Tema 3. Introducción a la Síntesis de Dipolos

Transcripción

1 Tema 3 Introduccón a la Sínte de olo

2 3.. Introduccón En ete tema vamo a ver cómo e oble calcular lo elemento crcutale de una admtanca Y, o de una medanca Z a artr de u exreón analítca, determnando revamente u realzabldad. Hata ahora, hemo vendo analzando crcuto: L H C F R Ω V I L R ZV / I /C L R V Z I I Y V C LRC L R RC En ete caítulo: dado Z ó Y, deberemo comrobar e realzable, y deué deberemo ntetzar el crcuto: doner cada elemento y determnar u valor. Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.

3 3.. Caracterzacón de la funcone reale otva 3..: Realzabldad def Una medanca Z o una admtanca Y e dce que e REALIZABLE cuando e uede mlementar emleando excluvamente elemento R, L, y C con valore todo ello otvo. 3..: Teorema de Brune Otto Brune en 93 Una medanca Z o una admtanca Y e REALIZABLE medante elemento R, L, y C todo otvo y olo Z o Y e una FUNCIÓN RACIONAL REAL POSITIVA en ; e decr, : a Z e funcón REAL y RACIONAL de ; e decr, e uede exrear como cocente de do olnomo de coefcente reale: Z N a a... a n n m b b... bm a b n m n m Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.3

4 3.. Caracterzacón de la funcone reale otva b S ara cualquer valor de con arte real otva o nula, la arte real de Z tambén e otva o nula: Re { } Re{ Z } E decr, cualquer unto en el emlano cerrado derecho del lano e correonde con un unto en el emlano cerrado derecho del lano Z lano X lano Z σ R Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.4

5 3.. Caracterzacón de la funcone reale otva 3..3: Condcone equvalente La condcón b anteror e oco ráctca, ue ara una Z dada e muy dfícl aegurar e cumle o no la condcón. Por eta razón, enuncamo ahora condcone equvalente má ráctca y fácle de comrobar: a Idéntca a a { } b Para cualquer frecuenca Re Z, exceto en lo olo mlar a condcón b, ero ahora retrngda al ee Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.5

6 3.. Caracterzacón de la funcone reale otva 3..3: Condcone equvalente gue c c. Todo lo olo de Z etán en el SEMIPLANO COMPLEJO IZQUIERO CERRAO SCIC que ncluye el ee c. Lo olo de Z que etán en el ee on olo mle y con reduo reale y otvo. Como y caen en el ee, la condcón c. tene que cumlre ara olo en el orgen o en el nfnto. Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.6

7 3.. Caracterzacón de la funcone reale otva 3..3.: Forma alternatva de comrobar la condcón b { } La condcón b decía que Re Z, exceto en lo olo. Suongamo un olnomo P, que queremo decomoner en u térmno are con otenca de are y en u térmno mare con otenca de mare: { P } Imar{ P } P P P Par Par: P,, 4, 6, -, 4, - 6 reale P PAR y REAL Imar: P, 3, 5, - 3, 5 magnara P IMPAR e IMAGINARIO Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.7

8 Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T Caracterzacón de la funcone reale otva e eta forma, tenemo que: Al reemlazar or la funcone are quedan reale y la funcone mare quedan magnara, con lo que: [ ] [ ] N N N N N N N N N Z [ ] [ ] [ ] [ ] N N N N R Im Z R R R Im

9 3.. Caracterzacón de la funcone reale otva e forma que: Re { Z } N N [ ] [ ] En el denomnador, emre e cumle que: [ ] [ ] or lo que el denomnador emre erá otvo e eta forma, ara comrobar que Re Z e ufcente con comrobar que: { } P N N Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.9

10 Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T Caracterzacón de la funcone reale otva Aí, de forma general, la condcón b uede reformulare como: N N P exceto en lo olo

11 3.. Caracterzacón de la funcone reale otva 3..3.: Forma alternatva de comrobar la condcón c ado: N Z c c. debe er olnomo de HURWITZ etrcto o no, y or conguente N y dferen a lo umo en un grado c. S e Hurwtz, u cero en el ee deben er mle y con reduo otvo y reale, ncluyendo el olo de Z en el, lo hubera Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.

12 3.. Caracterzacón de la funcone reale otva : Polnomo de HURWITZ Polnomo de Hurwtz: Polnomo que tene todo u cero en el emlano comleo zquerdo cerrado SCIC ncluye el ee Polnomo de Hurwtz etrcto: Polnomo que tene todo u cero en el emlano comleo zquerdo aberto SCIA no ncluye el ee Polnomo no-hurwtz: Polnomo que tene algún cero fuera del emlano comleo zquerdo cerrado SCIC H H-E N-H Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.

13 3.. Caracterzacón de la funcone reale otva Condcone neceara no ufcente ara olnomo de Hurwtz Polnomo de Hurwtz etrcto: Todo lo coefcente on otvo No hay térmno auente Polnomo de Hurwtz: Todo lo coefcente on otvo Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.3

14 3.3. Realzabldad de Inmtanca LC En ete cao, vamo a conderar dolo LC, con el obeto de determnar la condcone ara que una medanca o admtanca de un dolo LC ea realzable. Llamaremo F a la nmtanca medanca o admtanca realzable como dolo LC Condcone de realzabldad de dolo LC F erá realzable como dolo LC y olo F e F.R.R.P. IMPAR. Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.4

15 3.3. Realzabldad de Inmtanca LC Por conguente, e deberán cumlr la guente condcone: Igual que a y que a { } Re F ; dado que ólo hay elemento LC, la arte real que e correonde con la arte retva del crcuto debe er cero. reactanca F X F X F F F Funcón mar en F F 3 3. Todo lo olo han de etar en el ee 3. Todo lo olo deben er mle, y con reduo reale y otvo Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.5

16 3.3. Realzabldad de Inmtanca LC Conecuenca de la condcone anterore: S, F : F debe tener un olo o un cero en el orgen S, F : F debe tener un olo o un cero en el nfnto Se cumlrá que: grado { N } grado{ } ± Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.6

17 Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T Realzabldad de Inmtanca LC Exreón General de F { } ó H F z z z z { } ó H z z olo en cero en olo en cero en ebe tener un olo o cero en el orgen

18 Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T Realzabldad de Inmtanca LC ecomocón en fraccone mle: SÍNTESIS Como lo reduo tenen que er reale, Que reultará er or fn la exreón que uaremo ara ntetzar el dolo LC ó y F /... * * olo en olo en * F ó y ó y ó y n / / /......

19 Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T Realzabldad de Inmtanca LC Varacón de la reactanca X con la frecuenca / X F ó y n R > > n n n d X d ó y ó y ó y y que ya / / /

20 3.3. Realzabldad de Inmtanca LC Eto gnfca que X e crecente con la frecuenca endente emre otva. Para que lo anteror e cumla que X ea crecente y que todo lo cero y lo olo etén en el ee, lo olo y lo cero deben etar alternado, dando lugar a: X olo en el orgen cero en el nfnto Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.

21 3.3. Realzabldad de Inmtanca LC O ben a: X cero en el orgen olo en el nfnto Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.

22 3.3. Realzabldad de Inmtanca LC Qué ucede cuando do cero no tenen un olo entre ello fgura ueror, o do olo no tenen un cero entre ello fgura nferor? X dx d < X dx d < Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.

23 3.4. Forma Canónca de Foter ara Inmtanca LC Se denomnan forma canónca orque la rede ntetzada contenen el mínmo número de elemento crcutale que cumlen la eecfcacone: Número de elemento Max Prmera forma canónca de Foter Partmo de Z como medanca de entrada. S no dan una admtanca, FY, la tranformaremo a medanca. n F Z [ N, ] Eto uone la conexón de elemento en ere, dentfcándoe el valor de cada elemento con lo reduo calculado endo éto todo reale y otvo Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.3

24 Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T Forma Canónca de Foter ara Inmtanca LC Se denomnan forma canónca orque la rede ntetzada contenen el mínmo número de elemento crcutale que cumlen la eecfcacone: L C L C L C L C L Z Z L C Z C L C C L Z C L Z

25 3.4. Forma Canónca de Foter ara Inmtanca LC Conectando todo lo elemento en ere, quedará: n n n Z Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.5

26 Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T Forma Canónca de Foter ara Inmtanca LC Segunda forma canónca de Foter Eta forma e válda ara admtanca. en aralelo conexón F Z Y Y F Y C L C L n n L n n n C

27 Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T Forma Canónca de Foter ara Inmtanca LC Con eto, e tene que: Y aí, en concluón, odemo exrear: L Z Y L L Y C L Z Y C L Z C Y C n C L Y Y Y Y

28 3.5. Forma Canónca de Cauer ara Inmtanca LC Efecto de la extraccón total de olo en el nfnto Veamo un eemlo ara entender eto: Z Z E decr, extraemo un olo en el nfnto, y la medanca reultante, Z, lo que tene e un cero en el nfnto. Cambamo el olo en el nfnto or el cero en el nfnto. Gráfcamente, tenemo: 3 Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.8

29 3.5. Forma Canónca de Cauer ara Inmtanca LC a Prmera forma canónca de Cauer La funcón tenen un olo o un cero en el nfnto. Ete método conte en la extraccón uceva de olo en el nfnto. olo en Z Z Y cero en olo en ' ' Y Y Z Z Z3 Y C ' Y Y L L C 3 olo en Aí hata que e termnan de extraer todo lo olo en el nfnto Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.9

30 3.5. Forma Canónca de Cauer ara Inmtanca LC e forma que queda: Z ' ' 3 Y 4 4 ' ' 3 ' 5 S al rnco Z cuando no tene olo en el nfnto, emezamo con Y y Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.3

31 Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T Forma Canónca de Cauer ara Inmtanca LC b Segunda forma canónca de Cauer Conte en la extraccón uceva de olo en el orgen. Y Z Z olo en olo en cero en olo en /C ' ' Z Y Y /L 3 3 Y Z Z /C 4 ' 3 3 Y Y /L Aí hata que e termnan de extraer todo lo olo en el orgen

32 Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T Forma Canónca de Cauer ara Inmtanca LC e forma que queda: S al rnco Z cuando no tene olo en el orgen, emezamo con Y y 4 ' ' 3 Y Z ' 4 ' 3 ' 5

33 3.5. Forma Canónca de Cauer ara Inmtanca LC ebe hacere notar, que ara N 3 endo N el número de elemento la realzacone concden, eto e: ª Foter ª Cauer ª Foter ª Cauer Tema 3: Introduccón a la Sínte de olo T3.33