RESOLUCIÓN Calculando restos potenciales de base 8 respecto al módulo 13. RESOLUCIÓN E = (2 A + 2 2B + 8) 7

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1 SEMANA 7 DIVISIBILIDAD I 1. Si: A = 3k + 1 ; B = 3k + 2 Halle el esiduo que deja la expesión: E = [2 A + 2 2B + 2³] ente 7 D) 5 E) E = (2 A + 2 2B + 8) 7 E = (2 3k k ) E = (2³) k (2³) 2k E = ( 7+1)2 + ( 7+1) ( 7+2)+1 E = E = esiduo = 5 RPTA.: D 2. Una impotadoa ha compado elojes a S/. 13 c/u, lapiceos a S/. 91 c/u; pulseas a S/. 77 c/u. Si la factua total fue S/ Halle el númeo de elojes. A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Planteando el enunciado: a # de elojes 13 a + 91 b + 77 x c = * Módulo de 7: ( 1) +1 [( 7+3)a+ 7+ 7] = a + 7 = m + 1 a = 3 m = 2 ; a = 5 3. Cuál es el esiduo de dividi: (8) ente 13? 102 cifas A) 2 B) 8 C) 3 D) 5 E) 9 Calculando estos potenciales de base 8 especto al módulo 13. Base 8: 8 0 ; 8 1 ; 8²; 8³; 8 1; 8; 12; 5; 1 1; 5; 1; 5; 1 Cada cifas se anula: (8) cifas = 0 = = = Si: 3a3 es la suma de 83 númeos consecutivos, halle el valo de a. D) E) 5 Sean los 83 númeos consecutivos: n 1;...; n 1; n; n+1,...;n+1 Luego: n n+1=3a3 83n = 3a3 83 = a 83 = a = 17a 3 a = 2

2 5. Cuántos téminos son múltiplos de 25? 2; 5; 10; 17;...; A) 12 B) 9 C) 8 D) 5 E) 6 Témino n ésimo: a n = n² + 1 ; n = 1,..., 100 n² +1 = 25 n² = 25 (n + 7) (n 7) = 25 n + 7 = 25 n = 18; 3; 68; 93 n 7 = 25 n = 7 ; 32 ; 57; 82 # téminos = 8 RPTA.: C 6. Si al dividi po exceso: b31 con 23 no deja esiduo, halle el valo de b. A) 1 B) 2 C) 5 D) 7 E) 8 Se tiene: b b31 = + Como el esiduo es b = 23 b = 2 = b = b 7. Halle el esiduo de dividi: unac po 10 A) 1 B) 2 C) 5 D) 6 E) 7 unac2008 ( ) (...1) 33 =...3 = k k =...1 = Halle el esiduo de dividi: E = abba nm 2 cde1 fgh36 po 2. A) 0 B) 1 C) 0.1 D) FD E) N.A. abba nm 2 cde1 fgh36 ; a = 1, b=0 nm = = = E = Cuál es el esiduo de dividi la siguiente suma: E = [2 6n+3 +9 k. k ] ente 7? D) E) 5 E = 2 6n k. k ente 7 3 E = ( 2 ) 2n. 2³ + (7 +2) k. k E = ( 7+1)( 7+1) + 2 k. k Ojo: 2 k. k = 8 k =( 7+1) E = ( 7+1)+( 7+1) = 7 +2

3 10. Sea: n! = ; (n+1)! = Cuál es el esiduo de (n+3)! ente 23? A) 3 B) 6 C) 5 D) 12 E) = 11+3; calculando estos potenciales. ( 11+3) 5k+b =( 11+3) 5k ( 11+3) b = 11+9 =( k )( 11+3 b ) = 11+9 =( 11+3 b ) = 11+9 b = 2 ; a = 5 RPTA.: C 11. Cuántos téminos de la seie: ; 11; 22; 37; 56;...(100 téminos) son: ( 13+1)? A) 1 B) 15 C) 9 D) 8 E) 12 Sucesión de 2 oden: c = 1 ; 11; 22; 37; 56;... a+b = a = columna secundaia a = 2 ; b = 1 ; c = 1 2n² + n + 1 = n(2n+1) = 13 ; n = 13k #s: {13; 26; 39; 52; 65; 78; 91} (7 nos) #s: {2n+1= 13; 6; 19;...97} (8 nos) Total de númeos = Halle a si (a+b) = 6, además: aabbaabb...ab ( 5 ) 133 = exponente tiene 88 cifas. A) 3 B) C) 5 D) 6 E) 2 y el 13. Si el númeo ( ) ab1 135 se conviete en base 11. Cuál seá la cifa de unidades del esultado? A) 7 B) 3 C) F.D. D) 2 E) 1 ab1 135 base 11 ab = 11+ ab = 11+ Restos potenciales de impotencia 3 con especto al módulo ; 3 1 ; 3²; 3³; 3 ; 3 5 1; 3; 9; 5; ; 1 ab = 11+ k i 3 = ( 11+1).3 = = 11+ = 3 1. Halle el esto de dividi E ente 7: ( ) E = A) 2 B) 6 C) 3 D) 1 E) 5

4 E = 126 Impa = 7 + ( 7 2) Impa = k = 7 + K = múltiplo de 3 k = 3n 7 2 3n = 7 1 = = 7 + = 6 Residuo = Halle (d+u), si el númeo de la foma: mcdu = 11, tal que md = 7 y m + c + d + u = u² A) 9 B) 13 C) 12 D) 15 E) 5 mcdu = 11;md = 7;m + c + d + u = u² u² = u² = 25 u² = 36 c + u (m+d) = 11; paa u = c (m+d) = (α) 3m+d = 7...(θ) Paa u = m + c + d = 12 m + d = 12 c...(β) si: c = m + d = 8...(ω) de (α) y (β) c = 11 + c = de (θ) y (ω) m = 3; d = 5 d + u = Cuántos téminos de la siguiente sucesión: 2; 6; 12; 20; 30;...;1762 al expesalos en base 5, esultan que su cifa de meno oden es 1? A) 12 B) 2 C) 36 D) 2 E) 28 2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; x2; 2x3;3x;x5; 5x6;...;121x122 t n = n (n+1) = ; n= 1,2,...,121 (po dato en base 5 acaba en 1) n² + n = n² + n 6 = 5 (n+3)(n 2) = 5 Luego: n + 3 = 5 n = 5 3 = n 2 = 5 n = n = 5k + 2 k = 0; 1; 2;...23 n valoes 17. En una fiesta infantil el payaso POPI juega con un gupo no más de 150 niños y obseva que si los agupa de 7 en 7 le soban 5 niños; si los agupa de en le faltaía un niño paa foma un nuevo gupo y si los agupa de 9 en 9 le soban 2 niños. Calcule el númeo de niños que hay en dicha fiesta. A) 2 B) 130 C) 7 D) 122 E) 56

5 # niños (N) 150 N = 7+5 N = + 3 N = + 11 N = N = * tienen ojos azules = M = 36 = 36y 105x + 36y = M M = 9 9 N = = 36 k + 11 k = 1 ; 2 ; 3 N = 7; 83; 119 Peo: N = N = 7 RPTA.: C 18. En una confeencia a la que asistieon 528 pesonas; se sabe que de los vaones: la tecea pate usan cobata; los 2 15 usan lentes y los 3 7 llevan saco. De las mujees se sabe que: la sexta pate usa minifalda; las 3 usan lentes y las 2 tienen ojos 9 azules. Calcule el númeo de pesonas que usan lentes. A) 137 B) 56 C) 81 D) 20 E) 8 # pesonas = 528 De los vaones (V): V * usan cobata = V 3 3 = 2 * usan lentes = V V = * llevan saco = 3 V V = 7 7 V = 105 = 105x De las mujees (M): M * usan minifalda = M 6 6 = * usan lentes = 3M/ M = 2(20) Vlentes = = (108) Mlentes = = 81 Pesonas con lentes: Un comeciante va a la Galeía Gamaa con S/ paa compa polos, camisas y pantalones de pecios unitaios iguales a S/. 15; S/. 2 y S/. 60 espectivamente. Si ente pantalones y camisas debe compa más de 10 pendas. Calcule cuántas pendas en total compó; si la cantidad de polos fue la mayo posible; además compó al menos uno de cada uno y empleó todo su dineo. A) 183 B) 172 C) 163 D) 18 E) 195 Atículo: camisas; polos, pantalones Pecios Unitaios 2 ; 15 ; 60 N atículos x ; y ; z Máximo x + z > 10 Luego: 2x + 60z + 15y = (α) Po 5: 2x = 5 2x = 5 x = 5 x min = 5 en(α) z + 15y = z + 5y = 980 z + y = 196 Z min = 6 y max = 172

6 x + y + z = El esiduo de dividi el númeo ente 25 es ab. Calcule el esto de dividi dicho númeo ente a b D) E) Halle el mayo númeo, tal que: 192 al se dividido ente 0, deje como esiduo 2. A) 996 B) 29 C) 989 D) 995 E) 998 Sabemos que: 192 = = ( 25+7) 13 = = 25+(7²) 71 7= 25+( 25 1) 71.7 = 25+( ) 7 = = 25 7 Aplicando el Binomio de Newton: 192 = = = = = = 25+ab ab = =( 8+1) 13 = = 8+1 = Halle el meno valo de N = cdu, sabiendo que es múltiplo de: P = ( c 2) ( d 1) ( u 3) A) 21 B) 316 C) 213 D) 26 E) 1 o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cdu = c 2 d 1 u 3 = c 2 d 1 u 3 ik ( ) cdu = cdu 213 k 213k = ki cdu cdu 3.71.k= cdu( k 1) Dando valoes obtenemos: Deteminando los estos potenciales de 12 especto al módulo 0, hallamos como valo del Gaüssiano cuato, entonces el exponente debeá se múltiplo de cuato, más aquel exponente del gupo peiódico que deja esto potencial = = = = = + 2 además, como debe se el mayo posible < 1000 k + 2 < 1000 k < = 29,5 k máximo = 29 = ( 29) + 2 = 998 RPTA.: E (k 1) k cdu x 71 x 2 = 26 c = 3 71 x = 28 c = x 3 = 216 c = c = 2 cdu = 26 RPTA.: D