MOVIMIENTO ONDULATORIO

Transcripción

1 MOVIMIENTO ONDULTORIO. Movimieo odulaoio. Todo movimieo odulaoio cosise e la popagació po el espacio de eegía y caidad de movimieo de las peubacioes poducidas e u puo si que haya aspoe eo de maeia. E odos los casos la peubació se poduce e u puo llamado foco y esa peubació se popaga po el espacio. El oige de la peubació es vaiado: defomació elásica del medio (compesió y epasió de u muelle o de la iea paa poduci odas sísmicas vaiacioes de la pesió (paa poduci soidos vaiacioes de campos elécicos y magéicos (la luz. E odos los casos hay popagació de eegía y caidad de movimieo si aspoe de maeia. Clasificació de las odas Las odas se puede clasifica aediedo a divesos cieios: Segú el ipo de eegía que se popaga se clasifica e: - Odas mecáicas: sólo se asmie po medios maeiales; como po ejemplo el soido. - Odas elecomagéicas: se asmie e cieos maeiales y e el vacío; como po ejemplo la luz. Segú la foma e que se asmie la peubació se clasifica e: - Odas logiudiales: so aquellas e las que la diecció de popagació coicide co la diecció de vibació; como po ejemplo e u muelle que se compime logiudialmee. - Odas asvesales: so aquellas e las que la diecció de popagació es pepedicula a la diecció de la peubació; po ejemplo la popagació hoizoal de ua oda de ua cueda que se agia veicalmee. Las odas elecomagéicas so asvesales. Segú las dimesioes de popagació se clasifica e: - Odas uidimesioales: como las que se popaga po ua cueda esa. - Odas bidimesioales: como las que se popaga po la supeficie del agua. - Odas idimesioales: como las odas acúsicas.

2 Se deomia fee de oda al luga geoméico de aquellos puos que posee el mismo esado de vibació es deci aquellos puos que so alcazados po la vibació e el mismo isae. El fee de odas de ua oda bidimesioal es cicula mieas que el de ua oda idimesioal es esféico. medida que se poduce u alejamieo del foco que poduce la peubació el fee de odas va siedo cada vez meos cuvo. Si la peubació es isaáea se geea ua úica oda deomiada pulso. Si la peubació es coiua se geea u e de odas que suele deomiase odas viajeas. Magiudes caaceísicas de las odas. Las odas se caaceiza po ua seie de magiudes: Logiud de oda (. Es la disacia ee dos puos cosecuivos que se ecuea e idéico esado de peubació. Po lo ao es la disacia que se ha popagado la oda e u peíodo. Puede evideciase al epesea la peubació e fució de la diecció de la popagació. Su uidad e el S.I. es el meo. Cesa mpliud Valle Peíodo (T. Es el iempo que ada u puo e epei u esado de vibació; es deci e ealiza ua oscilació complea. Se puede visualiza e u epeseació de la oda e fució del iempo. Su uidad e el S.I. es el segudo. T

3 Fecuecia (f o ν. Es el úmeo de oscilacioes que se poduce po uidad de iempo. Su uidad e el S.I. es el s - o Hz. Númeo de oda ( E el movimieo odulaoio se defie como el úmeo de logiudes de oda que coiee ua logiud. Su uidad es m -. Velocidad de popagació. Es la velocidad co que se popaga la oda. La velocidad de popagació depede de las popiedades del medio maeiédose cosae mieas o cambie sus popiedades. Su uidad e el S.I. es el m/s. No debe cofudise co la velocidad co la que se mueve cada paícula maeial del medio po el que se popaga la oda. La velocidad de vibació de esas paículas vedá dada po la epesió coespodiee al M..S. mpliud. Es la sepaació máima de u puo co especo a la posició de equilibio. Se mide e meos. Ee las magiudes aeioes eise alguas elacioes: T f v T ω v v f Ecuació del movimieo odulaoio. Cuado se comuica u movimieo oscilaoio a ua paícula de u medio elásico la peubació se popaga a los demás puos del medio co ua velocidad v. U ejemplo de eso es la popagació de ua peubació a lo lago de ua cueda. Si se le aplica u movimieo de vaivé al eemo de la cueda se poduciá la popagació a lo lago de la diecció pepedicula a dicho movimieo de vaivé. Co el objeo de usa la misma oació se cosideaá que la popagació se ealiza a lo lago del eje y la vibació de las paículas del medio e el eje y. La ecuació de ua oda seá ua epesió maemáica que pemia cooce el esado de vibació de cualquie paícula del medio a ua disacia y e el iempo ; po lo ao seá ua fució de ambas magiudes: y f( 3

4 Paa simplifica el poblema de la obeció de la ecuació del movimieo se cosidea las siguiees codicioes: - Se supoe u foco puual. - La vibació del foco se cosidea que sigue u M..S. - E el isae iicial el foco se ecuea e la posició de equilibio. - Se supoe que la oda es lieal y que el medio o absobe eegía de la oda; es deci la ampliud de la oda pemaece cosae. Si se iee e cuea las cosideacioes aeioes el movimieo vibaoio del foco ( vedá dado po: y ( se( ω medida que la peubació avaza los puos del medio va adquiiedo el mismo movimieo amóico del foco. Po lo ao el esado de vibació de cualquie puo del medio se puede epesea co la misma ecuació que la del foco peo eiedo e cuea que lleva meos iempo vibado. La vibació llega co u cieo easo co especo al foco. Si se cosidea que la peubació ada u iempo e ecoe la disacia desde el foco hasa el puo la ecuació de la elogació seá la misma que paa el foco peo paa u iempo ( : y( se ω [ ( ' ] como la velocidad de popagació de la oda (v es cosae el valo de se puede calcula como: v ' y( se ω ' v v Esa es la epesió de la ecuació o fució de oda que ambié puede epesase de las siguiees fomas: y( se se se T v T v T T o bie: y( se se se( ω T v T T Resumiedo: y( se y( se( ω T 4

5 5 NOT: Hay que ee e cuea hacia dode se desplaza la oda. Si su seido es hacia la deecha (seido posiivo del eje la ecuació de oda llevaá sigo egaivo: ( se ( y ω. Si su seido es hacia la izquieda (seido egaivo del eje la ecuació llevaá sigo posiivo: ( se ( y ω. Esas ecuacioes epesea odas amóicas pues es ua fució siusoidal. Tambié puede apaece e fució del coseo y co los émios del paéesis co el ode cambiado. Fase y oposició de fase. Dos puos del medio se ecuea e cocodacia de fase cuado pesea el mismo esado de vibació co la misma elogació y la misma velocidad. E ese caso la difeecia de fase ee ellos es o u múliplo de esa caidad po lo ao:... paa ( ( 3 ω ω opeado co esa epesió se obiee la disacia ee ambos puos: ( ( po ao: ; es deci paa que dos puos esé e cocodacia de fase la difeecia ee sus disacias al foco debe se u úmeo eeo de logiudes de oda. Dos puos esá e oposició de fase cuado la difeecia de fase ee ellos es ( adiaes:... paa ( ( ( 3 ω ω ( ( ( po ao: ( ; es deci paa que dos puos esé e oposició de fase la difeecia ee sus disacias al foco debe se u úmeo impa de semilogiud de oda.

6 Eegía asmiida po odas amóicas. Como ya se ha comeado las odas popaga eegía. Vamos a cosidea que las odas so mecáicas y amóicas. Paa aaliza el aspoe de eegía se va a ee e cuea el úmeo de dimesioes de popagació: Eegía e ua oda amóica uidimesioal. U oscilado amóico uido a u eemo de ua cueda puede poduci ua oda amóica que se desplace po dicha cueda. Duae la popagació de la oda cada puo de la cueda efecúa movimieos amóicos simples que oscila veicalmee. La eegía que hace que cada puo de la cueda oscile co ciea ampliud poviee del oscilado que peuba el esado de la cueda y se asmie po oda ella pues odos los puos acaba oscilado. La eegía oal del oscilado amóico es: E K m ω m f es deci la eegía asmiida es popocioal al cuadado de la fecuecia y la ampliud. Si o se disipa la eegía e el medio de asmisió de la oda su ampliud pemaece cosae. E caso coaio la ampliud de la oda esulaía amoiguada. Si se aplica la epesió aeio a u elemeo de cueda de logiud d y masa dm esula: de f dm pai de la defiició de desidad lieal (µ se puede escibi: dm µ dm µ d d demás cosideado que la peubació se popaga co ua velocidad v: d v d Susiuyedo ambas epesioes e la ecuació difeecial de la eegía de u elemeo de cueda se obiee: de µ f v d Como se poduce ua popagació de eegía duae u cieo iempo es coiee cosidea la eegía asmiida po uidad de iempo o poecia. P de d µ f po ao la poecia de ua oda amóica es diecamee popocioal a su velocidad de popagació y al cuadado de la ampliud y fecuecia. v 6

7 Eegía asmiida e las odas ciculaes. Se va a ealiza el mismo esudio paa odas bidimesioales cosideado el caso clásico de ua oda cicula que se popaga e u medio isóopo como es el caso de odas poducidas al laza ua pieda a u esaque de agua e la que se obseva que a medida que se poduce u alejamieo del foco emiso la ampliud dismiuye. Cosidéese que las odas so geeadas po u oscilado amóico e el puo O. Co especo a ese puo se edá de foma cocéica los difeees fees de oda. E las odas ciculaes los fees de oda so cicufeecias que ue las cesas o los valles. La eegía asmiida po las odas seá: E ω K m m f si se cosidea la desidad lieal µ la masa coespodiee a u fee de oda de adio seá: fee m µ ( sí si se aplica el picipio de cosevació de la eegía ee los fees de oda y B eiedo e cuea que la fecuecia es cosae ya que se cosidea ua oda amóica: E E B 3 4 µ f E EB B B L 3 4 µ B f B fee B O B ce Po ao a medida que ua oda cicula se popaga y se aleja del foco emiso su ampliud decece segú el iveso de la aíz cuadada del adio: Eegía asmiida e las odas amóicas esféicas. Cosidéese ahoa u foco emiso que cea ua peubació que se popaga e las es dimesioes del espacio. E ese caso los fees de oda seá supeficies esféicas cocéicas. m hoa se hablaá de desidad supeficial: ρ ; 4 susiuyedo la masa y aplicado el picipio de cosevació de la eegía: fee fee B 7

8 8 ce E E f E f E B B B B B B L ρ ρ Po ao a medida que ua oda esféica se popaga y se aleja del foco emiso su ampliud decece segú el iveso del adio: E esume ao e la popagació de odas ciculaes como e el caso de odas esféicas al aumea es deci a medida que la oda se aleja del foco emiso la ampliud decece y la oda se amoigua. Eso se debe a que la misma eegía se epae e cada fee de oda ee mayo úmeo de paículas. ese feómeo se le llama aeuació y suge de la eigecia de la cosevació de la eegía. Ese feómeo es difeee de la absoció de ua oda que cosise e que pae de la eegía de la oda es absobida po las paículas del medio maeial a causa del ozamieo. Iesidad de oda Paa deemia la eegía que aspoa ua oda mecáica se defie ua ueva magiud deomiada iesidad de oda. Se defie iesidad de oda como la eegía que llega po uidad de iempo a ua uidad de supeficie pepedicula a la diecció de popagació. Tambié se puede epesa como la poecia que aaviesa ua uidad de supeficie pepedicula a la diecció de popagació de la oda. S P d S de Ι Su uidad e el S.I. es J s - m - ó W m -. Susiuyedo e la epesió aeio: m S E ω ρ ω ρ ω Ι po lo ao la iesidad es popocioal al cuadado de la ampliud y como la ampliud es popocioal a eoces: Ι Si se cosidea el caso de la popagació de ua oda idimesioal: Eegía (de la oda e el fee Eegía (de la oda e el fee 4 4 S S Ι Ι Ι Ι Ι Ι

9 bsoció de ua oda. uque se ha esudiado que la ampliud decece cuado la oda se aleja del foco emiso mediae u poceso coocido como aeuació e la ealidad se obseva que la dismiució es mayo que la poducida sólo po dicho feómeo. Lo que ocue es que las paículas del medio debido al ozamieo ee ellas absobe pae de la eegía de la oda dismiuyedo la iesidad de la oda. bsoció es el feómeo que se poduce cuado pae de la eegía que aspoa la oda es absobida po el medio maeial que aaviesa Epeimealmee se sabe que la dismiució de iesidad es diecamee popocioal a la iesidad que iee la oda y al espeso del medio que aaviesa: Ι dι dι β Ι d β Ι o Ι d Ι Ι e E dicha epesió Ι ο epesea la iesidad co la que llega la oda el espeso del medio maeial que aaviesa y β es el coeficiee de absoció del medio cuya valo depede ao de las caaceísicas de la oda como de las del medio. o β Supeposició de odas. Iefeecias. El picipio de supeposició puede euciase de la siguiee foma: La peubació poducida e u puo po dos o más odas es igual a la suma algebaica de las peubacioes poducidas e dicho puo po cada ua de las odas cosideadas de modo aislado Se veá a coiuació que dos odas puede llega a combia sus efecos e u puo de dos modos: efozádose o auládose. E ambos casos se diá que las odas iefiee; e el pimeo de maea cosuciva y e el segudo desuciva. Iefeecia de odas amóicas. Como se ha idicado se habla de iefeecia cuado a u puo llega simuláeamee dos o más odas. E ese caso se suma el efeco de odas las odas que cocue e cada puo del espacio dode se poduzca la iefeecia. Después de iefei las odas o sufe modificacioes y sigue popagádose co la misma diecció y seidos que eía aes de ecoase. 9

10 El caso más secillo seá la iefeecia de odas amóicas de la misma ampliud fecuecia y logiud de oda peo que puede difei e la fase y que se ecuea viajado e u medio y e la misma diecció. y y se( ω se( ω δ aplicado: y y y [ se( ω se( ω δ ] a b a b a ω se a se b cos se dode : b ω δ δ δ esula: y cos se ω De esa epesió se deduce las siguiees coclusioes: - la oda esulae es ambié amóica y iee la misma logiud de oda y fecuecia. δ - La ampliud de la oda esulae es ' cos ; po ao depede de la difeecia de fase de las odas que iefiee. Se puede aaliza lo que ocue e fució de la difeecia de fase ee las odas que se supepoe: Iefeecia cosuciva. Cuado dos odas e cosoacia de fase (desfase ulo iefiee ee sí lo hace de maea cosuciva sumádose las ampliudes. Si δ eoces ' cos y la ecuació de la oda vedá dada po: y se( ω. El valo de la ampliud de la oda esulae es el máimo posible ya que la ampliud depede del valo del coseo y cuado esá e fase el coseo oma el valo máimo cos. Lo mismo ocue cuado el desfase es δ 4... La codició paa que dos odas coheees emiidas po focos e fase poduzca ua iefeecia cosuciva máima cosideado que sus ampliudes so iguales es: y y. Y como se vio aeiomee e ese ema paa que dos puos esé e cocodacia de fase la difeecia ee sus disacias al foco debe se u úmeo eeo de logiudes de oda. es deci: ; siedo 3...

11 E el caso geeal e el que las ampliudes de las odas que iefiee o sea iguales la ampliud de la oda esulae seá la suma de ambas:. 5y oda esulae de la iefeecia Iefeecia desuciva. Cuado dos odas e oposició de fase iefiee ee sí lo hace de maea desuciva esádose las ampliudes. Las odas esá e oposició de fase si δ eoces ' cos y la ecuació de la oda vedá dada po: y se( ω. (se ecueda que esa epesió es válida paa el caso de que ambas odas ega ampliudes iguales. El valo de la ampliud de la oda esulae es el míimo posible ya que la ampliud depede del valo del coseo y cuado esá e oposició de fase el coseo oma el valo ceo cos /. La codició paa que dos odas coheees poduzca ua iefeecia desuciva máima cosideado que sus ampliudes so iguales es: y y. ; y eso se cosigue cuado las odas se ecuea e oposició de fase. Y al como se vio aeiomee paa que dos puos esé e oposició de fase la difeecia ee sus disacias ecoidas debe se u úmeo impa de media logiud de oda. es deci: ( ; 3... E el caso geeal e el que las ampliudes de las odas que iefiee o sea iguales la ampliud de la oda esulae seá la esa de ambas:. oda esulae de la iefeecia 5y

12 Cuado las odas que iefiee esá e ua siuació disia de las aeioes; es deci o esá i e cocodacia i e oposició de fase la ampliud de la oda esulae edá u valo iemedio ee y. 5y oda esulae de la iefeecia Pulsacioes. Cuado las odas amóicas que se supepoe o iee la misma fecuecia auque ega la misma velocidad de popagació la oda esulae ya o seá siusoidal sio que se oigia ua oda compleja. Ese hecho da luga a u feómeo coocido como pulsacioes o baidos e el que la oda esulae o iee ua ampliud cosae sio que su ampliud aumea y dismiuye co el iempo. y y y se( ω se( ω Odas esacioaias. Cuado e u medio iefiee dos odas amóicas de la misma fecuecia ampliud velocidad y aualeza que se popaga e la misma diecció y seidos opuesos se foma ua oda esacioaia. Hay que aclaa que si las odas iee la misma aualeza y la fecuecia de ambas es la misma las logiudes de oda seá iguales siempe que el medio sea homogéeo. Cosidéese el caso paicula de las odas esacioaias que se poduce e ua cueda: Si se agia el eemo de ua cueda (seviía ambié cualquie muelle mieas se maiee fijo el oo se popagaá ua oda desde el eemo agiado al fijo e dode se eflejaá y egesaá al puo de paida. Si se hace que la cueda siga vibado seá ecoida po odas e ambos seidos y la oda poducida que se mueve e u seido iefeiá co la eflejada que lo hace e seido coaio. Cuado la cueda viba co la o las fecuecias adecuadas se poduce el feómeo de poducció de odas 5y Oda icidee Oda eflejada

13 esacioaias. Ese feómeo se caaceiza poque hay puos que viba co ua ga ampliud deomiados viees y oos dode la ampliud es ula deomiados odos. Cada uo de esos puos de la cueda ecepo los odos se mueve segú u M..S. co ampliud difeee e fució de su posició eso es ua difeecia fudameal de ua oda omal. Ua caaceísica de las odas esacioaias es el valo de la ampliud. Ésa depede eclusivamee de la localizació de las paículas del medio. E las odas esacioaias o se poduce aspoe de eegía de u puo a oo del medio a difeecia de las odas viajeas. E ua siuació eal e el medio esacioaio se pedeá eegía po ozamieo po lo que el foco que poduce la peubació debe segui popocioado eegía cumpliédose que la eegía que ecibe el medio que viba co ua oda esacioaia sea igual a la que piede po ozamieo. uque e el ejemplo de la cueda se ha cosideado que las odas esacioaias se foma al iefei ua oda co su eflejada eso o es esicamee ecesaio; basa co que la iefeecia se poduzca ee dos odas de las mismas caaceísicas: ampliud fecuecia y velocidad que llegue a u puo popagádose e seidos coaios y co u desfase de adiaes. y se( ω y se( ω y y y [ se( ω se( ω ] cosideado que se( α seα la epesió aeio esula: y aplicado la elació igooméica: esula: y [ se( ω se( ω ] a b a b a ω se a se b cos se dode : b ω y se( cos( ω que es la ecuació de la oda esacioaia que iee la misma fecuecia y logiud de oda que las odas oigiales y cuya ampliud que depede de la posició de la paícula y o del iempo es: se(. 3

14 4 Localizació de los odos. Esos puos so los de ampliud míima co u valo ceo: se ( se Localizació de los viees. E esos puos la ampliud es máima:... (... se ( se 4 3 ±