ESTABILIDAD III CAPITULO VI: LINEAS DE INFLUENCIA Pág 102. para una carga P = η

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1 ESTBILIDD III CPITULO VI: LINES DE INFLUENCI Pág 0 6. CONSIDERCIONES GENERLES 6 LÍNES DE INFLUENCI S ben en e tratamento de tema, por smpcdad nos refermos a casos de vgas, a generazacón a otros tpos de estructuras es cas nmedata y no requere de nuevos conceptos a os necesaros en nuestro tratamento. La posbdad de cargas móves mpca a necesdad de obtener: a) as soctacones, deformacones, etc., que produce una carga (o un estado de cargas) para dstntos puntos de apcacón de a msma. b) E estado más desfavorabe de apcacón de a carga, que trae aparejada as mayores soctacones o deformacones, y con as cuaes tene que ser evauada una seccón dada Estas dos necesdades deben ser tendas en cuenta en todas as seccones de a vga, o por o menos, en varas seccones característcas según as crcunstancas. E trazado de dagramas o Líneas de Infuenca nos permte una adecuada respuesta a as dos necesdades y su utzacón es cas mprescndbe en e caso de estudos de puentes, puentes grúa, etc., donde as cargas móves (p) tenen una certa mportanca con respecto a peso propo o carga permanentes (g). 6. DEFINICIÓN DE LÍNES DE INFLUENCI Defnremos como íneas de nfuenca de una soctacón (o deformacón), en a seccón -, a un dagrama ta, que su ordenada en un punto mda, en una determnada escaa, e vaor de a soctacón en a seccón - (o de a deformacón), cuando en e punto de referenca actúa una carga de vaor untaro. En e caso de a fgura, dremos que f() es a Línea de Infuenca de momento fector en, s se cumpe que a P = ordenada δ representa e vaor de momento fector en para una carga P = δ f apcada en e punto. () f () = δ * (escaa de L. de I.) para P = apcada en S P se cumprá: f () = P * δ * (escaa de L. de I.) Esto msmo puede apcarse para otros estados de carga y otras soctacones, reaccones, deformacones, etc. 0

2 ESTBILIDD III CPITULO VI: LINES DE INFLUENCI Pág 0 6. LINES DE INFLUENCI EN SISTES ISOSTÁTICOS Recordemos agunos eementos báscos apcados en sstemas sostátcos smpes a fn de aprecar as smtudes y dferencas con e tratamento que daremos a as vgas hperestátcas. Nada mejor para esto que a apcacón de Prncpo de os Trabajos Vrtuaes, en e método de a Cadena Cnemátca en una vga sostátca de dos tramos para dstntos casos de soctacones, o étodo naítco. 6.. LÍNE DE INFLUENCI DE UN RECCIÓN Deseamos a L. de I. de R que denomnamos con R. Emnamos e apoyo, coocamos e esfuerzo correspondente a víncuo suprmdo, y damos un despazamento en e apoyo a mecansmo formado. Por apcacón de P.T.V.: R. + tn. 0 R S P = R P = B / / 6.. LÍNE DE INFLUENCI DEL OENTO FLECTOR C R = tn. R = R = Donde vemos que R es proporcona a a coordenada o sea que en una determnada escaa puede representar e vaor de R para una carga untara apcada en, dónde se puede ncorporar como factor de escaa. f P = (+) P = B (-) C f Deseamos a L. de I. de f en a seccón. Para eo emnamos e víncuo que transmte e momento en dcha seccón ntroducendo una artcuacón. a cadena cnemátca formada, doy un despazamento vrtua y apco e P.T.V después de expctar e f en a seccón (+ traccón abajo). f. + tn. = 0 tn. f = f = Con as msmas condcones anterores podemos decr que e dagrama cnemátco es en una determnada escaa a ínea de nfuenca buscada. 0

3 ESTBILIDD III CPITULO VI: LINES DE INFLUENCI Pág LÍNE DE INFLUENCI DEL ESFUERZO DE CORTE P = B C Para e esfuerzo de corte Q emnamos un víncuo a ntroducr en - un mecnsmo como e sguente: (+) (-) (-) Q Q Q Q + Q pcando e P.T.V.: Q. tn. = 0 tn. Q = Q = 6.. LÍNE DE INFLUENCI DEL ESFUERZO NORL a α N x B N P C RC En este caso se ntroduce un mecansmo que no transmte esfuerzos normaes: N (+) traccón N C R N ' (+) a cos α a cos α (-) L C Se pueden haar os centros de rotacón, y e depazamento de en a dreccón de N por apcacón de P.T.V. y a teoría de Cadena Cnemátca. nacémoso a este caso en forma anaítca, que permte una buena vsuazacón de probema: R = t * ( x ) x = t para P = t entre 0 x a = t R cos N N = t ( ) α x * cos α x = 0 N x = a N = 0 = a cosα para P = t entre a x = R cos α N N x t cos α x = a N = = x = N = 0 a ( ) cosα 04

4 ESTBILIDD III CPITULO VI: LINES DE INFLUENCI Pág 05 étodos anáogos a os probemas sostátcos aparecen en os casos hperestátcos, con agunas varantes. Desarroaremos aguno de estos métodos en os próxmos puntos LÍNE DE INFLUENCI EN SISTES IPERESTÁTICOS nacemos por dstntos métodos, una vga contnua de cuatro tramos (grado de hperestatcdad) ÉTODO POR PUNTOS Es un método cuya expcacón es nmedata, basada en a apcacón de a defncón de L. de I. Supongamos que a L de I de omento fector en - ( f ). Dvdamos cada tramo de a vga en partes guaes (cuyo argo dependerá de a precsón requerda) que en nuestro caso es gua a 6 partes ' ' ' ' 4' 5' 6' ' 8' 4' Cooquemos P = tn en e punto. Cacuamos e f para esa carga ( ) y a vaor (en una determnada escaa) o dbujamos debajo de punto ('). Corremos P = tn a punto. Cacuamos e f para esa carga ( ) y a vaor o dbujamos debajo de punto ('), y así sucesvamente para todos os puntos (, 4,...,, 4). Unmos os puntos 0', ', '..., ', 4' medante curvas o pogonaes, y por a forma de su construccón esta curva o pogona es a L de I buscada ( f ). E método puede ser argo, según e número de puntos eegdos, pues para cada uno es necesaro resover un hperestátco. Dchos cácuos se pueden factar con a utzacón de computadora, utzacón de a matrz para os dstntos estados de carga, o a utzacón de condcones de smetría, s a estructura fuera smétrca ÉTODO DE ÜLLER-BRESLU (pcacón de Bett - axwe) a Línea de nfuenca de deformacones Sea a vga de a fgura, y queremos cacuar ϕ B (Línea de Infuenca de a rotacón de nudo B). Para eo apcamos en e nudo B a carga correspondente con a deformacón cuya L de I se busca, en este caso un momento untaro =. Resovemos a vga y con as soctacones haamos a eástca para ese estado de cargas. Demostraremos que esta eástca es a L de I de a rotacón ϕ B ( ϕb ). Para eo apcamos P = en un punto genérco, haamos a eástca y a rotacón ϕ B para este estado de carga. 05

5 ESTBILIDD III CPITULO VI: LINES DE INFLUENCI Pág 06 = B C D E f ϕb P = (eástca) pcamos e teorema de axwe entre estos dos estados de carga:. ϕ ; sendo = tnm y P = tn B = P. tn ϕ B =. tnm ϕ ϕ B [ Escaa de L. de ] = B B =. I. ϕ Es decr que en una escaa determnada, a prmer eástca representa ϕ B para cada punto, o sea es su Línea de Infuenca. P* = B C D Como un segundo ejempo anacemos en a sguente vga a L de I de descenso en e punto D ( δd ). f δ (eástca) P = B C D Sguendo os msmos pasos, apco en D a carga P*=, correspondente con δ D. Cacuamos e dagrama de omentos y haamos su eástca. pcamos P = en e punto, hao a eástca y δ D y por e teorema de axwe: (eástca) δ D 06

6 ESTBILIDD III CPITULO VI: LINES DE INFLUENCI Pág 07 P * δ D δ D = P. = [ Escaa de L. de I] = δd b Línea de nfuenca de una Reaccón Deseamos a L. de I. de a reaccón R ( R ). Emnamos e apoyo y apcamos en ese punto una carga P* =. aamos as soctacones y a eástca, que demostraremos es a L. de I.de R ( R ). R B C D E P* = R pcamos ahora un segundo estado de cargas P = en un punto, junto con e verdadero vaor de a reaccón R para esta carga, por o cua e descenso debe ser gua a cero. P = (eástca) R B C D E = 0 (eástca) pcando e teorema de axwe: tn P *. = R. + P. = 0 R = R = Esc. de L. de I. = R [ ] c Línea de nfuenca de una Soctacón Sea a vga con una seccón - en a cua queremos a L. de I. de momento fector en ( f ). En emnamos e víncuo que resste e momento fector, es decr coocamos una artcuacón, y además apcamos un par de momentos =. aamos as soctacones y a eástca, que demostraremos es a L. de I.. f Para eo apcamos en un punto genérco una carga P = y e vaor de verdadero f que corresponde a a vga orgna para dcha carga. La vga con a carga P = y f se 07

7 ESTBILIDD III CPITULO VI: LINES DE INFLUENCI Pág 08 P = f = f (eástca) comportará como a orgna, que por no tener en una artcuacón, no sufrrá en dcho punto una rotacón reatva y por o tanto ϕ = 0. pcando e Teorema de axwe:. = P. f. 0 f ϕ = f tn = [ Esc. de L. de ] = f = I. (eástca) Q P = ϕ = 0 Q = Q Q = Q = 0 (eástca) (eástca) Veamos ahora en a msma seccón a L. de I. de esfuerzo de corte Q ( Q ). pcamos en e mecansmo de 6.., con un par de Q =. aamos as soctacones y a eástca será a L. de I. buscada ( Q ). pco P = en y en e verdadero vaor de Q con o cua e despazamento reatvo norma a eje de a barra en a seccón será nuo ( = 0). pcando e Teorema de axwe: Q*. = P. Q. = 0 tn Q = Q = Esc. de L. de I. = [ ] Q d Línea de Infuenca por superposcón de efectos (atrz b) Para aprender este método vamos a trabajar con una vga contnua que posee cuatro tramos, o sea con tres ncógntas hperestátcas; en forma genérca ndcamos que esa vga tene un apoyo fjo y os demás móves. X X X 08

8 ESTBILIDD III CPITULO VI: LINES DE INFLUENCI Pág 09 Por e método de as fuerzas, en funcón de sostátco fundamenta adoptado, en una seccón genérca, e momento vene dado por a expresón: 0 = + X + X + X S quséramos conocer dependen de estado de cargas. Eos son:, deberíamos dentfcar en a expresón que factores 0, X,X y X. Será entonces: = 0 + X + X + X Para obtener as íneas de nfuenca de as ncógntas hperestátcas utzamos as propedades de os coefcentes vstos en e Capítuo en e tema de atrz. Recordemos que: X = δ0 +δ δ dónde: n0 n = X : ncógnta hperestátca δ j0 : térmno que depende de as cargas exterores. j = j : coefcente ndependente de as cargas exterores. S queremos a ínea de nfuenca X = δ δ0 δ0 n j= δ j0 X en nuestra vga nacemos por etapas as dstntas L. de I. que pueden aparecer en nuestra estructura j Línea de nfuenca de térmno o d j0 Defnmos e sostátco fundamenta con as ncógntas X, X, X (momento en os apoyos ntermedos) apcando artcuacón en os apoyos, y. parecen os δ j0, rotacones reatvas en e apoyo j (corrmentos correspondentes con X j ). De acuerdo con a para a L. de I. de δ 0 ( δ0 ) debo cacuar a eástca para a carga X =. En forma smar se procede para δ0 y δ0. 09

9 ESTBILIDD III CPITULO VI: LINES DE INFLUENCI Pág P X X X P= δ 0 δ 0 X = δ0 X = δ0 X = δ0 Línea de nfuenca de una ncógnta X De acuerdo con o vsto: X X X = + + X δ0 δ0 δ 0 = + X δ0 δ0 δ 0 = X δ0 δ0 δ 0 Dónde os dagramas X, X y X son combnacones neaes de os δ0, δ0, y δ0. Línea de nfuenca de una soctacón (f) aaremos a L. de I. de momento fector en e punto ( Sabemos de Captuo II: f ) de hperestátco. f 0 = + X + X + X 0

10 ESTBILIDD III CPITULO VI: LINES DE INFLUENCI Pág y por o tanto será: f = 0 + X + X + X Donde serán: : L. de I de en e sostátco fundamenta 0, y : L. de I de as ncógntas hperestátcas ( X, X y X ) X X X, y : omento en seccón de sostátco para cargas X = ; X = ; X =, respectvamente. : ínea de nfuenca de f de hperestátco; que es una combnacón nea de 0, f X, X, X de acuerdo con a expresón antes vsta. náss smares se pueden reazar para as reaccones de apoyo, os esfuerzos N y Q o deformacones. X X = 0 X f