Control Óptimo de dos Máquinas Usando Políticas de Reemplazo

Transcripción

1 Conol Ópimo de dos Máquinas Usando Políicas de Reemplazo Gabiel Zacaías-Espinoza, Hugo Cuz-Suáez y Llilve Venegas-Péez 3 Beneméia Univesidad uónoma de Puebla, Faculad de Ciencias Físico Maemáicas, ve San Claudio y Río Vede, Col San Manuel, CU, Puebla, Puebla, 757, Méico : gzacaias@alumnosfcfmbuapm : hcs@fcfmbuapm 3: llilve_venegas@alesanem RESUME En ese aículo se pesena un poblema de opeación eficiene de máquinas, el cual es modelado mediane Pocesos de Decisión de Maov (PDM a iempo disceo con hoizone finio Los esados del sisema epesenan los niveles de deeioo de la máquina Bajo cieas suposiciones en el modelo se deemina la políica ópima y la función de valo ópimo del poblema, mediane la écnica de Pogamación Dinámica También, se esuelve un ejemplo numéico usando MTLB Palabas Clave: Pogamación Esocásica, Pocesos de Decisión de Maov, Pogamación Dinámica, Modelación Maemáica, Reemplazamieno de Máquinas ITRODUCCIÓ Uno de los poblemas pincipales en la gesión de opeaciones empesaiales, se cena en la planificación adecuada del eemplazo de máquinas, no solo po su impaco en los cosos de opeación, sino ambién, po sus efecos en el nivel de sevicio al poceso poducivo La lieaua pemie ve que el poblema de eemplazamieno es abodado de difeenes maneas, po ejemplo en Suzanne (véase [8 se esudia un caso mulimáquinas, en llen (véase [ planean el poblema a iempo coninuo, en Godoy (véase [] y en Sehi (véase [7] abajan la esabilidad del poblema En esumen de acuedo a lo aneio ese poblema es de gan ineés en las ciencias eacas El poblema de opeación eficiene de máquinas consise en la búsqueda de una políica de eemplazo, la cual iene como objeivo decidi el nivel de deeioo (el esado y educi los cosos geneados a fuuo Dicho poblema es modelado mediane la eoía de Pocesos de Decisión de Maov (PDM (véase [3 [4 [5] y [6] Los PDM son una heamiena eficaz paa modela sisemas dinámicos que son obsevados de manea peiódica po un conolado, con la caaceísica de que dicho conolado puede influencia en el ánsio de los esados del sisema mediane la aplicación de acciones duane cada peiodo de iempo El desaollo de un PDM a avés del iempo, esá dado de acuedo al siguiene pocedimieno En cada iempo,,,l, el conolado decide aplica una acción dependiendo del esado acual en el que se encuena el sisema Como consecuencia del esado y de la acción omada, se paga un coso y mediane la ley de ansición, el sisema se aslada a un esado en el insane de iempo +, y el poceso aneiomene descio se epie la sucesión de acciones aplicadas duane el poceso se le llama políica Paa evalua la calidad de cada políica se cuena con un cieio de endimieno o función objeivo, en ese abajo se considea como cieio de endimieno al coso oal espeado El poblema de conol ópimo consise en deemina una políica que opimicé dicho cieio de endimieno El modelo consideado es análogo al aado en Suzzanne (véase [8 el cual supone que en cada insane de iempo la máquina puede cambia de nivel de deeioo o quedase igual como en la eapa aneio El planeamieno del poblema es el siguiene: en el iempo se obseva el nivel de deeioo de la máquina y se debe elegi ene manenela opeando en el esado en que se encuena o susiuila po una nueva Se considean cosos de opeación, manenimieno, ecupeación, cosos po unidad de la máquina y un coso fo incuido siempe que se susiuye la máquina Los cosos de ecupeación son consideados paa pemii la vena o eciclaje de la máquina El objeivo es decidi el nivel de deeioo (el esado en el cual vale la pena paga el coso de eemplazo de la máquina, de al manea que se eduzcan los cosos de opeación a fuuo La apoación del abajo es aboda el poblema del páafo aneio vía pogamación dinámica (véase [3 [4 [5] y [6] y hace una simulación de esé usando el sofwae MTLB Ese abajo se oganiza de la foma siguiene: en la pimea sección se pesenan los concepos básicos de la eoía de PDM y se planea el poblema de conol ópimo (PCO, después se aboda la écnica de pogamación dinámica, la cual es una meodología paa esolve el PCO Finalmene, en la ecea sección se planea y se esuelve el poblema de eemplazamieno de máquinas

2 PROCESOS DE DECISIÓ DE MRKOV Definición Un Modelo de Conol de Maov (MCM, esacionaio, a iempo disceo, consise de una quínupla: ( X,, { ( X }, Q, c donde X y son conjunos finios no vacíos, llamados espacio de esados y espacio de acciones, especivamene Paa cada X, ( es un subconjuno no vacío de denominado el conjuno de acciones admisibles del esado El conjuno IK de paejas de esados acciones admisibles se define po IK : {( a X, a ( } Q ( es una función de ansición de esados, es deci, Q deemina la pobabilidad de alcanza un esado nuevo dado el esado acual y la acción aplicada Po úlimo, c: IK IR es una función de coso po eapa La dinámica que descibe a ese sisema esocásico funciona de la foma siguiene: si el sisema al iempo se encuena en el esado X, y la acción a a ( es aplicada enonces ocuen dos cosas: a se paga un coso c ( a y; b el sisema se aslada a un nuevo esado + mediane la disibución de pobabilidad sobe X Una vez hecha esa ansición a un nuevo esado se elige una nueva acción y la dinámica aneiomene descia se epie En algunas aplicaciones la ley de ansición Q es inducida po la ecuación en difeencias: Una políica es Deeminisa Maoviana si eise una sucesión { f } IF : { f : X f ( ( paa cada X }, al que, paa cada,, L, y cada h IH, ( h esá concenada en f ( Si { f } es al que paa oda,,l, f f con f IF, enonces se dice que es una políica Maoviana esacionaia Dados Π y X, eise una única medida de pobabilidad P definida en el espacio canónico (Ω,F, donde Ω: ( X y F es su coespondiene σ-álgeba poduco El poceso esocásico ((Ω,F, es llamado un Poceso de P, { } Conol de Maov a iempo disceo o Poceso de Decisión de Maov (PDM La espeanza con especo a P es denoada po E En ese abajo se considea el cieio de endimieno conocido como coso oal espeado definido paa cada X y Π como v(, : E c(, a ( l númeo se le llama hoizone de planeación, el cual epesena el númeo de esados en el cual el sisema esá opeando y puede se finio o infinio Se supondá a lo lago de ese abajo que es finio También, se calcula uilizando la Ec ( Definición 3 Se define a la función de valo ópimo de la foma siguiene: paa cada X F(, a, w, + ( V ( inf v(, Π donde (, a IK, con conocido y { w } es una sucesión de vaiables aleaoias independienes e idénicamene disibuidas omando valoes en un espacio común W Paa inoduci el concepo de políica, considéese un MCM y defina IH, el espacio de las hisoias obsevadas del poceso hasa el iempo, como IH X y paa,, L, IH IK IH Un elemeno de foma h (, a,, a, L,, a,, IH llamada -hisoia es un veco de la donde (, a IK paa i, L, y X i i Definición Una políica aleaoizada o simplemene políica, es una sucesión { } de éneles esocásicos, donde cada esá definido sobe dado IH y saisface que: ( ( h paa oda IH h y,, L l conjuno de odas las políicas es denoado po Π Definición 4 Una políica X V ( inf v(, v( *, Π * Π es ópima, si paa cada El poblema de conol ópimo consise en deemina la políica ópima, es deci, aquella políica que opimice a la Ec ( Pogamación Dinámica Una manea de esolve el poblema de conol ópimo es mediane la écnica de pogamación dinámica El siguiene eoema esá basado en el pincipio de opimalidad de Bellman (véase [3] conocido como Pogamación Dinámica, la demosación de dicho eoema se encuena en [5] Teoema Sean X como V,,V L funciones definidas paa cada { c( a + Ε( V ( F ( a, w }, V ( : min a ( (3

3 paa cada, L,, con V ( : Supóngase que paa cada, L,, eise : X al que paa cada X, f f ( ( Enonces V loga el mínimo paa oda es deci, V ( c( f ( + Ε( V ( F( f (, w, X, * y la políica deeminisa de Maov { f, L, f } es ópima demás, la función de valo ópimo es V 3 REEMPLZMIETO DE MÁQUIS Las aveías e incidenes de la maquinaia son uno de los pincipales poblemas de la indusia La fala de disponibilidad de la maquinaia ecoa gavemene la capacidad de poducción de las máquinas y, con ello, aumena el coso de la poducción Considee que se obseva de manea peiódica el nivel de deeioo de dos máquinas M y M en peiodos Supóngase que los dos pocesos de deeioo son de Maov e independienes uno del oo y que sus especivos niveles son iguales, es deci, paa ambas máquinas sus niveles de deeioo son elemenos de D {,, L, d}, donde d es máimo nivel de deeioo y bajo el supueso que al enconase una máquina en el esado i es pefeible que esa en el esado i +, y el esado es consideado como de pefecas condiciones en el que pueden opea Duane un peiodo de opeación el esado de la máquina puede empeoa o quedase igual Los pocesos de deeioo de cada una de las máquinas equieen de un conjuno específico de pobabilidades q, con i, j D y,, donde q es la pobabilidad de que la máquina M ansie del esado i al esado j y saisface que q, si j < i Denoe po Q la maiz de ansición del poceso de deeioo de la máquina M paa, sí el espacio de esados es X : D D que consa de d paejas denoadas po ( l, Dada la independencia de los pocesos de deeioo se iene que paa el espacio X un nuevo poceso de Maov cuyas pobabilidades ansiciones esán dadas de la siguiene foma: P (( l,,( i, j qliqj si i l, j Q ( l, i Q (, j oo caso En ese caso la ley de ansición es inducida po la ecuación en difeencias siguiene ( w, w donde la disibución de + ( w, w esá dada po la Ec (4 Considéese las siguienes caaceísicas del poblema: m (i denoa el coso de opeación o manenimieno po eapa de la máquina po esa en i ; s (i denoa el valo geneado po eapa de la máquina po esa en i ; p coso po unidad de una nueva máquina; (4 R coso fo incuido al compa una nueva máquina Supóngase ambién que al comenza cada peiodo se conoce el esado de cada una de las máquinas M y se ienen las opciones siguienes: a M opea un peiodo más en el esado que se encuena; b M es eemplazada po una máquina nueva Se asume que la máquina nueva pemaneceá en el esado po al menos un peíodo En peíodos subsecuenes, puede deeioase paa los esados j > según las pobabilidades de ansición El conjuno de acciones es el mismo que el de acciones admisibles y esá dado po {,} {, } ; donde significa deja la máquina en el esado que se encuena y eemplazala po una nueva máquina Sea ( µ (, µ (, donde {,}, con,, y obsévese que µ ( El objeivo es decidi sobe los niveles de deeioo (esado en el cual vale la pena compa nuevas máquinas, de al foma que se eduzcan los cosos de opeación a fuuo sí, las funciones definidas en la Ec (3 oman la foma siguiene: paa cada, X V ( : min ( R( µ ( + µ ( ( m( ( [ ], + ( ( +Ε (, ( µ m V y µ donde R (y es el coso de compa eacamene y máquinas y esá definido como R + py R ( y y [ ( y µ ( ] si y >, si y Ε V es la espeanza de V ( y dado el esado y se aplico la acción µ (, la cual iene la foma siguiene: Ε [ V ( y ( ] V ( y, y P( ( y, y,(, y, y µ En éminos del conjuno de acciones admisibles la Ec (5 es equivalene a la siguiene ecuación, paa, L,, R( + m( R( + m( V ( : min R( + m( m( + m( + Ε + Ε[ V ( y + m( + Ε[ V ( y + m( + Ε[ V ( y [ V ( y ] (5, (6

4 po lo que la políica ópima queda descia de manea naual mediane el poceso, es deci, compaando los especivos valoes del lado deecho de la Ec (6, los cuales son la esulane de compa nuevas máquinas o dejalas opea en el esado en que se encuena Po úlimo de acuedo con pogamación dinámica la función de valo ópimo V es V Ejemplo Considee que los niveles de deeioo de ambas máquinas son D {,,3,4} y el hoizone del poblema es 5 Las funciones involucadas m y s esán definidas en la siguiene abla: Esado m (i s (i También considee que p y R 5 Paa cada máquina M con,, sus especivas maices de ansición son: Q Q Uilizando la Ec (4 paa calcula la maiz de ansición del poceso P pemie hace los cálculos de cada uno de los éminos del lado deecho de la Ec (6 Esado V ( l, (, 5793 (, (, (, (, 848 (, 9793 (,3 36 (,4 536 (3, 879 (3, 989 (3,3 94 (3,4 55 (4, 3355 (4, 76 (4,3 45 (4, Como se obseva en el ejemplo aneio, los daos y cálculos que se genean en ese ipo de poblemas son de gan amaño Po ese moivo se elaboó un pogama que pemie facilia la obención de la función de valo ópimo coninuación se pesena un ejemplo con el pogama mencionado, el cual fue ceado en el sofwae MTLB Considee los siguienes daos: d nivel máimo de deeioo paa ambas máquinas, hoizone del poblema, p coso po unidad y R coso incuido Se genean de foma aleaoia las maices de ansición de las especivas máquinas y después mediane la Ec (4 se calcula la maiz de ansición de X También se genean los cosos de manenimieno y los valoes geneados po las máquinas El pogama uiliza el algoimo de pogamación dinámica paa calcula a la función de valo ópimo cuya gáfica se pesena en la figua (, en la cual se puede obseva un esancamieno en niveles alos de deeioo La siguiene abla muesa los valoes po cada una de las 4 acciones a ealiza y po ano la políica a segui: (, (, (, (, Finalmene po la Ec (6 se iene que la función de valo ópimo es: Fig : Gáfica de la función de valo ópimo (d5,, p5 y R4 También cabe desaca que la políica ópima queda descia en la evolución del poceso, indicando que las máquinas en pomedio se mandan a eemplaza al mismo iempo o se dejan

5 opeando ambas, es deci, aunque una máquina se encuene en un nivel alo de deeioo, paa educi cosos, la mejo opción es espea a que la oa máquina llegue a esados cíicos de deeioo paa pode eemplazalas 4 COCLUSIOES En ese abajo se esudió un modelo de eemplazamieno de máquinas el cual se analizó mediane la meodología de Pogamación Dinámica En paicula, se pesenó un pogama elaboado en MTLB el cual deemina a la función de valo ópimo En esumen la foma de aplica dicho méodo consise en que la políica ópima se deduce de manea naual mediane la evolución del poceso, es deci, en cada peiodo de iempo dependiendo de los esados de deeioo en que se encuenan las máquinas se oma una y solo una de las siguienes opciones: ambas se mandan a eemplaza o ambas se dejan opeando en su esado acual La políica que se genea, de acuedo a pogamación dinámica esula se ópima paa la educción de cosos a fuuo 5 REFERECIS [] H llen y W Ching, One he Use of Renewal heoy in Machine Replacemen Models, Inenaional Jounal pplied Mahemaical Sciences, Vol, o, pp 4-47, 5 [] G vila-godoy, Bau y E Fenández-Gaucheand, Conolled Maov Chains wih Discouned Ris-sensiive Cieia: pplicaions o Machine Replacemen, 36h IEEE CDC: Vol, o, pp 5-, 997 [3] R Bellman, Dynamic Pogamming, sea edición, Pinceon Univesiy Pess, Pinceon, US, 97 [4] D Beseas, Pogamming and Opimal Conol, pimea edición, vol II, hena Scienific, Belmon, Massachuses, US, 987 [5] O Henández-Lema y J B Lassee, Discee-Time Maov Conol Pocesses: Basic Opimaliy Cieia, pimea edición, Spinge-Velag, ew Yo, US, 996 [6] M Pueman, Maov Decision Pocesses: Discee Sochasic Dynamic Pogamming, pimea edición, Wiley, ew Yo, US, 994 [7] S P Sehi, G Soge and Xun Yu Zhou, Sabiliy of Real- Time Lo Scheduling and Machine Replacemen Policies wih Qualiy Levels, IEEE Tansacions uomaic Conol, Vol 5, o, pp 93-96, [8] C Suzanne and P Duango-Cohen, On Paallel Machine Replacemen Poblems wih Geneal Replacemen Cos Funcions and Sochasic Deeioaion, aval Reseach Logisics, Vol 5, o 5, pp 4-49, 5