Tema 4. Respuesta frente a cargas de impacto, rampas, pulsos y arbitrarias

Transcripción

1 Tema 4. Respuesa fee a cagas de impaco, ampas, pulsos y abiaias T.4. Respuesa de sisemas de 1 gado de libead fee a cagas de impaco, e ampa, pulsos y cagas abiaias 4.1 Caga de impaco o e escaló. 4.2 Caga e ampa o co vaiació lieal. 4.3 Caga bilieal. 4.4 Respuesa fee a pulsos Pulso ecagula Pulso seoidal Pulso iagula Efeco de la foma del pulso y aálisis apoximado paa pulsos beves. 4.5 Respuesa fee a cagas abiaias. 4.6 Méodos de cálculo de solucioes de ecuacioes difeeciales.

2 4.1. Cagas de impaco o e escaló Se plaea e ese ema el esudio aalíico de la espuesa de ua esucua co 1 GDL diámico, bajo la acció de disios ipos de accioes diámicas, y la obeció de expesioes aalíicas válidas paa la obeció de la espuesa lieal fee a cagas geéicas Cagas de impaco o e escaló La caga se aplica de foma súbia y se maiee cosae ua vez aplicada. p ( ) p Respuesa del sisema o amoiguado: p mu ku p u( ) uh ( ) up( ) Acos Bse k u() p u() k Supoiedo codicioes iiciales ulas: u( ) 1 cos La espuesa diámica máxima es dos veces la espuesa esáica: u 2 p 2 u k eo

3 4.1. Cagas de impaco o e escaló Respuesa del sisema amoiguado: mu cu ku p u u u e A Bse ( ) ( ) ( ) cos H p A A p k Supoiedo codicioes iiciales ulas: u() p u( ) 1 e cosa sea u() k 2 1 El faco de amplificació Rd se educe especo al caso o amoiguado, auque paa valoes de amoiguamieo alededo del 5% sigue esado muy póximo a dos. La espuesa esacioaia es la esáica. E la figua apaece la espuesa diámica omalizada (u()/u e - /T ) paa disios valoes del faco de amoiguamieo. Respuesa diámica fee a cagas de impaco

4 4.2. Caga e ampa o co vaiació lieal 4.2. Caga e ampa La caga se icemea liealmee co el iempo: p( ) p Respuesa diámica del sisema o amoiguado ee = y : p mu k u p u( ) uh ( ) u p( ) Acos B se k u() p se Supoiedo codicioes iiciales ulas: u () u() k p El sisema oscila co T e oo a la solució esáica ue() k La espuesa depede de y de : si el iempo de aplicació de la caga o la del sisema so alos, la espuesa diámica decece. Respuesa o amoiguada paa /T = 2.5.

5 4.3. Caga bilieal Caga escaló co aplicació e ampa: p p () p 4.3. Caga bilieal Se esudia la espuesa diámica de u sisema o amoiguado y que pae del eposo. Fase 1: Fase 2: p se u () k u A B se Co codicioes iiciales: p 1 k p ( ) cos k p se p se u( ) 1 A k k p cos cos 1 1 p u( ) B k k Luego: u( ) 1 1 cos se ( ) se( ) cos ( ) Maipulado la expesió aeio se obiee: p 1 u( ) 1 se se ( ) k

6 4.3. Caga bilieal 4.3. Caga bilieal Compaado las solucioes esáicas y diámicas e el iempo de los dos amos, paa disios valoes del aio /T, se obseva que la espuesa diámica es fució de /T pueso que = 2 / T. De las gáficas se deduce: El sisema oscila co T. Si (esucuas muy flexibles) el sisema se compoa T Si como si sufiea ua caga de impaco. T (esucuas muy ígidas) el compoamieo es cuasiesáico. Si la velocidad es ula al acaba la ampa u ( ), el sisema o oscila poseiomee. Respuesa o amoiguada esáica y diámica fee a cagas bilieales.

7 4.3. Caga bilieal 4.3. Caga bilieal El valo máximo de las defomacioes se poduce duae la pae de caga cosae, y vale: El faco de amplificació diámica es: p 1 2 u( ) max u 1 se 1 cos k u Rd 1 ue se T T 2 E el especo se obseva que: T Si Rd 2 (esucuas flexibles o cagas ápidas). 4 Si 3T R 1 (esucuas muy ígidas o cagas leas). d Si 1,2,3... Rd 1 (la esucua o oscila). T Especo de espuesa paa cagas bilieales.

8 4.4. Respuesa fee a pulsos 4.4. Repuesa fee a pulsos Se aa de cagas co ua duació beve, poducidas geealmee po odas de pesió de aie debidas a explosioes. La espuesa esucual e ese caso o alcaza el esacioaio, y iee dos fases: ua iicial de vibació fozada y oa poseio de vibació libe. El amoiguamieo es despeciable po la apidez de la caga, peo so muy impoaes las codicioes iiciales. La espuesa se puede obee mediae los méodos clásicos de esolució de EDO, mediae la iegal de covolució, o descompoiedo el pulso e suma de fucioes simples de las que se cooce su solució. Descomposició de pulsos e fucioes básicas.

9 4.4.1 Pulso ecagula 4.4. Repuesa fee a pulsos p d m u k u p() co u( ) u( ) d Fase 1: d Fase 2: d Vibació fozada u( ) 1 cos Vibació libe u A Bse p k ( ) cos Co codicioes iiciales: p u( ) 1 cos k p u( ) se k d d d d u ( ) d Luego: u( ) u( ) cos ( ) se ( ) d d d Susiuyedo y opeado: u() d d 2 se se 2 ue T T 2T d La espuesa diámica es fució de d /T y vaía fueemee e fució de la duació del pulso. E igú caso la espuesa diámica es simila a la esáica. El sisema oscila co T, y si d /T = 1, 2, 3 la velocidad y el desplazamieo so ulos al acaba la caga y el sisema o oscila poseiomee.

10 4.4. Repuesa fee a pulsos Pulso ecagula E las figuas siguiees apaece las solucioes esáicas y diámicas e el iempo de los dos amos, paa disios valoes del aio d /T. Respuesa o amoiguada esáica y diámica fee a pulsos ecagulaes.

11 4.4. Repuesa fee a pulsos Pulso ecagula Paa calcula el especo de espuesa del pulso se esudia los máximos e cada fase y se calcula el máximo oal. Vibació fozada: R d d d 1 1 cos 2 si u T T 2 ue d 1 2 si T 2 Vibació libe: 2 2 u( ) d d d u u( d ) u 2ue se Rd 2 se T T Respuesa máxima e cada ua de las fases Especo de espuesa del pulso ecagula Co el especo de espuesa, el movimieo máximo de ua esucua de peiodo aual T se calcula como: u u p e Rd Rd k La fueza esáica equivalee que sufe la esucua se calcula como: Fe k u p Rd

12 4.4.2 Pulso seoidal 4.4. Repuesa fee a pulsos p se mu k u p() d d co u( ) u( ) d El plaeamieo del aálisis es simila al caso aeio, se esudia la espuesa e vibació fozada y libe, cosideádose además deo de cada fase los casos: = y. E las figuas siguiees apaece la espuesa máxima e cada fase y el especo de espuesa oal. Respuesa máxima e cada ua de las fases.

13 4.4. Repuesa fee a pulsos Pulso seoidal Especo de espuesa del pulso seoidal.

14 4.4. Repuesa fee a pulsos Pulso iagula El plaeamieo del aálisis es simila al caso aeio, se esudia la espuesa e vibació fozada y libe. E las figuas siguiees apaece la espuesa máxima e cada fase y el especo de espuesa oal. Respuesa máxima e cada ua de las fases. Especo de espuesa del pulso iagula.

15 4.4. Repuesa fee a pulsos Efeco de la foma del pulso y aálisis apoximado paa pulsos beves E la figua siguiee se pesea de foma combiada los especos de espuesa paa los es pulsos aeioes, supoiedo el mismo valo p de ampliud máxima de la caga. Si la duació del pulso d es mayo que T /2 el desplazamieo máximo se poduce duae la aplicació del pulso e ifluye oablemee su foma. Paa valoes gades de d /T la espuesa depede de la velocidad de aplicació de la caga, siedo máxima e el caso ecagula y míima e el iagula. Especos de espuesa de los es pulsos esudiados.

16 4.4. Repuesa fee a pulsos Efeco de la foma del pulso y aálisis apoximado paa pulsos beves Si el pulso es beve: d /T < 1/2, la espuesa máxima se poduce duae la fase de vibació libe y esá coolada po la iegal empoal del pulso (el impulso). Cosideado el caso límie co d /T, el pulso es muy beve compaado co el peiodo aual de la esucua, aádose de u impulso puo: d I p() d Ua fueza impulsiva se caaceiza po acua e u iempo muy beve, co ua iegal empoal fiia. El impulso uiaio ceado e = se defie maemáicamee mediae la fució Dela de Diac (-). Impulso uiaio. Si ua fueza p acúa sobe u cuepo de masa m la vaiació del momeo lieal es igual a la caga aplicada, e iegado e el iempo el impulso es igual a la vaiació de momeo lieal: 2 d ( m u ) p p m u p ( ) d m ( u 2 u 1) m u d 1

17 4.4. Repuesa fee a pulsos Efeco de la foma del pulso y aálisis apoximado paa pulsos beves Si cosideamos u sisema de 1GDL sobe el que acúa u impulso uiaio, el amoiguado y el muelle o iee iempo de espode a la exciació e el isae e el que se aplica, luego el impulso poduce sobe la masa m uas codicioes iiciales: 1 u ( ) m u ( ) La espuesa de u sisema de 1GDL e vibació libe co las codicioes iiciales aeioes, y e los casos amoiguado y si amoigua, se deomia fució de espuesa del impulso uiaio h(-): 1 Sisema o amoiguado h( ) u( ) se ( ) m 1 ( ) Sisema amoiguado h( ) u( ) e se A ( ) m A Impulso uiaio.

18 4.4. Repuesa fee a pulsos Efeco de la foma del pulso y aálisis apoximado paa pulsos beves Si se cosidea u impulso de valo I y aplicado e =, la espuesa o amoiguada del sisema de u gado de libead es: 1 u() I se m La máxima defomació es popocioal a la magiud del impulso y vale: u I I 2 m k T Luego la máxima defomació debida a cada uo de los pulsos aeioes vale: Pulso ecagula Pulso seoidal Pulso iagula u I p d 2 u T d 2 u I p d 4 u T e d p d u d I 2 u T e e Las solucioes de impulso puo so exacas e el caso límie d /T =, e el ago < d /T < ¼, sigue siedo válidas y popocioa u límie supeio de la solució eal.

19 4.4. Repuesa fee a pulsos Efeco de la foma del pulso y aálisis apoximado paa pulsos beves Si d /T < ¼, la máxima defomació depede del áea del pulso y es idepediee de su foma. Si se cosidea la espuesa de ua esucua de u gado de libead fee a los pulsos esudiados, cuado su áea es la misma, se obiee los esulados de la gáfica siguiee. Especos de espuesa de los es pulsos co igual áea. A difeecia del caso de vibacioes amóicas, la ifluecia del amoiguamieo e la espuesa de esucuas someidas a pulsos es baja. El moivo es que e el caso amóico el amoiguamieo acuaba duae ua seie de ciclos compleos asioios, hasa que se alcazaba el esado esacioaio, disipado elevadas caidades de eegía e esos ciclos pevios. Si embago, e el caso de los pulsos el sisema o iee que aavesa u esacioaio, po lo que la disipació de eegía es mucho meo.

20 4.4. Repuesa fee a pulsos Efeco de la foma del pulso y aálisis apoximado paa pulsos beves E la figua siguiee se pesea el especo de espuesa paa u pulso seoidal y difeees valoes del faco de amoiguació, calculado mediae méodos uméicos, obsevádose que la espuesa máxima paa valoes del faco de amoiguació ifeioes al 1% se educe como máximo u 12 %. Especo de espuesa del pulso seoidal paa disios valoes del faco de amoiguació.

21 4.5. Respuesa fee a cagas abiaias 4.5 Respuesa fee a cagas abiaias El cálculo de la espuesa fee a u impulso uiaio co la fució h(-) pemie calcula la espuesa de ua esucua lieal fee a cagas abiaias e el iempo si se cosidea como ua secuecia ifiiesimal de impulsos coos. La espuesa del sisema diámico lieal fee al impulso p() d aplicado e el isae es: du( ) p( ) d h( ) La espuesa e u isae seá la suma de las espuesas a odos los impulsos aeioes: u( ) p( ) h( ) d La iegal aeio se deomia iegal de covolució o iegal de Duhamel. Sólo es válida e el caso de poblemas lieales, debido a que esá basada e el uso del picipio de supeposició. Sigificado físico de la iegal de covolució.

22 4.5. Respuesa fee a cagas abiaias 4.5 Respuesa fee a cagas abiaias Paiculaizado la expesió calculada e el apaado de la fució h(-) e la expesió de la iegal de Duhamel, se obiee: 1 Sisema o amoiguado u( ) p( ) se ( ) d m 1 ( ) Sisema amoiguado u( ) p( ) e se A ( ) d m A E las iegales aeioes se ha supueso codicioes iiciales ulas, si fuea o ulas es ecesaio añadi a la iegal la epuesa e vibació libe de u sisema de u gado de libead fee a esas codicioes iiciales. Ejemplo: Cálculo de la espuesa de u SDOF fee a ua caga de impaco de valo p, co codicioes iiciales de eposo. p cos ( ) p p u( ) se ( ) d 1 cos m m k

23 4.6. Méodos de solució de ED 4.6 Méodos de obeció de solucioes de ecuacioes difeeciales Solucioes clásicas. Iegal de Duhamel. Méodos de asfomació: Tasfomada de Laplace. Tasfomada de Fouie. Méodos uméicos. Los méodos de asfomació coviee los sisemas de ecuacioes difeeciales e sisemas de ecuacioes algebaicas. Los méodos clásicos, la iegal de Duhamel y los méodos de asfomació sólo so aplicables a esucuas lieales. Los méodos uméicos de iegació paso a paso so válidos e poblemas lieales y o lieales.