinar los etremos relativos para la función de variables f,,z 2 2 z 2 2z. Remark Para el caso particular de funciones con dos variables, podemos dar algo más de información que la que aparece en la anterior proposición. Como veremos, para este caso será de especial interés el cálculo del hessiano Hf, f f f f Proposition (Condición suficiente de etremo relativo en funciones con dos variables) Sea f : D 2 de clase C 2 seaa a,b D un punto crítico de f. Entonces: a) Si Hfa,b f a,b, el puntoa,b es un mínimo relativo de f. b) Si Hfa,b f a,b, el puntoa,b es un máimo relativo de f. c) Si Hfa,b, el puntoa,b no es un etremo relativo de f. En este caso se dice que es unpuntodesilla. d) Si Hfa,b, no podemos afirmar nada sobre el puntoa,b. Normalmente se estudia el comportamiento de f en un entorno de a,b. Remark Un punto crítico se dice que es unpuntodesilla si verifica que respecto de una determinada dirección de la base es un mínimo relativo con respecto a otra dirección de la base es un máimo relativo.

5 Eample Estudiar los puntos críticos clasificarlos para las siguientes funciones: a) f, (Sol:, má. rel.) b) f, (Sol:, mín. rel.) c) f, 2. (Sol:, punto silla) d) f,. (Sol:, punto silla) d) f, 2 2. (Sol: a,,b mín. rel.) Etremos condicionados: Método de los multiplicadores de Lagrange. Ya sabemos como calcular etremos relativos (locales) para una función de varias variables. Sin embargo, en muchas ocasiones se plantea el problema de obtener los etremos absolutos que alcanza una función en un determinado subconjunto de su dominio; es decir, se trata de localizar puntos para los que se ha de cumplir una determinada condición inicial. Lo vemos con un conocido ejemplo: Eample De todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 4 ud., hallar el que tiene área máima. Este tipo de problemas se llaman problemas de etremos condicionados, para su resolución usaremos el siguiente resultado: Theorem (Métodos de los multiplicadores de Lagrange) Sea f : D n una función de clase C. Siaes un etremos de f condicionado por las "ligaduras" g,..., n g 2,..., n... g m,..., n con m n g i funciones de clase C, entonces eisten constantes, 2,..., m (llamadas multiplicadores de Lagrange) tales que a es un punto crítico de la función F : D n definida por F,..., n f,..., n g,..., n... m g m,..., n Remark El maor inconveniente que tiene este método es que el mismo no garantiza que el resultado obtenido sea máimo o mínimo, sino que hemos de analizar los puntos críticos de la anterior función F (conocida como función lagrangiana), usando posibles consideraciones geométricas, físicas, económicas, etc. que nos den en

6 nuestro problema. Eample Hallar los puntos etremos que alcanza la función f, 2 cuando. varía entre los puntos de la circunferencia Solución: Se obtienen como puntos críticos P 5,, P 5 5,, P 2, 2 P 4,. Como fp 2 2 5, fp 2 5, fp fp 4, el mínimo 4 absoluto se alcanzará en P, mientras que máimo absoluto estará en P P 4. Remark Podemos realizar (con wmaima) la representación del ejemplo anterior, resaltando los puntos etremos: f(,):^2; load(draw); drawd(implicit(^2z,,-6,6,,-6,6,z,,25),colorred,line_width.5, parametric(5*cos(t),5*sin(t),5*cos(t)25*(sin(t))^2,t,,2*%pi), colorgreen,line_width.5, parametric(5*cos(t),5*sin(t),,t,,2*%pi), aistrue,aistrue,zaistrue,point_size2,point_tpefilled_circle, points([[-5,,f(-5,)],[.5,.5*^.5,f(.5,.5*^.5)], [.5,-.5*^.5,f(.5,-.5*^.5)]])); Cálculo de etremos absolutos en conjuntos compactos. Un caso donde se suele utilizar este método es aquel en el que las condiciones de ligadura vienen dadas por desigualdades (lo que nos suele dar un conjunto compacto). Como veremos en los siguientes ejemplos, la resolución de este problema lleva implícita la resolución de otros dos: un problema de etremos "sin condiciones" un problema de etremos condicionados. Eample Calcular los valores máimo mínimo absolutos de la función f, 2 en el compacto definido por K, R 2,, 2 2 Puede garantizarse que dichos puntos eisten? Por qué?

7 Solución:Dichos valores siempre van a eistir puesto que f es una función contínua el conjunto K es compacto (Th. Weierstrass). Para calcular dichos valores estudiamos por separado lo que ocurre en el interior en la frontera de K (que es el círculo de radio restringido al er cuadrante): - Puntos críticos en intk : Si resolvemos el sistema f f ; ; obtenemos como solución del mismo el punto, tambien puntos de la forma,. Puesto que ambos puntos no están en el interior de K (están en la frontera), no tenemos candidatos en este interior a ser má. o mín. - La frontera está formada por curvas: el eje X, el eje Y, la porción de circunferencia restringida al er cuadrante. Si calculamos los posibles candidatos en cada una de las curvas: * En el eje X (recta ), la función f, 2, lo que quiere decir que siempre se anula en dichos puntos. * Igualmente ocurre en el eje Y (recta ), la función f, 2. * En el primer cuadrante de la curva 2 2, como 2 2, se tiene que f, 2 2, que tiene por puntos críticos (f ) solamente ; siendo en este punto 2. Por tanto solo tenemos como posible candidato el punto A, 2. Si evaluamos f en todos los puntos obtenidos anteriormente, resulta que f se anula en los ejes de coordenadas, siendo además fa 2. Por tanto, f alcanza 2 su máimo en el punto A (siendo su valor ), mientras que alcanza su mínimo en todos los puntos de los ejes de coordenadas, siendo este mínimo el valor Representación realizada con wmaima: load(draw); drawd(colorblue,line_width,implicit(^2^2,,,,,,,z,,), colorred,line_width,implicit(*^2z,,,,,,,z,,),

8 aistrue,aistrue,zaistrue, point_size2,point_tpefilled_circle, points([[/sqrt(),sqrt(2/),sqrt(4/27)],[.5,,],[,.5,]])); Ejercicios resueltos.. (2do parcial, junio 2) Hallar los etremos relativos, si los hubiera, de la función f, 4 Solución: Calcularemos primero sus puntos críticos: f 2 f e ó e Así tenemos dos puntos críticos A, B,. Para clasificarlos necesitamos del hessiano en cada uno de ellos. Puesto que se verifica Hf, 6 6 tendremos que HfA HfB 6 6 de donde se deduce que A es un punto de silla B es un mínimo relativo. 2. (2do parcial, mao 22) Calcular los etremos absolutos de la función f, 2 en el conjunto compacto D, R , 5/ Solución: Calcularemos primero los puntos críticos de f en el interior de D: si resolvemos f 2 ; f 2 obtenemos como soluciones el punto A, pero también cualquier punto de la forma B, (estos puntos aparecen representados en rojo en la figura siguiente). Calcularemos ahora los puntos críticos en la frontera de D: En primer lugar lo haremos en la parte de dicha frontera que corresponde a la circunferencia : Como f, 2, si sustituimos la ec. de la circunferencia en esta f, se tendrá f que tiene por puntos críticos (se tiene que f 4 2, con lo que 2 ):

9 C 2, 8, D 2, 8, E 2, 8, F 2, 8 Además, en la parte de la figura que corresponde a la recta 5/, se tiene f, que tiene como punto crítico (siendo 5/). Notemos que este punto a está contemplado en los puntos B,. Si calculamos los puntos intersección de la circunferencia la recta, obtenemos G 5, H 5, Si evaluamos f en todos los puntos hallados, resulta que el máimo se encuentra en C D (siendo fc fd,792), mientras que el mínimo se encuentra en G H (siendo fg fh 6,).. (2do parcial, mao 2) Hallar los etremos absolutos que alcanza la función f, 2 2 en el conjunto compacto K, : Solución: El conjunto K coincide con el círculo 2 2, es decir, el círculo de centro, de radio. Inicialmente calculamos los puntos críticos de f, que están en el interior del círculo: Resolviendo f 2 2 f De la ª ecuación resulta que ó. Si, en la 2ª ec. se obtiene ó 2; si, resulta Por tanto tenemos los puntos críticos A,, B2,, C, D,. Los puntos que están en el interior de K son C D (A B están en el borde). Ahora obtendremos los posibles puntos candidatos en la frontera del recinto: No es preciso

10 aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange para evaluar lo que vale f en la frontera de K, a que se verifica que f, como la frontera viene dada por los puntos tales que 2 2 2, resulta que f en cualquier punto de la frontera de K vale siempre (por lo que también valdrá en cualquier punto que podamos haber obtenido mediante multiplicadores de Lagrange, como hemos visto con los puntos A, B2,). No obstante, veamos que se obtiene este mismo resultado si aplicamos multiplicadores: Se trata de hallar los puntos críticos de la función para lo que hemos de resolver el sistema La ª ec puede ponerse como F, F F por lo que o o. Si tomamos, de la ª ec. resulta que, por lo que hemos obtenido los puntos críticos E, F,. Si tomamos e igualamos con el valor de que se obtiene al despejar en la segunda ecuación, al simplificar resulta que coincide con la ª ec. Por tanto, en este caso serán críticos todos los puntos que cumplan esta última condición, es decir todos los puntos que están en el círcunferencia frontera de K. Evaluando f en todos los puntos obtenidos, resulta ser fa ; fb ; fc 2 ; fd 2 ; fe ; ff por lo que el mínimo absoluto se alcanza en C el máimo en D. 4. (2do parcial, mao 24) Hallar los etremos relativos que alcanza la función f, Solución: Obtenemos los puntos críticos a través de la resolución del sistema f f 6 2 obteniéndose (despejamos en la 2ª ec. sustituimos en la ª) que tiene por soluciones 2,. Así, tenemos los puntos críticos2,, 2,,,2, 2. Vamos a particularizar el hessiano en cada uno de ellos: Puesto que

11 Hf, tendremos Hf2, Hf2, por lo que 2, es mínimo relativo 2, máimo relativo. De igual manera, al ser Hf, Hf, los puntos,2,2 serán puntos de silla. 5. De una función f : sabemos que f,, 2; f,,,2,; Hf,, a A partir de estos datos, obtener una epresión aproimada para f,,z en un entorno del punto,,. 5.b Como aplicación de lo anterior, hallar una aproimación para f,,. Solución: (5.a) Se trata de aproimar la función f,,z por su polinomio de McLaurin. Por los datos que nos dan (gradientevalor derivadas primeras; Hessianavalor derivadas segundas), podremos hacerlo hasta grado 2, aplicando f,,z f,, f,, f,, f z,,z 2! f,, 2 f,, 2 f zz,,z 2 por lo que 2f,, 2f z,,z2f z,,z f,,z 2 2 z 2! 2 2 2z z24z 22 z 2! 2 2 2z 2 2 4z8z (5.b) De forma inmediata f,, 2 2 2! de donde f,, (2do parcial, mao 25) Una placa tiene forma de la región 2 2. La placa se

12 calienta de manera que en cada punto, la temperatura viene dada por T, Obtener los puntos de la placa donde se alcanza la maor menor temperatura, así como calcular dicha temperatura. Solución: Se trata de calcular los valores absolutos que alcanza la función T, en el conjunto compacto K, : 2 2. Por ello: - Puntos críticos en el interior de K : De T 2 ; T 4 resulta que el único punto crítico es A,, que está en el interior de K. 2 - Puntos críticos de T en la frontera de K : Se trata de resolver el problema de etremos condicionados dado por Sus puntos críticos se obtienen de resolver F, T 2 2 T De la 2ª ec. se obtiene o 2 : Si, resulta, por la ª ecuación, que ( por la ª ec. hallaríamos el valor de, aunque no lo necesitamos para nada), por lo que tendríamos los puntos B, C,. Si 2, sustituendo en la ª ec,, de donde, 2 por la ª ec.,. Así se obtienen los puntos D, E, Evaluando T en todos los puntos obtenidos, al ser TA 4 ; TB ; TC ; TD 9 4 ; TE 9 4 el valor mínimo se alcanza en A ( es de /4), mientras que el máimo se alcanza en D E (que es de 9/4). 7. (2do parcial, mao 26) Resolver los siguientes apartados: 7.a Calcular clasificar los puntos críticos de la función definida por f, b Calcular el máimo el mínimo absoluto de la función anterior en el compacto K, 2 ; 2 2 2, Solución: (7.a) Se trata de resolver el sistema f 2 2 f 2 2 De la 2da ecuación se obtiene que o que 2. Entonces distinguimos:

13 - Si : Sustituendo en la ª ec., resulta 2, de donde. Por tanto, hemos obtenido los puntos críticos A, B,. - Si 2 : Sustituendo en la ª ec., obtenemos 2 2 9, de donde. Por tanto, 2 hemos obtenido los puntos críticos C, 2 D, Para clasificarlos, hemos de particularizar el hessiano en cada uno de ellos. Al ser tendremos que Hf, HfA 4 ; HfB 4 ; HfC 4 ; HfD 4 por lo que A B son puntos de silla, C es mínimo relativo (a que f C ) D es máimo relativo (a que f D ). (7.b) Para calcular los etremos absolutos en un compacto, actuamos de la forma siguiente: - Puntos críticos (o etremos) de f, en el interior: Los hemos obtenido en el apartado anterior, solamente el punto C, 2 está en el interior de K Puntos críticos de f, en el eje X (con 2 2 : Basta con sustituir en la epresión de f, la ecuación del eje X ( ), por lo que tendremos la función f 6, cuos puntos críticos se alcanzan en. Por tanto hemos obtenido de nuevo los puntos críticos A, B, anteriores. - Puntos críticos de f, en la circunferencia (con ): Hemos de aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange, por lo que se trata de obtener los puntos críticos de la función es decir, ha que resolver el sistema F,, F F De la segunda ecuación se obtiene que (de donde 2; es decir. se tienen los puntos críticos E 2, F 2,, que en este caso coinciden con los vértices de la figura), o que 2 2. Despejando de esta última ecuación también de la ra, e igualando ambos resultados se obtiene 5 2 2, que junto a nos da un sistema de 2 ec. con 2 inc., resolviendo este sistema (inicialmente se obtiene la ec. bicuadrada , que tiene por soluciones, ). Así, obtenemos los puntos 5 críticos G,, H,, I 5, 5 J 5, 5. Evaluaremos f en todos los puntos obtenidos en los vértices de la figura: Resulta que el mínimo absoluto se alcanza en el punto E 2,, mientras que el máimo absoluto se alcanza en J 5, 5. Ejercicios propuestos.

14 . Se considera el conjunto de triángulos isósceles inscritos en la elipse 2 2 2, con vértice fijo en,2 base paralela al eje X. Hallar los triángulos de área máima mínima. 2. Hallar los etremos absolutos de la función f, 2 2 en el recinto K, R 2 / Hallar los etremos absolutos de la función f, 2 2 condicionados por 2 2 6z 2 z 4. Dada la función F, 2 2 e t2 dt, se pide: Estudiar su continuidad diferenciabilidad. Calcular los etremos relativos. 5. Sea f, 2 2. Obtener los valores etremos de f en el conjunto K,; Hallar todos los puntos críticos de f,,z 6 4 z 2 2 Hallar clasificar todos los puntos críticos de f, Se considera la función f : R 2 R definida por f, 2 2. Calcular los etremos absolutos de f, en el semicírculo A 2 2 2,. 8. Hallar los etremos absolutos, caracterizándolos, para la función f,,z z sujetos a la condición z Calcular los etremos absolutos de la función f, 2 2 en el recinto K, R Determinar clasificar los etremos de la función f,,z z sujetos a la restricción g,,z ze z (Indicación: La única solución de la ecuación t e t es t ).

15 . Se considera la función f, log 2 2 t 2 t 2 2 dt Se pide: (a) Estudiar la diferenciabilidad de f caso de que sea diferenciable establecer df,. (b) Determinar clasificar los etremos relativos de f. (c) Calcular f,. 2. Calcular los etremos relativos de la función f, Determinar los etremos de la función en la esfera de ecuación 2 2 z 2. f,,z z 4. Sea g, log 2 2 2t t dt 4 a. Probar que el punto, es crítico. b. Clasificar dicho punto crítico. c. Hallar el polinomio de Talor de grado 2 de g, en el punto,.