Física, magnitudes físicas y mediciones

Transcripción

1 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt CPITULO I Fíca, agntude íca y edcone Concepto de Fíca y u dono de aplcacón La Fíca e una cenca epírca. Todo lo que abeo del undo íco y de lo prncpo que rgen u coportaento e ha obtendo a partr de la oberacón de lo enóeno de la naturaleza La íca e la cenca natural que e ocupa de la atera y la energía y u poble nteraccone Trata de la copocón, etructura, ora, creacón, anqulacón, nteraccón, oento, tepo y luz, ondo y átoo, tornllo, palanca y ecala, reactore, etruendoo cohete, etrella lejana déble; e ocupa de la unón y la eparacón, de la totaldad de la coa íca. Ya no puede egur etrctaente ltada a lo nanado. Con cada npracón e aborben á de trllone de átoo «n da», de cuyo coportaento e ocupa la íca. La aredad de dcplna acta en la que etá plcada la íca (por ejeplo, boíca, geoíca, coquíca, atroíca) reela eta gran derdad, tabén nootro oo atera y energía. La Fíca, eguraente la cenca á copleta, e una aentura creata, poderoa, pero al o tepo elegante y utl. contnuacón e ndca en palabra de lberto Enten cual e el objeto de la cenca: La cenca naturale, a derenca de la cenca ocale, tenen coo objeto la naturaleza, e decr, la propedade íca del unero ateral, reelado, drecta o ndrectaente, a traé de la experenca huana. El objeto de la cenca e, por una parte, una coprenón, lo á copleta poble, de la conexón entre la experenca de lo entdo en u totaldad y por otra, la obtencón de dcho objeto uando un núero íno de concepto y relacone praro. La cenca e undaenta en la reproducbldad de lo reultado experentale, eto e tea déntco aectado por la a condcone probableente e coportarán de anera déntca. La experentacón conte entonce en la reproduccón en laboratoro del enóeno en condcone controlada. Lo reultado de la oberacón dan coo reultado lo dato, lo que poterorente on analzado para obtener u leye epírca y exprearla de anera analítca. El conjunto de leye obtenda dará orgen a la teoría. La teoría e la jutcacón raconal de la ley, y la explcacón de lo enóeno. En el glo XVI, Tycho Brahe recogó, con ncreíble precón, lo dato de la órbta planetara. Eto e, exactaente dónde etaban lo planeta en el celo ayer y anteayer y con anterordad. Pero no o el orden oculto. Kepler toó lo dato de Tycho y a partr de lo o creó u tre leye obre el oento planetaro que reelaban lo patrone de recurrenca. Eto e la ora en que e ueen lo planeta en órbta elíptca, etc. Sn ebargo, no dearrolló el concepto central que lga la leye entre í, eto e la llaada ley de gratacón uneral. Newton toó la nocón de una uerza de graedad coo una dea clae del oento planetaro y con ella creó una teoría que no pertó entender. la razón de que lo planeta gan la leye de Kepler.

2 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt Eta e la ecuenca báca: dato, ley, teoría. Pero la coa no acaba ahí; una ez que etao oderadaente atecho, la cenca no cerra u ojo a la naturaleza tentata de u oralo. La cenca no e etátca, pueto que u reultado e encuentran en contnuo cabo, odcándoe y adaptándoe a la nuea leye, dcrepanca, renaento, coprobacone, predccone, nuea teoría, nueo entendento. Sglo depué, cuando oberacone; á renada reelaron pequeña ncontenca en la teoría de la graedad de Newton, Enten no trajo un «entendento» aún á renado, con u teoría de la de gratacón La erdad centíca, aunque no e ncontroertble, proporcona, n ebargo, una bae razonableente able para la accón huana, y eto tabén e un propóto áldo. Undade undaentale de edcón. La decrpcón de un enóeno íco requere del etablecento de cantdade íca, edante la cuale de puedan exprear la leye íca. Entre eta cantdade e encuentra por ejeplo. la longtud, aa, tepo elocdad, aceleracón uerza, carga eléctrca, corrente eléctrca, oluen, capo eléctrco, capo agnétco, teperatura, preón y ucha á. Para ndcar una cantdad íca e debe de etablecer u proceo de edcón, tal y coo lo ndcó acertadaente Lord Keln (Wlla Thoon) en la guente palabra: Con recuenca aro que cuando uted puede edr aquello de lo que habla, y lo exprea en núero, debe conocer algo acerca de ello: pero cuando uted no puede exprearlo en núero, u conocento e pobre e natactoro. Tal ez ea el prncpo del conocento, pero uted lo tene poco aanzado en u penaento repecto del etado de la cenca. El edr e una actdad á elaborada de lo que orgnalente e pena, pueto que no conte olaente en la coparacón de la cantdad a edr con un patrón etablecdo, pueto que la aplcacón del patrón ecogdo no garantza obtener el alor erdadero de la cantdad a edr, a lo que e puede aprar e tener un alor proedo y un alor de ncertdubre o error, o ea edr nunca puede hacere de ora exacta. Por ejeplo no podeo edr el epeor de eta págna con precón denta n la aa de ete lbro o el tepo que e tarda en leer una línea, (uponendo que cada una de eta agntude ea contante, que no lo on). Sepre hay nexacttude netable. Para ne de cálculo en la olucón de problea olo e condera lo alore proedo ndcado de la edda. Stea de undade. Undade báca y Undade derada El patrón a utlzar debe er reproducble, de ácl aplcacón y aceptado por todo, aortunadaente alguna cantdade íca pueden conderare coo BSICS, (longtud aa y tepo), y a partr de ella obtener otra llaada DERIVDS (dendad, elocdad, aceleracón, uerza, trabajo y energía) Stea nternaconal de undade En reunone del coté nternaconal e etablecó un conjunto de patrone para eta cantdade undaentale o báca. El tea que e ntegró e una adaptacón del tea étrco, y recbe el nobre de Stea Internaconal (SI) de undade. La abreatura SI proene del nobre en rancé Sytèe Internatonal d Unté, la tabla. ndca la ete cantdade báca u nobre y íbolo, para el cao de la Mecánca olo on conderada la undade de tepo, longtud y aa

3 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt Tabla. UNIDDES BSICS DEL SI cantdad Nobre Síbolo Tepo egundo Longtud etro Maa klograo kg Cantdad de utanca ol ol Teperatura terodnáca Keln K Corrente eléctrca apere Intendad luínca candela cd la tabla anteror hay que agregar la undade adenonale upleentara UNIDDES SUPLEMENTRIS cantdad Nobre Síbolo Ángulo plano radán rad Ángulo óldo terradán r La dencón de lo patrone han urdo cabo con el pao del tepo, eto con el n de obtener patrone ejor reproducble y á etable a condcone externa coo el edo abente, a contnuacón e ndcan la dencone de lo patrone de tepo, longtud y aa TIEMPO.- El egundo ante de 96 e había dendo en /(864) del día olar edo, pero actualente e abe que la rotacón de la terra no e contante por lo que uando la recuenca aocada con certa trancone atóca de certo átoo, en 967, e redenó el egundo uando la recuenca caracterítca de un tpo partcular de átoo de ceo coo el reloj de reerenca, eto e el egundo e perodo de la radacón de átoo de ceo. LONGITUD.- El prer patrón nternaconal de longtud (etro patrón), ue una barra de una aleacón de platno e rdo, conerado en la Ocna Internaconal de Pea y Medda, copa del etro patrón han do enada a derente laboratoro de paíe adcrto al SI, para la calbracón de ntruento. En 96 e adoptó coo longtude de onda anaranjada del ótopo de crptón ( 86 Kr), debdo a que la precón requerda ya no era atecha con el patrón anteror en 98 e adoptó coo etro la dtanca recorrda por la luz en el acío durante un nteralo de tepo de / de egundo. Lo cual e equalente a decr que la elocdad de la luz e etro/egundo exactaente. MS - En el cao el patrón e un clndro de platno e rdo que e encuentra en la Ocna Internaconal de Pea y Medda, al cual e le ha agnado la aa de klograo. Notacón centíca. Prejo para la undade Debdo a que hay cantdade íca ucho ayore o enore a la undade báca, el tea étrco etablece últplo de ó /, por ejeplo grao e gual a / klograo, la notacón á conenente para eto últplo e la notacón centíca aí, / = - poble agnar undade enore y ayore a la

4 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt undade derada, lo nobre de dcha undade últplo de la báca e obtenen añadendo el prejo al nobre de la undad undaental. La tabla. ndca lo nobre, prejo de lo últplo de la undade báca TBL. lguno prejo para la undade del Sl Operacone con notacón centíca Cra gncata Potenca Prejo abreatura -4 yocto y - zepto z -8 ato a -5 eto - pco p -9 nano n -6 cro - l - cent c - dec d deca D hecto H klo k 6 ega M 9 gga G tera T 5 peta P 8 exa E zeta Z 4 yota Y El núero de cra derente de cero a la derecha que e utlzan para repreentar una edda, e llaan cra gncata, por ejeplo e tene una placa rectangular cuyo ancho.4 c y largo 6. c aba edda cuentan con cra gncata, la últa cra ndca aproxadaente el tpo de ntruento utlzado para edr, en ete cao e deduce que para realzar la edda e utlzó una regla con ecala ína de, en cabo la edda anterore e huberan expreado coo ancho.45 c y largo 6.4, la cra gncata eran 4 y el ntruento utlzado para la edcón podría er un erner con ecala ína de.. El núero de cra gncata no auenta o dnuye la edda e expreada en la notacón centíca en otro tpo de undade, utlzando el ejeplo anteror,.4 c =4 =.4 x -, en todo lo cao e tene tre cra gncata. Cuando e utlzan la edda o dato proporconado en lo problea para hacer operacone coo on uar, ultplcar, ddr, extraer raíz, etc., ea con calculadora ó a ano, urge la pregunta con cuánta cra debe er expreado el reultado de la operacón?, Una repueta adecuada a etá nterrogante, e utlzar coo núero áxo de cra gncata, al núero de cra gncata de la edda con enor núero de cra gncata que e utlza en la operacón. 4

5 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt Por ejeplo e deea calcular el área de la placa rectangular, utlzando lo dato ancho.4 c y largo 6. e tendrá área =(.4 c)(6.c) =69.5 c reultado que contene cnco cra gncata, endo que la edda olo poeen tre por lo tanto aplcando redondeo el reultado e exprea coo área =7 c. En el cao de la edda ancho.45 c y largo 6.4 c, con cuatro cra decale, e procede coo e ndca: área =(.45 c) (6.4 c) = 7.75 c =7.8 c. Conerón de undade íca pear de la extenca del tea nternaconal de undade exten todaía otro tea de uo en la lteratura técnca. El tea cg e epleó en Europa ante del SI, y el tea de ngenería brtánco e eplea en Etado Undo a pear de la aceptacón del SI por el reto del undo. En el tea cg la undade de longtud, aa y tepo on el centíetro (c), el grao (g) y el egundo (), repectaente; en el tea de ngenería brtánco, la undade de longtud, aa y tepo on el pe (t), el lug y el egundo, repectaente. deá exten cantdade que on expreada por uy dera undade coo la energía que e puede exprear en joule, ergo, caloría, klowatt-hora, electrón olt, etc.; la preón en pacale, atóera, dna/c, lb/n, de Hg, etc. Lo actore de conerón de undade e encuentran en tabla, por ejeplo t =.48 c =.48 = n n =.54 c =.54 =.8 t Una decrpcón detallada de la tabla e encuentra en lo lbro ndcado en la bblograía. Para realzar lo cabo de undade e utlza el hecho de que cualquer cantdad e puede ultplcar por la undad n alterar u alor, tal coo uetran lo guente ejeplo: I) Tranore. c a pulgada Pueto que n. 54 c entonce n. c. c. n 47. 4n.54c.54 n, aí pue, cabar undade requere de ultplcar por.54 c II) Encuentre el alor de la elocdad en / de un auto que e uee a una elocdad de 8.4 k/hr 8.4 k hr 8.4k k hr III) Obtenga el alor de la graedad en el tea ngle conderando el alor de g =9.8 / t.48. t 5

6 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt IV) La contante uneral de lo gae e exprea en el SI coo 8. J/ol K, deternar u alor en la undade atóera ltro/ol K 8. J ol K N 8. olk Pa 8. olk Pa. ol K x Pa at l 8 6 at l.8 ol K 6

7 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt CPITULO Dencón de ecalare y ectore Magntude ecalare y ectorale La cantdade íca que on objeto de etudo tenen propedade, que e conenente repreentar de alguna anera con el n de poder operarla y etablecer relacone entre ella, por tal oto e han creado ente ateátco, que en la edda de poble ncluyen una decrpcón de la propedade de etudo Una cantdad íca que olo poee MGNITUD y que e decrta por un ecalar (núero) y u repecta undade e conoce con CNTIDD ESCLR, ejeplo de ete tpo de cantdade on : tepo, longtud, área, oluen, aa, dendad, energía, potenca, preón, teperatura, carga eléctrca, corrente eléctrca, potencal eléctrco, etc. La operacone de cantdade ecalare coo ua, reta, ultplcacón, dón, acar raíz y deá, e realzan aplcando la conocda propedade de lo núero reale. Hay cantdade íca que adeá de poeer MGNITUD y undade, e necearo ndcar la ora en que actúan obre lo cuerpo, eto e epecca edante la DIRECCIÓN Y SENTIDO, eta on conocda coo CNTIDDES VECTORILES, ejeplo de ectore on: deplazaento, elocdad, aceleracón, uerza, torca, oento lneal, pulo, capo eléctrco, capo agnétco, etc., debdo a u portanca undaental de lo ectore a contnuacón e hará un decrpcón de la ora en que e eectúan operacone con lo ectore Repreentacón geoétrca de un ector y analítca de un ector. Notacón de un ector La cantdade ectorale o pleente ectore para dtngure de la cantdade ecalare on repreentada edante cualquera de la notacone guente: (letra bold o negrta) ó, Geoétrcaente e repreentan por edo de un egento de recta drgdo (lecha) coo ndca la gura.. El ector coo e obera tene un punto ncal O y un punto nal P, en el punto nal e dbuja la punta de la lecha, un ector ndcado coo en la gura. e le denona ector lbre. La agntud del ector e aoca a longtud del egento y e repreenta por: agntud de = = Por dencón, la agntud de una cantdad ectoral e un ecalar (un olo núero), y epre e pota. La dreccón y entdo e etablece edante lo ángulo que oran el ector con lo eje poto del tea coordenado, epre y cuando el ector e encuentre localzado. En el cao de ectore en el plano olo e neceta un ángulo drector, denotado en general por, reerdo al eje x poto, pueto que el otro ángulo, reerdo al eje y poto, e un ángulo copleentaro, o ea = / -, (gura.) En do denone el ector queda totalente epeccado e conoce y 7

8 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt Para ectore en tre denone la cotubre e ndcar lo ángulo drectore edante la letra, y,tal coo e e en la gura., en tal cao el ector queda totalente conocdo abendo lo alore de,, y Fgura. ector lbre Fgura. ector localzado Dencón: Un ector cuya agntud ea la undad e llaa ector untaro Cuando un ector lbre, e traladado paralelaente (n grar) y colocado u punto ncal concdendo con el orgen del tea coordenado elegdo e dce ahora que el ector e un ector localzado, en ete cao el punto nal del ector localzado concde con un únco punto del tea coordenado tal coo uetra la gura. Fgura. ector en tre denone Fgura.4 ector equalente Deco que do ectore on guale e poble traladarlo paralelaente hacendo que concdan exactaente u punto ncale y nale, en otra palabra poeen la a agntud, dreccón y entdo, la gura.4 uetra ectore guale o equalente. Repreentacón analítca de un ector Una ora de decrbr perectaente un ector tal coo e enconó en la eccón precedente, e conocendo u agntud y ángulo drectore, pero etá repreentacón aunque correcta, no e práctca para la realzacón 8

9 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt alguna de la operacone de ectore, por lo que e hace necearo crear una repreentacón á conenente para tal n. Toando en cuenta que el punto nal de un ector localzado cae en un únco punto del tea coordenado, e puede aocar a cada ector localzado un punto y a cada punto un ector. La coordenada del punto ren coo la nuea repreentacón del ector y e oran con la coponente de ector que reultan er la proyeccone del ector obre cada uno de lo eje coordenado y reultan er cantdade ecalare que pueden er pota o negata coo e uetra en la gura.5 (a) y.5 (b). en el cao de do denone x, y, y en tre x, y, z Y P x, y x Y X y y (a) x X P x, y (b) Fgura.5(a). Vector en do denone, prer cuadrante (b).vector en do denone tercer cuadrante. Relacón entre repreentacone de un ector en do denone Conderando conocda la agntud y el ángulo, coo uetra la gura.5 (a), la coponente x y y e pueden obtener aplcando la relacone trgonoétrca co y x, en, de donde x co, x en. En el cao contraro el ector etá repreentado por u coponente x y y, La agntud del ector e obtene edante el teorea de Ptágora x. a y el ángulo edante la uncón arco tangente y arctan x Puede extr una lgera coplcacón al aplcar la relacón anteror, pueto que conderao el cao =(-, -), entonce = arctan (-/-)= arctan() = 45, pero coo uetra la gura.6(a), el ector e localza en el. b 9

10 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt tercer cuadrante y por lo tanto al reultado obtendo hay que agregarle 8, eto e = = 5.. En el cao ndcado en la gura.6 (b) el ector =(, -) e localza en el cuarto cuadrante y la aplcacón de la orula conduce a = arctan(-/)= arctan(-) = -45, para obtener el reultado adecuado a 6 e le reta 45, o ea = 6-45 = 5 Y X Y X P, P, (a) (b) Fgura.6 (a) ector en el tercer cuadrante, (b) ector en el cuarto cuadrante. El proceo anteror e conocdo regularente coo cabo de coordenada, la prera parte de polare a rectangulare y la egunda parte de rectangulare a polare y alguna calculadora centíca etán prograada para realzar eta operacone de anera drecta. Relacón entre repreentacone de un ector en tre denone De anera análoga a do denone e dada la agntud y lo ángulo, y, coo uetra la gura.7 la coponente x, y,, z e obtenen ahora a partr de la relacone trgonoétrca co x y, co, co z de donde x co, y co, z co hora u coponente del ector x, y y z teorea de Ptágora on conocda, la agntud e obtene generalzando, el x y z. y lo ángulo, y depejando de la relacone anterore arcco x y, arcco, arcco z.4

11 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt en cao de tre denone la uncón arco coeno da correctaente el alor del ángulo para cualquer cao. z Z y Y x X Fgura.7 Repreentacón de un ector y u coponente en tre denone. lgebra de ectore EL algebra de ectore conte en denr un conjunto de operacone eleentale entre ello coo la ultplcacón por un ecalar, ua, reta, producto punto y producto cruz. Eta operacone on la bae para anejar la propedade de la cantdade ectorale. Multplcacón de un ector por un ecalar La operacone ectorale que e denen a contnuacón e realzan para ectore en tre denone, e requere utlzarla para ectore en do denone bata cancelar la coponente z en la dencón. Condereo un ector =( x, y, z ) y t un ecalar (núero real) entonce e dene el producto por ecalar coo t t( x, y, z ) ( t x, t y, t z ).5 La accón que tene la operacón anteror obre el ector e puede reur coo gue: a) La agntud de t e t = t. b) S t y entonce la dreccón de t e la de. c) S t < y entonce la dreccón de t e la opueta de la. d) S t = ó = entonce = t =. La gura.8 uetra grácaente la ultplcacón t por alguno alore de t.. Dencón: Se dce que do ectore y B on paralelo exte un ecalar t tal que B = t, la gure.9 uetra el do ectore paralelo.

12 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt Y X Fgura.8. Eecto de ultplcar un ector por ecalare t=, t=/ y t=- Y B t X Fgura.9. Ejeplo gráco de do ectore paralelo Sí y t =/ entonce el ector x y z e,,.6 Dencón: E un ector cuya agntud e la undad y por tal oto e un ector untaro. De lo anteror e puede oberar que todo ector e puede ecrbr coo el producto de u agntud por un ector untaro en u dreccón, o ea x, y, z e

13 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt En eta notacón e obera que el ector e eparado en u coponente de agntud (), y de dreccón y entdo (ector untaro e), er gura.. Y e e X Fgura.. Repreentacón gráca de que todo ector e puede repreentar coo el producto de u agntud con un ector untaro e. E ácl de oberar que lo ectore dendo coo =(,,), j=(,,), k=(,,) on ectore untaro y cada uno e encuentra obre lo eje poto del tea coordenado rectangular coo uetra la gura.. Z k,, Y,, j,, X Fgura.. Conjunto de ectore untaro bae. EJEMPLOS I).- Vercar que el ector = (/, -/, /) e un ector untaro Procedendo a calcular u agntud

14 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt lo cual uetra que eectaente e un ector untaro II).- Motrar que el ector en do denone r = (co, en ) e epre n ector untaro para cualquer alor de elegdo. r co en donde e hace uo de la relacón trgonoétrca en + co = III).- En general, en lo curo de íca en el ábto eleental e exprean la leye ndcando olaente la agntud de la cantdade ectorale, por ejeplo, en electrotátca la uerza eléctrca entre carga e exprea F q q K r pero, recordando que la uerza e un ector e puede exprear correctaente coo F q q K r rˆ Donde el r e un ector untaro en la dreccón que une la carga. Sua y reta de ectore Dado do ectore y B, la ua de lo ectore e el ector C dendo coo C B ( x, y, z ) ( B x, B y, B z ) ( x B x, y B y, z B z ) La ua de ectore e realza geoétrcaente coo gue: El ector B e traladado paralelaente hacendo concdr u punto ncal con el punto nal del ector, el ector reultante o ua e el ector que parte del punto ncal de ector al punto nal del ector B, coo uetra la gura. (a) El ector ua C a enudo recbe el nobre de reultante. El ector reta o derenca de ectore e el ector C dendo coo C B ( B x, B y, B z ) ( x, y, B z ) ( B x x, B y y, B z z ) geoétrcaente la reta e eectúa traladando lo do ectore de tal anera que concdan u punto ncale, el ector derenca parte del punto nal del ector y llega al punto nal del ector B tal coo uetra la gura.(b) 4

15 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt (a) (b) Fgura. (a) Repreentacón gráca de la ua de do ectore (b) Repreentacón gráca de la derenca de ectore. Propedade de la ua derenca de ectore Sen y B, ectore, y, n ecalare entonce: ) +B = B+ Ley conutata. ) +(B+C) = ( +B)+C Ley aocata. ) (+B)= + B ª ley dtrbuta. 4) (+n) = + n ª ley dtrbuta. 5) + = Extenca del eleento neutro adto ( =(,,)). 6) +(-) = - = Extenca del eleento nero adto (-). Utlzando la propedade anterore del producto por ecalar y la ua de ectore e ácl er que utlzando lo ectore untaro, j, k, y la coponente del ector x, y, z e poble repreentar el ector coo j k.7 x y z tal coo e obera en la gura. (a) Dencón: en partcular, el ector de pocón de o rado ector e un ector denotado por r que parte del orgen O del tea coordenado y cuyo extreo e el punto (x, y, z), er gura. (b), e ecrbe de la ora r x y j z k.8 Dencón: el deplazaento de una partícula e dene coo el ector que parte de la pocón ncal a la pocón nal conderada, e denota por r y e ecrbe coo r r r.9 Tal coo e uetra en la gura.4a, en ocaone el ector deplazaento e denota D y puede obtenere coo el ector reultante de la ua de deplazaento ndduale conecuto, conderando coo u punto ncal de la ua el orgen del tea de coordenada, eto e exprea en la ora n D d d d d (.) n 5

16 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt la gura.4 (b) uetra el deplazaento reultante de la ua de cuatro deplazaento ndduale. (a) (b) Fgura. (a) El ector puede er repreentado epre coo cobnacón de lo ectore bae, j y k. (b) cualquer punto P(x, y, z) e le puede aocar un ector que parte del orgen llaado ector de pocón ó rado ector. 6

17 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt (a) (b) Fgura.4(a) Dencón de deplazaento edante la derenca de ectore de pocón. (b) Deplazento reultante coo la ua de deplazaento ndduale. EJEMPLOS IV) Splcar la expreón + B + C-{-B - (-B-C)} + B + C-{-B - (-B-C)}= + B + C-+B +(-B-C). = + B + C-+B +4-6B-C). =5 -B + C V) Motrar geoétrcaente la propedad aocata de lo ectore. La gura a uetra la ua de lo ectore +(B+C) y la gura b (+B)+C. í pue, la ua de ectore e conutata; e decr, el orden de lo térno no aecta el reultado. 7

18 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt Y Y D C B C C D B B B (a) X (b) X Fgura (a) Sua gráca de lo ectore (+B)+C (b) Sua gráca de lo ectore (B+C)+, el ector reultante D e el o, lo anteror uetra la aldez de la propedad conutata. VI) Coprobar que cualquer ector e puede exprear coo = x + y j + z k Utlzando la operacone y dencone anterore (, x x, ) y j k z (, y, ) x (,, ) (,, ) z (,, ) y (, x y (,,), ) el reultado nal e precaente la repreentacón analítca del ector. z z VII) Un ector tene una coponente x de -5. undad una coponente y de 4. undade. Encuentre la agntud y dreccón de ete ector. El ector puede expreare coo =(-5., 4.), entonce undade arctg arctg pueto que el ector e encuentra en el egundo cuadrante al reultado obtendo hay que uarle 8,

19 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt VIII) La coponente x, y, z del ector B on de 4., 6. y. undade, repectaente. Calcule la agntud de B y lo ángulo que ora B con lo eje de coordenada. hora el ector en tre denone e exprea coo =(4., 6.,.),entonce undade arcco arcco arcco Producto de ectore arcco.5 arcco.768 arcco lguna de la propedade íca y dencone que e darán poterorente, e exprean por edo de lo producto ectorale, exten para ectore el producto ecalar, que coo u nobre lo ndca da coo reultado una cantdad ecalar y el producto ectoral, que coo reultado orgna un nueo ector. Hay que recordar que lo ectore on derente de lo núero ordnaro, por lo que hay que aprehender coo y en que condcone aplcar cada uno de lo producto, Producto ecalar o punto Sean lo ectore =( x, y, z ) y B =(B x, B y, B z ) entonce e dene el producto ecalar B coo B ( x, y, z ) ( B x, B y, B z ) x B x y B y z B z. coo e obera el producto conte ultplcar la repecta coordenada de cada uno de lo ectore y realzar la ua. Propedade del producto ecalar a) B = B Ley conutata b) (B+C) = B + C Ley dtrbuta c) () B = (B) = ( B) d) = = donde e un ecalar arbtraro Para entender el gncado geoétrco y la aplcacone del producto ecalar e relaconará ete producto con un reultado de la trgonoetría conocdo coo la ley de lo coeno (er gura.5a ), el cual ndca que para cualquer trángulo e cuple c a b abco la gura.5b uetra el o trángulo, pero ahora lo ectore, B y C oran lo lado del trángulo, de tal anera que = = a, B = B= b, C = C = c y C=B-. 9

20 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt Fgura.5a Fgura.5b Procedendo a calcular la agntud del ector C al cuadrado y aplcando la propedade del producto ecalar C C C B B B B B B C B B B B B b a B coparando con la ley de lo coeno e obtene que B ab co B B co. El producto ecalar e poto cuando e halla entre cero y 9 ; e negato cuando etá entre 9 y 8. Dencón: do ectore y B on perpendculare u ortogonale cuando = 9, en térno del producto punto B =. De la relacón. e depeja el co B co. B Eta relacón perte calcular el ángulo entre lo ectore y B. EJEMPLOS IX) Motrar que lo ectore untaro =(,,), j=(,,), k=(,,) on utuaente perpendculare plcando que do ectore on perpendculare u producto ecalar e cero j=(,,) (,,) =()()+()()+()()=++= k=(,,) (,,) =()()+()()+()()=++= j k=(,,) (,,) =()()+()()+()()=++= por lo tanto lo ectore, j y k, on utuaente perpendculare.

21 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt X) Calcular el ángulo entre lo ectore =(,-,5), B =(-5,-6,8) aplcando la ecuacón B co B ( ),,5 5 ( 5, 6,8 5) ( 6) de donde arcco XI) Deterne el ángulo de ntereccón de la dagonale ayore de un cubo de lado untaro La gura guente uetra el cubo en el cual e coloca en una equna el tea coordenado trdenonal,,, a D D,, b,,,,,, Fgura del cubo Lo ectore D y D correponden a la dagonale ayore. De la gura D = (,,) y D = b - a = (,,) - (,,) =(,,-), por lo tanto co D D D D,,,, ( ) entonce arcco( )

22 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt Producto ectoral o cruz Sean lo ectore =( x, y, z ) y B =(B x, B y, B z ) entonce e dene el producto ectoral B coo j k B. B x x B y y B z z B B ) j( B B ) ( B B ) k ( y z z y x z z x x y y x el producto cruz e dene edante la operacón llaada deternante, en la cual la prer la conte en lo ectore untaro =(,,), j=(,,), k=(,,), por lo cual el reultado nal e un nueo ector. Denotando ete ector coo C = B e obera que C e un ector perpendcular al plano orado por lo ectore y B, u dreccón e obtene aplcando la regla de la ano derecha, en la cual lo dedo de dcha ano e colocan en la dreccón del ector y e gran cerrando la ano en la dreccón del ector B, la dreccón la dará el dedo pulgar coo uetra la gura.6 C B B Fgura.6. Repreentacón geoétrca del producto cruz La agntud del ector e C B B en.4 Propedade del producto ectoral a) B = -B Ley antconutata b) (B+C) = B + C Ley dtrbuta c) () B = B) = ( B) d) = La prera aplcacón íca del producto ectoral e preenta en la dencón de la torca (torque) o oento de una uerza. ( =r F.)

23 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt EJEMPLOS XII) uetre que j =k j j k (()() ()()) j(()() ()()) k(()() ()()) () j() ()() k(() k XIII) otrar que C = B e perpendcular a el ector condereo que ( x, y, z ) y B ( B x, B y, Bz) C y B z B y B z z B y, z B y ( x B z j x B z z B x k z B x ), x B y y B x x B y y B x plcando que do ectore on perpendculare u producto punto e cero C ( x, y, z ) y B z z B y, ( x B z z B x ), x B y y B x x ( y B z z B y ) y ( x B z z B x ) z ( x B y y B x ) x y B z x z B y y x B z y z B x z x B y z y B x por lo que C e perpendcular a XIV) Obtener el producto ectoral de = (-5,8,) y B = (--,7,4) B 5 j 8 7 k 4 ((8)(4) ()(7)) j(( 5)(4) ()( )) k(( 5)(7) (8)( ( ) j( 9) k(( 5 4) j k (,, ) )) XV) El ector tene una agntud de 6 undade y e encuentra en la dreccón pota del eje x; el ector B tene una agntud de 4 undade y e halla en el plano xy, orando un ángulo de con la dreccón pota del eje x y un ángulo de 6 con la dreccón pota del eje y.

24 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt Hállee el producto ectoral x B. y u agntud de lo dato proporconado e pueden obtener la coponente de cada ector, = 6 = 6 (,, ) = (6,, ) B = 4 (co, co 6, )=(4 co, 4 co 6, )= (.46,, ) entonce j k B 6.46 (( )() ()()) j((6)() ()(.46)) k((6)() ()(.46)) () j() k() k u agntud e B (,, ) otra ora de calcular la agntud e edante B B en (6)(4) en plcacone XVI) Un autoól recorre k haca el norte y luego 6 k haca el nordete. Repreentar lo deplazaento y hallar el deplazaento reultante, a) grácaente, b) analítcaente. a) GRFICMENTE. En la gura guente d, repreenta el prer deplazaento de k haca el Norte, d, el deplazaento de 6 k haca el Nordete (dreccón de 45 repecto al eje horzontal Oete - Ete) y el ector D la reultante ó deplazaento total. b) NLITICMENTE. Cada uno de lo deplazaento ndduale e localza, o ea el ector d tene agntud y ángulo = 9 ; d tene agntud 6 y ángulo = 45 ; poterorente e exprean lo ectore en ora de coponente d (co 9,en 9) ( co 9, en 9) (, ) d 6(co 45,en 45) ( 6co 45, 6en 45) ( 4. 4, 4. 4) el deplazaento reultante e D d d (, ) (4.4, 4.4) (4.4, 7.4) de donde la agntud y dreccón e arctan arctan k

25 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt XVII) Un aón e uee en la dreccón y entdo Noroete a una elocdad relata a la Terra, de K/h, pero debdo a la extenca de un ento haca el oete con una elocdad de 5 k/h, tabén relata a la Terra. Hallar la elocdad, dreccón y entdo del ector elocdad que llearía el aón no extee ento. La gura guente uetra la tuacón, la decrpcón de cada ector e W repreenta la elocdad del ento, V c la elocdad del aón con ento V la elocdad del aón n ento De lo anteror e tene que V c = V + W, de donde V = V c W, ecrbendo cada ector en coponente W 5(co8, en8) ( 5, ) V c (co5, en5) (co5, en5) entonce (.,.) 5

26 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt V (.,.) ( 5, ) ( 6.,.) por lo tanto u agntud y dreccón e V k arctg recordando que el ector e encuentra en el egundo cuadrante a reultado anteror e le ua XVIII) Una perona cana por una trayectora crcular de rado 5., alrededor de la tad de un círculo. a) Encuentre la agntud del ector deplazaento. b) Qué dtanca cana la perona? c) Cuál e la agntud del deplazaento la perona cana todo el recorrdo alrededor de un círculo? la gura uetra al crculo de rado 5, la perona e encuentra ncalente en el punto, el cual e hace concdr con el orgen del tea coordenado, y poterorente cana obre el crculo hata el punto B, que correponde a la tad del crculo. a) El ector deplazaento e obtene de la gura coo d = (,)-.(,)=(,) de donde u agntud d= b) La dtanca que cana la perona e obre la tad de la crcunerenca lo cual equale D = R, donde R e el rado de la crcunerenca, D=(.45) (5 ) =5.7 c) la perona nalente da la uelta al crculo regreará al punto ncal de tal anera que el deplazaento total erá el ector (,), por lo que u agntud e. 6

27 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt XIX) Un óldo de N. de peo pende del centro de una cuerda coo e obera en la gura Hallar la tenone en la cuerda Colocando el tea de coordenada coo e ndca en la gura b la tenone T, T y el peo W, cada ector puede er expreado en coponente coo T T W T (co5, en5) ( T co 45, en45) T (co, en ) ( T co, en ) W (co7, en 7) (, W ) T T pueto que el tea etá en equlbro etátco e cuple que W +T,+T = (, W ) ( T co 45, T en 45) ( T co, T T co 45 T co, T en 45 T en ( W en ) ) (,) T T T T Fgura (a) Repreentacón equeátca del problea. (b) Dagraa del cuerpo lbre aocado a la gura (a) de donde e obtene el tea de ecuacone T co 45 T co, T en 45 T en W Reolendo el tea por deternante co W en W co co T N co45 co co45 en en 45co co45 en en 45co en45 en 7

28 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt co45 en 45 W W co45 co 45 T 7. N co45 co co45 en en 45co co45 en en 45co en 45 en XX) Do cudade y B etán tuada una rente a la otra en la do orlla de un río de 8 k de ancho, endo la elocdad del agua de 4 k/h. Un hobre en quere r a la cudad C que e encuentra a 6 k agua arrba de B y en u a rbera. S la ebarcacón que utlza tene una elocdad áxa de k/h y deea llegar a C en el enor tepo poble, qué dreccón debe toar y cuanto tepo eplea en conegur u propóto? En la gura guente uetra equeátcaente la tuacón, lo ectore ndcado on V b repreenta la elocdad de la ebarcacón V r la elocdad de la corrente del río V R la elocdad reultante. Coo e obera en la gura, para llegar a la cudad C en el enor tepo poble, la reultante de la ua de elocdade debe etar en la dreccón de la recta que une la cudade y C, o ea V R = V b + V r, Y C C V b V r 6 k V R x B B 8 k El ángulo ndcado e calcula conderando el trángulo rectángulo orado por la cudade, B y C, eto e arctan 6 8 arctan(.75)

29 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt Utlzando coo tea de coordenada el ndcado e exprean lo ectore en u coponente V b V V r R (co 4(co( V (co R, en ) 9), en(,en ) ( co, en 9) (, 4) ( V co, V en R R ) ) donde el ángulo, y V R (agntud de la reultante) on cantdade deconocda utlzando V R = V b + V r ( V R co, VR en ) (co (co,en 4),en ) (, 4) coparando ectore e obtene el tea de ecuacone V V R R co en co en 4 de la prer ecuacón V co co R recordando que en co entonce V R en de donde V R co 4 V R en 4 V R co V VR R en 8VR en 6 co V R en 8V R en 6 V R co V R en co 8V R en 6 entonce e tene la ecuacón de egundo grado en térno de V R 9

30 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt V R 8V R en 84 utlzando el alor de =6.87 V R 4.8V R 84 reoendo la ecuacón () k/ h V R.87 k/ h la olucón pota e la únca aceptable (no hay agntude negata), aí pue, arcco V R co arcco 7.7co la dtanca entre la cudade y C e la hpotenua del trángulo d 8 6 k pueto que V R = d/t, t =d/v R k t. 44h 7.7k h el tepo de.44 h equale a h 5 n. proxadaente.

31 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt CPITULO III Cneátca La Cneátca etuda lo oento con relacón al tepo, n portar la caua que lo producen Concepto báco El rado ector r e el ector de pocón que parte del orgen del tea de reerenca elegdo al punto del punto donde e localza la partícula coo uetra la gura. En el cao general durante el oento de la partícula aría tanto el ódulo coo el entdo del rado ector, e decr el rado ector r e una uncón del tepo t. El lugar geoétrco de lo punto extreo del rado ector r conttuyen la trayectora del oento. Condéree la gura., al trancurrr el tepo de t a t la partícula e tralada del punto al punto cabando u repecto rado ector r a r,, durante el nteralo de tepo t = t - t el ector de tranlacón r e puede calcular coo: r = r - r, la razón r/ t e denona elocdad proedo, e denotada por y concde en dreccón con la dreccón de r. La elocdad ntantánea o pleente elocdad, e deterna procedendo a calcular el líte de la relacón r/ t cuando t, e decr, t r t dr dt l. Eto gnca, que el ector de elocdad de la partícula en un oento deternado e gual a la derada del rado ector r repecto al tepo y etá drgdo en la dreccón de la tangente a la trayectora en el punto y en el entdo del oento de la partícula (dreccón de dr). En ocaone la agntud del ector elocdad =, e conoce coo la rapdez. La undade de la elocdad on en general longtud tepo en el tea MKS etro egundo L T Cuando un cuerpo e uee de la pocón a la pocón e poble tabén que cabe la elocdad ntantánea ya ea en ódulo coo en dreccón de un alor a un alor, endo u aracón = -, er gura.. En ete cao e dene la aceleracón proedo coo a = / t y aceleracón ntantánea o aceleracón e deterna procedendo a calcular el líte de la relacón / t cuando t, o ea, d d dr d r a l. t t dt dt dt dt la dreccón del ector aceleracón e la dreccón de d.

32 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt De ete odo, conocendo la dependenca r(t), e puede encontrar la elocdad (t) y la aceleracón a(t) de la partícula en cualquer punto u cualquer ntante. En ete cao la undade on a longtud tepo L T en el tea MKS etro a egundo Surge el problea recproco e poble hallar (t) y r(t) conocendo a(t)?, Para reoler el problea no bata con conocer a(t), e necearo conocer adeá la condcone ncale, e decr la elocdad y r al tepo t=, lo anteror e debe que al realzar la ntegracone de la ecuacone aparecen la contante de ntegracón, lo ejeplo e erán á adelante. Fgura. Repreentacón del ector de pocón o rado ector r. Fgura.. Repreentacón geoétrca de la elocdad.

33 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt Fgura.. Repreentacón geoétrca del concepto de aceleracón. Cneátca en una denón El oento á ácl de decrbr e el oento en una denón, ya que en ete cao partcular la pocón del objeto en un tea de reerenca e decrbe pleente con una ola coponente del ector de pocón r, por ejeplo, elgendo a la coponente en la dreccón x, la pocón utura del objeto e decrbrá por edo de expreón x=x(t). Moento rectlíneo unore Cuando e condera el oento en una denón el tea de coordenada e reduce a una línea recta, y la cantdade ectorale por lo tanto, quedan plcada a cantdade ecalare, por tal oto en eta eccón e trabaja olo con la agntud de lo ectore, en cuanto a la dreccón etá e ndcada por el gno algebraco. Para deternar la ecuacón del oento rectlíneo unore (MRU), condéree el problea de un cuerpo que e uee en línea recta a elocdad contante, tal que al tepo t = e localza en la pocón x()=x, (condcone ncale), coo uetra la gura.4 (a), e deea conocer u pocón utura al tepo t cualquera, gura.4(b) (a)

34 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt (b) Fgura.4. (a) En eta gura e uetra la tuacón ncal un objeto (b) quí e obera el objeto en un tepo uturo t. plcando la dencón de la elocdad en una denón, en la dreccón x, e tene dx dt ntegrando la ecuacón repecto de t x dx dt dt dx t c dt dt para deternar el alor de la contante de ntegracón e aplcan la condcone ncale, eto e, para t =, x() = x x ( ) x c por lo tanto c x t. x Moento rectlíneo unoreente acelerado Un tpo uy coún de oento de lo cuerpo e el oento rectlíneo unoreente acelerado (MRU), eto e, cuando u aceleracón e unore o contante. Para obtener la ecuacón de oento del MRU condéree que el oento e eectúa en la dreccón x coo uetra la gura.5 (a), la condcone ncale (t=), on la guente x() =x, () = y a=a, nueaente e deea aber la elocdad y pocón del cuerpo para un tepo t poteror. 4

35 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt (a) (b) Fgura.5 (a) Stuacón ncal un objeto oetdo a aceleracón contante (b) quí e obera el objeto para un pocón utura. De la dencón de la aceleracón en la dreccón x d dt a procedendo coo en el cao anteror a ntegrar la ecuacón repecto a t d dt dt d a t a c a dt dt aplcando que para t =, ()= a ( c ) c por lo tanto a t.4 5

36 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt recordando la dencón de la elocdad, dx at dt ntegrando repecto a t la ecuacón x dx dt dt dx a tdt a t a tdt x at t c aplcando ahora que para t=, x() =x dt dt dt dx dt, la ecuacón anteror e ecrbe coo x x a () () c c entonce x at t x.5 La ecuacone.,.4 y.5 dependen explíctaente del tepo y perten reoler lo problea de oento rectlíneo unore y acelerado, pero e conenente en la olucón de alguno de eto problea conderar otra ecuacón que no depende explíctaente del tepo, dcha ecuacón e obtene a contnuacón. plcando la regla de la cadena e poble ecrbr la dencón de la aceleracón en una denón coo d dt d dx dx dt pero coo dx dt d dt d dx Toando en cuenta el problea anteror de aceleracón contante, con la a condcone ncale de la gura.5 y aplcando el reultado anteror d dt d dx a Integrando la ecuacón anteror repecto a x 6

37 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt d dx dx d a a x a dx dx c aplcando que para t =, ()= y x()=x a x c depejando c c a x ubttuyendo el alor de la contante c obtendo a x depejando a x a x x.6 EJEMPLOS I) Un autoolta realza un aje de k a una rapdez proedo de 4 K/h. Un egundo autoól que nco el aje una hora depué llega al o detno al o tepo. Cuál ue la rapdez proedo del egundo auto durante el perodo en que etuo en oento? La notacón con ubíndce correponde al prer cuerpo y la notacón correponde al egundo cuerpo. El gura guente uetra la tuacón del problea, lo oento e realzan a elocdad contante en cada cao, por lo que olo e necearo aplcar la órula. para la olucón del problea. El prer autoól recorre la dtanca L en un tepo 7

38 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt L k t 5 h 4 k h coo el egundo autoól coenza u recorrdo h depué, u tepo de recorrdo de la dtanca L e t t h 5 h h 4 h la elocdad unore o proedo del egundo autoól L k 5 t 4 k h k h II) Una rápda tortuga puede deplazare a una elocdad de c/, y una lebre puede correr ece á rápdo. En una carrera, lo do corredore coenzan al o tepo, pero la lebre e detene a decanar durante nuto y por ello la tortuga gana la carrera por un caparazón ( c). a) Qué tanto duró la carrera? b) Cuál ue la longtud recorrda? La gura a) uetra el nco del oento, el tea de coordenada e coloca coo e uetra. El ubíndce T correponde a tortuga y el C a la lebre Fgura Lo do parten del orgen del tea al o tepo, pero en algún punto nteredo deconocdo del recorrdo el conejo e detene un tepo t p = n =, en una pocón poteror a que el conejo decane, la ecuacone de la pocón de cada uno de lo anale repecto al tea de coordenada queda deternada por nal ndcada x x T C T t ( ) C t tp EL extreo derecho de la gura uetra la condcón nal, donde la tortuga llega a la eta el un tepo t, en el cual ha recorrdo una dtanca x T = L, en ee o ntante el conejo e ha recorrdo a una dtanca x C = L, donde e el epeor del caparazón, en ete punto la ecuacone on L t L T C ( t t ) P Ecuacone que repreentan un tea ecuacone, donde t y L on la ncógnta. Procedendo a depejarla ncógnta El tepo total de la carrera e 8

39 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt t c C p t 6. c c C p y la longtud del recorrdo L c Tt 6. 6 c. 6 III) En t =., una partícula que e uee con elocdad contante e localza en x = -. y en t = 6., la partícula e localza en x- 5. a) Con eta noracón graque la pocón coo uncón del tepo. b) Deterne la elocdad de la partícula a partr de la pendente de eta gráca. a) La gráca de la pocón de la partícula que e uee a elocdad contante reulta er una línea recta, la cual e uetra a contnuacón b) Pueto que la pendente de la recta e la elocdad x x 5 ( ) 8. 6 t t 6 5 9

40 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt IV) Una partícula e uee con una elocdad O = 6 / en t =. Entre t = y t = 5, la elocdad dnuye unoreente hata cero. Cuál e la aceleracón proedo durante ete nteralo de 5? Cuál e el gncado del gno de u repueta? La noracón que e obtene del texto de problea e la guente: t, 6, t 5 y, la aceleracón proedo e calcula aplcando la dencón a t t ( 6) (5 ) 4 el gno negato de la repueta gnca que la aceleracón actúa en entdo contraro al deplazaento, por ete oto e le llaa deaceleracón V) Un objeto e uee a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuacón. Deterne a) la elocdad proedo entre t =. y t =., b) la elocdad ntantánea en t =. y en t =., c) la aceleracón proedo entre t =. y t =., y d) la aceleracón ntantánea en t =. y t =.. E conenente proceder a enuerar cada uno de lo tepo ndcado en el problea, eto e t, t a) La pocón del objeto para cada uno de lo tepo e obtene ealuando la ecuacón t x( t ) (. t. t ) (. (). () ) x( t ) (.. t ) (. (). () ) 4 la elocdad proedo e entonce x( t ) x( t) (4 ) t t ( ) b) Para calcular la elocdad ntantánea e procede a derar la uncón de la pocón con repecto al tepo d d ( t) x( t) (. t. t ) (6. t. ) dt dt la elocdad ntantánea para cada uno de lo tepo e ( t) (6. t. ) (6. (). ) ( t ) (6. t. ) (6. (). ) 6 4

41 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt c) La aceleracón proedo entre t y t a ( t ) t 6 ( t ) t (6 ) ( ) d) Para obtener a aceleracón ntantánea e dera la uncón (t), repecto del tepo a( t) d dt ( t) (6. t. ) 6. Pueto que el reultado e una contante, la aceleracón e la a para cada cualquer tepo. VI) El nueo BMW M puede acelerar de a 6 /h en 5.6. a) Cuál e la aceleracón reultante en /? b) Cuánto tardaría el BMW para paar de 6 /h a /h a eta taa? a) La gura guente uetra la elocdade del autoól en cada uno de la pocone, B y C plcando el actor de conerón /h =.447 /, tranorao cada una de la elocdade a la undade /.447 B h h.447 C 58. h h la aceleracón proedo en la regón B e entonce a t B B t (6.8 (5.6 ) ) 4.8 b) S el autoól e uee a eta aceleracón contante en la regón BC, de la ecuacón a t C C t B B C t BC B 4

42 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt e depeja la ncógnta tbc t a ( ) 4.8 C B BC VII) Un dco de hockey que e delza obre un lago congelado e detene depué de recorrer. S u elocdad ncal e. /, a) cuál e u aceleracón éta e upone contante, b) cuánto dura u oento y c) cuál e u elocdad depué de recorrer 5? La gura uetra el problea Se obera que xc x L y x x S b. a) Para calcular la aceleracón e obera que e conoce la elocdade ntantánea y la dtanca recorrda, en tal cao e aplca la ecuacón C a( xc x) al de donde e depeja la aceleracón a C () ().5 L ( ) b) De la ecuacón C at C e depeja el tepo t a.5 C C. c) Nueaente e aplca la ecuacón del nco a), pero con la condcone adecuada B a( xb x) as entonce B as

43 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt VIII) Un auto y un tren e ueen al o tepo a lo largo de trayectora paralela a 5. /. Debdo a una luz roja el auto experenta una aceleracón unore de -.5 / y e detene. Peranece en repoo durante 45., depué acelera hata una elocdad de 5. / a una taa de.5 /. qué dtanca del tren etá el auto cuando alcanza la elocdad de 5. /, uponendo que la elocdad del tren e ha antendo en 5. /? La gura guente uetra la pocone del autoól, en la pocón e coloca el orgen del tea coordenado, cuando tren y autoól tene una elocdad contante de 5 /, la pocón B correponde al autoól en repoo durante 45 y nalente en C el autoól ha alcanzado nueaente la elocdad de 5 /. Fgura El tepo que nerte el autoól en r del punto al B e obtene aplcando la ecuacón B _ 5. t B a.5 con el reultado anteror e calcula la dtanca recorrda de a B x at t B B B la ecuacone anterore perten calcular tabén el tepo en que el autoól alcanza nueaente la elocdad de 5 / y la dtanca recorrda tbc C _ 5. B a.5 entonce la dtanca recorrda de B a C xbc at BC BtBC.5 5 La dtanca total que ha aanzado el autoól e por lo tanto xc xb xbc el tepo total trancurrdo hata ee oento debe nclur el tepo de epera en e eáoro T t t B BC 65 el tren que e ha odo ha elocdad contantev 5, ha recorrdo una dtanca x D VT nalente la de eparacón del tren cuando el autoól e encuentra en el C e xd xc

44 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt IX). Una pelota acelera a.5 / entra e uee haca abajo en un plano nclnado de 9. de largo. Cuando alcanza la parte neror, la pelota rueda por otro plano, donde, depué de oere 5, e detene. a) Cuál e la elocdad de la pelota en la parte neror del prer plano? b) Cuánto tarda en rodar por el prer plano? c) Cuál e la aceleracón a lo largo del egundo plano? d) Cuál e la elocdad de la pelota 8. a lo largo del egundo plano? La gura guente uetra la tuacón de la pelota en el prer plano y egundo plano, aí coo la cantdade conocda del problea a) la elocdad de la pelota en la parte neror e obtene edante la órula B al.5 9. b) conocendo la elocdad ncal y nal, aí coo la aceleracón en el prer plano, el tepo de recorrdo e t _ a.5 B 6. c) Utlzando la a ecuacón que en el nco a), pero depejando la aceleracón y utlzando lo dato para el egundo plano a ( ) (. ) C B. L (5 ) d) Con el reultado anteror y nueaente aplcando la órula utlzada en el nco a) e) D B al

45 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt X) Una bala ndetructble de. c de largo e dpara en línea recta a traé de una tabla que tene. c de epeor. La bala entra en la tabla con una elocdad de 4 / y ale con una elocdad de 8 /. a) Cuál e la aceleracón proedo de la bala a traé de la tabla? b) Cuál e el tepo total que la bala etá en contacto con la tabla? c) Qué epeor de la tabla (calculado hata. c) e requerría para detener la bala? a) Pueto que e conocdo el groor de la tabla y la elocdade ncal y nal al atraear la tabla, aceleracón e a (8 ) (4 49 L (. ) ) b) El tepo requerdo por la bala en perorar la tabla e entonce t _ a c) S e condera la a aceleracón y que la elocdad nal al atraear la tabla e cero, entonce e requerría un groor de tabla L ( ) (4 ) a ( 49 ).8 8 c 45

46 FÍSIC DEL MOVIMIENTO PLICD ENERO 8 Gonzalo Gález Coyt Caída lbre E conocda la htora acerca de que Galleo dejó caer dede lo alto de la torre nclnada de Pa do objeto de aa derente y que eto llegaron al uelo aproxadaente en el o tepo, hecho que contradecía la creenca rtotélca aceptada en ee tepo que eñalaba que cuerpo a peado caen á rápdo. La lgera derenca de tepo oberada e atrbuye a la rccón proocada por el are, el experento e realza en acío e coprueba n lugar a duda que una plua cae al o tepo que una bola de ploo, adeá realzó nueroo experento en plano nclnado que otraron ndudableente que la caída de lo cuerpo e realza bajo la a aceleracón. La aceleracón de la graedad (denotada en agntud por la letra g), e ha eddo utlzando derente étodo, reultando el experento del péndulo ple bajo oclacone pequeña el á adecuado y encllo para ete n, obtenéndoe una alta precón. El alor aceptado de la graedad para ne de cálculo e g= 9.8 /, pero cabe enconar que debdo al eecto de rotacón de la terra la agntud caba lgeraente dependendo de la alttud donde e realce el experento. Debdo a que la caída lbre e llea a cabo en condcone en la cuale e condera que la graedad e una contante, la ecuacone que decrben el enóeno on la a que e utlzan para el oento rectlíneo unore acelerado, con la aledad de que la aceleracón de la graedad conene e condera negata, pueto que actúa de anera atracta haca el centro de la terra para lo tea de reerenca norale, o ea a = -g, la gura.6 uetra un cuerpo en caída lbre de eta anera la ecuacone on la guente: gt.7 y gt t y.8 g y y.9 Fgura.6. Repreentacón de la caída lbre, el tea de reerenca e colocado en la parte neror. 46