Ortogonalización. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. FIEC Universidad Veracruzana Poza Rica Tuxpan

Transcripción

1 Ooonalizaión D. Luis Javie Moales Mendoza FIEC Univesidad Veauzana Poza Ria Tuxpan Índie.. Veoes en D y 3D.. El Eo Cuadáio Medio (MSE).3. Funiones Ooonales.. MSE paa -señales.5. Taea D. Luis Javie Moales Mendoza

2 Veoes en D y 3D Un veo en D esa deinido maemáiamene omo: v v i v x y j (.) v y y v donde vx y vy son las omponenes oespondienes a ada eje del sisema de oodenadas. Las dos aaeísias pinipales de ualquie veo son la maniud y la dieión, es dei v x Fiua.. Veo en D x v v x v y an v v D. Luis Javie Moales Mendoza 3 y x (.) Veoes en D y 3D Un veo en 3D se deine omo z v z v (.3) donde, la maniud y la dieión se deinen omo (.) v x v y y (.5) x (.6) Fiua.. Veo en 3D D. Luis Javie Moales Mendoza

3 Veoes en D y 3D El poduo esala de dos veoes en un espaio eulídeo se deine omo el poduo de sus módulos po el oseno del ánulo que oman: v v v os (.7) v en donde es el ánulo que se oma ene v y v. El ánulo es un indiaivo de la poyeión del veo v sobe v, enones v v v v (.8) Se puede obseva que si v y v son ooonales, si es eo, es dei v v (.9) D. Luis Javie Moales Mendoza 5 Eo Cuadáio Medio (MSE) Si se onsidean ahoa dos señales () y () al que, se desea apoxima a la señal () en éminos de la señal () en un ieo inevalo ( < < ), es dei: (.) La peuna en uesión seía Cómo seleiona a la onsane paa obene una mejo apoximaión? Obviamene, se debe enona un valo paa al que, el eo ene la señal oiinal y la apoximada sea el mínimo. Deiniendo la unión de eo, e () omo e (.) D. Luis Javie Moales Mendoza 6 3

4 Eo Cuadáio Medio (MSE) Uno de los ieios paa edui al mínimo el eo e () en el inevalo de a es el de edui el valo pomedio de e () en ese inevalo; es dei, edui al mínimo la siuiene expesión e d (.) Sin embao, ese ieio esula inadeuado, pues al vez, exisan eoes posiivos y neaivos andes que se anelan ene si duane el poeso de pomedia, de donde se endá una alsa indiaión. D. Luis Javie Moales Mendoza 7 Eo Cuadáio Medio (MSE) Ejemplo: Si se apoxima una unión, () = sen, on una unión nula, () =, en el inevalo de a, el eo pomedio seá eo; eso india inoeamene de que sen se pueda apoxima a eo en el inevalo de a sin eo aluno. () Fiua.3. MSE () Esa siuaión se puede oei si se edue al mínimo al eo uadáio medio, en lua de haelo on el pomedio del eo. De ese modo, desinando a omo el MSE (mean squae eo), es dei D. Luis Javie Moales Mendoza 8

5 Eo Cuadáio Medio (MSE) e d d (.3) paa enona el valo ópimo de se edue a la unión al mínimo apliando el méodo del adiene, es dei, d/d =. Realizando esa opeaiones se llea a d d d d d D. Luis Javie Moales Mendoza 9 Eo Cuadáio Medio (MSE) ˆ d d (.) Po analoía on los veoes, se die que () iene una omponene de oma de onda de () y que la omponene iene una maniud. Si es eo, enones la señal () no oniene omponenes de la señal () y se die que ambas uniones son ooonales en el inevalo (, ). D. Luis Javie Moales Mendoza 5

6 Funiones Ooonales Es dei d (.5) Se puede obseva la similiud ene la (.5) on la (.9) paa veoes y uniones ooonales. Una de las uniones que umplen on el pinipio de ooonalidad son las uniones amónias (sen nω y os nω ), poque ano omo una omo la oa, omo onsio misma son ooonales en ualquie inevalo de iempo (, + /ω ) paa valoes eneos de n y m. (anexo 3) D. Luis Javie Moales Mendoza Funiones Ooonales Ejemplo: se deine una señal eanula () omo siue Realie la apoximaión de la señal () usando la señal omo eeenia a la señal amónia () = sen en el inevalo de (, ), de modo que el eo uadáio medio sea el mínimo. Es dei Apliando la (.) se iene que: sin sin sin d D. Luis Javie Moales Mendoza d 6

7 Funiones Ooonales apliado que sin d, da omo esulado: po lo ano sin sin d sin sin d d D. Luis Javie Moales Mendoza 3 Funiones Ooonales Eoes Fiua.5. Apoximaión de la señal uadada on un amónio D. Luis Javie Moales Mendoza 7

8 Funiones Ooonales PAS8.m D. Luis Javie Moales Mendoza 5 MSE paa -señales De. La apoximaión de ualquie señal puede se heha a avés de un upo de señales que son ooonales ene si. Si se onsidea un onjuno de señales (), (),, () ooonales ene si en el inevalo de a, se iene que d (.6) j d j y sea (.7) D. Luis Javie Moales Mendoza 6 8

9 9 D. Luis Javie Moales Mendoza 7 Y además, onsidéese que la señal abiaia () es apoximada mediane la ombinaión lineal de las señales muuamene ooonales, es dei MSE paa -señales n Enones, paa obene la mejo apoximaión, se debe enona los valoes adeuados de las onsanes,,, ales que el MSE sea el mínimo. Po lo ual, po deiniión se obiene la unión e () es (.8) e (.9) D. Luis Javie Moales Mendoza 8 MSE paa -señales d opimizando y el MSE es dei, (.) (.) (.) d

10 MSE paa -señales Al desaolla la (.) se puede obseva que odos los éminos que poeden del poduo veoial de las uniones ooonales valen eo, en viud de la ooonalidad; es dei, odos los éminos de la oma j () ()d son eo, omo se expesa en (.6). De la misma manea, la deivada on espeo a j, de odos los éminos que no onienen a j, valen eo. Eso hae que solo se obenan solamene dos éminos, los uales son: d (.3) D. Luis Javie Moales Mendoza 9 MSE paa -señales Si se ambia el oden de dieeniaión e ineaión en la (.6) y se edue despejando a j se obiene (.) d d D. Luis Javie Moales Mendoza

11 MSE paa -señales Ejemplo. Considéese nuevamene una unión eanula en donde se quiee hae una apoximaión de esa unión mediane una seie inia de uniones seno omo: sin sin sin sin las onsanes se alulan mediane la (.8) omo siue sin sin d d D. Luis Javie Moales Mendoza MSE paa -señales sin d sind paa impa paa pa Po lo que la unión () queda apoximada omo se muesa a oninuaión sin sin 3 sin 5 sin D. Luis Javie Moales Mendoza

12 MSE paa -señales Fiua.5. Un amónio D. Luis Javie Moales Mendoza 3 MSE paa -señales Fiua.6. Dos amónios D. Luis Javie Moales Mendoza

13 MSE paa -señales Fiua.7. Tes amónios D. Luis Javie Moales Mendoza 5 MSE paa -señales Fiua.8. Cuao amónios D. Luis Javie Moales Mendoza 6 3

14 MSE paa -señales Fiua.9. Cino amónios D. Luis Javie Moales Mendoza 7 MSE paa -señales PAS9.m D. Luis Javie Moales Mendoza 8

15 5 MSE paa -señales D. Luis Javie Moales Mendoza 9... d El eo oal poduido po ada una de las apoximaiones puede se alulado uilizando la siuiene expesión (.5). 3.9 D. Luis Javie Moales Mendoza 3 MSE paa -señales Se puede obseva que eeivamene onome aumenan el númeo de señales ooonales paa ealiza la apoximaión de la señal eanula disminuye el MSE.

16 Taea. Realiza la apoximaión de la siuiene unión = π Usando omo amilia ooonal a sin(n).. Invesiue po lo menos oas dos amilias de uniones ooonales. D. Luis Javie Moales Mendoza 3 6