Órdenes de algunos Grupos Lineales Modulares

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1 Dvulgacones Mateátcas Vol. 14 No. 2(2006), pp Órdenes de algunos Grupos Lneales Modulares Orders of soe Modular Lnear Groups Roy Quntero Departaento de Físca y Mateátcas Núcleo Rafael Rangel - Unversdad de Los Andes Trullo, Venezuela. Resuen En este artículo daos las defncones y calculaos los órdenes de algunos subgrupos de GL(, Z n) slares a los subgrupos lneales cláscos del grupo lneal gene- ral sobre un cuerpo cualquera. Específcaente, el grupo lneal odular especal SL(, Z n ), el grupo odular ortogonal O(, Z n), el grupo odular ortogonal especal SO(, Z n) y fnalente el grupo odular spléctco Sp(2, Z n ). La técnca utlzada consste en reducr el problea al caso pro y luego eplear la descoposcón pra de n, para ello aplcaos algunos resultados báscos sobre soorfsos de grupos y de artétca odular. Palabras y frases clave: atrces sobre anllos especales, undades, grupos de undades, otros grupos de atrces sobre anllos. Abstract In ths paper we gve the defntons and calculate the orders of soe subgroups of GL(, Z n ) slar to the classcal lnear subgroups of the general lnear group over any feld. Specfcally, the specal odular lnear group SL(, Z n ), the orthogonal odular group O(, Z n ), the specal orthogonal odular group SO(, Z n ) and fnally the syplectc odular group Sp(2, Z n). The technque used conssts n reducng the proble to the pre case and then eploy the pre decoposton of n, for ths we apply soe basc results about group soorphss and fro odular arthetc. Key words and phrases: atrces over specal rngs, unts, groups of unts, other atrx groups over rngs. Recbdo 10/03/06. Revsado 15/11/2006. Aceptado 12/12/2006. MSC (2000): Prary 15A33, 20H25; Secondary 16U60.

2 108 Roy Quntero 1 Introduccón El grupo lneal general de rango > 1 sobre Z n, el anllo de los enteros odulares con ódulo n, lo denotareos GL(, Z n ). Este grupo lneal odular surge frecuenteente de certas aplcacones de la Teoría de Enteros Modulares, Teoría de Grupos Fntos y Algebra Lneal en el estudo o creacón de ssteas crptográfcos tanto sétrcos coo de clave públca. Eeplos del prer tpo son Vgenère cpher y Hll cpher, los cuales se estudan en [1]. Hace pocos años, la oven centífca rlandesa Sara Flannery [3] creó el sstea de clave públca Cayley-Purser algorth o spleente CP. En el caso partcular del sstea CP se requró conocer el orden de GL(2, Z pq ) (p, q pros). Es por ello, que el obetvo de este artículo es conocer los órdenes de certos subgrupos odulares que puderan eplearse en futuros ssteas crptográfcos que usen algebra atrcal odular. A contnuacón daos las defncones de algunos subgrupos de GL(, Z n ), slares a los subgrupos cláscos de GL(, F ) cuando F es un cuerpo cualquera, y calculaos sus órdenes. 2 Defncón de algunos subgrupos de GL(, Z n ) Incaos esta seccón recordando que el grupo lneal general GL(, Z n ) está consttudo por las atrces nvertbles con entradas en Z n ; es decr: GL(, Z n ) = A = [a ] Z n : det(a) U(Z n )} donde U(Z n ) = u Z n : cd (u, n) = 1} es el grupo de undades de Z n y cuyo orden es ϕ(n); es decr, el valor de la funcón-ϕ de Euler en n. En [2] pueden verse las defncones de los grupos lneales cláscos sguentes: grupo lneal especal, grupo ortogonal, grupo ortogonal especal y grupo spléctco, todos de rango general y con entradas en un cuerpo. Defncón 2.1. Los grupos odulares especal, ortogonal y ortogonal especal de rango sobre Z n, denotados SL(, Z n ), O(, Z n ) y SO(, Z n ) y spléctco de rango 2 sobre Z n, Sp(2, Z n ), son defndos a contnuacón: SL(, Z n ) := A GL(, Z n ) : det(a) = 1}, O(, Z n ) := A GL(, Z n ) : A T A = I }, SO(, Z n ) := A O(, Z n ) : det(a) = 1 } Dvulgacones Mateátcas Vol. 14 No. 2(2006), pp

3 Órdenes de algunos Grupos Lneales Modulares 109 y Sp(2, Z n ) := S GL(2, Z n ) : S T J n S = J n }, donde J n = [ O ] I I O (O y I son las atrces nula e dentdad de Z n ). 3 Órdenes de los subgrupos de GL(, Z n ) 3.1 Orden de SL(, Z n ) El orden del grupo lneal odular vene dado por la fórula (ver [6]) GL(, Z n ) = n 2 (1 p ), sendo n = p α pα la descoposcón pra de n. Teorea 3.1. El orden del grupo lneal odular especal de rango sobre Z n es (ver [5]): SL(, Z n ) = n 2 1 =2 (1 p ). Deostracón: Es ben conocdo que la aplcacón : GL(, Z n ) U(Z n ) defnda por A det(a) es un eporfso de grupos. Adeás, teneos que Ker( ) = A GL(, Z n ) : (A) = 1 } = SL(, Z n ). Aplcando el prer teorea de soorfso de grupos obteneos que SL(, Z n ) = GL(, Z n) U(Z n ) = n 2 (1 p ) ϕ(n) = n 2 (1 p ) n = n 2 1 (1 p ). (1 p 1 ) =2 Dvulgacones Mateátcas Vol. 14 No. 2(2006), pp

4 110 Roy Quntero 3.2 Orden de O(, Z n ) Para calcular el orden del grupo ortogonal de rango sobre Z n prero deostraos algunos resultados. Lea 3.1. Sean α 2 un entero, p 2 un pro y n = p α pα descoposcón pra de n. Entonces 1. La aplcacón Red α : GL(, Z p α) GL(, Z p α 1) defnda edante la asgnacón A = [a ] Red α (A) = [a ], donde a y a son las clases de congruenca de a ódulo p α y p α 1, es un eporfso de grupos. 2. La aplcacón P rod: GL(, Z n ) GL(, Z α ) GL(, Z p 1 1 p α ) defnda edante la asgnacón A = [a ] P rod(a) = (A (1),..., A () ), donde A (h) = [a (h) ] y a (h) es la clase de congruenca de a ódulo p α h h para h = 1,...,, es un soorfso de grupos. Deostracón: 1. Claraente Red α (A) es ndependente de la escogenca de los representantes de las clases que son entradas de A. Por otra parte, coo cd (det([a ]), p α ) = 1 = cd ( det([a ]), p α 1) = 1, teneos que la aplcacón está ben defnda. Más aún, para todo par de atrces A y B en GL(, Z p α) se cuple que Red α (A B) = Red α (A) Red α (B) y así resulta que Red α es un hooorfso. Claraente es sobreyectvo. 2. Es evdente que cada coponente de P rod(a) es ndependente de la escogenca de los representantes de las clases que son entradas de A y pertenece al correspondente grupo factor. Por otra parte, coo cd (det([a ]), n) = 1 = cd (det([a ]), p α h h ) = 1 para h = 1,..., teneos que la aplcacón está ben defnda. Más aún, para todo par de atrces A y B en GL(, Z n ) se cuple que P rod(a B) = P rod(a) P rod(b) y así resulta que P rod es un hooorfso. Ahora probareos que P rod es una aplcacón sobreyectva. En efecto, dada una -upla cualquera (B 1,..., B ) en el grupo GL(, Z α ) p 1 1 GL(, Z p α para cada h. Supongaos que B h = ), debeos encontrar X = [x ] GL(, Z n ) tal que X (h) = B h [ ] (h) (h) b,h, entonces x = b,h para h = 1,..., y, = 1,..., n. Por tanto, para cada par (, ) debeos encontrar un entero x que satsfaga el sguente sstea de ecuacones odulares x b,1 (ód p α1 1 ). x b, (ód p α ), la Dvulgacones Mateátcas Vol. 14 No. 2(2006), pp

5 Órdenes de algunos Grupos Lneales Modulares 111 pero el teorea del resto chno garantza su exstenca. Así que P rod es sobre. Para conclur teneos que deostrar que P rod es nyectva. En efecto, A = [a ] Ker(P rod) A (h) = I (h), h = 1,..., a (h) 0 (h) f = 1 (h), h = 1,..., f = 0 f a 1 f =. A = I. Por tanto, P rod es un soorfso. Lea 3.2. Sean α 2 entero y p > 2 pro. Entonces O(, Z p α) = p 2 2 O(, Z p α 1). (1) O(, Z 2 α) = O(, Z 2 α 1). (2) Deostracón: 1. Sea f la aplcacón restrccón de Red α a O(, Z p α); es decr, f = Red α O(,Zp α ). Observeos que, para toda atrz A O(, Z p α) se cuple (Red α (A)) T Red α (A) = Red α (A T A) = Red α (I ) = I, (I es la dentdad en Z p ) así que f es un eporfso de O(, Z α 1 p α) en O(, Z p α 1). Ahora procedeos a encontrar su ernel. En efecto, sean C Z y U, V Z p α los conuntos sguentes C = Z : 0 p 1}, U = p α 1 : C} y V = p α : C} entonces, u = 0 u U y v = 1 v V. Luego, 0 f A = [a ] Ker(f) a = y A T A = I 1 f = U f a y A T A = I V f =. Así que, Ker(f) = A = p α 1 [t ] + I donde t C y A T A = I. A = p α 1 [t ] + I : (t 11,..., t ) C 2 y A T A = I }. (3) Dvulgacones Mateátcas Vol. 14 No. 2(2006), pp

6 112 Roy Quntero Deterneos con precsón todos los eleentos del ernel. En efecto, (p α 1 [t ] + I ) T (p α 1 [t ] + I ) = I (p α 1 [t ] T + I )(p α 1 [t ] + I ) = I p α 1( [t + t ] ) + I = I p t, t + t (s ) t = 0 y t + t = 0 ó p (s ). Por tanto, Ker(f) = p α 1 [t ]+I : t = 0 y (t, t ) (0, 0), (1, p 1),..., (p 1, 1)} s < }, y su orden es p 2 2, luego la ecuacón (1) se cuple. 2. Observeos que todo lo hecho en la parte 1 hasta la ecuacón (3), es váldo s reeplazaos p por 2; es decr, } Ker(f) = A = 2 α 1 [t ] + I : (t 11,..., t ) C 2 y A T A = I, pero, Por tanto, Ker(f) = (2 α 1 [t ] + I ) T (2 α 1 [t ] + I ) = I (2 α 1 [t ] T + I )(2 α 1 [t ] + I ) = I 2 α 1( [t + t ] ) + I = I 2 t + t (s ) t + t = 0 ó 2 (s ). } 2 α 1 [t ] + I : t C y (t, t ) (0, 0), (1, 1)} s <, y su orden es , luego la ecuacón (2) tabén se cuple. Corolaro 3.1. Sean α 2 un entero y p > 2 pro. Entonces 1. ( ) O(, Z p α) = p 2 2 (α 1) O(, Z p ). Dvulgacones Mateátcas Vol. 14 No. 2(2006), pp

7 Órdenes de algunos Grupos Lneales Modulares O(, Z 2 α) = 2 ( ) (α 1) O(, Z 2 ). En [4, pags. 158 y 163] se encuentra el sguente lea. Lea 3.3. S p > 2 es pro y r 1 es entero, entonces: 1. O(2r + 1, Z 2 ) = 2 r2 r (22t 1). 2. O(2r + 1, Z p ) = 2p r2 r (p2t 1). 2 s r = 1 3. O(2r, Z 2 ) = 2 r2 r 1 (22t 1) s r 2 2(p 1) s r = 1 y p 1 (ód 4) 2(p + 1) s r = 1 y p 3 (ód 4) 4. O(2r, Z p ) = 2p r2 r (p r 1) r 1 (p2t 1) s r 2 y p 1 (ód 4) 2p r2 r (p r ( 1) r ) r 1 (p2t 1) s r 2 y p 3 (ód 4) Defncón 3.1. Dreos que un pro p es del tpo 1, s p 1 (ód 4), y del tpo 2, s p 3 (ód 4). Teorea Sea n = 2 α p α pα qβ qβ l l donde α 1, p 1,..., p son pros dstntos dos a dos del tpo 1 y α 1,..., α son enteros postvos, y q 1,..., q l son pros dstntos dos a dos del tpo 2 y β 1,..., β l son enteros postvos. Entonces, 1. Los grupos O(, Z n ) y O(, Z 2 α) O(, Z p α ) l O(, Z q β ) son soorfos; es decr, O(, Z n ) = O(, Z 2 α) O(, Z p α ) O(, Z β q ). (4) Dvulgacones Mateátcas Vol. 14 No. 2(2006), pp

8 114 Roy Quntero 2. El orden del grupo O(, Z n ) se expresa edante la sguente fórula: O(, Z n ) = C(2) (1 p 1 ) l (1 + q 1 ) C() 1 2 [ (1 p 2t ) ] l (1 q 2t ) C() [ 2 1 (1 2 2t ) (1 p 2 ] l (1 ( q ) 2 )(1 q 2t ) )(1 p 2t ) (5) s = 2, 3 es par y 4 es par, respectvaente, sendo C(s) = n s2 s 2 2 s(α 1)++l. Deostracón: 1. Por el Lea 3.1, P rod es un soorfso de grupos. Adeás A O(, Z n ) A GL(, Z n ) y A T A = I (A (h) ) +l h=0 GL(, Z 2 α) GL(, Z α p ) y A T (h) A (h) = I (h), h = 0, 1,..., + l P rod(a) O(, Z 2 α) O(, Z α p ) GL(, Z β q ) O(, Z β q ), lo cual deuestra que la funcón P rod restrngda al grupo O(, Z n ) (.e., P rod O(,Zn)), es el soorfso buscado; es decr, la ecuacón (4) se cuple. 2. Probareos sólo la tercera ecuacón; es decr, cuando 4 es par. Los otros dos casos se prueban slarente. En efecto, asuaos que 4 es par. Cobnando la ecuacón (4) con Dvulgacones Mateátcas Vol. 14 No. 2(2006), pp

9 Órdenes de algunos Grupos Lneales Modulares 115 el Corolaro 3.1 y el Lea 3.3 teneos que O(, Z n ) = O(, Z 2 α) O(, Z α p ) ( ) = (α 1) 2 ( )2 (2 2t 1) O(, Z β q ) [ ( ) 2 2 (α 1) p 2p ( 2 )2 2 (p 2 1) [ ( ) 2 2 (β 1) q 2q ( 2 )2 2 (q 2 = (2 α ) (α 1) 2 ( 2 l ( = C() p α q β (1 2 2t ) ) 2 2 ) 2 2 [ (1 2 2t ) (1 p 2 ) 2 1 (p 2t 1) ] ( 1) 2 1 ] 2 ) (q 2t 1) 2 1 (1 p 2t ) (1 ( q ) ) (1 q 2t ) (1 p 2 ] (1 ( q ) 2 )(1 q 2t. 3.3 Orden de SO(, Z n ) ) )(1 p 2t ) Para calcular el orden del grupo odular ortogonal especal de rango sobre Z n consderaos el hooorfso de grupos deternante, (Teorea 3.1), restrngdo al grupo odular ortogonal correspondente; es decr, O(,Zn). Teorea 3.3. El orden del grupo lneal especal de rango sobre Z n es: SO(, Z n ) = O(, Z n). (6) 2 Dvulgacones Mateátcas Vol. 14 No. 2(2006), pp

10 116 Roy Quntero Deostracón: Dado el hooorfso O(,Zn ), observeos que su rango o agen es el grupo ultplcatvo ±1} y su ernel es exactaente SO(, Z n ). Entonces, por el prer teorea de soorfso de grupos teneos que: O(, Z n ) = Ker( O(,Zn )) I( O(,Zn )) = 2 SO(, Z n ), luego, la ecuacón (6) se cuple. Corolaro 3.2. Sea n = 2 α p α pα qβ qβ l l donde α 1, p 1,..., p son pros dstntos dos a dos del tpo 1 y α 1,..., α son enteros postvos, y q 1,..., q l son pros dstntos dos a dos del tpo 2 y β 1,..., β l son enteros postvos. Entonces, 1. Los grupos SO(, Z n ) y SO(, Z 2 α) son soorfos, es decr, SO(, Z n ) = SO(, Z 2 α) SO(, Z p α SO(, Z p α ) ) SO(, Z β q ) SO(, Z β q ). (7) 2. El orden del grupo SO(, Z n ) se expresa edante la sguente fórula: SO(, Z n ) = 1 2 C(2) (1 p 1 ) l (1 + q 1 ) C() 1 2 C() 2 1 [ (1 p 2t ) ] l (1 q 2t ) [ (1 2 2t ) l (1 ( q ) 2 )(1 q 2t ) (1 p 2 ] )(1 p 2t ) s = 2, 3 es par y 4 es par, respectvaente. (8) Dvulgacones Mateátcas Vol. 14 No. 2(2006), pp

11 Órdenes de algunos Grupos Lneales Modulares 117 Deostracón: 1. Sea P rod coo en el Lea 3.1. Adeás A SO(, Z n ) A O(, Z n ) y det(a) = 1 (A (h) ) +l h=0 O(, Z 2 α) O(, Z α p ) y det(a (h) ) = 1 (h), h = 0, 1,..., + l P rod(a) SO(, Z 2 α) SO(, Z α p ) O(, Z β q ) SO(, Z β q ), lo cual deuestra que la funcón P rod restrngda al grupo SO(, Z n ) (.e., P rod SO(,Zn)) es el soorfso buscado, es decr, la ecuacón (7) se cuple. 2. La ecuacón (8) se sgue de las ecuacones (5) y (7). 3.4 Orden de Sp(2, Z n ) Para calcular el orden del grupo odular spléctco de rango 2 sobre Z n necestaos algunos resultados prevos. Lea 3.4. Sean p 2 pro y α 2 entero. Entonces Sp(2, Z p α) = p 22 + Sp(2, Z p α 1). (9) Sp(2, Z p α) = p (22 +)(α 1) Sp(2, Z p ). (10) Deostracón: 1. Sea g la aplcacón restrccón de Red α a Sp(2, Z p α); es decr, g = Red α Sp(2,Zp α ). Observeos que, para toda atrz A O(, Z p α) se cuple Red α (S) T J p α 1Red α (S) = Red α (S T J p αs) = Red α (J p α) = J p α 1, luego g es un eporfso de Sp(2, Z p α) en Sp(2, Z p α 1). Ahora procedeos a encontrar su ernel. En efecto, sean C Z y U, V Z p α los conuntos sguentes C = Z : 0 p 1}, U = p α 1 : C} y V = p α : C} entonces, u = 0 u U y v = 1 v V. Luego, 1 s = S = [s ] Ker(g) s = y S T J p αs = J p α 0 s S = p α 1 [t ] + I 2 donde t C y S T J p αs = J p α. Dvulgacones Mateátcas Vol. 14 No. 2(2006), pp

12 118 Roy Quntero Por tanto, } Ker(g) = S = p α 1 [t ]+I 2 : (t 11,..., t 2,2 ) C 42 y S T J p αs = J p α. Ahora deternareos con precsón todos los eleentos del ernel, pero prero observeos que cualquer eleento de Ker(g) se puede expresar coo sgue: p α 1 [t ] + I 2 = pα 1 A + I p α 1 B, p α 1 C p α 1 D + I donde A = [a ], B = [b ], C = [c ] y D = [d ] Z p α a = t b = t (+) c = t (+) = 1,..., ; = 1,...,. d = t (+)(+) y Luego, pα 1 A + I p α 1 C p α 1 B p α 1 D + I T J p α pα 1 A + I p α 1 C p α 1 B = J p p α 1 α D + I p α 1 (C C T ) p α 1 (A T [ ] + D) + I O I = p α 1 (A + D T ) I p α 1 (B T B) I O p α 1 (C C T ) = O p α 1 (A T + D) = O p α 1 (A + D T ) = O p α 1 (B T B) = O p b b, c c (s ) p a + d Así que, } Ker(g) = pα 1 A + I p α 1 B : (A, D) M y B, C N p α 1 C p α 1 D + I Dvulgacones Mateátcas Vol. 14 No. 2(2006), pp

13 Órdenes de algunos Grupos Lneales Modulares 119 donde M es ([x ], [y ] ) } Z p α Z p : (x, y α ) (0, 0), (1, p 1),..., (p 1, 1)} y N = [z ] Z p : z α = z s < y z 0, 1,..., p 1} }. En consecuenca, Ker(g) = #(M) #(N) #(N) = p 2 p p = p Por tanto, se cuple la fórula (9). 2. La fórula (10) se sgue fáclente de la parte anteror. Un resultado bastante conocdo es dado en [2, Proposton 4.4] y expresa que el orden del grupo spléctco de rango 2 sobre Z p es: Sp(2, Z p ) = p 2 Así que el corolaro sguente se sgue nedataente. Corolaro 3.3. Sean p 2 pro y α 2 entero. Entonces Sp(2, Z p α) = (p α ) 22 + (1 p 2 ). (p 2 1). (11) Deostracón: De las ecuacones (10) y (11) teneos que Sp(2, Z p α) = p (22 +)(α 1) p 2 Teorea 3.4. Sea n = p α pα (p 2 1) = (p α ) 22 + (1 p 2 ). la descoposcón pra de n. Entonces, 1. Los grupos Sp(2, Z n ) y Sp(2, Z α )... Sp(2, Z p 1 1 p α ) son soorfos; es decr, Sp(2, Z n ) = Sp(2, Z α )... Sp(2, Z p 1 1 p α ). (12) 2. El orden del grupo Sp(2, Z n ) se expresa edante la sguente fórula, Sp(2, Z n ) = n 22 + (1 p 2 ). (13) Dvulgacones Mateátcas Vol. 14 No. 2(2006), pp

14 120 Roy Quntero Deostracón: 1. Nuevaente consdereos el soorfso P rod. Entonces A Sp(2, Z n ) A GL(2, Z n ) y A T J n A = J n A (h) GL(2, Z α p h h P rod(a) Sp(2, Z α p 1 ) y A T (h) J p α h h A (h) = J α p h, h = 1,..., h ), 1 )... Sp(2, Z p α lo cual deuestra que la funcón P rod restrngda al grupo Sp(2, Z n ) (.e., P rod Sp(2,Zn )), es el soorfso buscado; es decr, la ecuacón (12) se cuple. 2. Cobnando la ecuacón (12) con el Corolaro 3.3 teneos que Sp(2, Z n ) = = ( p α Sp(2, Z α p ) = [(p α ) 22 + (1 p 2 )] ) (1 p 2 ) = n 22 + (1 p 2 ). y por tanto la ecuacón (13) tabén es válda. Referencas [1] Buchann, J., Introducton to Cryptography, Sprnger-Verlag, New Yor, [2] Caeron, P., Notes on Classcal Groups, 2000, Dsponble en: pc/class gps/ [3] Flannery, S. y Flannery, D., In Code, Woran Publshng, New Yor, [4] MacWllas, J., Orthogonal atrces over fnte felds, Aer. Math. Monthly, 76(1969), [5] B. McDonald. Lnear Algebra over Conutatve Rngs, Marcel Deer, New Yor, [6] Roby, N., Sur le cardnal du groupe Gl(n, A) ou A est un anneau fn, An. Acad. Brasl. C., 49(1977), no. 1, Dvulgacones Mateátcas Vol. 14 No. 2(2006), pp