V B. O k I n k P P. y por tanto A P 1 AP Ahora se tiene que A P 1 AP. Sea B PB, ésta es otra base por ser P GL n K. Entonces se tiene el diagrama:

Transcripción

1 Clacacón de endooro de un epaco vectoral Dado un endooro el prer teorea de ooría dce que V/Ker I. Entonce d V n y d Ker e tene que d I n. Adeá e pueden elegr bae adaptada al núcleo y la agen: B v 1,... v, v 1,... v n B w 1,... w, w 1,... w n de tal ora que w 1 v 1,..., w n v n. Entonce D O I n por lo que epre e pueden conegur do atrce nvertble P,Q tale que D Q 1 M C P. Do atrce A,B e dcen equvalente cuando hay do atrce nvertble P,Q tale que B Q 1 AP. Eta dencón e una relacón de equvalenca y el reultado anteror e puede enuncar dcendo que una atrz e epre dagonalzable por equvalenca. Teorea A,B M n K on equvalente rg A rg B de: dada una atrz nvertble P, e tene que rg PA rg A rg AP Seejanza de endooro Dencón Sea V un K e.v.,, ELV. cuando g GLV / g 1 g Dencón Sean A,A M n K. A A cuando P GL n K / A P 1 AP Teorea Sea B una bae de V. M B M B de: Sea A M B, A M B ; P GL n K / A P 1 AP ; ea g GLV / M B g P ; entonce M B g 1 g M B g 1 M B M B g P 1 AP A M B y abendo que M B M B e deduce g 1 g. El recíproco e análogo. Teorea Sea ELV, A,A M n K 1. S A,A on repreentacone atrcale de en dtnta bae, entonce on eejante 2. S A e una repreentacón atrcal de en la bae B y A e eejante a A, entonce A e otra repreentacón atrcal de de: Sean B, B bae de V, P GL n K la atrz de cabo. Entonce por etar A,A aocada al o endooro vercan que el dagraa e conutatvo: A P P y por tanto A P 1 AP Ahora e tene que A P 1 AP. Sea B PB, éta e otra bae por er P GL n K. Entonce e tene el dagraa: A A P P de donde M B P 1 AP A Teorea Dado, ELV, on equvalente B, B bae de V / M B M B pag. 1

2 3. B, B bae de V / M B M B De: 12 S g 1 g e porque V V g g V V Elgendo una bae arbtrara B y contruyendo B g 1 B el dagraa queda g I I g de donde M B M B 2 3 Evdente 3 1 M B M B M B por hpóte y el teorea anteror; y por la trantvdad y el prer teorea e tene que Subepaco nvarante Dencón U e ube.v. nvarante por cuando U U En ete cao e puede retrngr a dcho ubepaco, e decr U ELU y V/U ELV/U Dencón Sea V U 1 U 2... U r una decopocón en ua drecta de ube.v. nvarante. S algún U V y por tanto U j 0 para j, o ben r 1 e dce que la decopocón e trval.y al revé, r 1y U 0 entonce la decopocón e propa Elgendo una bae adaptada a una decopocón propa e tene que A 1 A 2 M B A r endo A M B U El objetvo del teorea de Jordan e encontrar una decopocón propa orada por ube.v. nvarante lo á pequeño poble Autoepaco, el polnoo caracterítco, teorea de dagonalzacón Dencón K e un autovalor de cuando v V,v 0/v v Ete vector no tene porqué er únco, y e llaa autovector aocado al autovalor. Un autoepaco e el conjunto de todo lo autovectore aocado a un o autovalor, V. El epectro de e el conjunto de u pag. 2

3 autovalore, La propedade que tenen eto conjunto on: 1. V e ube.v. nvarante 2. S 1 2 V 1 V 2 0 V V e decr lo V on ndependente 3. L De: Ante que nada aclarar que L V e por dencón V 1... V r por lo que eta propedad añade que la decopocón de cualquer vector de dcha ua en ua de autovectore e únca. Se deuetra prero el lea: Lea Autovectore de autovalore dtnto on l.. De: Sean v 1, v 2,... v r l.d., entonce d Lv r. Supongao entonce que v 1, v 2,... v q q q r e una bae, por lo que v r a v 1 1 y entonce r v r v r a v.s r 0 a a a q q 0 a 1 a 2... a q 0 v r 0 que e una contradccón. Por lo tanto r 0y r q e puede ecrbr v r 1 a r v 2 Entre (1) y (2) e deduce que q r lo que e otra contradccón Con ete lea y uando el crtero de que V on ndependente 0 ólo e decopone coo 0 e puede decr que 0 v aplcando el lea reulta v 0 Para calcular un autoepaco bata dare cuenta que V Ker d y de que Ker d 0 M B I 0. Por eo e tene la guente Dencón Sea A M n K, el polnoo caracterítco de A e A t A ti A Kt,gr A n y la race de ete polnoo on por tanto lo autovalore de A Teorea Sean A,A M n K, A A A A Dencón Dado ELV, M B A el polnoo caracterítco de e A Para que eta dencón ea correcta hay que dare cuenta de que no depende de la repreentacón atrcal Sea 1. n dv gr ; 2. r el núero de autovalore dtnto 0 r n pero upongao 1 r n 3. ultplcdad de para 1 r ; por lo que 1 n r 4. n El hecho de que a vece haya tanta race, contando u ultplcdad, coo el grado del 1 polnoo depende del cuerpo K de lo coecente. 5. d dv para 1 r Teorea 1 d De: Sea d dker d dker g. Sea B v 1, v 2, v d, w 1,... w nd una bae adaptada a dcho núcleo. Entonce q... 0 g d... 0 nd 0 0 y g M B g I 1 d d P ult 0 d. Por otro lado g d d luego ult ult 0 d La guente dencone erían lo ejore cao poble para el objetvo que pergue el teorea de Jordan. Dencón A M n K e dagonalzable cuando D M n K dagonal / A D Dencón ELV e dagonalzable cuando B bae / M B e dagonalzable pag. 3

4 Utlzando lo reultado de eejanza e tene que e dagonalzable C bae / M C D y tabén que M B A entonce A e dagonalzable e dagonalzable Teorea ELV e dagonalzable r 1 n d De: S 1 entonce t 1 n t r 1 y reulta d dker d r Coo n 1 M B D r 1 r d e tene que VV y ecogendo una bae adaptada e obtene Subepaco caracterítco, el polnoo íno, prer teorea de decopocón Un epaco vectoral e un conjunto V con una etructura de grupo abelano V, y una operacón externa K V V, v v que verca 4 propedade, en prncpo nconexa: 1. v w v w 2. v v v 3. v v 4. 1v v Pero en eta propedade no ólo no e neceta que lo ecalare tengan nvero, no que adeá e explcan dcendo que e tene un oro de anllo K HoV que preerva el neutro del producto. Eto otva la guente Dencón Dado un anllo A untaro, un A-ódulo V e un grupo abelano V, y una operacón externa que provene de un oro de anllo que preerva la undad: A HoV Dencón Dado V un K e.v., ELV,V e el Kt ódulo dendo obre el grupo abelano del epaco vectoral V,, por el oro Kt HoV a n t n a n1 t n1... a 0 a n n a n1 n1... a 0 d Entonce la operacón externa queda Kt V V pt v pv Adeá U V e un ube.v. nvarante e puede contrur el ódulo U U. En ete, la operacón externa e Kt U U pero coo p U p U e tene que U U V U pt u p U u Sobre V e tene entonce do etructura algebraca y de la relacón entre ella e deducrá el teorea pag. 4

5 de Jordan. Dencón U V e un ubódulo cuando p,q Kt u, v Upt u qt v U En partcular, pt, qt endo, K e tene que u, v U u v U e decr U e un ubódulo de V entonce e un ube.v. de V Teorea Sea U V; U e un ubódulo de V U e un ube.v. nvarante de V De: u Ut u U luego u U e decr U U Coo U e nvarante por, e nvarante por cualquer polnoo de Corolaro El ube.v. nvarante á pequeño que contene a u e Kt u que e una recta odular Hay tabén otro ube.v. nvarante dado por el guente Teorea p Kt Ker p y I p on ube.v. nvarante De: Sea u Ker p e decr pu 0 Entonce pu pu 0 0 luego Ker p Ker p. Ahora ea u pv entonce u pv p v I p Hay que notar que un autoepaco V e Ker p para pt t Por otro lado, cuále on lo p Kt / Ker p 0? Para reponder vao a plantear la pregunta al revé y bucar lo polnoo que anulan un vector concreto, e decr Dencón Sea S V un ubconjunto, el anulador de S e AnS p Kt / pt u pu 0 u S Un anulador tene la guente propedade 1. S S T V entonce AnS AnT 2. AnS AnLS De: S LS AnS AnLS S p AnS ea u 1 u 1... r u r LS entonce pt u pu 1 pu 1... r pu r 0 3. S U,W on ube.v. entonce AnU W AnU AnW De: AnU AnW AnU W AnLU W AnU W 4. AnV 0 De: Sea B e 1,..., e n bae de V. e 1, t e 1,..., t n e 1 on n1 vectore de V luego on l.d..entonce K 0/ 0 e 1 1 t e 1... n t n e 1 0 e decr 0 1 t... n t n e 1 0 por lo tanto p 1 Kt / p 1 t e 1 0. De aquí e deduce que Anu 0 u. Reptendo el proceo ea pt p 1 tp 2 t... p n t entonce pt Ane AnLe AnLe 1... Le n AnV 5. AnS e un deal De: Etá claro que p,q AnS entonce p q AnS por lo que alta ver la propedad de aborcón. Sea p AnS q Kt y u S entonce ptqt u qpu q0 0 pq AnS Coo Kt e un dono de deale prncpale p Kt / AnS pkt y cualquer otro polnoo que genere el deal etá aocado con p, por lo que hay un únco polnoo ónco que genera el anulador de S llaado el polnoo anulador p S. La anera de encontrarlo e uando u propedade 1. p S 1 S 0 2. S T V AnS AnT p S Kt p T Kt en partcular p T qp S e decr p T e últplo de p S 3. p S p LS 4. p UW p U, p W endo U,W ube.v., ya que AnU W AnU AnW p U p V p U,p V Dencón El polnoo íno de e el polnoo anulador de todo V, e decr p V La guente propedade no on a que cao partculare: S p Kt e tal que p 0 entonce p e últplo de Cuando U V e un ube.v. nvarante, p U U ya que el anulador de U e el o en el ódulo V que en el ódulo U U Dada A M n K tabén e tene un deal generado por un únco polnoo ónco p Kt / pa 0 A Kt llaado el polnoo íno de A. S tene una repreentacón atrcal A, en la bae B entonce A ya que M B A M B p pa y entonce p 0 pa 0 por lo que pag. 5

6 AnV p Kt / pa 0 y Kt A Kt de donde e deduce que A y adeá que A A entonce A A El conocento del polnoo íno e la clave del teorea de Jordan: Lea (A) Dado p AnV ea p p 1 p 2... p r una decopocón tal que p p y 1, 2,... r 1 entonce V Ker p 1 Ker p 2... Ker p r De: Coo el deal generado por 1, 2,... r etá generado por u.c.d. entonce Kt / 1. Con eto ea ELV 1. d 1 d 2. j 0 j j j j j j j j j r Equvalenteente e prueba que d 0: d 1 j j 0 1 j j j j 4. V I 1 I 2... I r : v V v dv 1 v 2 v... r v V I 1 I 2... I r : Sea u I.Su 1... u r 0 entonce 1 v 1... r v r 0 y aplcando queda v 0 u 0. E decr que 0 ólo e decopone coo 0 5. I Ker p : Sea u Ker p entonce u u d u 1 u j j u j : v V p v p v p v pv 0 En partcular toando AnV y decoponéndolo en actore pro p 1 1 p p r r e congue el Prer teorea de decopocón 1. V Ker p 1 1 Ker p Ker p r r 2. Ker p p 3. S r 1 la decopocón e propa De: 1. E el lea (A) 2. p Ker p p 0 ya que Ker p Ker p e un ube.v. nvarante. Por lo tanto p AnKer p luego p e últplo de Ker p. Pero p ólo tene un actor pro Ker p p con 1. Pero aplcando 1) e obtene que Ker p1 1, Ker p y por tanto Ker p r r 3. Coo p Ker p Ker p p 1 entonce Ker p 0 Dencón Un ube.v. caracterítco e V p Ker p Teorea 0 Ker p Ker p 2... Ker p Ker p 1 De: 1. Ker p Ker p 1 2. Sea q Kt / qp Entonce qp e últplo de y e tene que qp AnV por lo que aplcando el lea (A) e congue que V Ker p Ker q luego dker p e epre la a y por 1) e deduce que Ker p Ker p 1 3. Coo Ker p p e tene que p p Ker p Ker p 0 por lo que Ker p Ker p 4. S Ker p Ker p 1 ea u Ker p 2 p 1 pu 0 pu Ker p 1 Ker p por lo que 0 p pu p 1 u u Ker p 1 y por 1) e deducría que Ker p 1 Ker p 2. Entonce aplcando 3) e ve que Ker p Ker p 1 pag. 6 j p j p 0 j p

7 Teorea u V p / p u p De: u Ker p \ Ker p para. Entonce p Anu qkt luego p qr pero coo p ólo tene un actor pro q p con 1 pero entonce el únco valor poble para e Lo ejeplo dcen que eta decopocón a vece no e la ejor poble porque dentro de un ube.v. caracterítco hay una decopocón en ube.v. nvarante á pequeña Subepaco rreducble, egundo teorea de decopocón Dencón Sea U V un ube.v. nvarante. U e rreducble no tene una decopocón no trval en ua drecta de ube.v. nvarante Recordando que p 1 1 p p r r donde p e un actor pro y u ultplcdad e tene AnU p Kt Lea (B) U rreducble, 1 r 1 / p U p De: Trabajando en el ódulo U U,p U r con r, Kt y r, 1 e tendría por el lea (A) que U Ker r U Ker U Ker r U Ker U yker r U U 0 r U r U r e últplo de p U que e una contradccón, por tanto la decopocón e propa pero al er U rreducble p U ólo tene un actor pro. Coo U V AnU AnV e últplo de p U Corolaro S U e rreducble U Ker p V p luego la decopocón en ube.v. caracterítco rve. Lea (C) Sea U V un ube.v. nvarante / p U p con 1 y1 r entonce U Kt u j j1 con p u j p j 1 j De: Se hará por nduccón obre Para 1 1. Sea u U entonce Anu AnU p u Kt p Kt p e últplo de p u p u p 2. Sea u 1 U arbtraro. S Kt u 1 U ea u 2 U \ Kt u 1 entonce Kt u 1 Kt u 2 0 :q u 1 q u 2 dvdendo e tene que q cp r y q c p r de donde r u 1 r u 2 con gr r,gr r gr p. Coo Kt/p e un cuerpo, Kt / r 1 p Entonce ultplcando por queda r u 1 u 2 que e una contradccón con la eleccón de u 2 3. Sea u r U \ Kt u 1 Kt u 2... Kt u r1 coo d U e tendrá que U Kt u 1 Kt u 2... Kt u r. Adeá la ua e drecta porque 0 q 1 u 1 q 2 u 2... q r u r e puede uponer que gr q gr p y coo Kt/p e un cuerpo, dvdendo por el nvero de q r,, e tene que u r q 1 u 1 q 2 u 2... q r1 u r1 que e una contradccón por la eleccón de u r, luego una vez á 0 ólo e decopone coo 0 Para ea g U En el ódulo U g e tene que g p 1. Coo W I p g e un ube.v. nvarante ea h g I p g Se condera el ubódulo W h a. h p 1 : w W p 1 w p 1 p u p u 0 luego el polnoo anulador de W no e ayor que p 1. Por otro lado h q entonce de la dencón de W e tene que qp AnU qp e un últplo de p b. por nduccón e obtene que W Kt w j y adeá p wj p j 1 j 1. Por dencón j1 de W u j U \ Ker p g tale que W Kt p gu j j1 pag. 7 U p

8 2. Volvendo al ódulo U g a. Sea X Kt u 1 Kt u 2... Kt u entonce la ua e drecta ya que 0 q 1 u 1 q 2 u 2... q u ultplcando por p queda 0 q 1 w 1 q 2 w 2... q w 3 q j w j 0 q j p u j 0 j 1... Sp 1,q j 1 r, Kt /1 rp 1 q j y ultplcándolo por w j queda w j rp q j p u j 0 que e una contradccón, luego p dvde a q j y entonce 0 r 1 p u 1 r 2 p u 2... r r p u r r 1 w 1 r 2 w 2... r r w r r j w j 0 q j u j 0 b. Sea Y Ker p g entonce U X Y porque p U I p g W p X y entonce dado u U x X / p u p x p u x 0 c. Y e un ube.v. nvarante por er un núcleo y p Y p entonce aplcando el cao 1 e tene que Y Kt y j con p y p j j. Ahora y j X entonce Kt y j X por er X un ubódulo. 1 Yy j X entonce X Kt y j 0 : uponendo que la ntereccón e no vacía e tene que q 1 u 1 q 2 u 2... q u q y j y ultplcando por p e tene que q 1 w 1 q 2 w 2... q w qp y j 0 y de (3) e deduce que p dvde a q j, luego p u q y j Coo p e pro y q no e últplo de p p,q 1,r Kt /1 p rq y j rq y j rp u que por hpóte e una contradccón AnU Anu Lea (D) U Kt u p U p u De: Sea p Anu y ea v U luego v q u y p v pq u q 0 0 Teorea U rreducble u U / U Kt u y p u p para algún 1 De: Aplcando el lea (B), el lea (C), la hpóte y el lea (D) e obtene el reultado. Por el lea (D) p U p u p.su U j endo U j ube.v. rreducble entonce p p U p U1,p U2,... p U p Uj p j y adeá j0 / p Uj0 p Sea j 0 1 y aplcandole ete teorea e tene que U 1 Kt u 1 con p u 1 p U1 p. Por últo Kt u Kt u 1 : ea q Kt / u 1 q u.s q,p 1 entonce q rp con p u 1 0 que e una contradccón. Luego q,p 1 r, Kt / rq p 1 r u 1 u Segundo teorea de decopocón Exte una decopocón de V en ua drecta de ube.v. rreducble De: Exte una decopocón de V en ua drecta de ube.v. caracterítco cada uno de lo cuale tene p Vp p y aplcándole el lea (C) quedan decopueto coo V p Kt u,j con p u,j p,j j con 1,j endo cada uno de ello rreducble por el teorea anteror Tan olo queda encontrar una atrz adaptada a eta decopocón Teorea Sea U V rreducble con p U p para 1. Sea gr p entonce d U De: Sea K r t el conjunto de polnoo de grado enor etrcto que r, que e un K e.v.de denón. Por lo reultado anterore U Kt u con p u p U El teorea e deduce del guente ooro: K r t p U p u e lneal, nyectva ya que p u 0 p e últplo de p gr p p 0, y obreyectva porque v U q Kt / v q u y dvdendo queda q cp r con gr r, entonce r v Teorea En la tuacón anteror hay una bae B tal que pag. 8

9 Ap N M B Ap N Ap Ap donde p t t a 1t 1... a 1 t a 0 Ap a a a 2 a 1 N De: Sea B 1,t,...,t 1,p,tp,...,t 1 p,p 2,...,p 1,tp 1,...,t 1 p 1 polnoo de K r t. Son l.. porque hay una cobnacón lneal entre ello, e tendría que q 0 q 1 p... q 1 p 1 0 q K r t por lo que q 0 ería últplo de p y coo gr q 0 gr p entonce q 0 0. Sacando actor coún p, e volvería a obtener que q 1 0 y aí ucevaente. Por tanto oran adeá una bae. Uando el ooro, e obtene una bae de Jordan en U : B u, t u,..., t 1 u,p u, tp u,...,t 1 p u, p 2 u,...,p 1 u, tp 1 u,...,t 1 p 1 u Repecto de eta bae, la atrz del endooro e calcula por: u t u, t u t 2 u, t 1 u t u a 0 u a 1 t u... a 1t 1 u p u de donde e copleta la prera atrz Ap y e ve porqué aparece la atrz N. Segudaente p u tp u, tp u t 2 p u, t 1 p u t p u a 0 p u a 1 tp u... a 1t 1 p u p 2 u dando lugar a la egunda atrz Ap y N. Fnalente p 1 u tp 1 u, tp 1 u t 2 p 1 u, t 1 p 1 u t 1 p u a 0 p 1 u a 1 tp 1 u... a 1t 1 p 1 u p u Pero ahora el últo térno e cero por er p el polnoo anulador de U. Aunque ya etá coneguda la decopocón, el guente teorea caba radcalente la ora de llevar a la práctca eta teoría n Teorea S q 1 n 1 q 2 n 2... q y p 1 1 p p r r endo q j,p actore pro y n j, u ultplcdade, entonce r, q p, n De: Sea V V p1 V p2... V pr la decopocón en ube.v. caracterítco. A u vez, ea V U 1,1... U 1,1 U 2,1... U 2,2... U r,1... U r,r la decopocón en ube.v. rreducble. Con eto, U1,1 U1,1 Ur,r y tenendo preente que M B U,n Ap N Ap N Ap Ap t 0 a 0 con 1 e deduce que t 0 a 1 U,n Ap ti 1 t a 1 t 1 t a 2 1 a0 0 0 t a t a 1 1 t 0 t 0 a tt 1 t a 3 1 a1 1 a0 pag t a 1

10 t 2 t 0 a 2 1 t a 3 1 a1 t a t 1 t a 1 1 a 2t t a 1 a 0 1 p 1 p Luego r y q p. Adeá e abe que hay un ube.v. rreducble cuyo polnoo anulador concde con el del ube.v. caracterítco al que pertenece, e decr, n / U,n p n Obervacón Denendo c,j coo el núero de ube.v. rreducble de denón j, e calcula rando a que n c, 1 d V p c, n 1 Teorea de Caley-Halton 0 De: No e á que un corolaro del teorea anteror. El algorto Con todo eto reultado, la anera práctca de calcular la atrz y bae de Jordan e la guente: 1. e calcula el polnoo caracterítco, de aquí e obtenen lo actore pro p del polnoo íno 2. e calcula para cada actor pro p, la uceón de núcleo Ker p. De aquí e obtenen la ultplcdade en y tabén la prera decopocón en ubepaco caracterítco 3. de cada ubepaco caracterítco e elge un vector arbtraro que no eté en el núcleo anteror. Ete da lugar a un ubepaco rreducble de denón gr p cuya bae y atrz vene dada por un teorea anteror 4. el ubepaco rreducble anteror no llena el caracterítco, e elge otro vector arbtraro del núcleo á grande poble que no eté en el núcleo anteror, generando otro ubepaco rreducble. Ete proceo e repte hata copletar la denón del caracterítco. De aquí e obtene la egunda decopocón, la bae de Jordan y la atrz de Jordan El teorea de Jordan Teorea Sea V un K e.v.,, ELV, endo p 1 1 p p r r, ea d,j dker p j para 1 r y1j,d,j d,j,j De: 1. g 1 g para g GLV. Sea p Kt, p pg 1 g g 1 p g, entonce 0y 0 gr gr y al er ónco e obtene la gualdad 2. I g 1 I luego rg d I dg 1 I d I rg 3. De 1. e deduce que p Kt p p luego rgp rgp 4. d Ker p dv d I p dv rgp dv rgp... d Ker p pag. 10

11 Se va a encontrar una repreentacón atrcal de Jordan que ólo dependa de y d,j. De lo apartado anterore e ve que ólo depende de que deterna la prera decopocón, y c, para 1 que deterna la egunda decopocón. Con eto dato e tene que V V p1 V p2... U,1 U,2... U,... V pr de donde p j V p j V p1 p j V p2... p j U,1 p j U,2... p j U,... p j V pr conervándoe la ua drecta por er ube.v. nvarante 1. S para algún u V p1 e tuvera que p j u 0 entonce p j ería últplo de p 1 y ería una contradccón, luego d p j V p1 d V p1 2. Para lo ube.v. rreducble U, uponendo que p U, p con 1 y1 e tene que p j U, 0 j y p j U, 0 j y adeá U, Kt u, entonce p j U, Kt p j u, y coo p j p u, p j e un ube.v. rreducble, por lo que eta do coa plcan que d p j U, j Volvendo a la ua drecta y contando denone queda d I p j n n c, j epre que j. De aquí e deduce que d,j n c, j 1 y que d,j1 n c, j 1 de donde d,j d,j1 c, para tal que j ; d,j1 d,j 1 c, 1 para tal que j 1. Retando e llega a la órula bucada 2d,j d,j1 d,j1 c, j 1 1 pag. 11