Sistema de dos espiras de corriente

Transcripción

1 VIII. Induccón lectroagnétca tca Autonduccón n e nduccón n utua Gabrel Cano Góez, G 7/8 Dpto. Fíca F Aplcada III (U. evlla) Capo lectroagnétco tco Inero de Telecouncacón

2 Gabrel Cano G Góez, 7/8 tea de do epra de corrente Capo y fluo agnétco en el tea crcuto flfore Γ y Γ recorrdo por corrente I (t) e I (t) on fuente de endo capo agnétco (,): A(r I () t d ; t ) μ 4 π r B Γ r r (;) r t A (;) r t fluo agnétco en cada epra (,) en térno de lo potencale vector ( ) Φ B B d expreado coo cobnacone lneale de I L on lo coefcente de autonduccón e nduccón utua en cao de epra únca Φ Φ Φ L I () t L I () t Φ Φ Φ L I () t L I () t A dr A dr Γ Γ Φ LI() t Γ B d I (t) dr B d Γ μ I (t) dr Capo lectroagnétco tco (I. Telecouncacón) n) VIII. Inducc duccón n electroagnétca tca

3 Coefcente de autonduccón n e nduccón n utua (I) Gabrel Cano G Góez, 7/8 Defncón n de lo coefcente coefcente de autonduccón L : μ dr dr L L 4π Γ Γ r r deterna la contrbucón de la corrente I al fluo agnétco a travé de Γ (,) L coefcente de nduccón utua L ( ): μ dr dr L L M 4π Γ Γ deterna la contrbucón de la corrente I al fluo agnétco a travé de Γ (,) ( ΔΦ ) ΔI,cte r r ( ΔΦ ) ( ) Δ ΔΦ Δ M I I I,cte I I,cte B μ Γ Γ I dr r r I dr' r r' B I dr Capo lectroagnétco tco (I. Telecouncacón) n) VIII. Inducc duccón n electroagnétca tca 3

4 Gabrel Cano G Góez, 7/8 Coefcente de autonduccón n e nduccón n utua (II) Propedade on paráetro geoétrco caracterítco ólo dependen de la fora de Γ y Γ on agntude fíca denonale: en I, e de en henro: [L ]Wb/AH gno de lo coefcente: autonduccón epre potvo nduc. utua depende de la géoetría L L > ; L M > < coefcente de acoplaento: de el acoplo geoétrco entre Γ y Γ k M LL ; k eralzable a tea de N epra... Φ edante atrz de nduccón agnétca: L I; L N N ( ΔΦ ΔI ) I,cte Capo lectroagnétco tco (I. Telecouncacón) n) VIII. Inducc duccón n electroagnétca tca 4 k B Γ μ I Φ Γ B I Γ I T Γ N T N I I [ ] I I N Φ Φ N B B N N

5 Gabrel Cano G Góez, 7/8 Crcuto equvalente Fuerza electrootrce en el tea f.e.. total en la epra (,): nd f.e.. Γ f.e.. nducda en cada epra: nd L Modelo crcutal dφ di di M (,) egunda ley de Krchoff para cada lazo: di di I ( R R ) L M ; nuevo eleento crcutale: (,) L y M producen caída de tenìón denone de coef.: [L ]H Ω L V L L ; B Γ R μ I Γ R I (t) I (t) R V M M I V V L M B R Capo lectroagnétco tco (I. Telecouncacón) n) VIII. Inducc duccón n electroagnétca tca 5

6 Departaento de Fíca Aplcada III cuela Técnca uperor de Inero Inería de Telecouncacón Capo lectroagnétco xaen Convocatora de eptebre 7 (4/IX/7) PROBLMA P.. (.5 punto) Do etrecha bobna cĺındrca de la a longtud h, tenen rado a y b, ucho enore que u longtud (a <b<< h); la bobna on coaxale pero e hallan deplazada una longtud,yetán forada por la a cantdad de epra copacta N nh, enrollada en el o entdo. La retenca eléctrca de la bobna on R para la bobna nteror y R para la exteror. (a) Deprecando lo efecto de borde, deterne u repectvo coefcente de autonduccón L y L,aícooelde nduccón utua M y el de acoplaento k. (b) La bobna exteror e halla conectada a un erador de fuerza electrootrz en rapa (t) At, entra que la bobna nterna e antene el crcuto aberto. Obtenga el coportaento en el tepo de la ntendad I (t) en la bobna exteror (uponga una expreón de la fora I (t) kt c). (c) Al o tepo, la bobna nteror e extra con velocdad contante v,deforaque(t) v o t. Calcule la tenón V (t) entre lo extreo de eta bobna para t>. (d) n la condcone de apartado anteror, cóo evoluconan en el tepo la potenca untrada por lo eradore del tea y la potenca dpada por efecto Joule en la bobna? on guale o dtnta? Por qué? OLUCIÓN (a) Lo coefcente de autonduccón e nduccón utua de un tea de vara epra o crcuto on un conunto de paráetro geoétrco que relaconan lnealente la ntendade de corrente eléctrca en la epra con lo fluo agnétco a travé de uperfce que e apoyan en ella, y endo dcha corrente la únca fuente del capo agnétco. n el eercco propueto e tendrá: ( ) ( )( ) Φ L M I a () Φ M L I b I ( t) At I h endo I e I la ntendade en la bobna nteror y exteror, repectvaente, y Φ y Φ lorepectvofluodel capo agnétco a travé de enda uperfce y cuyo borde on lo conductore flfore que, una vez enrollado, foran la bobna. Coo e obvo, en el cao eral en que aba corrente on no nula, dcho capo agnétco e el reultante de la uperpocón de lo que aquella corrente crean por eparado. e tendría, por tanto... Φ B d Φ (I ; I ) (, ) () e dentfcando eta expreone con (), e deternan lo valore de lo coefcente L, L y M. La bobna etán forada por cable de epeor deprecable frente a la longtud h de aquélla, que e enrollan de fora copacta y en el o entdo obre enda uperfce cĺındrca. e condera, por tanto, que conttuyen un tea de N epra crculare tuada en plano paralelo y dtrbuda de fora contnua con una dendad de n N/h epra por undad de longtud. De eta fora, el fluo de un capo B travé de un trozo de bobna de longtud Δz e obtendrá uando lo fluo agnétco a travé de la nδz epra crculare que lo conttuyen. Pero prero e necearo deternar la expreón del capo agnétco creado por el tea de bobna decrto. Cuando la N epra on recorrda por la a corrente I, cada bobna va a er equvalente a una uperfce cĺındrca

7 C. lectroagnétco 6/7 (I. Telecouncacón) OLUCIÓN P.. C ONVOCATORIA PTIMBR 7 de altura h donde exte una corrente eléctrca de ntendad NI que e dtrbuye egún una dendad uperfcal de ódulo contante y dreccón tante a la epra crculare. Toando coo ee z el ee coaxal de la bobna y conderandoqueladeradob etáobreelplanoz,etendrán que la expreone en cĺındrca para la dendade uperfcale de corrente del tea on: ni u ϕ ; ρ a y <z<h K ; en otro cao ni u ϕ ; ρ b y <z<h K ; en otro cao (3) ta expreone etablecen coo entdo potvo de la do ntendade en la epra de aba bobna el correpondente al entdo de gro anthoraro. K ni u I { n( h-) B B Z Z Z a b I a B B { I n I B nh h N-n{ { K ni u N-n h Nnh B B { K ni u B { {KnIu O O O La dtrbucone dada en (3) on fuente de endo capo agnétco B (r) y B (r). n el cao deal de bobna de longtud nfnta, el capo creado por cada una de la anterore dtrbucone de corrente e nulo en el exteror, entra que en el nteror de la bobna exte un capo unfore (contante) cuya expreón e B μ ni u z. n el cao de una bobna de longtud fnta (coo ocurre con la del eercco), eta expreón puede conderare coo exacta epre que el capo agnétco e evalúe en punto ufcenteente aleado de lo extreo de la bobna; no obtante, tabén puede toare coo una aproxacón váldadelaolucón en todo lo punto del epaco epre que, tal coo e ndca en ete eercco, la longtud de la bobna ea lo ufcenteente grande frente a u rado. Por tanto, conderareo que lo capo que eran por eparado la corrente (3) on: μ ni u z B ; ρ<a y <z<h μ ni u z B ; ρ<b y <z<h B (r) B (r) (4) ; en otro cao ; en otro cao Y cuando aba bobna on recorrda ultáneaente por enda corrente de ntendad I e I,elcapoagnétco total e obtene uando en cada punto la expreone (4): B b B(r) B (r)b (r) (5) n la fgura anteror e uetra gráfcaente cóo e dtrbuye ete capo en el tea de bobna: en el epaco ntereccón de la do bobna e gual a la ua de lo vectore contante B y B, entra que erá gualab ó B en aquello punto que ólo on nterore a una de ella; en el exteror del tea el capo e nulo. Y pueto que B(r) tene una expreón dtnta en la dferente regone del tea, lo fluo () e obtendrán uando lo fluo parcale atravé de cada una de ea regone. No puede decre que el procedento decrto ea epecalente coplcado o dfícl, n ebargo puede plfcare batante hacéndolo por parte: cóo lo coefcente de autonduccón e nduccón utua del tea no dependen de la ntendade de corrente coo ya heo dcho, on paráetro puraente geoétrco, podeo calcular u valore conderando que ólo una de la bobna e recorrda por una corrente eléctrca. Conderareo prero que I ;elcapoagnétco en el tea erá ólo el creado por la ntendad de corrente I en la bobna nteror, B(r) B (r), yetendrá que... Φ I L I MI B (r) d ; Φ Al fnal de eta olucón e ncluye un apéndce donde e uetra cóo obtener eta olucón I MI L I B (r) d (6)

8 C. lectroagnétco 6/7 (I. Telecouncacón) OLUCIÓN P.. C ONVOCATORIA PTIMBR 7 Para calcular el fluo a travé de la bobna nteror heo de tener en cuenta que el capo B (r) e contante dentro ella y que, por tanto, u fluo erá eloatravé de la N epra que la conttuyen. ea Σ una uperfce cuyo borde concde con una cualquera de la N epra; por eeplo, un círculo de rado a con d ρdρdϕ u z, pue e ha dentfcado el entdo potvo de la corrente con el gro anthoraro. e obtene aí... Φ I N B d Nμ ni Σ π dϕ a ρdρ μ n hπa I (7) procedeo de anera análoga en la bobna exteror, no encontrao con que B (r) ólo fluye a travé de n(h ) epra de dcha bobna. ta epra defnen círculo Σ de rado b ytalequed ρdρdϕ u z,atravé de lo cuale B (r) ólo fluye parcalente: Φ I n(h ) B d μ n Σ (h )I π dϕ a ρdρ μ n (h )πa I (8) Y tenendo en cuenta ahora la relacone expreada en (6), e obtenen lo valore de la autonduccón de la bobna nteror y del coefcente de nduccón utua: L Φ I I μ n hπa M Φ I μ n (h )πa (9) I Para calcular L repeto el procedento para el cao I ei,deforaqueb(r) B (r) ycalculaoel fluo de ete capo a travé de la bobna exteror: B (r) d () Φ I MI L I n eta tuacón el capo agnétco contante fluye por copleto a travé de la N epra de la bobna. Calculando dcho fluo y tenendo en cuenta la relacón anteror, e obtene: Φ I N B d Nμ ni Σ π dϕ b ρdρ μ n hπb I L Φ I μ n hπb () I Puede coprobae que a partr de la relacón, tabén habría poddo obtenere el valor del coefcente de nduccón utuaexpreadoen(9),apartrdelarelacón M (Φ /I ) I. Fnalente, el coefcente de acoplaento e, por defncón: k M μ on (h )πa a ( ) L L μ n 4 h a b b h () (b) y (c) Lo upueto de eto do apartado ocurren ultáneaente, por lo que pueden er planteado y reuelto de eta fora. n abo e analzan lo efecto de la Ley de Faraday en el tea decrto: la bobna del tea conttuyen endo crcuto eléctrco en lo que la varacón en el tepo de lo fluo del capo agnétco nducrá una fuerza electrootrce que e oponen al cabo de dcho fluo. ta varacón puede debere tanto a la varacón teporal de la ntendade de corrente cóo de la geoetría del tea, lo que plcaría un cabo de lo coefcente de autonduccón y/o nduccón utua: nd dφ d( ) L I d( ) MI (, ; ) (3) n abo apartado la bobna exteror conttuye un crcuto cerrado en el cuál hay conectado un erador de fuerza electrootrz varable en el tepo (t), entra que la nteror peranece en crcuto aberto. n conecuenca, e tendrá quei en todo ntante entra que, en eral, la ntendad en la bobna exteror erá varable en el tepo, I I (t). Peroadeá, aunque la bobna no caban u fora, hay un deplazaento relatvo de una repecto de otra egún la ley (t) v t a partr de un certo ntante t, conderado coo ntante ncal. Por tanto, entra L y L peranecen contante, el coefcente de autonduccón caba en el tepo, pue M M[(t)]: dl dl ; dm dm d d (4) 3

9 C. lectroagnétco 6/7 (I. Telecouncacón) OLUCIÓN P.. C ONVOCATORIA PTIMBR 7 Por tanto, la fuerza electrootrce nducda en la bobna nteror y exteror erán, repectvaente: nd I dm I (t) M[(t)] di ; nd I L di n ebargo, hay que tener un poco de cudado con el coefcente de nduccón utua, pue va a er no nulo epre que haya parte de la bobna nteror dentro del hueco de la exteror; e decr, epre que h (t) h v t>: μ n πa (h v t); t h/v M(t) dm μ n πa v ; <t<h/v (6) ; t h/v ; t>h/v (5) Aplqueo ahora la egunda ley de Krchoff en la do bobna del tea: la exteror conttuye un crcuto cerrado, por lo que la ua de toda la fuerza electrootrce la del erador (t), á la nducda nd,hadeergualalacaída de tenón en u retenca eléctrca R ; la bobna nteror e halla en crcuto aberto, por lo que la caída de tenón entre u extreo, V (t)erá gual a la fuerza electrootrz nducda nd, pue e la únca que exte en dcho crcuto: V t ( ) I R nd L L M[ t ()] nd R I( t) ctd ( t) At (t) nd (t) R I (t) (7) nd (t) V (t) (8) Tenendo en cuenta cóo on (t) y la fuerza electrootrz nducda en la bobna exteror en la condcone del problea, la expreón (7) proporcona la ecuacón dferencal que decrbe el coportaento en el tepo de la ntendad en dcha bobna: di L R I (t) (t) At (9) Coo eabe, la olucón copletade eta ecuacóne laua de la olucón alaecuacón hoogénea á una olucón partcular para la exctacón lneal (t). La olucón de la hoogénea e una exponencal decrecente que deaparece cuando ha trancurrdo un ntervalo de tepo lo ufcenteente grande (trantoro). Aí, e propone coo olucón una repueta lneal I (t) kt c, cuya contante e deternan exdo que verfque (9): L k R (kt c) At k A ; c L k I (t) A ( t L ) R R R R Y para obtener la caída de tenón V (t) en la bobna nteror, aplcao en (8) lo reultado de (5), (6) y (): μ n πa A ( ) L v t v h ; <t<h/v R R V (t) () ; t>h/v () (d) Coo abeo, en el tea decrto ólo exte un erador de fuerza electrootrz (t) conectado a la bobna exteror en crcuto cerrado. Por tanto, la potenca ntantánea, e decr, la energía por undad de tepo untra ete erador en cada ntante e el producto de la fuerza electrootrz por la ntendad de la corrente eléctrca que e etablece en el crcuto. Tenendo en cuenta el coportaento en el tepo de (t) At y el reultado (), e obtene: dw P P P (t)i (t) dw P A R ( t L ) t R Por otra parte, ólo hay dpacón de energía por efecto Joule en la bobna exteror, ya que ólo en éta hay una corrente eléctrca: () 4

10 C. lectroagnétco 6/7 (I. Telecouncacón) OLUCIÓN P.. C ONVOCATORIA PTIMBR 7 dw P Joule P Joule Joule P Joule R I R I (t) dw P Joule A Joule R ( t L ) (3) R Obérvee que eta do cantdade on dtnta; la retao obteneo la cantdad de energía por undad de tepo untrada por el erador que no e dpa por efecto Joule (en fora de calor): ΔP P P Joule L A ( R t L ) (4) R Pero, qué ocurre con eta energía que no e dpa? Veao qué leocurrealaenergía agnétca del tea; e decr, la queealacenaaletablecerlacorrentei en la bobna exteror y el correpondente capo agnétco, entra que la nteror e antene en aberto: W ag I L I I I L I (t) (5), Por tanto, la energía agnétca que e alacena por undad de tepo en cada ntante e: dw ag I L I (t) di L A ( R t L ) R ΔP P P Joule dw ag decr, la energía por undad de tepo untrada por el erador en cada ntante e la que e dpa en la retenca eléctrca de la bobna exteror á la varacón por undad de tepo que experenta la energía agnétca alacenada en el tea. I (6) Apéndce: capo de un olenode de longtud nfnta Condéree un olenode o bobna recta de longtud nfnta, rado r y n epra crculare por undad de longtud, recorrda por una ntendad de corrente I. Coo ya heo vto, ete tea e odela coo una uperfce cĺındrca Σ:ρ r en la cuál exte una dtrbucón hoogénea de corrente eléctrca caracterzada por una dendad uperfcal cuya expreón en coordenada cĺındrca e K Σ ni u ϕ. ta dtrbucón de corrente e fuente de un capo agnétco B(r) que, por er olenodal, dervará de un potencal vector agnétco A(r): A(r) μ K 4π r r d tal que B(r) A(r) B, P IR 3 (7) Σ De ete potencal vector abeo que no puede tener coponente z, pue K u z ;adeá, dada la unfordad de la dtrbucón de corrente en una uperfce cĺındrca de longtud ndefnda, la coponente de A van a er funcón de ρ, excluvaente: A(r) A ρ (ρ) u ρ (ϕ)a ϕ (ρ) u ϕ (ϕ) B(r) A [ ] d ρa ρ (ρ) u z B(ρ) u z (8) ρ dρ Una vez deternado que el capo agnétco creado por la corrente en el olenode nfnto ha de er paralelo al ee de éte y que ólo puede tener coponente z, aplcao la ley de Apère para deternar cóo e dcha coponente. Paravarar,utlzareolaforalocaldeetaley,lacuál etablece que la corrente eléctrca on la fuente vectorale del capo agnétco. n regone donde extan corrente eléctrca dtrbuda en voluen, la dendad de corrente en cada punto eta drectaente relaconada con el rotaconal del capo B en dcho punto; en nuetro cao, no exten tale dendade voluétrca y tenendo en cuenta la fora del capo creado por el olenode (8),... B μ J(r), P Σ db(ρ) dρ, ρ (9) La olucón a eta ecuacón e trval: la coponente del capo e una contante y, por tanto, B e un vector contante en todo lo punto del epaco que no pertenezcan al olenode; n ebargo, coo ete capo ufre una dcontnudad en Σ, dcha contante debe toar valore dtnto dentro y fuera del olenode. Para deternar lo valore de eta contante exgreo, en prer lugar, que la perturbacón agnétca no debe er aprecable en punto uy aleado del olenode prncpo de proxdad: l B(r) B(ρ >r ) (3) ρ 5

11 C. lectroagnétco 6/7 (I. Telecouncacón) OLUCIÓN P.. C ONVOCATORIA PTIMBR 7 xdo ahora la condcón de dcontnudad que debe verfcare en Σ y tenendo encuenta que el capoen el nteror e B(ρ <r )B ext u z, e obtene...,... n [ B ] Σ μ K Σ u ρ [ B(ρ r ) B(ρ r )] B ext u ϕ μ ni u ϕ (3) B(ρ <r )μ ni u z (3) 6