INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL MAESTRÍA EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DIGITALES

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL MAESTRÍA EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DIGITALES DISEÑO DE CONTROLADORES ROBUSTOS Y ADAPTIVOS PARA ROBOTS MANIPULADORES TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS P R E S E N T A: ING. SALVADOR GONZÁLEZ VÁZQUEZ BAJO LA DIRECCIÓN DE: DR. LEONARDO ACHO ZUPPA FECHA: JULIO, 5 TIJUANA, B.C., MÉXICO

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3 DEDICATORIA A faa y ago por brndar u confanza.

4 AGRADECIMIENTOS A Inttuto Potécnco Nacona por e apoyo y a foracón acadéca recbda. A drector de te, Dr. Leonardo Acho Zuppa, por aportar u conocento a fn de dearroar ete trabajo de te. A coté de te: Dr. Lu Tupak Aguar Buto, Dr. Lu Gonzáez Hernández, Mc. Ocar Huberto Monte Ro y Dr. Juan García López, por u aeoría y contrbucone a ete trabajo. A Centro de Invetgacón y Dearroo de Tecnoogía Dgta por er un eeento de foracón y dearroo profeona.

5 ÍNDICE: Lta de abrevacone y íboo. Lta de fgura... Págna (v) (v) Lta de taba. (v) Reuen.. (v) Abtract... (v) INTRODUCCIÓN.. () CAPÍTULO I : PRELIMINARES TEÓRICOS Y MATEMÁTICOS Introduccón. () I. Robot anpuadore () I. Etabdad de o robot anpuadore no actuado.... (6) I. Etabdad de o robot anpuadore actuado. (8) I.4 Contro y etabdad de robot anpuadore de n g.d.. () I.5 Fundaento de a teoría de etabdad de Lyapunov... (6) I.6 Reuen de capítuo... (8) CAPÍTULO II : DISEÑO Y SIMULACIÓN DEL CONTROLADOR A: PID ADAPTIVO Introduccón. (9) II. Proceo de deño de controadore.. (9) II. Deño de controador.. ()

6 II.. Propueta controador A.. () II... Aná de etabdad de controador A. () II... Condcone de uacón para e controador A (5) II... Reutado de a uacón para e controador A.. () II...4 Obervacone de controador A. (8) CAPÍTULO III : DISEÑO Y SIMULACIÓN DEL CONTROLADOR B: PID ADAPTIVO CON COMPENSACIÓN DE LA MATRIZ DE FUERZAS CENTRÍFUGAS Y DE CORIOLIS III. Propueta controador B... (9) III. Aná de etabdad de controador B. (4) III. Condcone de uacón para e controador B.... (4) III.4 Reutado de a uacón para e controador B... (4) III.5 Obervacone de controador B..... (48) CAPÍTULO IV : DISEÑO Y SIMULACIÓN DEL CONTROLADOR C: PID ADAPTIVO CON COMPENSACIÓN DEL VECTOR DE PARES GRAVITACIONALES IV. Propueta controador C... (49) IV. Aná de etabdad de controador C.... (5) IV. Condcone de uacón para e controador C... (5) IV.4 Reutado de a uacón para e controador C (5) IV.5 Obervacone de controador C.... (58) RESUMEN Y CONCLUSIONES (59)

7 APÉNDICES A : MODELADO DEL ROBOT MANIPULADOR PEGASUS DE G.D.L. A. Epecfcacone. (6) A. Método de Lagrange... (6) A. Modeado (6) A.4 Varante de odeo de robot anpuador Pegau de g.d.. (68) B : SISTEMA DE ACTUADORES EN EL ROBOT PEGASUS B. Epecfcacone de tren de engrane (7) B. Epecfcacone de o otore.... (7) B.. Converón par-votaje... (74) B. Stea a boue de robot Pegau controador.... (75) BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS... (76)

8 Lta de abrevacone y íboo g. d.. Grado de bertad PID R x Proporcona-Integra-Dervatvo Nuero reae Nora vectora de x V ( x) Funcón canddata de Lyapunov d ~ Vector de pocone artcuare Vector de veocdade artcuare Vector de aceeracone artcuare Vector de trayectora deeada Vector de errore artcuare τ Vector de pare C ( ) M ( ) Matrz de nerca G ( ) Vector de pare gravtaconae Y (, ) Matrz de regreón, Matrz de fuerza centrífuga y de coro. ξ ξˆ ~ ξ E I g δ ε Vector de paráetro Vector de etacón Vector de error de etacón Error debdo a perturbacone Maa de eabón Longtud de eabón Inerca Gravedad Cota de condcone ncae Cota de oucone K, P Matrce de gananca v

9 Lta de fgura I. Confguracone de robot anpuadore de g.d (4) I. Robot anpuador de n g.d..... (5) I. Repueta natura de pénduo (7) I.4 Pénduo actuado... (9) I.5 Robot anpuador en azo cerrado () I.6 Varante de un pano de fae para x ~ () II. Trayectora de eguento... (6) II. Perturbacone paraétrca... (9) II. Reutado para e controador A.. () II.4 Reutado para e controador A.. () II.5 Reutado para e controador A.. (4) II.6 Reutado para e controador A.4. (5) II.7 Reutado para e controador A.5. (6) II.8 Reutado para e controador A.6. (7) III. Reutado para e controador B.. (4) III. Reutado para e controador B.. (4) III. Reutado para e controador B.. (44) III.4 Reutado para e controador B.4. (45) v

10 III.5 Reutado para e controador B.5. (46) III.6 Reutado para e controador B.6. (47) IV. Reutado para e controador C.. (5) IV. Reutado para e controador C.. (5) IV. Reutado para e controador C.. (54) IV.4 Reutado para e controador C.4. (55) IV.5 Reutado para e controador C.5. (56) IV.6 Reutado para e controador C.6. (57) A. Morfoogía de robot anpuador Pegau de g.d..... (6) B. Stea actuador de a artcuacón. (7) B. Stea actuador de a artcuacón. (7) B. Stea actuador de a artcuacón. (7) B.4 Modeo eectroecánco de un otor de c.d.. (7) B.5 Stea a boue de azo cerrado forado por robot Pegau controador.. (75) v

11 Lta de taba II. Paráetro de controador A (7) II. Paráetro de controador B (4) II. Paráetro de controador C (5) A. Paráetro nonae y epecfcacone de robot anpuador Pegau... (6) A. Dato dnáco de robot anpuador Pegau.. (6) B. Paráetro de otor de c.d. pttan ere GM944 a. vot (7) v

12 Reuen En apcacone ndutrae o robot anpuadore etán ujeto a ncertdubre paraétrca, y aguna vece, de odeo, o cua afecta e deepeño de controador deñado. E objetvo de a preente te e deñar nuevo controadore robuto ue hagan frente a o paráetro ncerto de tea bajo contro. Con eto, e etaría reovendo e probea de deño de controadore robuto y adaptvo para robot anpuadore. Se reaza aná de etabdad a o controadore propueto uando teoría de Lyapunov. Experento nuérco apcado a un robot anpuador de tre grado de bertad uetran e buen deepeño de o controadore propueto. Abtract In ndutra appcaton robot anpuator are ubject to paraetrc uncertante, and oete, to ode uncertante too, affectng the perforance of the controer. The objectve of the preent the to degn new robut adaptve controer to dea wth the paraetrc uncertante of the yte under contro. In th ene, the degn of robut and adaptve controer for robot anpuator are preented. Stabty anay done by ung Lyapunov theory. Nuerca experent apped to a three degree of freedo robot anpuator how good perforance of the propoed robut adaptve controer. v

13 INTRODUCCIÓN E objetvo fundaenta de un robot anpuador, e obvaente a anpuacón de objeto o herraenta, o cua ngrea aa, ongtude e nerca, ue atera paraetrícaente a odeo de dcho robot anpuador. En otro entdo, tabén e certo ue aguno paráetro propo de robot anpuador, no e pueden edr con exacttud, o peente no e pueden edr, ta coo a nerca, por o ue e tene ncertdubre en o paráetro de odeo de robot anpuador. Debdo a eta probeátca, e tea de contro o controador debe etar preparado ante a odfcacón de paráetro, con e fn de egur cupendo e objetvo de contro, ue para eta te, e ue e robot anpuador eve acabo e eguento de una trayectora deeada. En [8] e uetra un reuen generazado de contro apcado a robot anpuadore, en donde e encona ue e probea panteado en ete trabajo, e ha reueto por técnca adaptva, para o cua e reuere nforacón de a aceeracón, veocdad y pocón anguar de brazo anpuador. Tabén uetra ue eta técnca adaptva on robuta, de ahí e nobre de controadore robuto-adaptvo. Por tanto, para dar oucón a a probeátca enconada, e preente trabajo de te pantea deñar controadore robuto y adaptvo ue hagan frente a ncertdubre paraétrca y/o de odeo en robot anpuadore, utzando úncaente nforacón de veocdad y pocón anguar. E capítuo I e reaza un etudo de a dnáca de robot anpuadore, tabén e ntroducen herraenta utzada en teoría no nea y e aná de etabdad para tea no neae por edo de a teoría de Lyapunov.

14 E capítuo II, capítuo III y capítuo IV e centran en e deño de o controadore. En cada uno de eo, e propone un controador, e coprueba u etabdad por edo de a teoría de Lyapunov, y fnaente e reazan experento nuérco para vuazar e buen deepeño de o controadore propueto. En e apéndce A e reaza e odeado de robot anpuador de g.d.. denonado Pegau, obre e cua e reazan a uacone y prueba nuérca de o controadore propueto en e capítuo II, capítuo III y capítuo IV. En e apéndce B e decrbe e tea de actuadore de robot anpuador Pegau, aí tabén e pantean a expreone de converón par-votaje, con e objetvo de obtener gráfca de votaje de cada actuador, generada durante a uacone de o controadore propueto en e capítuo II, capítuo III y capítuo IV. La grafca de votaje rven de referenca para etabecer tante en votaje y evtar aturacone en o actuadore.

15 CAPÍTULO I PRELIMINARES TEÓRICOS Y MATEMÁTICOS Introduccón En e preente capítuo e reuen concepto referente a robot anpuadore, aí coo a nterpretacón de u dnáca y de u varabe. Se enuncan fundaento de contro apcado a robot anpuadore y a conderacone para ue dcho robot eve acabo e eguento de una trayectora deeada. Se enuncan fundaento de a teoría de Lyapunov, a cua perte anazar a etabdad de tea no neae, ta coo e e cao de azo cerrado forado por e robot-controador. Copeentando, e propone una fora aterna de grafcar pano de fae, cuya ventaja radca en ntroducr a dnáca de á de do varabe en a a grafca. I. Robot anpuadore Dentro de capo de a robótca, e tene una gran varedad de tea robótco [], egún ea u uo o apcacón. De anera genérca e encuentran o robot óve y o robot anpuadore, eto úto apcado en gran edda en a ndutra para reazar tarea de pntura, enabe, odadura, anpuacón de herraenta, etc. Repecto a a varedad de robot anpuadore, e encuentran a confguracone otrada en a Fgura I., a cuae e cafcan de acuerdo a a cobnacón y tpo de depazaento artcuare ue reazan, endo eto de tpo rotacona (R) y/o traacona (T). Entendendo coo artcuacón, a eeento actuador (a) o de unón de do eabone (e), a cua reaza ovento ecánco denonado grado de bertad (g.d.), donde eto e

16 cafcan de acuerdo a denonaento de ovento reazado en aguna dreccón y/o entdo deternado. Cabe enconar ue o g.d.. de un robot anpuador, e obtene uando o g.d.. ue e tenen en cada una de u artcuacone, por ejepo, a confguracone de a Fgura I. on de g.d.., pueto ue cada artcuacón reaza un ovento de g.d.., e decr, en una denón. Por otro ado e térno de eabón, e refere a eeento coúnente rígdo ue nterreaconan a a artcuacone []. Fgura I. : Confguracone de robot anpuadore de g.d.. 4

17 En genera, e dce ue e robot anpuador e un tea ecánco copueto por n eabone, o cuae etán nterreaconado por n unone o artcuacone, cada una controada por un actuador ue proporcona ovento ecánco a a artcuacón correpondente, con e fn de ue e robot anpuador efectué una tarea deeada, ta coo, e ovento de artcuacone a una pocón deeada, o ben, ue e de eguento a una trayectora predeternada, ta coo e uetra a Fgura I.. Fgura I. : Robot anpuador de n g.d.. Donde e efector fna E, e cua ben puede er una pnza o herraenta de trabajo, debe r f de una pocón nca P a una pocón fna P f, guendo a trayectora denotada por a ínea punteada. Para ograr dcho objetvo e debe apcar eñae adecuada a o actuadore, para ue eto a u vez, generen o ovento ecánco necearo en a artcuacone. Lo anteror tabén e ogra edante e deño de un controador, e cua autoátcaente genera a eñae neceara para cupr dcho objetvo. En e proceo de deño de controador e necearo conocer e odeo de tea a controar, en ete cao e odeo de robot anpuador. E odeo de robot anpuador de n g.d.. [8] eta decrto por: M ( ) C(, ) G( ) τ, (I..) 5

18 donde n n R e e vector de pocone artcuare, R e e vector de veocdade artcuare, R n n e e vector de aceeracone artcuare, torue (entrada de contro), M ( ) C(, ) y G( ) τ R e e vector de, on a atrce de nerca, fuerza centrífuga y de coro, y e vector de pare gravtaconae, repectvaente. Éto on de denone apropada. Una decrpcón partcuar de odeo (I..) e uetra en e apéndce A, e cua correponde a odeo de un robot anpuador de g.d.. con confguracón anguar (RRR), denonado Pegau, donde u odeo dnáco e utzado para poner a prueba o controadore deñado a o argo de a preente te. I. Etabdad de o robot anpuadore no actuado A odo de pfcar e odeo dnáco de un robot anpuador anguar, e utza e euea á enco de éte, e cua etá conforado por una oa artcuacón anguar y un eabón, ta coo e uetra en a Fgura I., cuya ecuacón dnáca o de ovento eta decrta por a ecuacón (I..), a cua decrbe e odeo de robot anpuador artcuar de g.d.. ( ) τ, ( t ), ( t ) f gen, (I..) donde e a aa de eabón, e a ongtud de eabón a centro de aa, g e e térno de gravedad, f e e coefcente de frccón de a artcuacón, ( t ) e a condcón nca de pocón, ( t ) e a condcón nca de veocdad, y τ e e par apcado en a artcuacón; donde τ (cao no-actuado), entonce (I..) correponde a odeo de un pénduo [4]. 6

19 Se oberva ue (I..) contene un térno enoda, e cua genera a no neadad de tea. Aí tabén e oberva ue e odeo no vara paraétrcaente con e tepo, por o tanto e denona tea nvarante en e tepo. Fgura I. : Repueta natura de pénduo Con repecto a a Fgura I., e a pocón anguar repecto a a vertca, e y e on a pocone anguare en donde e eabón e encuentra en eubro. La únca fuerza preente on a fuerza de frccón en a artcuacón y a fuerza de gravedad actuando obre e eabón. Bajo eta condcone, e tea e encuentra en un régen de operacón natura. La técnca de etabdad, pantean hacer e aná de etabdad obre o punto de eubro. Para ejepfcar e coportaento dnáco de tea (I..) arededor de o punto de eubro, e cooca e eabón en una ere de pocone anguare ncae, 7

20 correpondente a a condcone ncae π ( ) π, y a una veocdad nca ( ), para a cuae e obtene a dnáca contepada en a Fgura I., y obre a cua e concuyen o guente cao: - Etabdad de punto de eubro e : e netabe para toda condcón nca ( ) < π, ya ue a toar condcone ncae en a cercanía o vecndade de e, a oucone no convergen n e antenen en a cercanía de punto de eubro e, no por e contraro, a oucone dvergen de o. - Etabdad de punto de eubro e nca ( ) < π : e antótcaente etabe para toda condcón, ya ue a repueta en u cercanía o vecndade convergen exactaente a punto de eubro e antótcaente., e dce ue ete punto de eubro e etabe E aná reazado durante a eccón I., e puede apcar a robot anpuadore anguare con á grado de bertad, hacendo énfa ue a dferenca radca en ue e odeo ateátco e á copejo, o ue nvoucra ayor copejdad en e aná. I. Etabdad de o robot anpuadore actuado En eta eccón e condera e tea (I..), pero ahora τ (actuado), ta coo e uetra en a Fgura I.4, y cuya tarea conte en dar eguento a una trayectora deeada decrta por d () t, e decr, e objetvo de contro e: () t () t (I..) t d 8

21 Defnendo a ~ coo e error de pocón anguar, e objetvo de contro (I..) puede d tabén er enuncado coo: ~ () t t (I..) Lo objetvo de contro (I..) y (I..) e ogran por edo de un controador, e cua toa nforacón de a pocón de actuador y de a trayectora deeada d, a copara, y genera a u ada un par τ, e cua e apca a a artcuacón, para ograr (I..). De anera á genera, e controador e defne coo a ntegracón de coponente ue nteractúan entre, deñado para a nterpretacón y proceaento de nforacón obtenda de un tea a controar, para evar a dcho tea a cupr con un objetvo de contro. Ta proceo e baa en e concepto de reaentacón o de azo cerrado, o cua conte en edr a varabe de nteré en e tea a controar, para uara coo nforacón de entrada a controador, e cua procea eta nforacón y genera ada de contro haca e tea a controar. Fgura I.4 : Pénduo actuado 9

22 De acuerdo a a expreón (I..), confore e t e debe cupr ue ~, por o ue e aná de etabdad debe reazare obre ~, con e fn de aegurar ue (I..) e atface. Debdo a ue e odeo de robot anpuador (I..) e no nea, y por otro ado e controador puede er no nea o nea, entonce e tea en azo cerrado (robotcontroador) eta decrto por una expreón no nea, para o cua e reuere utzar teoría de contro no nea, y cuya herraenta utzada en a preente te, e enuncaran en a eccone guente. I.4 Contro y etabdad de robot anpuadore de n g.d.. Tradconaente e utza funcone de tranferenca para decrbr un tea nea, o cua reacona ada-entrada, y cuyo aná e reaza por edo de a tranforada de Lapace, donde una deventaja de eta técnca radca en e hecho de ue oo e apca a tea neae. Para tea no neae, e preentan herraenta de aná de ecuacone dferencae no neae, y concepto tae coo, varabe de etado, punto de eubro, funcone autónoa y no autónoa, etabdad en e entdo de Lyapunov. Ahora ben, otra fora de repreentar a tea e en varabe de etado, donde por o reguar cada varabe o vector de etado tene una nterpretacón fíca edbe, por ejepo en un robot de n g.d.., eta varabe e referen a o eeento de o vectore de pocone anguare n n R, veocdade anguare R y aceeracone anguare R n. A u vez, eto vectore e pueden agrupar coo un vector de etado x [], coo: x R n (I.4.) E uo de varabe de etado e hace necearo, ya ue ea contenen nforacón de tea, a cua puede er apcada por retroaentacón a una etapa de contro o controador, ta coo o uetra a Fgura I.5.

23 Fgura I.5 : Robot anpuador en azo cerrado Dcho controador tene coo objetvo de contro, evar a artcuacone a una pocón o trayectora deeada decrta por e vector de pocone anguare deeada veocdad decrta por e vector de veocdade anguare deeada d d R n n R a una, a cuae on prograada por e uuaro, e ntroducda a controador. Cabe enconar ue éta pueden er repreentada dentro de un vector de etado x d, decrto por: x d d d R n (I.4.) E controador e deña para generar eñae de contro τ, ue aproxe o á pobe x a o decrto por x, por tanto, a dferenca de (I.4.) y (I.4.) eta decrta por: d ~ ~ x x xd ~ R d d n, (I.4.) donde x ~ repreenta e vector de etado de errore de pocone anguare y veocdade anguare, e cua utza e controador coo entrada para ograr e objetvo de contro: ~ x() t t (I.4.4)

24 Lo cua gnfca hacer x confore t. Pero ete objetvo no epre e cupe, xd tenendo a pobe tuacone otrada en a Fgura I.6. Cabe enconar ue eta grafcacón e una varante de denonado pano de fae, e cua, por o genera e reaza con do eeento o varabe de etado, pero cuando e tene un ayor núero de eeento o varabe, entonce ncreenta e denonaento de grafcacón, por tanto con e fn de vuazar a dnáca de o vectore ~ y ~, cada uno con denón n, e propone reazaro por edo de una varante de a nora Eucdana o nora- de vector de etado x ~ (I.4.), decrta coo: ~ x ~ ~ R, (I.4.5) donde, de acuerdo a a defncón ateátca de nora Eucdana o nora-, e tene: ~ n ~ ~ ~ T R, (I.4.6) donde ~ R, repreenta e eeento pertenecente a vector ~, o cua correponde error de pocón de a artcuacón. En e o entdo, e puede defnr a nora de vector ~. A partr de o anteror, e deuetra ue (I.4.5) atface a defncón tradcona de nora Eucdana o nora-, apcando o guente: n ~ n n ~ x ~ ~ n ~ (I.4.7) La ventaja de reazar un pano de fae acorde a a defncón propueta en (I.4.5), radca en e hecho de vuazar a dnáca de un núero ayor de varabe de etado en un óo pano de fae repecto a tepo, evtando reazar un ayor nuero de pano de fae

25 correpondente a par de eeento ~ y ~. Ahora ben, debdo a ue ~ y ~ contendo en (I.4.5) epre on potvo, entonce a dnáca de x ~ epre e antendrá obre e cuadrante potvo de a Fgura I.6., o cua no afecta a a dnáca de error, ya ue éta úta e antene debdo a o deotrado en (I.4.7). Fgura I.6 : Varante de un pano de fae para x ~ En a Fgura I.6, a ínea punteada denota a dnáca de ~ x () t a travé de tepo, a cua depende de ~ y ~, y cuya condcone ncae ( ) y ( ) ~ ~ etán tada o acotada por un vaor δ : ~ x ( ) ~ ~ < δ ( ) ( ) R (I.4.8) La dferenca en () ~ x e da debdo a ue ( ) ( ) y ( ) ( ) d d, gnfcando ue en e ntante t a pocón y veocdad anguar de robot anpuador e dferente a u pocón y veocdad anguar deeada en e o ntante. A partr de dcho ntante ntervene e controador, e cua tene coo objetvo de contro (I.4.4) acanzar e punto de eubro ~ x, o acercare o á pobe a é, antenendo a () ~ x t dentro de una cota < ε a travé de tepo, de ograro, e dce ue e azo cerrado e etabe; En cao de ue ~ x () t crezca nfntaente en e tepo o e upere en agún ntante a cota ε, e dce netabe.

26 E portante enconar, ue a ecuacone (I.4.5), (I.4.7) y (I.4.8) e propueron coo expreone aternatva, con e fn de ograr grafcar o vectore ~ y ~ con n eeento cada uno, ta coo o uetra a Fgura I.6. Eta fora de anejar a ecuacone enconada no e encuentran en a teratura, dejando en caro ue eta oo e ugere coo aternatva de grafcacón de un pano de fae entre vectore. Menconado o anteror, e retoa e entdo ateátco de (I.4.5), (I.4.7) y (I.4.8), uedando: ~ x ~ ~ R, (I.4.9) ~ x ( ) ~ ~ ( ) ( ) R, (I.4.) La expreone (.4.9) y (.4.) etán acorde a a herraenta utzada en teoría de etabdad [], y cuya portanca radca en conderar eeento o varabe tanto potva coo negatva, e decr en todo o cuadrante. A partr de (I.4.9) y (I.4.) e puede forazar varo tpo de etabdad, tae coo: x ~ < ~ < ε t Etabdad: ( ) δ x() t Eubro Etabe (I.4.) Etabdad Antótca: ~ x () < δ Eubro Etabe ~ x ~ x () t () t < ε t cuando t (I.4.) Etabdad Antótca Goba: ~ x ( ) Eubro R Etabe ~ x ~ x () t () t < ε t cuando t (I.4.) 4

27 Inetabe: No cupe con nnguna de a anterore. En partcuar, a defncón (I.4.) decrbe ue a oucone de ~ x() t on etabe, epre ue para condcone ncae acotada por δ, a oucone de ~ x() t e antenen dentro de una cota ε. Ahora ben, repecto a térno de enuncado por (Eubro Etabe), e dce etabe, para condcone ncae uy cercana o próxa a a vecndade de un punto de eubro, u oucone peranecen dentro de dcha vecndad; ta coo e encona en a eccón I.. Contnuando con a decrpcón, e vocabo etabdad antótca, hace referenca a ue a oucone de ~ x() t converge exactaente a punto de eubro, confore e tepo tende a nfnto. Mentra e térno goba, hace referenca a ue e puede partr de cuauer condcón nca. De acuerdo a o decrto de (I.4.9) hata (I.4.), e dce ue a eno un eeento de o vectore de etado ~, ~ genera error confore e t, entonce en genera x ~ preenta error y cuya oucone pueden antenere etabe o ben, vovere netabe. En a preente eccón e enuncaron concepto de contro y tpo de etabdad, en genera enfocado a robot anpuadore, uedando entonce por decrbr e procedento para coprobar etabdad, o cua e ogra utzando a teoría de Lyapunov. 5

28 I.5 Fundaento de a teoría de etabdad de Lyapunov Se utza e denonado egundo étodo de Lyapunov o étodo drecto de Lyapunov [], para o cua: - Se dentfca e tea, en funcón de u varabe de etado a etabzar. En térno generae, e puede tener e odeo nea o no nea de un tea dnáco, ya ea en azo aberto o en azo cerrado; y adeá e tea vara con e tepo, e denona no autónoo (I.5.), en cao contraro e denona autónoo (I.5.). E tea e repreenta por ecuacone de etado y etabdad. R, endo y R e vector de etado e cua e anaza Stea no autónoo: () t f ( t, y() t ) y( ) R t y (I.5.) Stea autónoo: y f ( y() t ) y( ) R t (I.5.) Para a preente te, e hace uo de tea autónoo, tanto para e robot anpuador de n g.d., coo para e controador, por o ue a coocaro en azo cerrado e tene un tea autónoo; en otro entdo, e deño de controador tene coo prea ograr ue dcho azo cerrado, uede en funcón de vector de error ~ x, obre e cua e deea anazar etabdad, entonce apcando (I.4.) en (I.5.), e tene: ~ x ~ ~ R n (I.5.) En térno generae, para e aná de etabdad de tea (I.5.) o (I.5.), e: - Propone una funcón canddata de Lyapunov ( ) V t, y : R R. 6

29 Para a preente te, e tea o confora (I.5.), por tanto, a funcón canddata de Lyapunov e decrbe por ( ) V ~ x : R n R, a cua eta en funcón de vector de etado a etabzar ~ x ; En ete entdo, para concur etabdad e decrbe a etodoogía [] dada por: ) Propueta de funcón V ( ~ x ): Defnda Potva ( ) ( ~ x ) V ocaente V > [ B] V ( ) gobaente V ( ~ x ) > ~ x ~ x ~ x [ A] peueña (I.5.4) ) Dervar V ( ~ x ) repecto a ~ [C] x V ( ~ x ) { ( ~ x ) V ~ x T ~ x V ( ~ x ) ( x ) > regrear a ) V ~ paar a ) (I.5.5) ) Concuón de: Etabdad [ B] oca [ D] goba Aíntótca [ D] goba { { V ( ~ x ) V V V ( ~ x ) ( ) ( ~ x ) < t ~ x t peueña ~ x R n t t ~ x R n (I.5.6) Donde: [ A] Se entende por x~ coo auea x~ β, con β peueña. peueña [B] [C] [D] En aguna teratura, e ote a expreón. ( x ) V ~ debe er una funcón contnua repecto a ~ x. Donde V ( ~ x) debe er defnda potva (gobaente), y adeá radaete ~. deacotada, e decr, V ( x ) x~ Una apcacón de eta teoría, e reaza durante e aná de etabdad de o controadore propueto en e capítuo II, capítuo III y capítuo IV. 7

30 I.6 Reuen de capítuo En ete capítuo e reaza un etudo ntroductoro de robot anpuadore, tratando cuetone tae coo; tpo de confguracone, odeo, aná de u dnáca, objetvo de u etapa de contro, aí coo concepto de etabdad y u etudo por edo de a teoría de Lyapunov. Lo cua provee de bae neceara para a nterpretacón, coprenón y oucón de probea panteado en a preente te. 8

31 CAPÍTULO II DISEÑO Y SIMULACIÓN DEL CONTROLADOR A: PID ADAPTIVO Introduccón Se deña un controador adaptvo con etructura PID, debdo a u veratdad y uo, con e objetvo ue haga frente a no neadade y a ncertdubre paraétrca de robot anpuadore de n g.d.. Se uetra e proceo de aná de etabdad de tea en azo cerrado, conforado por e controador y e robot anpuador de n g.d.. Se reazan prueba nuérca a tea a controar, e cua e baa en e odeo de un robot anpuador de g.d.. denonado Pegau, con e fn de vuazar e deepeño de controador, cuyo objetvo de contro e ue e robot Pegau dé eguento a una trayectora deeada. II. Proceo de deño de controadore E proceo de deño de un controador conte en genera de o guente pao: - Se reuere conocer e odeo dnáco de tea a controar, e cua puede er nea o no nea. En cao de no conocer e odeo, entonce e apcan técnca de odeado. - Pantear e objetvo de contro. Identfcar y deternar a varabe de entrada y ada de tea a controar, a cuae e retroaentaran con e controador. 9

32 - Proponer a ey de contro en bae a paráetro e nforacón utraída de odeo de tea a controar. Eta propueta tabén e baa en a técnca de contro ue e deea utzar, por ejepo contro adaptabe, contro PID, etc. - Preparar a expreón obre a cua e reaza e aná de etabdad, para o cua e cooca e odeo de tea a controar en azo cerrado con e controador o ey de contro propueta; e anpua a expreón con e fn de agrupar en funcón de a varabe ue tengan un objetvo de contro, un ejepo de eto, e coocar a expreón en funcón de error de pocón y de error de veocdad de un brazo anpuador. - Reazar e aná de etabdad, apcando un étodo adecuado, por ejepo para azo cerrado neae (o neazado) e utza e crtero Routh, crtero de Nyut, crtero de Hurwtz, Lyapunov, etc; En cabo para azo cerrado no neae e utza e étodo de etabdad de Lyapunov. En cao de no concur etabdad, redeñar e odeo de controador o ey de contro y repetr pao ubguente, hata ograr coprobar etabdad de tea en azo cerrado. - Jutfcacón teórca. Se ogra a reazar uacone nuérca de tea en azo cerrado. - Jutfcacón práctca. Se ogra a peentar y/o prograar e controador, para poterorente ponero a prueba obre a patafora rea de tea a controar. II. Deño de controador - Modeo de tea: Robot anpuador Pegau de g.d.. referdo en (A.4.), e cua e un odeo no nea, por tanto e apcan fundaento de a teoría de contro no nea.

33 - Varabe de entrada: Vector de pare τ R. Varabe de Sada: Vectore, y R, referente a a pocone anguare, veocdade anguare y aceeracone anguare repectvaente. - Objetvo de contro: E vector dará eguento a un vector d de trayectora prograada o deeada. Defnendo a ~ R coo e vector de error de d pocone anguare, e cua debe aproxare a cero confore t, e decr ~ () t t anguare. n portar a condcone ncae ( ) R de vector de pocone - Para cupr con e objetvo de contro, e proponen varante de controadore o eye de contro adaptva, baada en una etructura PID [9], [], [], [5], [6] y [7], a cuae e enuncan coo controador A (capítuo II), controador B (capítuo III) y controador C (capítuo IV). La coprobacón de etabdad de eta tre propueta e reaza edante a teoría de etabdad de Lyapunov, aí tabén e reazan prueba nuérca conderando dturbo paraétrco y en auenca de eto, con e fn de vuazar e deepeño de a tre varante de controadore propueto. II.. Propueta controador A: Partendo de odeo de robot anpuador de n g.d. decrto en (I..): M ( ) C( ) G( ) τ, (II..) Se reaza una paraetrzacón o agrupacón paraétrca, a cua debe er neaente factorzabe: C (, ) G( ) Y (, )ξ (II..)

34 E decr, e agrupa e térno C ( ) G( ), para convertro en una nueva agrupacón nxw Y (, )ξ, donde Y R e denonada atrz de regreón, a cua agrupa parte de a dnáca de tea a controar. E vector de paráetro w ξ R contene úncaente nforacón de o paráetro tae coo,, I y g, e decr, ongtud de eabón, aa de eabón, Inerca de eabón y gravedad repectvaente, por o tanto e vector de paráetro ξ e dce ue e un vector contante. Apcando a propedad (II..) en (II..), obteneo una repreentacón aterna de odeo de un robot anpuador de n g.d.. M ( ) Y ( ) ξ τ, (II..) Se propone a guente ey de contro: ( )[ K ~ K ~ ] Y (, ) K ˆ ξ ( t) τ M, (II..4) p v d (, ) M( ) K ˆ T ξ Y ~, (II..5) p donde K, K y K on atrce étrca defnda potva y repreentan a p v gananca de controador. Por otro ado e vector w ξˆ R repreenta una etacón de vector ξ, o cua e ogra por edo de una dnáca de adaptacón regda por ˆ, ξ conocda tabén coo ey de adaptacón o adaptva (II..5). Una ventaja de ntroducr eta ey radca en e hecho de etar paráetro, a pear ue eto ufran varacone o perturbacone en agún ntante de tepo; en otro entdo, e dce ue e vector ξ contene o paráetro en o cuae e tene ncertdubre obre u vaor exacto.

35 Otra bondad de a ey de contro enuncada en (II..4) y (II..5), radca en e hecho de no reuerr nforacón de vector de aceeracone anguare. Propocón : E controador (II..4) y (II..5), e un controador PID. Deotracón: Integrando repecto a tepo a (II..5) y uttuyendo en (II..4), e obtene: t T ( ) K p ~ M ( ) Kv~ Y(, ) K Y (, ) M ( ) K p dt ~ M ( ) d τ M, donde e prer térno e a parte proporcona, egudo de a parte dervatva, parte ntegra y fnazando con e térno de corrento. II... Aná de etabdad de controador A: Coocando e odeo de robot en azo cerrado con e controador, a uttur (II..4) en (II..): M ( ) Y( ) ξ M ( )[ K ~ K ~, ] Y(, ) K ˆ ξ ( t) (II..6) p v d Y defnendo e error de etacón ~ ξ w R a partr de: ~ ξ ˆ ξ () t K ξ, (II..7) w donde ξ R e un vector de contante, entonce a dervar (II..7) e obtene: ~ ξ ˆ ξ (II..8) Suttuyendo (II..7) en (II..6), y agrupando térno, e obtene: ( ) Y(, ) K ~ ξ ~ ~ ~ K K M (II..9) p v

36 La ecuacón (II..9) e puede nterpretar coo a dnáca de error de pocón ~ y a dnáca de error de etacón ~ ξ dada por (II..5). Eto errore on a varabe de aná para ograr e objetvo de contro, para o cua e propone a guente funcón de Lyapunov: V ( ~ ~ ~ ~ ) ~ T ~ ~ T, P P ~ T ξ ξ (II..) P La cua e defnda potva gobaente y radaente deacotada, endo P atrce étrca defnda potva, donde para ete cao e proponen, P y P coo: P P K p I y P K (II..) Dferencando (II..) con repecto a tepo y evauando (II..), e obtene: ( ~ ~ ~ ) ~ T ~ ~ T, ~ T P K P ξ K ξ V (II..) ~ p Evauando (II..8) y (II..9) en (II..), e obtene: ( ~ ~ ) ~ T ~ ~ T ~ ~ T ~ ~ ~ ~ T T, P K P K P K P M ( ) Y(, ) K ξ ξ K ˆ ξ V p p v (II..) Tranponendo térno de (II..) y uttuyendo (II..), e obtene: ( ~ ~ ~ ) ~ T ~ ~ T, ( ) (, ) ˆT K K K M Y ξ K ξ V (II..4) p v p Tranponendo (II..5) e obtene: ˆT T ~ ξ K M (II..5) p ( ) Y(, ) 4

37 Fnaente (II..5) en (II..4) produce: V ( ~ ~, ) ~ T K K ~ p v (II..6) La cuá e edefnda negatva, a teoría de Lyapunov, e concuye etabdad goba. K p K e étrca defnda potva. De acuerdo a v II... Condcone de uacón para e controador A: Con e fn de poner a prueba e controador, e hacen a guente conderacone: Paráetro de robot anpuador Pegau de g.d.. Se uttuyen o vaore de paráetro nonae otrado en a Taba A.. Donde e oberva ue, dcha condcón e contepa a oento de paraetrzar. Trayectora de eguento La artcuacone de robot deben dar eguento a a trayectora otrada en a Fgura II. y decrta por a expreone: d ω t () t e ( π. n( ϖ t) ), o d ω t () t e. n ( ϖ t) o, donde repreenta e núero de a artcuacón. 5

38 Fgura II. : Trayectora de eguento E crtero de eeccón de eta trayectora tene coo objetvo poner a prueba a e controador bajo una condcón extrea, a cua gnfca, evar o eabone y a una pocón horzonta (π,), en a cua e vector de pare gravtaconae e áxo, por o tanto e controador reuere generar ayor par con e objetvo de antener a eabón en dcha pocón, pcando un ayor conuo de potenca eéctrca por parte de o actuadore. Conderando ue gran parte de o dpotvo ecánco tenen tacone en u tepo de repueta ecánca ante una eña eéctrca, n perder a perpectva de eta tuacone, e propone para o eabone de robot una veocdad de convergenca ω, o cua ntroduce un retardo de 5 ω egundo ante de acanzar totaente a pocón deeada. 6

39 Se ntroduce ocacone a a tre artcuacone, con o cua e antene e eguento de una trayectora, endo ecáncaente una varacón de pare y una exgenca de potenca eéctrca en o actuadore. Para ete cao e propone una aptud pco de. [ rad ] y con una frecuenca de ocacón ϖ π o. Paráetro de controador A. De acuerdo a a fora de paraetrzar e térno C ( ) G( ), propueto en (II..), e obtenen a varante de controador A otrada en a Taba II.: Taba II. : Paráetro de controador A Paraetrzacón Sntonzacón Matrz de Regreón Vector de Matrz de Matrz de Matrz de Paráetro Gananca K p Gananca K v Gananca K A. y y ξ a Y (, a ) y y y A. Y a (, ) Y a (, ) ξ a A. Y (, a ) Ya (, ) ξ a A.4 ( ) Y a 4, y y y y y ξ a A.5 Y (, ) a5 Y a (, ) g ξ a5 g g A.6 ξ a 6 g a6 a4, Y (, ) Y ( ) g

40 donde; y y S, [ S S S S ] [ S S ], y, y S g [ S S S S ] S S [ ] g, [ S S ] S g y. Lo paráetro contendo en a anterore expreone, e obtenen a partr de odeo de robot anpuador Pegau de g.d.. obtendo en e apéndce A. Por otro ado, a ntonzacón de a gananca otrada en a Taba II., e reaza bajo a conderacone ue a contnuacón e enuncan. Error de pocón y ntonzacón Se ntonza cada uno de o controadore con vaore adecuado de gananca K, K p v y K, endo eta, atrce defnda potva. Adeá a gananca de térno ntegra de controador e una atrz dependente de a gananca K p y K, ta coo e oberva en a ey de contro (II..4) y (II..5). Para e tea en azo cerrado n perturbacone, e ntonza de acuerdo a do conderacone; La prera, conte en obtener ~ <. rad, a egunda radca en evtar obre votaje en o actuadore. Para vuazar aba conderacone, e necearo grafcar a nora Eucdana de error, entra para a egunda tuacón, e grafca a expreón enuncada por (B..5), evtando obrepaar u vaor áxo de votaje epecfcado en a Taba B.. 8

41 Perturbacone paraétrca Una vez ntonzado cada uno de o controadore, e procede a ntroducr perturbacone paraétrca de 5% repecto a o paráetro otrado en a Fgura II., con e fn de vuazar e pacto generado por dcha perturbacone obre a repueta de controador. () t t 4 6 t 8 t t r e t a n t e () t 6 t 8 t t r e t a n t e I () t I I I t t r e t a n t e g () g en( π t) t g g t t r e t a n t e Fgura II. : Perturbacone paraétrca 9

42 Ya ue o robot anpuadore evan acabo tarea de anpuacón de objeto, aterae, herraenta, etc.; o cua varía e odeo dnáco de robot, e decr, e ven afectado u paráetro, y por tanto a odeo o. Para o cua e ntroduce a perturbacone obre, y g obre e egundo eabón de, I odeo de robot, endo ete eabón e ue eva a tarea de anpuacón de objeto. Otro enfoue dado, e cuando e tenen ncertdubre paraétrca en e odeo, e decr no e conoce con certeza o paráetro de aa, ongtude y nerca pícta en e robot, o cua jutfca a perturbacón coo eeento de prueba de controador ante dcha ncertdubre. Para cuaeuera de a tuacone o enfoue, e objetvo de controador, e utzar una dnáca de adaptacón decrta por (II..5), para aproxar en o a pobe o paráetro etado haca o vaore paraétrco ue en certo oento tenga o aduera e odeo de tea a controar. Por otro ado, en a Fgura II. e obervan dcontnudade a ntroducr a perturbacone, o cua gnfca cabo ntantáneo o abrupto de o paráetro. Aí tabén a dferente ntervao de tepo, e van cobnando a perturbacone, o cua tene un grado de nferenca obre a repueta de controador. Por úto, a perturbacón enoda de gravedad e puede nterpretar coo una vbracón ecánca vertca actuando obre e robot anpuador, o ben, e robot anpuador trabajando obre un abente de varacón gravtatora. Objetvo de a uacón Grafcar a repueta de o eeento contendo en e vector de pocone anguare y e votaje V de cada actuador, aí coo a repueta de ~. Donde para cada uno, e debe vuazar do tuacone:

43 Repueta n perturbacone paraétrca, denotada con trazo contnuo ( ). Repueta con perturbacone paraétrca, denotada con trazo punteado ( ) L L. Tabén e debe vuazar a repueta de error E ue exte entre a repueta de error de pocón ~ n perturbacone paraétrca y a repueta de error de pocón _ ( ) ~ con perturbacone paraétrca, denotado con un trazo egentado p _ y decrto por a expreón: E ~ ~ (II..7) p Cabe enconar ue una vez reazada a uacone para toda a varante de controador A, e copara a repueta de (II..7) obtenda en cada varante de controador A, con e fn de etabecer cua de o controadore uetra ayor nenbdad o robutez ante a condcone de perturbacón etabecda. En otro entdo, e vuaza e coportaento de a eñae de votaje V con e objetvo de detectar obretro debdo a a eñae perturbadora, o cua pcaría una aturacón y/o obre tenón en e actuador. Etabecer cuáe eñae V repecto a cada controador preentan rego y bajo ué condcone. Detectar o controadore ue reueran ata gananca, o cua en térno reae coneva un ayor gato energétco y/o un ayor rego de aturacón de eña, debdo a tacone fíca y/o eéctrca por parte de o dpotvo o coponente pertenecente a tea. En térno generae, e reaza un aná y reuen coparatvo a fna de capítuo de todo o controadore propueto durante e dearroo de preente capítuo, con e fn de etabecer cuáe controadore preentan á bondade, o cua píctaente nvoucra detectar cuá de a paraetrzacone reuta á vabe. Eneguda e preentan o reutado de a uacón nuérca.

44 II... Reutado de a uacón para e controador A: Fgura II. : Reutado para e controador A.

45 Fgura II.4 : Reutado para e controador A.

46 Fgura II.5 : Reutado para e controador A. 4

47 Fgura II.6 : Reutado para e controador A.4 5

48 Fgura II.7 : Reutado para e controador A.5 6

49 Fgura II.8 : Reutado para e controador A.6 7

50 II...4 Obervacone de controador A De acuerdo a o reutado nuérco de tea n perturbacone, a nora de error de eguento de trayectora ~ rad e encuentra dentro de rango etabecdo ( <. ) depué de reazar un trantoro, o cua vada e deepeño de controador A. Adeá, e antene e votaje de o otore V dentro de a cota etabecda de. v, o cua prevene de pobe daño eéctrco y/o ecánco de o coponente de tea en azo cerrado. Para cupr o anteror, aguna paraetrzacone otrada en a Taba II., reueren vaore de gananca ato para ograr a ntonzacón de tea, o cua en térno de energía tene una deventaja. Tabén e oberva a partr de a gráfca de E, e error dnuye en reacón a auento de a gananca. Fnaente e dce ue e controador A e funcona, en e grado ue una etapa de potenca pueda generar energía ufcente para atfacer a ata gananca. 8

51 CAPÍTULO III DISEÑO Y SIMULACIÓN DEL CONTROLADOR B: PID ADAPTIVO CON COMPENSACIÓN DE LA MATRIZ DE FUERZAS CENTRÍFUGAS Y DE CORIOLIS III. Propueta controador B Retoando e procedento, defncone y denotacone panteada en e capítuo II correpondente a controador A, e procede a proponer e controador B. Partendo de odeo de robot anpuador (II..), e reaza a paraetrzacón de vector de pare gravtaconae: ( ) Y ( )ξ G (III.) Apcando a propedad (III.) en (II..), obteneo una repreentacón aterna de odeo de un robot anpuador de n g.d.. M ( ) C( ) Y ( ) ξ τ, (III.) Se propone a guente ey de contro: ( )[ K ~ K ~ ] Y( ) K ˆ( t) C(, ) τ M ξ (III.) p v d ( ) M( ) K ˆ T ξ Y ~ (III.4) p 9

52 Propocón : E controador (III.) y (III.4), e un controador PID. Deotracón: Integrando repecto a tepo a (III.4) y uttuyendo en (III.), e obtene: τ M ~ ~ p v t ( ) K M ( ) K T Y ( ) K Y ( ) M ( ) K dt ( M ( ) C(, ) ) p ~ d, donde e prer térno e a parte proporcona, egudo de a parte dervatva, parte ntegra y fnazando con e térno de corrento. III. Aná de etabdad de controador B A dferenca de a ey de contro (II..4) de controador A, e controador (III.) contene a C (, ) coo térno adcona o de copenacón, por o ue a apcar e controador en azo cerrado con e odeo de robot (III.), dcho térno e ena, uedando a expreón (II..6). Por tanto, e aná ubguente e déntco a reazado de (II..7) hata (II..6); con o ue e concuye etabdad goba. III. Condcone de uacón para e controador B Se utzan a a condcone panteada en a eccón II... Pero a dferenca, para ete cao a paraetrzacón e reaza edante G ( ) propueta en (III.), de a cua e obtenen a varante otrada en a Taba III.: 4

53 4 Taba III. : Paráetro de controador B Paraetrzacón Sntonzacón Matrz de Regreón Vector de Paráetro Matrz de Gananca K p Matrz de Gananca K v Matrz de Gananca K B. ( ) y y y Y b g g b ξ B. ( ) ( ) Y Y b b g g b ξ B. ( ) y y y Y b g b ξ 5 45 B.4 ( ) ( )g Y Y b b 4 4 b ξ B.5 ( ) ( ) 5 Y Y b b 5 g g b ξ B.6 ( ) ( ) 6 Y Y b b g b 6 ξ donde; y, y, y. Lo paráetro contendo en a anterore expreone, e obtenen a partr de odeo de robot anpuador Pegau de g.d.. obtendo en e apéndce A.

54 III.4 Reutado de a uacón para e controador B Fgura III. : Reutado para e controador B. 4

55 Fgura III. : Reutado para e controador B. 4

56 Fgura III. : Reutado para e controador B. 44

57 Fgura III.4 : Reutado para e controador B.4 45

58 Fgura III.5 : Reutado para e controador B.5 46

59 Fgura III.6 : Reutado para e controador B.6 47

60 III.5 Obervacone de controador B Una ventaja de a paraetrzacón reazada en (III.), radca en e hecho de no reuerr nforacón de vector de veocdade artcuare, o ue dnuye o térno de dcha paraetrzacón, ya ue e reaza a partr de vector de gravedad, cuya utdad e refeja en abente de varacón gravtatora o ben ante perturbacone vertcae. De acuerdo a o reutado nuérco de tea n perturbacone, a nora de error de eguento de trayectora ~ rad e encuentra dentro de rango etabecdo ( <. ) depué de reazar un trantoro, o cua vada e deepeño de controador B. La ntonzacón de controador B reuta a a copcada, o cua e debe a a fata de nforacón de haca a ey adaptva. Se hace notar ue o controador B., B. y B.6 e ogran ntonzar, pero forzando trantoro en a eña de votaje V de otor. En genera e reueren vaore de gananca ato para ograr a ntonzacón. En coparacón a controador A, e controador B preenta ayor error, de acuerdo a o otrado por E. De gua anera, e dce ue e controador B e funcona, en e grado ue una etapa de potenca pueda generar energía ufcente para atfacer a ata gananca. 48

61 CAPÍTULO IV DISEÑO Y SIMULACIÓN DEL CONTROLADOR C: PID ADAPTIVO CON COMPENSACION DEL VECTOR DE PARES GRAVITACIONALES IV. Propueta controador C Retoando e procedento, defncone y denotacone panteada en e capítuo II correpondente a controador A, e procede a proponer e controador C. Partendo de odeo de robot anpuador (II..), e reaza a paraetrzacón de a atrz de fuerza centrífuga y de coro: C (, ) Y (, )ξ (IV.) Apcando a propedad (IV.) en (II..), obteneo una repreentacón aterna de odeo de un robot anpuador de n g.d.. M ( ) Y ( ) ξ G( ) τ, (IV.) Se propone a guente ey de contro: ( )[ K ~ K ~ ] Y(, ) K ˆ( t) G( ) τ M ξ (IV.) p v d (, ) M( ) K ˆ T ξ Y ~ (IV.4) p 49

62 Propocón : E controador (IV.) y (IV.4), e un controador PID. Deotracón: Integrando repecto a tepo a (IV.4) y uttuyendo en (IV.), e obtene: t ~ p p d τ M ~ ~ v T ( ) K M ( ) K Y (, ) K Y (, ) M ( ) K dt ( M ( ) G( ) ), donde e prer térno e a parte proporcona, egudo de a parte dervatva, parte ntegra y fnazando con e térno de corrento. IV. Aná de etabdad de controador C A dferenca de a ey de contro (II..4) de controador A, e controador (IV.) contene a G ( ) coo térno adcona o de copenacón, por o ue a apcar e controador en azo cerrado con e odeo de robot (IV.), dcho térno e ena, uedando a expreón (II..6). Por tanto, e aná ubguente e déntco a reazado de (II..7) hata (II..6); con o ue e concuye etabdad goba. IV. Condcone de uacón para e controador C Se utzan a a condcone panteada en a eccón II... de capítuo II. Pero a dferenca, para ete cao a paraetrzacón e reaza edante C (, ) propueta en (IV.), de a cua e obtenen a varante otrada en a Taba IV.: 5

63 Taba IV. : Paráetro de controador C Paraetrzacón Sntonzacón Matrz de Regreón Vector de Matrz de Matrz de Matrz de Paráetro Gananca K p Gananca K v Gananca K C. ξ c Y c (, ) y y y y y C. Y (, ) c Y c (, ) ξ c C. Y (, c ) Yc (, ) ξ c C.4 ( ) Y c 4, y y y y y ξ c C.5 Y ( ) Y c c5, (, ) g ξ c5 g g C.6 ( ) ( ) g Y ξ c 6 g, Y c6 c4, donde; y S, y [ S S S S ] [ S S ] y y y,, S [ S S S S ] S S, [ S S ] S. Lo paráetro contendo en a anterore expreone, e obtenen a partr de odeo de robot anpuador Pegau de g.d.. obtendo en e apéndce A. 5

64 IV.4 Reutado de a uacón para e controador C Fgura IV. : Reutado para e controador C. 5

65 Fgura IV. : Reutado para e controador C. 5

66 Fgura IV. : Reutado para e controador C. 54

67 Fgura IV.4 : Reutado para e controador C.4 55

68 Fgura IV.5 : Reutado para e controador C.5 56

69 Fgura IV.6 : Reutado para e controador C.6 57

70 IV.5 Obervacone de controador C Una ventaja de controador C, radca en ue a ntonzacón de u gananca e enca y cuyo vaore on enore a o reuerdo en o controadore A y B, pero ufcente para ogra reutado nuérco de tea n perturbacone, en donde a nora de error de eguento de trayectora ~ e encuentra dentro de rango etabecdo rad (. < ) depué de reazar un trantoro, o cua vada e deepeño de controador C. Por o contraro a o enconado en a obervacone de controador A y B, e controador C reuere enor energía, pero en conecuenca un auento de error E. A pear de eo, éte controador perte ntonzare tabén a gananca ayore, por o ue e puede reducr e error E. En ete cao e utzaron gananca baja con e objeto de vuazar a reacón extente con e error E con dcha gananca. A gua ue o controadore A y B, e controador C e funcona, en e grado ue una etapa de potenca pueda generar energía ufcente para atfacer a gananca ata. Cabe notar ue a paraetrzacón de a atrz de coro (IV.) ofrece una ventaja en térno de gananca, epre y cuando no extan perturbacone obre e odeo de robot anpuador. 58

71 RESUMEN Y CONCLUSIONES Lo controadore propueto hacen frente a a no neadade ue preenta e odeo de robot anpuador, aí coo a ncertdubre paraétrca ue e tengan de éte. Lo controadore propueto no reueren a u entrada nforacón de aceeracón de robot anpuador, o cua e una ventaja debdo a a copejdad y coto de a eectrónca para edr o etar dcha aceeracón. De acuerdo a a anera de paraetrzar, e obtuveron varante de cada controador, o cua tene coo objetvo coparar y detectar cuae paraetrzacone preentan ayore bondade. La portanca de convertr eñae de par a votaje, ofrece a ventaja de antcpar obrevotaje haca o actuadore, ya ue en ocaone e puede etar cupendo con e objetvo de contro, pero oetendo a tea a eñae fuera de o te de operacón, y por tanto afectando e deepeño de tea. A travé de experento nuérco, e propone ue e odeo de robot anpuador denonado Pegau, dé eguento a una trayectora deeada, a cua e prograa para exgr degate de potenca eéctrca en e tea. Lo controadore propueto reueven e probea de contro, otrando un buen deepeño, o cua e oberva de o reutado nuérco obtendo en e capítuo II, capítuo III y capítuo IV. Todo o controadore apcado a robot anpuador n perturbacone otraron una nora de error de eguento de trayectora ~ enor a. confore t, o cua vada e deepeño de o controadore propueto. rad Adeá, e antene e votaje de o otore V dentro de a cota etabecda de. v, o cua prevene pobe daño eéctrco y/o ecánco de o coponente de tea en azo cerrado. 59

72 En genera para ograr o anteror, a paraetrzacone reazada para e controador A reueren vaore ato de gananca para ograr e objetvo de contro. La paraetrzacone reazada para e controador B e baan en e vector de gravedad de odeo de robot anpuador, por o ue reuere enor núero de térno, adeá de no reuerr nforacón de vector de veocdade artcuare, pero u ntonzacón e copcada y reuere vaore ato de gananca para ograr e objetvo de contro. La paraetrzacone reazada para e controador C on de fác ntonzacón y reueren vaore bajo de gananca para ograr e objetvo de contro. Perturbacone paraétrca apcada obre e odeo de robot anpuador Pegau, ponen a prueba a repueta de o controadore. En genera e error E generado cuando hay perturbacone, depende nveraente de a gananca K K y K agnada a p, v controador, por o ue aueo controadore con gananca ata preentan un enor error E. Cabe enconar ue aunue e controador C e ntonzo con vaore bajo de gananca, tabén puede ntonzare con vaore ato de gananca, por o ue e puede reducr e error E ue preenta ete controador. Por otro ado, tener vaore bajo de gananca ofrece a ventaja de reuerr enor conuo de energía por parte de controador. En coparacón a controador A, e controador B preenta ayor error, de acuerdo a o otrado por e error E, adeá de oo ograr ntonzaro con vaore ato de gananca. En cabo e controador C perte ayor veratdad en a anpuacón de o vaore de gananca. Eto tre controadore on funconae en e grado ue una etapa de potenca pueda generar energía ufcente para atfacer vaore ato de gananca. 6

73 APÉNDICE A MODELADO DEL ROBOT MANIPULADOR PEGASUS DE G.D.L. A. Epecfcacone Partendo de euea fíco de robot Pegau, e pantea un euea dnáco repecto a un pano de referenca, o cua e uetra en a Fgura A.. Fgura A. : Morfoogía de robot anpuador Pegau de g.d.. 6

74 Donde u paráetro on epecfcado en a Taba A.. Taba A. : Paráetro nonae y epecfcacone de robot anpuador Pegau. Notacón Decrpcón Vaor Undade Longtud de eabón.97 Longtud de eabón.97 Maa de eabón.8 Kg Maa de eabón.4 Kg I Inerca.4 Kg I Inerca.68 Kg I Inerca.5 Kg g Gravedad Longtud a centro de aa: Eabón - Longtud a centro de aa: Eabón - Pocón artcuar - rad Pocón artcuar - rad Pocón artcuar - rad A. Método de Lagrange Se baa en e aná energétco de o tea dnáco, edante cuatro etapa []: ) Cácuo de Energía Cnétca K(, ) K (, ) n n ) Cácuo de Energía Potenca U( ) ( ) U ) Cácuo de Lagrangano L(, ) K(, ) U ( ) 4) Cácuo de Ecuacone de a Lagrange d L(, ) L(, ) τ dt 6

75 6 Conderando un robot anpuador de n g.d.., repreenta e ubíndce referente a cada artcuacón. Por otro ado [ ] rad repreenta a pocón anguar y [ ] rad a veocdad anguar de a artcuacón, entra [ ] N τ repreenta o pare generado en a unone de cada artcuacón. Otro étodo aterno a de a Lagrange, on e de Newton y e de Haton, pero confore ncreenta e núero de eabone o de grado de bertad, e aná de a ecuacone e vueve á copejo. A. Modeado De acuerdo a euea dnáco panteado en a Fgura A., e pantea o dato de a Taba A.. Taba A. : Dato dnáco de robot anpuador Pegau Identdade Coordenada referente a o centro de aa de o eabone: Veocdade referente a o centro de aa de o eabone: y x ( ) y x υ y x ( ) ( ) ( ), y x υ x x z x ( ) y x υ ( ) ( ) j j j j en en co co j j j donde: y j hace referenca a núero de artcuacón ( ) ( ) x x z x ( ) ( ) ( ) y x υ

76 Cácuo de Etapa y : Energía Cnétca y Potenca Pano XY E ovento de y a travé de pano XY, decrbe para : T Energía Cnétca: K ( ) [ ], υ υ I I Energía Potenca: U( ) g E ovento de y a travé de pano XY, decrbe para : T Energía Cnétca: ( ) ( ) K, υ υ I [ ( ) ( ) ] ( ) I Energía Potenca: U ( ) g g Pano XZ E ovento de a travé de pano XZ, decrbe para : T Energía Cnétca: K ( ) [ ], υ υ I I Energía Potenca: U ( ) E ovento de a travé de pano XZ, decrbe para : T Energía Cnétca: ( ) ( ) Energía Potenca: U ( ) K, υ υ 64