Funciones I. Importante. Funciones

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1 Funciones I Importante El concepto de función es una de las ideas fundamentales en la matemática. Casi cualquier estudio que se refiere a la aplicación de la matemática a problemas prácticos o que requiera el análisis de datos emplea este concepto matemático que te eplicaré a continuación: Por ejemplo las compañías como Luz del Sur o Edelnor tienen como unidad de medida para facturar sus recibos el kilowatt - hora (kw-h). El (kw-h) indica cuántos kilowatts se han consumido de electricidad en casa. El (kw-h) cuesta S/.2. Supongamos que ho papá nos dice que vaamos a pagar el recibo mensual de luz, en el camino observas que el monto a pagar es de S/.80, entonces tú rápidamente haces cálculos, si por kw-h nos cobran 2 soles, cuántos kw-h consumimos en casa? kw-h S/.2 kw-h S/.80 Rpta.: 40 kw-h Ahora piensas dices, si hubiera consumido 0 kw-h, cuánto habríamos pagado?, realizas otra regla de tres el resultado es S/.60. Es decir, nos damos cuenta de que entre lo que pagamos lo que consumimos eiste una relación. Si consumes más, pagas más, si consumes menos, pagas menos. También podemos decir que el pago que efectuamos depende de la electricidad que consumimos, o, el pago está en función de la electricidad que consumimos. Este ejemplo es uno de los muchos que eisten cuando hablamos de función. Aquí algunos más que aclaran la idea: - El área de un círculo depende o está en función de la longitud de su radio. - Las cuentas mensuales de agua electricidad dependen de la cantidad de agua o electricidad que se utilicen. - El desarrollo muscular firmeza de un cuerpo depende de los ejercicios físicos que se practiquen. Esta idea nos audará a entender el siguiente marco teórico. Funciones Par ordenado Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en determinado orden: Primera componente Propiedades: (a, b). (a, b) (b, (no conmutativ 2. Si: (a, b) (c, a c b d Producto cartesiano Segunda componente Dados dos conjuntos A B no vacíos, se llama producto cartesiano (A B) al conjunto de pares ordenados (a, b) donde a A b B, es decir: Ejemplo: Sea: A {; 2; } B {2; ; 4} A B {(a, b) / a A b B} A B {(; 2), (; ), (; 4), (2; 2), (2; ), (2; 4), (; 2), (; ), (; 4)} Propiedades:. n(a B) n(b A) 2. n(a B) n(a) n(b) Relación Dados dos conjuntos A B no vacíos, se llama relación de A en B, a todo subconjunto R del producto cartesiano A B, es decir, R es una relación de A en B R A B. En particular, si: A B, R se llama relación en A (relación entre elementos de A ). La definición anterior de relación eige la comparación de elementos pares por eso suele llamarse relaciones binarias. Ejemplo: En el conjunto: A {9; 8; 7; 6; 5; 4; ; 2; } Establecemos las siguientes relaciones: - a es el doble de b. - a es igual a b. 4 AÑO

2 Es cr ib ir l os p ar es q ue c um pl en l as r el ac io ne s respectivamente. - R {(a, b) / a es el doble de b } {(2; ), (4; 2), (6; ), (8; 4)} 2 R 2 {(a, b) / a es igual a b } {(; ),(2; 2),(; ),(4; 4),(5; 5),(6; 6),(7; 7),(8; 8),(9; 9)} - Si R es una relación entre elementos de A B, al conjunto A se le llama conjunto de partida de la relación a B conjunto de llegada. - Se llama Dominio de una relación R al conjunto de - todos los elementos (a A) tales que eiste por lo menos M un (b B) con (a, b) IR. - Se llama Rango de una relación R al conjunto de todos los elementos (b B) tales que eiste por lo menos un 2 (a A) con (a, b) IR. Ejemplo: Sea la relación: R {(; 2), (2; b), (2; 7), (; 2), (; -2)} D {; 2; } R R R {2; b; 7; -2} Si: a c b, es función. M M F F a b c d N N F {(;, (2;, (; b)} es función. F a b c S M F S F {(; b), (2;, (2; } Si: a b c, luego no es función porque se repite el primer elemento. Definición de funciones Sean A B dos conjuntos no vacíos (pudiendo ser A B) llamaremos función definida en A a valores en B (función de A en B ) a toda relación: F A B que tiene la propiedad: (a, b) F (a, F; entonces: b c Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados de elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. Notación: Si F es una función de A B se designa por: F: A B ó a b Se lee: F es una función de A en B. Ejemplos: A F B Observación: Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. Ejemplo: Hallar los valores de a b para que el conjunto de pares ordenados: A {(2; 5), (-; -), (2; 2a - b), (-; b -, (a + b 2 ; } sea una función. En una función dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. (2; 5) (2; 2a - b) A 5 2a - b...() (-; -) (-; b - A b - a -...(2) De () (2), resolviendo: a 2; b - F {(2; 5), (-; -), (; 2)} - Si F es una función de A en B, el conjunto A se llamará conjunto de partida de la función B el conjunto de llegada. - F - El dominio de una función F se designa por se A B define como el conjunto siguiente: a b { A / ; tal que (, ) F} c - El rango (o imagen) de una función F se designa por Siendo a b c, diremos: A F B F {(a; ), (b; ), (c; )} es función. R F o Im F se define como el conjunto siguiente: R F { B / ; tal que (, ) F}

3 es decir son las segundas componentes de los pares ordenados. - Si el par ordenado (a, b) F escribiremos: b F ( diremos que b es imagen de a por F (o también, que b es el valor de F en a ). Ejemplo: F {(a, b) A B / b F ( ; a } Sea la función: F {(2; ), (; 4), (7; ), (-2; 6), (4; )} Hallar: M F (2) + F () + F (7) + F (-2) + F (4) Como: F (2) ; F () 4; F (7) ; F (-2) 6; F (4) M 7 Regla de correspondencia Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos las más conocidas: - Cuando tenemos una función donde su dominio no presenta rango, se despeja en función de. - Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos desigualdades. c. Para la función definida por: G () ; IR (2 - ) 0 R 7 ; G (2)(2 - ) 2(2) Si IR, luego también IR Pero: 0; 9-8(2 - ) Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer su dominio ( ) una regla que permita asignar para cualquier ; su imagen F (). d. Para la función definida por: H () ; [2; ] Ejemplo: ( - 2) 2 +. Hallar el dominio de las siguientes funciones: como: al cuadrado: 0 ( - 2) a. F {(2; ), (4; 5), (6; ), (-2; } más tres: {2; 4; 6; -2} ( - 2) R H [; 4] b. F () - 2 e. Para la función: - 2 0; 2 [2; + > c. F () <- ; -5> [2; + > - {} F () ; + ( - ) ± 0; Hallar el rango de las siguientes funciones: a. F {(2; ), (4; 6), (5; 7), (7; 6), (-2; )} R F {; 6; 7} b. Sea: F () 2 2 IR; IR + {0} <- ; + >; R F [0; + > [0; > R F [0; >

4 Gráfica de una función Sea F una función real, la gráfica de F es el conjunto G de todos los puntos (, ) en el plano, tal que está en el dominio de F e es la imagen de por F, es decir: G {(, ) R 2 / F () ; } - Una gráfica cualquiera será función, si sólo si, al trazar una paralela al eje corta a la gráfica en un sólo punto.. Hallar el dominio de la función: Luego: F () + - D (F) [-; ] Ejemplos: a. F () es función, entonces L la recta paralela al eje corta a la gráfica en un solo punto. L F () b. G () no es función entonces L 2 la recta paralela al eje corta a la gráfica en más de un punto. 4. Hallar el dominio rango de la siguiente función: F () IR - R F : despejar en función de Luego: IR 5. Hallar el dominio el rango de la siguiente función: 2 L 2 F () 8 G () - IR - {8} - R F : despejar en función de. Problemas resueltos ( - ) 2-8. Calcular n en la función: 2-8 F {(7; 9), (n; 2), (; 4), (7; n 2 )} - Dos pares distintos no tienen la misma primera componente, entonces: (7; 9) (7; n 2 ) F 9 n 2 n (no cumpl n - (cumple con la func.) 2. Indicar la suma de los elementos del rango de la función: F () + siendo el dominio: {; 2; ; 4} Luego: IR - {} Problemas para la clase. Hallar ab, si el conjunto de pares ordenados representa una función. F {(2; ), (; a - b), (2; a + b), (; )} b) Para: F () 4 2 F () 7 F () 0 4 F () Luego, suma de elementos del rango: Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función señalar el dominio rango de la función: f {(2; 4a-b), (; b), (2; ), (5; 6), (; )} {2; ; 5}; R F {; 6; } b) {; 6; }; R F {2; ; 5} {2; ; 6}; R F {; ; 5} {; ; 5}; R F {2; ; 6} {5; ; }; R F {; 6; }

5 . De la función: 9. Hallar el dominio de la función: F {(2; ), (; 4), (4; )} Calcular: A F (F (2) ) F (F() ) 4-2 F () 4 b) Dado: F () F {(0; ), (; 2), (2; )} F (2) F (0) IR b) IR - {2} IR - {-4} IR - {4} IR - {} 0.Hallar el rango de la función: Hallar: F(0) F() F(2) 4 - F () 2 6 b) IR - {-4} b) IR - {4} IR - {2} IR - {-2} 5. Del siguiente diagrama: f g.hallar el rango de la función: F () 2 - Calcule el valor de: 5 5 IR - {- } b) IR - { } 2 2 f (2) g (f (2) ) 2 f () g (f () ) IR - { } IR - { 2 } 5 b) 5 8 IR - {- 2 } 2. Cuántos enteros ha en el dominio de la función? F() Sabiendo que el conjunto de pares ordenados: F {(; 5), (a; 6), (; a 2 ), (; 2a + )} Representa una función; indicar el rango. {; 5} b) {5; 9} {; 5; 6} {; 5; 9} {5; 6; 9} 7. Sea la función F tal que: F {(; a 2 ),(; ),(5; 4),(5; a + b),(b; 4)} Calcular la suma de los elementos del dominio. b) Hallar el dominio de la función: 7 F () - 7 IR b) IR - {7} IR - {} IR - {8} IR - {-7} b) Más de 6. Cuántos enteros presenta el dominio de la función? F () b) Hallar el rango en: F () ; IR b) [; + > [; + > <- ; ] <- ; ] 5.Hallar el rango en: F () ; <- ; -4] b) [-4; + > <- ; 4] <- ; 0] [4; + > IR IR

6 6.Obtener el número de elementos enteros del dominio de la función: F () b) Sea la función: F {(a; b), (;, (; ), (2b; 4)} Además: F () - 2a Indicar el producto de los elementos de: R F - b) Calcular el rango de la función: 24.Indicar la suma de los elementos del dominio de: F () ( 2) ( 2 b c 6-6)( - 6) F {(a; b), (; 7), ( ;, ( ; )} ( - 2)( - 4-2) si: F () + a IR - {-6; -0; -4} b) IR - {-2; 2; 6} IR - {6; 4; 0} IR - {6} IR - {0; 4} 8.Dada las funciones F G de variable real: b) IR IR + [; 2] 5 b) Indicar el dominio de: F () IR b) [0; 2] <2; + > G () 2 [2; + > <- ; 2] ; IR 26.Indicar el rango de f: R R Hallar: Dom F Ran G F() IR b) IR + [5; + > [0; + > 9.Calcular el dominio de la función: 27. Dada la función: 2n F () ; n IN F {(4; 8),(b; ),(5; a 2 ),(4; a + b),(5; 9)} Obtener: F (b) + F (5) + b <- ; 0] [; + > b) <- ; ] <- ; 0] [2; 6> <- ; -] [0; + > IR - 20.Determine el rango de la función: 8 b) Dada la función: [-5; + > n a n - n F () ( ) 5 - F () ; n IN [0; + > b) <-; + > <- ; 0] IR <- ; 4] 2.Dada la función: F () ; IR indicar verdadero (V) o falso (F). I. Dom F IR; n: impar II. Dom F [-a; a]; n: par III. F () F (-) ; n: par a Donde: Ran (f) ; a Calcular el valor de a. 6 b) Sabiendo que: F {(5; 7a + 2b), (2; 5), (2; a + 2), (5; 5b - 2} es una función. Calcular: F (2) + F (F ) (2) 6 b) VVV b) VVF VFV FFV FFF 29.Hallar el dominio de la función: F () <- ; -2] <; + > b) <- ; -2] [0; + > [-2; ] [-2; 0] IR

7 0.Hallar el rango de la función: F () 5 - [ 2 ; 4] b) [0; 4 2 ] IR [2 2 ; 4] [0; 2 2 ] Autoevaluación. Hallar el rango de la función: F {(; b),(; b 2-2),(b; 2),(-; )} {} b) {-; 2; } {-; } {2; } {; -2; 2; } 2. Sea la función F tal que: F {(2; 5),(; a 2 ),(; 4),(a; 5)} Hallar a. -2 b) Sean las funciones: F {(-; 2),(-4; ),(0; -2),(; -2)} G {(0; ),(-4; ),(7; ),(8; -)} Hallar: F (-4) G (7) E F (G(7) ) b) Hallar el dominio de: F () IR b) IR - {-2} IR - {2} IR - {} IR - {} 5. Hallar el dominio de la siguiente función: V < -2 b) 2-2 <- ; -2] [2; + >

8 Funciones II Introducción Con frecuencia, en las aplicaciones prácticas el valor de una variable depende del valor de otra. Por ejemplo, el salario de una persona puede depender del número de horas que trabaje, la producción total de una fábrica puede depender del número de máquinas que se utilicen, la distancia recorrida por un objeto puede depender del tiempo transcurrido desde que salió de un punto específico, la resistencia de un cable eléctrico de longitud fija depende de su diámetro, etc. La relación entre este tipo de cantidades suele epresarse mediante una función. Para nuestro estudio las cantidades involucradas en estas relaciones son números reales. El uso de rectas numéricas gráficas de coordenadas es una técnica matemática mu conocida. Sin embargo el advenimiento de calculadoras software de computadora con capacidades de graficación ha tenido un efecto significativo sobre la facilidad de producir gráficas por tanto de su utilidad. Ahora es posible generar gráficas con rapidez precisión tanto a partir de fórmulas como de datos numéricos tomados de eperimentos científicos o de grandes bases de datos cuo acceso ha sido posible gracias a las computadoras. Como resultado, las representaciones gráficas se están haciendo cada vez más comunes complejas. Por tanto, es importante que los estudiantes de matemáticas adquieran eperiencia en la interpretación inteligente de las representaciones gráficas en la comprensión de las coneiones entre las formas simbólicas, gráficas numéricas de las mismas ideas. 2. Función identidad Regla de correspondencia: F () IR; R F IR Significa que: F {...,(; ), (2; 2), (; ),...} F () {(; ) / F () } Gráfica:. Función valor absoluto F () Regla de correspondencia: F () ; si : 0 - ; si : 0 IR; R F IR + {0} Significa que: F {..., (-2; 2), (-; ), (0; 0), (; ),...} F () ; -; Gráfica: Funciones especiales. Función constante 4. Función raíz cuadrada Regla de correspondencia: F () k IR ; R F k Significa que: F {..., (0; k), (; k), (2; k),...} F {(, ) / F () k} Gráfica: F () k Regla de correspondencia: F () IR + {0}; R F IR + {0} Significa que: F {(0; 0),(; ),(2; 2 ),(; ),...} Gráfica: AÑO

9 5. Función lineal Regla de correspondencia: F () a + b a b constantes cualesquiera, a 0 IR; R F IR { ; 2 } raíces de la ecuación, cuando: 0. Su gráfica es una recta, con pendiente a e intercepto b. V Gráfica: 2 - b 2a a > 0 0 b b { ; 2 } raíces iguales de la ecuación, cuando: 0. m + b m + b m > 0 m < b 2a Ejemplo: V Calcular la función lineal que tenga F () además F (2) 2F () F () m + b F () m + b... ( ) Además: F (2) 2F () 2m + b 2(m + b) 2m + b 6m + 2b b - 4m... ( ) De ( ) ( ): m - b 4 F () Función cuadrática Es una función con dominio en el conjunto de los números reales cua regla de correspondencia es: F () a 2 + b + c a; b; c IR; a 0 - Su gráfica es una parábola respecto a una recta vertical, llamada eje de simetría, abierta hacia arriba, si: a > 0; hacia abajo, si: a < 0. - Nota gráfica: Sea la función: a 2 + b + c discriminante b 2-4ac - b 2a 2 b V F - 2a a > 0 > 0 V 2 F - b 2a - b 2a a < 0 > 0 a < 0 0 V F - b 2a - b 2a a > 0 < 0 b F - 2a - b 2a V a < 0 < 0 Esta función, cuando: 0, los valores de son números complejos. Otras funciones Funciones pares Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas respecto al eje, se cumple que: I. Si: - II. F () F (-) Funciones impares Son aquellas que se caracterizan por ser simétricas respecto al origen: I. Si: - II. -F () -F (-)

10 G Ejemplos: Indicar qué funciones son pares, impares o ni par ni impar: I. F () 4 + II. G () III. H () - I. F () es par porque: F (-) (-) 4 + F (-) 4 + F (-) F () F () es par. II. (-) (-) G (-) - -G (-) -G (-) G () G () es impar. II. H (-) H (-) + -H (-) H () ; también H (-) H () H () no es par ni impar. Gráficas de funciones Aquí se dan algunos medios auiliares para trazar gráficas de determinados tipos de funciones: Desplazamiento vertical de la gráfica de f() Función Efecto sobre la gráfica Interpretación gráfica f() + c donde: c > 0 La gráfica de f se desplaza verticalmente hacia arriba una distancia c. f() + c f() c > 0 f() - c donde: c > 0 La gráfica de f se desplaza verticalmente hacia abajo una distancia c. f() c > 0 f() - c Desplazamiento horizontal de la gráfica de f() Función Efecto sobre la gráfica Interpretación gráfica f() f( - f( - donde: c > 0 La gráfica de f se desplaza horizontalmente hacia la derecha una distancia c. f( f(a + a a + c c > 0 f( + f() f( + donde: c > 0 L a gr áf ic a de f s e desplaza horizontalmente hacia la izquierda una distancia c. f(a - f( a - c a c > 0

11 Problemas resueltos. Hallar la gráfica de: F - 2; () 0; 2 - : <- ; + > - R F : <- ; -2> <; + > 2. Hallar la gráfica de: - Cálculo de : F () si : 0 si : 0 4. Graficar: Tabulando: ; si : ( - )( - 2) 0 De donde: 2 : <- ; 2> <; + > - Cálculo del rango: R F [0; + > Realice la gráfica de la siguiente función: Graficar: F () - F () Problemas para la clase 6. Dada la función: Calcular: F (F () ) F (F(4) ) b) - - F (F(5) ) F () 2; F (4) ; F (5) 4 Luego: 2. Graficar: F () + 8 F (2) F () 2 F (4) 8 b) -8

12 Graficar: F () + 6. Graficar: F () ( + ) 2-5 b) - b) - 4. Graficar: Graficar: F () - 2 b) 8-8 b) Graficar: F () ( - 5) Graficar: F () - - b) 5 - b)

13 9. Graficar: F () Graficar: F () - - b) b) 0.Graficar: F () -.Graficar: F () 2-5 b) b).graficar: F () - 4.Graficar: F () - - b) b)

14 - 7. Graficar: F () b) 5.Si la gráfica de la función: F (), es: Graficar la función: F ( + 5) - 7 b) 8.Graficar: F () - b) - 6.Si la gráfica de la función: F () ; es: 9.Graficar: 4 - Graficar la función: F ( - 2) - b) b)

15 F e a l a f u n c i ó n : F 20.Graficar: ( - 4) S () ( - 2). Indicar cuál de las siguientes gráficas representa el área limitada por el eje de abscisas la función: F ( ) b) 2 2 b) Cuál de las siguientes gráficas representa la función: - () 2 b) La función cuadrática: F () tiene como gráfico: (p;0) - Calcular p + q - 6 b) Si la gráfica de la función: F () es aproimadamente: 26.Hallar el área de la región formada por las gráficas de las funciones F G tales que: F () - 5 ; G () 8 u 2 b) Si: ab < 0, indicar la gráfica de la función: - b 2 a (a - 2b) Hallar m + n + p + a a m n p b) 2 b) Determine el área de la región formada por la función: F () el eje de las abscisas. 8 u 2 b)

16 28.Graficar: -. Construir la gráfica de la función: F () - F () F () b) - b) - - F () - F () 4. Graficar: - 2 Autoevaluación F () F (). Cuál de las siguientes gráficas no pertenece a una función? 2 b) 2 F () F () b) F () F () -2 F () -2 F () F () 2 F () 5. Hallar el área de la región sombreada formada por la recta L los ejes de coordenadas, siendo: F () Construir la gráfica de la función: F () - 2 F() F () F () b) L -2 2 F () F () 5 b) F () 2