Objetivo: Analizar el fundamento económico de la toma de decisiones de consumo

Transcripción

1 CAP. : EL MODELO BÁSICO DEL COMPORTAMIENTO DE LOS AGENTES A LA HORA DE CONSUMIR Obetvo: Analzar el fundaento econóco de la toa de decsones de consuo Recorrdo analítco: Foralzacón de la relacón de referencas del consudor 2 Restrccón de rueza 3 Problea del consudor: Planteable coo un roblea de otzacón condconada or restrccones en desgualdad (Kuhn-Tucker)

2 Pral: Max la utldad, s.a: restrccones. Eulbro: Deandas arshallanas de bs, funcón ndrecta de utldad Dual: Mn el gasto, s.a: restrccones. Eulbro: Deandas hcksanas de bs, funcón de gasto 4 Dualdad de la teoría del consuo. Fundaental! 5 Una vez deternado e del consudor, nos gustaría, en este odelo ás básco osble,. Analzar las roedades ue la teoría one a las f.d. or el hecho de roceder de un roblea de otzacón condconado. Proedades a culr or las f.d. ara oder ser tldadas de auténtcas fd. 2

3 2. Cóo varía el e. del consudor con los aráetros (Estátca coaratva). Ecuacón de Slutsky. Característcas del odelo Estátco Preferencas del consudor están dadas Renta del consudor exógena Precos de los bs están dados Toología de la relacón de referencas 3

4 J bs en la econoía, =,2,..., J, J < + Cantdades suscetbles de ser consudas: núeros reales no negatvos, 0, =,2,..., J Esaco o conunto de consuo: J X R+ Eleentos de X (cestas de bs): =,...,,..., ), 0, =,..., J, 0 ( J Reresentar el esaco de consuo en R, R 2 y R 3 Entre estos eleentos es donde el consudor elge. Su eleccón deenderá de: () Preferencas, () Rueza Relacón de referenca (débl): La relacón bnara f defnda coo el conunto f {(, ') /, ' X, es al enos tan referdo coo ', f' } X X 4

5 es una relacón de referenca débl (reresenta las referencas del consudor) Prooner eelos de otras relacones bnaras Qué roedades deberíaos oner a la relacón bnara f? A. Colettud. Foralzar Idea: Los ndvduos sere son caaces de toar una decsón A2. Reflexvdad Preferencas son nternaente consstentes (no contradctoras) 5

6 A3. Transtvdad Exste consstenca externa; el orden ue el ndvduo fa entre alternatvas debe antenerse cuando se añaden ás alternatvas a consderar Qué estructura toológca tene una relacón bnara ue satsfaga A-A3? A4. Contnudad Una relacón de referenca f en X es contnua s es reservada bao lítes. Es decr, s ara n n toda secuenca de ares {, ' }, n =,2,..., con n n f ' ara todo n, resulta l n n n f ln ' 6

7 O s dada la sucesón de cestas de bs n { }, todas ellas al enos tan referdas coo una n X n N cesta, y la sucesón converge a una cesta, entonces debe ser al enos tan referda coo O s X los conuntos f (conunto de contorno sueror o conunto al enos tan referdo coo ) y (conunto de contorno nferor o conunto al enos tan desreferdo coo ) son cerrados O s X los conuntos f (conunto de contorno estrctaente sueror o conunto e- referdo a ) y (conunto de contorno estrctaente nferor o conunto e-desreferdo a ) son abertos 7

8 8 Eelo: Un caso de no contnudad es relacón referencas lexcográfcas, L f, defnda, ara J=2, coo = > > 2 2 ' s, ' ' ' L f Corobar ue esta relacón de referenca no es contnua Teorea: S una relacón de referenca f satsface A-A4, es suscetble de ser reresentada edante núeros (reales). Es decr, exste una f.u. R R X u J + : contnua tal ue X ',, ) ' ( ) ( ' u u f

9 IMPORTANTE: (a) Una funcón de utldad u reresenta una únca relacón de referenca f (Contnúa en (b) ás adelante) Estos axoas son sufcentes ara oder defnr el roblea del consudor coo un roblea de ax de una funcón (condconada a restrccones) CUIDADO!!! El ue una relacón de referenca f no sea reresentable edante una f.u. no lca ue el roblea del consudor no tenga solucón Eelo: S J=2 y f L solucón es: { (, 2, ), 2 (, 2, )} =, 0 Ahora ben, el roblea es ue con (solo) esto (A-A4), la solucón uede ser últle, de esuna, etc. 9

10 S uereos ser ás exgentes y garantzar ue la solucón será únca, y adeás ue el ndvduo gastará toda su renta, entonces es recso añadr algunos suuestos ás: A5. Monotonía Ilca no-saturacón o no-sacedad local ( VER) y hace ue las curvas de ndferenca sean decrecentes Pendente de la CI: RMS A6. Convexdad Ilca RMS decrecente 0

11 Preferenca or la dversfcacón Algo ás? Ilcacones ara la utldad Prooscón: S la relacón de referenca f vene reresentadas or una f.u. u ( ), (A-A4), entonces: () Monotonía lca >> u( ) > u( ) [ u ( ) crecente] () Convexdad (e-convexdad) lca ue toda u ( ) ue reresente esa relacón es cuascóncava (e-cuascóncava). Es decr, el conunto { ' X R+ u( ') u( ) } es convexo (e-convexo) ara todo J Proof. Ver Antelo (2000),

12 FIG : La f.u. es cuascóncava (ver Matheatca Fg ) FIG 2: Los conuntos de ndferenca son convexos (ver Matheatca Fg 2) Adeás, dada una f.u. u ( ) cualuer TM de u ( ) reresenta las sas referencas ue ( ) (Iortante exgr sólo cuasconcavdad, no concavdad). u. IMPORTANTE: (contnuacón de (a)): (b) Una relacón de referenca f uede ser reresentada or dferentes funcones de utldad 2

13 Adeás, () Preferencas contnuas y hootétcas lca ue exste una f.u. u ( ) hoogénea de grado u ( a) = α u( ), α > 0 (v) Preferencas contnuas y cuaslneales lca ue exste una f.u. u ( ) de la fora u ( ) = α + z( 2,..., J ), α > 0 3

14 Entender ben ue entre el rnco de la UMa decrecente de los bs y el rnco de la RMS decrecente no exste relacón ssteátca alguna. Utlzar ara ello la funcón de utldad α u ) = ( ), α > 0 ( unto) ( 2 Resolucón: Dada u α ( ) = ( 2), la RMS entre los bs y 2 se defne coo 2 d2 u RMS = =. d u2 En este caso, 2 2 drms RMS =, con lo cual el decrecento de RMS exge ue = 2 0 d <. Es decr, esta relacón de referenca tene la roedad de ue RMS es decrecente ara cualuer valor ue adote el aráetro α

15 α α 2 > Por otra arte, la UMa del ben se obtene coo u = α 0 y la del ben 2 coo α α 2 2 > u = α 0. Para ver cóo evoluconan dchas UMa, basta con obtener: du d α 2 α ( 2 = α α ) < 0, s α < = 0, s α = (Lo so ara el ben 2) > 0, s α > Es decr, la relacón de referencas exhbe UMa de los bs ue ueden ser decrecentes, constantes o crecentes, entras ue la RMS entre dchos bs es sere decrecente. Con esto se corueba ue no exste relacón ssteátca alguna entre el rnco de la UMa decrecente de los bs y el rnco de la RMS decrecente entre los bs. 5

16 Eelos de referencas Hootétcas / No hootétcas Hootétcas: Una f es hootétca s todos los conuntos de ndferenca están relaconados entre sí or exansones roorconales a lo largo de rado-vectores. Es decr, s, entonces α α, ara todo α>0 Reresentar gráfcaente este resultado ara el caso J=2 6

17 Corobar ue la RMS entre dos benes deende sólo de las cantdades relatvas (no absolutas) consudas de dchos bs (funcón hoogénea de grado 0) Susttutvos: Escrbr la funcón de utldad con J=2 y analzar roedades de dcha f.u. Generalzar ara J benes Coleentaros: Lo so Cobb-Douglas: Lo so CES (elastcdad de susttucón constante): Lo so Cóncavas: Lo so 7

18 Corobar ue todas estas referencas son hootétcas No Hootétcas: Cuaslneales: Una f es cuaslneal (con resecto al ben, or eelo) s: () Los conuntos de ndferenca son deslazaentos aralelos de cada uno a lo largo del ee del ben Foralente, s, entonces (+αe ) ( +αe ), α > 0 y e = (,0,...,0) 8

19 () El ben es deseable,.e., +αe f El ben se conoce coo nueraro. S J=2, la f.u. u ( ) ue reresenta una f cuaslneal es del to u, ) = f ( ) + g( ), con f = 0 y g 0 (o vceversa) ( 2 2 Poner un eelo concreto de una f.u. cuaslneal con J=2 y corobar ue no es hootétca Cóo es la f cuya reresentacón nuérca es u (, 2) = ln 2? 9

20 El resuuesto del consudor Conunto resuuestaro P(, ) J = X = X Conunto cerrado y acotado Frontera de este conunto es la restrccón resuestara 20

21 Utldad y gasto Suongaos ue: () Preferencas del ndvduo no deenden de n del consuo de otros ndvduos () Preferencas se reresentan or una funcón + J u : X R R de clase 2, (crecente y cuascóncava; s uereos asegurar solucón únca) () El consudor toa (, ) >> 0 coo dados (v) Conunto resuuestaro P(, ) = { X / } coacto 2

22 Conducta del consudor? Def. (E ndvdual). Es un vector de cantdades de los bs, * * * * J = (,...,,..., J ) X R+, dstnto del vector nulo, ue resuelve el roblea MAX u(), s.a: 0 0 Idea: Se trata de buscar * X de anera ue * f, P(, ) X PPNL con J vs y J+ restrc: Problea Pral del consudor, Problea de ax de la utldad o Prograa 22

23 Lea: S las referencas son convexas (e-convexas), entonces el conunto de solucones del Pral es convexo (solucón es únca) Resolver ara u ( ) = y / 4 / 2 2 u ( ) =. En abos casos, (, 2) >> 0, > 0. Prooscón: Caracterzacón del eulbro cuando u ( ) es dferencable Condcones Necesaras de Kuhn-Tucker u Exste un ultlcador de Lagrange λ 0 tal ue ( * ) λ, ( u( * ) = λ, s * > 0) 23

24 Falta el resto de condcones (CHC, etc.) hasta llegar a las 3(J+J+) Condcones Necesaras de Kuhn-Tucker y resolver el sstea * > * ' > S 0 y 0, el eulbro ndvdual del consudor se caracterza or la condcón u = u ' ',, ' =,2,..., J; ' Interretar el resultado: Reresentarlo gráfcaente: 24

25 Caso artcular: S * >> 0, las 3(J+J+) CPO anterores se reducen a J+ CPO en fora de gualdad sobre el lagrangano Corobar lo anteror Dado el vector gradente (atrz Jacobana de u ( ) ) u( * ) = λ: El vector gradente evaluado en u( * u( ) = * ) u(,..., J * es roorconal al vector de recos * ), entonces El ultlcador λ reresenta el coste sobra de la restrccón (la valoracón argnal ue el consudor hace de la renta) 25

26 CSO Las ue garantzan ue la f.u. u ( ) es localente cuascóncava (en el unto de e): 0 2 u u 2 u u Sgno?... o ben 0 u u 2 u u u 2 u u u Sgno?... Corobar ue (en el unto de eulbro) estos dos deternantes son guales 26

27 Solucón del Pral: Funcones de deanda arshallana = (, ) del to J + + : R + R, =,,J. + * Indcan, ara cada conunto de recos y renta a los ue se enfrenta el consudor, la cantdad ue éste deanda de cada ben en el eulbro (ara ax su utldad). * (, ) = arg ax X u( ), s. a : P(, ) Idea geoétrca (J=2). Reresentar Qué sucede s la restrccón resuuestara es una funcón defnda a trozos (y tene uno o varos codos)? 27

28 Resolver analítcaente ara / 4 / 2 u ( ) = 2, = 00, = 2 y 2, s 2 < 20 2 =, s 20 2 Funcón de utldad cuaslneal: u = f ( +, f > 0, f < 0 ) 2 Cóo se dervan las f.d..? UMa = f ( ) UMa 2 = 28

29 Entonces: u f ( = da lugar a ) = u2 2 2 y odeos resolver drectaente ara * ara obtener * ( 2 =, ). Entonces, * 2 2 (, 2, ) 2 * = =. Es decr, la f.d.. del ben no resenta ER; la del ben 2 sí. Funcón de utldad ndrecta: Provee el (ax) nvel de utldad alcanzado or el consudor u( * (, )) = ax{ u( ) / } v(, ) Aunue no es observable, es 29

30 Iortante orue erte conocer las cantdades deandadas en el e(f.d..) sn necesdad de lantear y resolver el Pral. Prooscón (Proedades de la f.u..) Contnua en y No crecente en y e-crecente en Cuasconvexa en : El conunto {(, ) v(, ) v} es convexo ara todo v Hoogénea de grado 0 en y Dada la funcón (de recos y renta) v (, ) =, corobar ue es una f.u

31 Interretacón econóca del ultlcador de Lagrange λ (en el eulbro) Alcar teorea de la envolvente a v (, ). Problea Dual del consudor El roblea del consudor tabén se uede lantear (alternatvaente) coo Def.: Un eulbro del consudor es (tabén) un vector J X R+ ue resuelve el roblea MIN, u( ) u s. a : 0 3

32 Problea Dual, de nzacón del gasto o Prograa 2 del consudor. Prooscón: El eulbro ndvdual se caracterza or u = u ' ',, ' =,..., J; ' Msa caracterzacón ue ara el Pral! = Solucón: Deandas hcksanas o coensadas (, u) h h J + del to : R + R+, =,,J. Es decr, = arg n X, s. a : u( ) u 32

33 Prooscón: El eulbro del consudor es el so con ndeendenca de cóo se obtenga. Al gual ue en el Pral, en el Dual es ortante deternar el valor ue alcanza en el e la funcón obetvo Def: (Funcón de gasto o funcón de valor del dual): h (, u) = n{ / u( ) u} e(, u) Iortanca de la funcón de gasto: Es la nversa de la f.u.. (y, or lo tanto, srve ara edr la utldad al gual ue la f.u..) Subsana las defcencas de la f.u.. orue la f.g. es observable 33

34 Medcón onetara del benestar: Estará basada en la utlzacón de la funcón de gasto (CAP. 3) Perte dervar las cantdades deandadas en el e (f.d.h.) sn necesdad de lantear y resolver el dual Prooscón (Proedades de la funcón de gasto) Contnua en y u No decrecente en y e-crecente en u Cóncava en Hoogénea de grado en 34

35 Dada la funcón (de recos y utldad) e, u) = ( + 2 ) u, corobar s es una f.g. ( Identdades y Teoreas de dualdad en la teoría del consuo Prooscón. Suongaos: () ue la funcón de utldad u() es contnua y reresenta una relacón de referenca f localente no-sacable, () >>0, () ue abos rograas tenen solucón,.e. v(, ) = ax u( ), s. a : () e(, u) = n, s. a : u( ) u (2) Entonces: () S * es solucón de () con renta > 0 * es solucón de (2) con u = v(, ) 35

36 () S * > 0 y es solucón de (2) con utldad reuerda u(0) u > es solucón de () con renta = e(, u) De. Ver Antelo (2000) Ilustracón gráfca (Fg 4,. 05) La rooscón anteror lca las sguentes Identdades Fundaentales. e(, v(, )) : Con un gasto n sere se uede alcanzar la utldad ax 36

37 2. v(, e(, u)) u : El nvel ax de utldad sere se uede alcanzar con un gasto íno h 3. (, ) (, v(, )) : La deanda arhallana de cada ben corresondente al nvel de renta concde con la deanda hcksana asocada al nvel de utldad ax h 4. (, u) (, e(, u)) : La deanda hcksana de cada ben corresondente al nvel ax de utldad es gual a la deanda arshallana corresondente a la renta n Lea (Lea de Shehard) (Relacón entre las deandas hcksanas y el gasto) S: () u ( ) es una f.u. contnua ue reresenta una relacón de referenca f localente no sacable y e-convexa, () la f.g. es dferencable en los recos de los bs, 37

38 entonces ara todo y u, la f.d.h. de cada ben es h e(, u) (, u) = Identdad de Roy (Relacón entre las f.d.. y la utldad ndrecta). Suongaos ue: () u ( ) es una f.u. contnua ue reresenta una relacón de referenca f localente no sacable y e-convexa, () v( ) v es dferencable en (,), v( ) () 0. Entonces, la f.d.. de cada ben se obtene coo 38

39 (, ) v(, ) = v(, ) Proedades del eulbro ndvdual Proedades de las f.d.. Hoogenedad de grado 0 en (,) Satsfacen la ley de Walras: >> 0 y > 0, ( ) = 39

40 El consudor gasta toda su renta (es lo ue cabe eserar al enos en un undo sn ncertdubre) S las referencas son convexas, el conunto de solucones del Pral es convexo S las referencas son e-convexas, el conunto de solucones del Pral tene un únco eleento El eulbro es nvarante ante cualuer TM de la funcón de utldad En el eulbro, el ultlcador de Lagrange es la utldad argnal de la renta, * λ u = v(, ) Coletar or el lbro (ver. 09-3) 40

41 Proedades de las f.d.h. Hoogéneas de grado 0 en Gasto gual a renta: En el e., el valor de las deandas hcksanas es gual a la renta dsonble Convexdad: S f es convexa, (, u) h es un conunto convexo Uncdad: S f es e-convexa, (, u) h es un conunto con un únco eleento 4

42 En el e., el ultlcador de Lagrange µ reresenta el coste lícto de la restrccón de utldad; e(, u µ = u ) Cóo relaconar los dos tos de deanda? Ecuacón de Slutsky. Suongaos ue u ( ) es una f.u. contnua ue reresenta una relacón de referenca f localente no sacable y e-convexa. Entonces ara todo (,) y u = v(, ), resulta: 42

43 (, ) ' = h (, u) ' (, ) ' (, ),, ' =,..., J La varacón de la f.d.. del ben cuando caba el reco del ben es gual a COMPLETAR Rearks: Descooscón del efecto sobre la deanda de un ben del cabo en el reco (, ) (ET=ES+ER); ER ' (, ). 43

44 Efectos drectos ( = ' ) y efectos cruzados ( ' ) La descooscón efectuada auí es la hcksana. Hay otra osbldad: descooscón à la Slutsky. Coensacón hcksana de renta 44

45 h (, ) = (, u) h (, ) = (, u) HICKS Coensacón Hcksana vs. Coensacón de Slutsky 45

46 Cabo resuuestaro à la Hcks h (, ) = (, u) Cabo resuuestaro à la Slutsky h (, ) = (, u) HICKS Adotaos la coensacón à la Hcks: SLUTSKY 46

47 47 Con J benes, las JxJ Ecuacones de Slutsky se escrben, en notacón atrcal, coo: = J J J J J J J h J h J J h h J J J J M L M L M L Matrz de Slutsky o de Efectos Susttucón, S. La Max de la utldad lca ue la atrz de Slutsky S(,u) es: Sétrca Sdn

48 (, u) Corolaro: Efecto susttucón drecto es no ostvo, s = 0. La ley de la deanda se verfca en térnos hcksanos h Ley de la deanda (Hcksana) Prooscón: Suongaos ue u ( ) es una f.u. contnua ue reresenta una f no sacada localente y ue h (, u) es un conunto forado or un únco eleento ara todo (, u). Entonces la deanda hcksana satsface la ley de la deanda (coensada): h ( )[ (, u) (, u)] 0 h,, 48

49 h Proof: Teneos ue (, u) (, u) h y (, u) (, u) h h Restando, se obtene el resultado. Satsface S(,u) = 0 Más en general. S una f.d.. contnuaente dferencable es generada or una relacón de referenca raconal (coleta y transtva), entonces: () Es hoogénea de grado 0 () Satsface la Ley de Walras: S = 0 () S es una atrz sétrca 49

50 (v) S es una atrz sdn Problea de la Integrabldad Hasta ahora, la regunta ha sdo: Dadas unas referencas regulares, ué roedades han de satsfacer las deandas ue surgen de la ax (n) condconada de la utldad (gasto)? Qué restrccones han de culr las f.d. ara oder afrar ue son auténtcas f.d. (son las observables!) dervadas del Pral? La cuestón a lantear ahora es: Dadas unas deternadas f.d.. (ue defnen la conducta observada del consudor en el ercado) y ue oseen las roedades estuladas, bao ué condcones odeos afrar ue exste una f.u. consstente con el coortaento observado del ndvduo? 50

51 Toda f.d.. contnuaente dferencable ue satsfaga las roedades ue heos uesto se uede raconalzar or alguna relacón de referenca raconal f y la axzacón de utldad? Se trata de recuerar las referencas del consudor (nobservables) observando su conducta de deanda Consdereos J=2 y un unto arbtraro (, ) [condcones ncales del roblea]. Observeos las cantdades (arshallanas) deandadas de cada ben or arte del consudor, (, ) y (, ), y asgnéosle un nvel arbtraro de utldad u = u(, ). Sabeos ue en el unto dado or estas cantdades

52 u u 2 ( ( 0 0 ) ) = Es decr, aroxaos la endente de la C.I. corresondente S reetos el roceso ara otros datos de recos y renta dstntos de (, ), obteneos una aroxacón de las C.I. (de la relacón de referencas) 0 0 Foralente: Una vez defnda la condcón ncal (, ), defndas las deandas y asgnado el nvel de utldad arbtraro u = u(, ), or el Lea de Sheard y la Identdad 3 de la Dualdad, el sstea de f.d.. es

53 0 e(, u ) 0 = (, e(, u )), =,..., J y e (, u ) = (, ) = c Donde y c están dados. S odeos ntegrar el sstea anteror de dervadas arcales, obteneos la funcón de gasto obteneos la funcón de utldad ndrecta Prooscón: Exste solucón de dcho sstea (.e., exste una funcón de gasto e (, u) ue resuelve el sstea anteror) s s ' =,, ' =,..., J. s ' Y esto es certo!! 53

54 54 Eelo: Dadas las f.d.. β β = ) (, donde = = J β β, encontrar la relacón de referencas ue está detrás de dchas f.d.. Resolucón: El sstea de ecuacones en dervadas arcales es J u e u e u e,...,, ), ( )), (, ( ), ( = = = β β o ben, J u e u e,...,, ), ( ), ( = = β β

55 Integrando la -ésa condcón con resecto a, resulta lne(, u) β = ln β + c Suando ara todo, lne(, u) β = ln β + c y, basta con far c = lnu, ara llegar a β ln e(, u) = ln + lnu β 55

56 56 Fnalente, nvrtendo esta exresón, obteneos: v ln ln ), ( ln + = β β ue es una TM de una f.u.. ue reresenta referencas Cobb-Douglas: Π = = Π v β β β β ), ( Esta es la f.u. ue está detrás de las f.d.. lanteadas.

57 Deanda agregada Suongaos ue en la econoía hay I consudores, =,2,..., I, cada uno con la f.d.. (, ) del ben. La deanda agregada (DA) del ben es Q (,,..., I ) = I = (, ) Ilcacón: La DA deende de la dstrbucón de la renta total, I = 57

58 Rueza Agregada I Bao ué condcones odeos encontrar una f.d.. agregada Q (, ) tal ue = Q (, I = ) I = (,,..., )? = I I En este caso, s la renta caba en ( d,..., d ), sendo d = 0 (la cuantía total de renta no varía), entonces ara todo ben, resulta: I = d = 0 58

59 I Una condcón sufcente y necesara ara ue esto ocurra es ue ara todo I,, y (,..., ), suceda ue (, ) = ' (, ' ' ), Es decr, ue (, ) sea ndeendente de. Esto sgnfca ue todas las sendas de exansón de la renta tenen la sa endente. Prooscón: La DA es ndeendente de la dstrbucón de la renta s la f.u.. de todos los consudores uede ser reresentada en la fora de Goran 59

60 60 b a v ) ( ) ( ), ( + = Proof. Alcando la Identdad de Roy se obtene b b b a ) ( ) / ( ) ( ) / ( ), ( + = Por lo tanto, ) ( ) / ( ), ( b b =,.e. es ndeendente de.

61 Resultado bastante restrctvo. Casos esecales: referencas déntcas y hootétcas; referencas cuaslneales Sn ebargo, suongaos ue la rueza de los ndvduos es generada or los recos y la = rueza agregada: (, ) Regla de dstrbucón de la rueza: Fala de funcones ( (, ),..., (, )) I con (, ) = ara todo (, ) I En este caso, Q(,,..., ) = (, (, ) = Q(, ) Pero ahora Q (, ) deende de la regla de dstrbucón de rueza. 6

62 Por eelo: la regla de dstrbucón de rueza α = α,..., α ), con α =, dada or (, ) = α ( I Prooscón: Sea la regla α = α,..., α ) con α =, dada or (, ) = α. Suongaos ( I ue (, ) satsface la ley de la deanda no coensada. Entonces tabén la DA = (, Q (, ) α ) satsface la roedad de la ley de la deanda no coensada. Proof. Consdereos (, ) y (, ) con Q (, ) Q(, ). Entonces ara algún, (, α ) (, α ). La ley de la deanda no coensada lca ue ( )[ (, ) (, )] < 0 62

63 Para todo, ( )[ (, ) (, )] 0 Suando sobre,..., I, resulta ( )[ Q(, ) Q(, )] < 0. Prooscón: S f es hootétca, entonces (, ) satsface la ley de la deanda no coensada. Proof. Hacer. 63

64 Consudor reresentatvo Defncón. Un consudor reresentatvo ostvo exste s hay una relacón de referenca f raconal (coleta y transtva) tal ue la funcón de DA del ben, Q (, ), es la funcón de deanda generada or esta f 64

65 Defncón. Una funcón de benestar socal (Bergson-Sauelson) es una funcón W : R ue asgna un nvel de utldad a cada osble vector u,..., u ) de nveles de utldad ara los I consudores de la econoía ( I J R Redstrbucón de la rueza: ax W ( v (, ),..., vi (, I )), s.a :,..., I Una solucón { (, )} de este roblea es una regla de dstrbucón de la rueza Su valor v (, ) es una f.u.. de un consudor reresentatvo con f.d.. Q(, ) = (, (, )) 65

66 Defncón. Un consudor (noratvo) reresentatvo con resecto a la funcón de benestar socal W ( ) es un consudor (ostvo) reresentatvo ara la funcón de DA Q(, ) = (, (, )), donde (, ) concde con la regla de dstrbucón de rueza nducda or W ( ) 66