DISTRIBUCIONES MUESTRALES

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2 UNIDAD II DISTRIBUCIONES MUESTRALES Compeecia: -El esudiae debe sabe uiliza las difeees disibucioes muesales,es deci las difeees disibucioes de cualquie esadísico esimado a pai de muesas aleaoias paa ealiza eficieemee la Ifeecia Esadísica Objeivos. -Uiliza coecamee el cocepo de muesa aleaoia e las difeees disibucioes muesales,paa ealiza geealizacioes especo de ua població e base a esadísicos Descipció geeal de la uidad: -Esa uidad compede el desaollo de los siguiees cocepos:població-paámeo Muesa aleaoia-esadísico; Disibució muesal:de la Media,Difeecia de Medias,de la Popoció y la difeecia de Popocioes,de la Vaiaza y azó de Vaiazas,co sus especivas disibucioes especiales como: la sude,la Nomal,La Chi Cuadado y La de ishe. Lecua:Milla/eud/Joso Pobabilidad y Esadísica paa Igeieos Edo.de Méico 99 Pgs. 87 al 05 Bibliogafía Básica: Moya y Saavia (988) Pobabilidad e Ifeecia Esadísica((ª ed) Peú.Pags.559 al 63 Refeecia elecóica: hp:// 4.hml 34

3 INTRODUCCIÓN Se llama disibució muesal, cuado la vaiable esula se u esadísico o esadígafo, calculado e base a los daos de ua m.a. Esos esadísicos se uiliza paa ealiza ifeecia esadísica paa la oma de decisioes, especo algua caaceísica de la població ó especo a la disibució de la misma. Paa desaolla las disibucioes muésales es ecesaio ecoda alguos cocepos básicos: POBLACION f();p();,y Esadísicamee població es el cojuo de odas las obsevacioes posibles que puede omas ua v.a.. Po lo ao la disibució de la població es la disibució de la v.a.. Las poblacioes de acuedo a su magiud puede se: POBLACIONES INITAS (N) So aquellas que esá limiadas o acoadas POBLACIONES ININITAS So aquellas que o esá imiadas, esadísicamee las poblacioes muy gades se las cosidea ifiias. - El poceso paa obee la ifomació de oda la població es el CENSO PARÁMETROS So odas las medidas descipivas que caaceiza a la població como po ejemplo la media =, la vaiaza ec. Los paámeos se deoa co las leas giegas MUESTRA ALEATORIA (m.a ) ua m.a. de amaño es u subcojuo epeseaivo de la població, el poceso paa obee la ifomació se llama mueseo ESTADISTICO, So odas las medidas descipivas que se obiee a pai de la ifomació de al m.a. como po ejemplo: la media =, la vaiaza= S ec. Geealmee se las deoa co las leas casellaas. DEINICIÓN DE m.a. Dada ua població f();p() ó co media y vaiaza Se llama m.a. De amaño al cojuo de.v.a,,... al que saisface equisios:. i so idepediees dode la disibució cojua es a) Si es discea P(,,... ) P( ) P( )... p( ) P( ) b) Sí e coiua f (,,... ) f ( ) f ( )... f ( ) f ( ). i iee la misma disibució a) f( i ) = f()ó P ( i )= P(); i=, b) E ) ; V ( ) ( i i 35

4 Noa. Esa defiició es valida cuado:. La població es ifiia co ó si eposició. La població es fiia, co eposició Ejemplo Sea ua població N (, ), se oma u m.a. amaño,,... a) Escibi la fució de pobabilidad cojua de la m.a. b) Sí = 6 ; =0; =5 Calcula la pobabilidad de que b) sea mayo que 5 DEINICIÓN como N (, ) sabemos que f()= a) la fució de pobabilidad cojua de la m.a. de amaño es f(,,... )= f ( i ) f ( )... f ( ) f ( ) i i e f ( ) b) Sí =Y po la popiedad epoduciva Y N( y y ), dode: y=e(y)=e( )= E( )+E( 3 )+E( 4 )-E( 6 )= =40 y =V(Y)= V( )= V( )+V( 3 )+V( 4 )-V( 6 )= =00 y=0 e Mediae el eoema ceal del limie P Y Y Y ; (0.) P. P.. 0 Y 0.5 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA Sea ua població co media y vaiaza del cual se oma ua m.a. de amaño :,,... del cual se obiee su media muesal Se cumple: a) E () ; b) V ( ) 36

5 c) Noa ; N (0.) ) Cuado disceo o coiuo N ) Cuado si N(, j ) N cuado 30, o impoa si la població es 3) Si el mueseo es si eemplazo de ua població fiia de amaño N V N N faco de coecció Ejemplo Supoiedo que ua població cosa de los siguiees valoes obsevados:3,4,7,9,. Calcula a) La media y Vaiaza poblacioales b) Deemia la disibució muesal de la media de la m.a. de amaño escogidos co eposició c) Se eae ua m.a de amaño 36 co eposició cual la P 5 8 SOLUCIÓN i Como N 5 7 N P( ) ; b) La disibució muesal de la media se obiee mediae: P( ) P( ) P( ) TOTAL

6 E V ( ) P P c) Se eae ua m.a. amaño 36 co eposició = 36 sabemos que, y P P 3.65 (.83) P P DISTRIBUCIONES ESPECIALES UTILIADAS EN PRUEBAS Cuado las m.a, so pequeñas <30 o se puede supoe que la disibució muesal es NORMAL, TAMPOCO SE PUEDE APLICAR EL eoema ceal del limie, po lo que se debe ecui oas disibucioes muésales las especiales que esé elacioadas co la NORMAL;ee esas disibucioes eemos: la CHI-cuadado, la -Sude y la de ishe DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO R Ó Es u caso paicula de la disibució gamma, iee muchas aplicacioes ee ellas paa la cosucció de IC y las puebas de Hipóesis de la Vaiaza DEINICION Sea v.a. idepediees:,, al que i N (0.) Sumado los cuadados UNCIÓN DE DENSIDAD i i gados de libeas, Sii R= R=3 R=7 R=0 V f e ; 0 ;esc Dode = fució gamma = gados de libead o Nº de vaiables 38

7 CARACTERÍSTICAS ) A medida que aumee los gados de libead iede a omalizase ) LA MEDIA E ( ) 3) LA VARIANA E( ) PROPIEDAD REPRODUCTIVA Sea K v.a. idepediee:,,... k al que i ~ (i) Si sumamos ~ i k i i UNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN () ( ) P 0 f ( ) d Cuado P P USO DE TABLAS Dada la impoacia y la complejidad de su calculo, se iee cofeccioado ablas, e base a la fució de disibució co eadas, dode: La a columa epesea los gados de libead La a fila epesea el ivel de sigificacia ó pobabilidad 0 La iesecció de fila columa de le valo ciico Ejemplo ~ 6Deemia las siguiees pobabilidades a) P 7. 9 b) P c) P d) P 40 SOLUCIÓN Como v=6 39

8 a) P 7.9 P b) P P P c) P P P 3.84 P P d) P 40 P mediae iepolació Ejemplo Si halla los valoes cíicos: a) a al que P a si 30 b) a y b al que P a b 0.95 si 3; además P b c) a al que P a 0.05 si 8 a) P a si 30 P a b) P a b 0.95 P( b) P a como P ( b) 0.05 P( b) b 4. 7 c) P a 0.05 si 8 iepolado a a a a DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA VARIANA DEINICIÓN Sea ua v.a. ó ua població N(, ) dode,y so descoocidos, po lo ao se oma ua m.a. de amaño paa esima la media y la vaiaza S al que 40

9 a) y S.so dos esadísicos idepediees dode vaiaza muesal isesgada es S b) El esadísico ˆ Sˆ i (-) g.d.l. cuado i S además la c) E S S d) (-) g.d.l. Ejemplo Se iee ua població N(, Calcula: S a) P ; 0 )del cual se oma ua m.a. amaño 5 y se iee S. ˆ S b) P SOLUCION a) S P P (5) b) P P P Sˆ P P P 0.339(4) P (4) ; P P P DISTRIBUCIÓN STUDENT (T) - Es oa disibució elacioada co la NORMAL y la gamma que se usa picipalmee e las esimacioes y e las puebas de hipóesis de la media cuado las m.a. so pequeñas:<30 DEINICIÓN Sea vaiables aleaoias idepediees: - N(0.); Y R dividiedo ambas vaiables T Se dice que iee ua disibució -sude co v gados de libead Sii Y 4

10 UNCION DE PROBABILIDAD f : Esa disibució esá compleamee deemiado solo po el paámeo Gáficamee iee las siguiees caaceísicas N(0.) ) Es siméica co especo =0= ) Cuado o v se hace gade iede a omalizase 3) Tiee mayo dispesió que la omal =5 =3 ESPERANA MATEMÁTICA =0= E ( ) E T f ( ) d 0; VARIANA V ( T ) E( ) f ( ) d 0 ; v USO DE TABLAS Dada la impoacia e la Esadísica Ifeecial y la complejidad de su calculo, se iee cofeccioado ablas co eadas. Esa abla esa cofeccioada e fució de la acumulada P T Dode e la pimea fila se iee los peceiles o pobabilidades e la pimea columa se iee los gados de libead ó, la iesecció de fila columa coespode a los valoes cíicos Poque P T f ( ) d f() Como la disibució es siméica i 4

11 Ejemplo Deemia el valo ciico de P T co v=5 g.d.l. SOLUCIÓN P T EJEMPLO Deemia el valo cíico de P T 0. 0 co v=5 g.d.l. SOLUCIÓN P T 0.0 P T 0.90 P T DISTRIBUCIÓN DE S (-) g.d.l. LA V. A. O ESTADÍSTICO Ejemplo Si es la media y S es la vaiaza de ua m.a. de amaño 9 seleccioado de ua població NORMAL co media 90 Calcula P P P T s T P T P T DISTRIBUCIÓN O DE ISHER, ó f ;, Esa disibució especial geealmee se uiliza paa compaa las vaiazas de v.a idepedieemee o de poblacioes omales, mediae los IC y las puebas de hipóesis sobe sus vaiazas mediae la azó de las mismas DEINICIÓN Sea v.a. idepediees V Si se dode U ( ) g. d.. V l y Sii 43

12 UNCIÓN DE DENSIDAD f v v v 0 v v v v v ;0 Cuya gáfica os pemie deemia sus caaceísicas ) A medida que aumea los gados de libead iee a omalizase de maea posiiva ff() (0.) (0.) MEDIA v ( ) E( ) ; v v ) VARIANA v v v ( ) V ( ) ; v v ( v ) v 4 4 UNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN O ACUMULADA () P f Cuado P P f - f v. ciico USO DE TABLAS Se iee 3 eadas: La a columa epesea los g.d.l. del deomiado La da columa epesea la pobabilidad (p= ) La a fila epesea los gados de libead (g.d.l.) del umeado La iesecció de filas columas os da el valo ciico f 44

13 Ejemplo Si (4.5) halla pobabilidades a) P b) P. 4 c) P 8 d) P Solució Como v = 4: v =5 a) P 7.39 P f b) P.4 P.4 P f c) P 8 P f iepolado Ejemplo Si (6,0) Halla el valo c (valo cíico) al que a) P c b) P c SOLUCIÓN a) P c 0.99 P c b) P P c P c c P c 0.95 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCION Sea ua població b(.p) Dode se descooce p, se oma ua m.a. amaño :,...,... se esima la popoció p Dode ) E( p) p E E de la disibució biomial E()=p eemplazado E( p) p p V p V V ( ) ) de la biomial V()= pq pq pq V p pq 3) Cuado p pq P( p) Ó p p p la v. a. c. : N(0.) pq 45

14 Noa Si la m.a. de amaño se obiee de ua població fiia de amaño N Si eemplazo pq N p N p pq p N N : N(0.) El faco de coecció po coiuad e la disibució muesal de poyecció es Ejemplo Supoiedo que u loe de 50 odeadoes hay 0 defecuosos Cual la pobabilidad de que e ua m.a. de amaño, odeadoes elegidos al aza ) Co eposició a)=5 b)=60 :i)0%; ii) más de 0% odeadoes sea defecuosos ) SIN REPOSICION SOLUCION. co eposició :=5; p : q a) i) b(5;0.0) dode : Nº de PC odeadoes ee 5 co eposició P ( ) (0.80) 5 : R 0,,...5 = el 0% de 5= P p 0.0 P( ) ii ) P p 0.0 p P B(;5;0.0) b) i) co =60 como >30 podemos apoima mediae la omal P p 0.0 P coigiedo P (0.0) Esadaizado mediae 60(0.)(0.80) p P 0.6 (0.6) P P z P

15 48 Mediae la biomial P ( ) Aplicado la vedadea disibució de la popoció, mediae p p dode el faco de coecció es pq 60 P ( p 00) P 0.0 p (60) P 0.97 p ; esadaizado (60) P (0.0)(0.80) (0.0)(0.80) 60 P P z P z 0.6 (0.5636) ii) P p 0. 0 P P Biomialmee 0 P( ) la apoimació a la omal, mediae 0.5 pq p p 0.5 como es demasiado lago ecuimos mediae P.5 dode p=(60)(0.)=.5 esadaizado P z P z 0.6 (0.6) mediae la disibució de la popoció p p cuyo faco de coecció es P p pq 0.0 P p 0.0 P p 0.0 (60) P p es a daizado P (0.0)(0.80) 60 P z P