Tema 12: Iniciación al Cálculo de Derivadas. Aplicaciones.

Transcripción

1 Tema : Iniciación al Cálculo de erivadas. Aplicaciones. Ejercicio. Hallar la función derivada de las siguientes funciones. a f cos cos b cos f cos c tg f tg tg tg d f La última función que actúa, que es la primera que se deriva, es el cuadrado. cos cos e 5 e f e e e e f tg arc f tg arc g f ln ln

2 MATEMATICAS I EUCANO CON WIRIS Recuerda que el logaritmo de una potencia es igual al eponente por el logaritmo de la base. Por tanto: ln ln ln ln ln / Hemos llegado, así, al mismo resultado, como es natural. h f cos cos Por tanto: cos Figura. Figura. Figura. Figura 4.

3 RESOLUCIÓN E EJERCICIOS GUIAOS TEMA. Iniciación al Cálculo de erivadas. Figura 5. Figura 6. Figura 7. Figura 8. Ejercicio. ada la función f 6 9 : a Hallar la derivada de la función en los puntos -, 0, y 4. La función derivada es f 9. f 9 4, f 0 9, f, f 4 9 b Hallar la recta tangente en el punto. Conocemos f. Hallamos f 6 9 4

4 MATEMATICAS I EUCANO CON WIRIS La ecuación es y 4 y 0 c Averiguar las abscisas de los posibles máimos y mínimos relativos. Hallamos los puntos de tangente horizontal resolviendo f , 6, En los puntos de abscisa y puede haber máimo o mínimo relativo. d En 4, es creciente o decreciente? Puesto que f 4 9 0, la curva es creciente en 4. Figura 9. Figura 0. Figura. 4

5 RESOLUCIÓN E EJERCICIOS GUIAOS TEMA. Iniciación al Cálculo de erivadas. Figura. Figura. Figura 4. Ejercicio. Repretar la siguiente función polinómica: y 4 Ramas infinitas: lím lím 4 4 Puntos singulares: f 6 0 f Soluciones: 0 f Los puntos singulares son 0,4 y,0. f 4 0 Cortes con los ejes: Con el eje X : f Soluciones: 5

6 MATEMATICAS I EUCANO CON WIRIS Al eje Y lo corta en 0,4. Repretación: Figura 5. Figura 6. Figura 7. 6

7 RESOLUCIÓN E EJERCICIOS GUIAOS TEMA. Iniciación al Cálculo de erivadas. Ejercicio 4. 4 Repretar la siguiente función: y Ramas infinitas: lím lím Puntos singulares: f 7 f 0 0,, f 0 00, f 6, f 89 Repretación:, 89, 0,00 y,6 Figura 8. Los cortes con los ejes no sabemos calcularlos. Para dibujar la curva con más precisión hallaremos otros puntos: -4, 6, -, -8, -, 6... Figura 9. 7

8 MATEMATICAS I EUCANO CON WIRIS Figura 0. Ejercicio 5. Repretar la siguiente función: y 4 4 Ramas infinitas: lím lím Puntos singulares: f f 0 f 0 0, f 0 0, 0,0, Cortes con los ejes: Eje X : f Soluciones: 0 y 4 / Corta al eje X en los puntos 0,0 y 4 /,0. Eje Y : Corta al eje Y en 0,0. Repretación: 8

9 RESOLUCIÓN E EJERCICIOS GUIAOS TEMA. Iniciación al Cálculo de erivadas. Figura. Figura. Figura. Ejercicio 6. Repretar la función respecto a ella: 5 7 y de la cual conocemos sus asíntotas y la posición de la curva 9

10 MATEMATICAS I EUCANO CON WIRIS Figura 4. Observando el bosquejo, sabemos que hay un máimo relativo a la izquierda de derecha de. Obtengámoslos: y un mínimo relativo a la 5 f f 0 4 0, ; f, f Los puntos singulares son, y,. Al repretar la curva con estos resultados observamos que, es mínimo relativo y, es máimo relativo. La curva no corta al eje X : no tiene soluciones. Figura 5. 0

11 RESOLUCIÓN E EJERCICIOS GUIAOS TEMA. Iniciación al Cálculo de erivadas. Figura 6. Ejercicio 7. Repretar la función su asíntota oblicua: y de la cual sabemos que no tiene asíntotas verticales y conocemos Como no tiene asíntotas verticales, conviene hallar sus puntos singulares antes de realizar un bosquejo de la curva. f... 0 f 0 o 0 0 Único punto singular: 0,0. No corta a los ejes coordenados en ningún otro punto. Obtenemos más puntos: ; 0,5, ;,6, ;,7 -; -0,5, -; -,6, -; -,7 Ya podemos repretarla con mucha precisión.

12 MATEMATICAS I EUCANO CON WIRIS Figura 7. Figura 8. Figura 9.

13 RESOLUCIÓN E EJERCICIOS GUIAOS TEMA. Iniciación al Cálculo de erivadas. Ejercicio 8. Repretar la función y de la cual conocemos las asíntotas verticales, la horizontal y la posición de la curva respecto a ellas: Figura 0. Con los datos anteriores, podemos realizar este bosquejo y, a partir de él, deducimos que la curva tendrá un mínimo a la izquierda de 0 y un máimo entre 0 y. Veamos su localización, así como si hay otros puntos singulares además de estos. f... f Soluciones:,6, 0, 6 f,6 0,6, f 0,6, 6 Los únicos puntos singulares son -.6; 0,6 y 0,6; -,6.

14 MATEMATICAS I EUCANO CON WIRIS Figura. Figura. Ejercicio 9. Repreta las siguientes funciones racionales, siguiendo los pasos de la página anterior: a y b y c y 4

15 RESOLUCIÓN E EJERCICIOS GUIAOS TEMA. Iniciación al Cálculo de erivadas. Figura.a. Figura.b. Figura.c. d y e y f y Figura.d. Figura.e. Figura.f. Figura 4. Figura 5. 5

16 MATEMATICAS I EUCANO CON WIRIS Figura 6. Figura 7. Figura 8. Figura 9. Figura 40.a. Figura 40.b. Figura 40.c. Figura 40.d. Figura 40.e. Figura 40.f. 6

17 RESOLUCIÓN E EJERCICIOS GUIAOS TEMA. Iniciación al Cálculo de erivadas. Ejercicio 0. Estudia y repreta la función: f 4 ominio de definición: 0 Asíntota vertical: 0. Posición si si 0, 0, 4 No tiene asíntota horizontal, puesto que lím. f f Tiene asíntota oblicua porque el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador. Para obtenerla, dividimos: 4 4 y La asíntota es y Posición si 00 f 99,96 00 si 00 f 99,96 00 Por tanto: cuando, la curva está bajo la asíntota cuando, la curva está sobre la asíntota Puntos singulares: se obtienen haciendo f f 0 No tiene solución No tiene puntos singulares. Observamos que f es positiva en todo su dominio y, por tanto, f es creciente para todo. Corta al eje X en, 0 y -, 0. Figura 4. 7

18 MATEMATICAS I EUCANO CON WIRIS Figura 4. Figura 4. 8