MMII_c5_MSV: Método de Separación de Variables para la ecuación de Laplace en un círculo.

Transcripción

1 MMII_5_MSV: Método de Sepaaió de Vaiables paa la euaió de Laplae e u íulo. Guió: U poblema defiido po la euaió de Laplae muy feuete e las apliaioes es que el domiio sea u íulo, el poblema equiee de estiioes implíitas, típio de los poblemas de Stum Liouville sigulaes, e este aso viee dadas poque las estiioes de otoo so peiódias. Veemos el aso de odiioes de otoo Diihlet. Los libos eomedados so los de las lases ateioes, e este aso el Habema es ua buea efeeia. Ejeiio eomedado: Euaió de Laplae e el íulo o odiioes de otoo Newma: u, 5 se,,, Estas otas so solo ua ayuda, que i petede i puede sustitui a la asisteia a lase, dode se desaolla los oeptos, se alaaá las dudas y se subsaaa posibles eatas, y a la osulta de la bibliogafía eomedada.

2 Notas de la lase del Método de Sepaaió de Vaiables paa la euaió de Laplae e u íulo. Sea el poblema de Laplae extedido a u domiio iula: u x, y x y x, y f x, y x, y x y u Paa mayo omodidad a la hoa de tabaja, se esoge uas oodeadas polaes. Gaias a este ambio, se osigue pasa de u poblema e que el domiio es iula a uo e que éste es etagula, povoado la apaiió de odiioes de otoo implíitas popias de poblemas o egulaes: x y os se, [, [, [ Quedado el poblema omo: u u u u,, [ u, f, [ u, aotada e u, u, u, u,

3 Siedo estas tes últimas las odiioes de otoo implíitas. Co esto, ya se puede aplia el método de sepaaió de vaiables: u, R Dode se toma omo falsa t, quedado el poblema e adjuto: R R R si multipliamos po : R R R si multipliamos po R ' ' omo poblema R R R R R R R R El poblema adjuto, juto o las odiioes de otoo peiódias, seá:, [ NOTA: eoda el ejemplo o odiioes peiódias ya visto ateiomete dado po: y y y y N {} y x {os x, se x} y y Dode se obseva que el subespaio de las autofuioes tiee dimesió, e uesto aso el esultado seá simila. Co el fi de evita aaliza el aso, alulamos el ago de valoes de los autovaloes a pati de las osideaioes siguietes: si multipliamos po :, e itegamos: d d Sabiedo que: d d, siedo Se obtiee:

4 : Apliamos las odiioes de otoo: : : Luego es autovalo y su autofuió asoiada es : os se se os Apliamos las odiioes de otoo: se se Dado dos posibilidades: soluió tivial, o iteesa se sex x Luego: N {os, se N } Obteiédose u esultado muy simila al del ejemplo ateiomete itado. Hallados los valoes de, pasamos a esolve los poblemas e R: R R R, [ N {} Que so euaioes tipo Eule e la que se demuesta que las soluioes so: Si : R : R l Impoiedo la odiió de otoo po la que se establee que R está aotada paa, se obtiee que. Agupado las ostates, la soluió de la euaió difeeial puede poese e témios de la seie de Fouie de la foma:

5 u, [ A os B se A [ A os B se Desaollamos fomalmete f e impoemos las odiioes de otoo: u, A [ A os B se f f [ f os f se Dode: f, f f d, f,os f f os d, os,os f, se f f se d, se, se Idetifiado: A f f A B f,. Fialmete, sustituyedo, la soluió de la euaió difeeial seá: u, f d f os d os f se d se Cosideemos el aso, po ejemplo, e que f : A A B d os d... se d... Tomemos ahoa f se : Mediate el uso de tablas se demuesta que esta odiió de otoo se puede poe de la foma: 5

6 u, se [se se Si hae uso de la defiiió de A, B, A, a la vista del úmeo fiito de témios que foma la odiió de otoo, se obtiee: A N {} B,,,, Luego la soluió seá: u, se se 6