UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA FACULTAD DE INGENIERIA

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1 UNIERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA FACULTAD DE INGENIERIA IITREE - Istituto de Ivestigacioes Tecológicas paa Redes y Equipos Elécticos Cáteda de Campos y Odas Notas sobe Electostática e el vacío Po los Igs. Robeto H. Fediai Joge L. Agüeo Jua C. Babeo M. Beatiz Babiei Julieta Z. eiei

2 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo C.E.I.L.P.

3 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo. Ley de Coulomb. Campo eléctico.. Ley de Coulomb E la atualeza existe u tipo de iteacció ete cuepos mateiales que puede itepetase a tavés de cieto estado que puede adquii los cuepos deomiado electizació. Paa cuatifica este estado y po ede la iteacció, es ecesaio defii ua magitud física medible caacteística del feómeo, esto es la caga eléctica. Expeimetalmete se obseva que existe dos tipos de cagas elécticas, que se deomia covecioalmete cagas positivas y cagas egativas; otádose además que cagas de igual tipo (sigo) se epele, mietas que las de distito tipo (sigo) se atae. Paa estudia cuatitativamete la iteacció ete cuepos cagados elécticamete, esulta coveiete comeza po el aálisis de la más simple de las cofiguacioes. Esta es la de dos cuepos putifomes e eposo, cagados elécticamete, sepaados po ua cieta distacia. La obsevació del compotamieto de esta cofiguació muesta que existe ua acció a distacia ete ambas cagas cuyos esultados se expesa po medio de la ley de Coulomb, la cual establece que la fueza mutua, F, ete dos cagas putuales, q y q, es popocioal al poducto de las cagas, ivesamete popocioal al cuadado de la distacia que las sepaa, tiee la diecció de la ecta que ue ambas cagas y el setido se coespode co la atacció de las mismas si so de distito sigo o la epulsió si so de igual sigo. Expesada co otació vectoial e el espacio tidimesioal, la foma matemática de la ley de Coulomb es: F dode: = k q q F N [] es la fueza que actúa sobe la caga q e pesecia de la caga q. Po el picipio de acció y eacció se tiee F = - F (ve Figua.). q, q so magitudes escalaes que da la medida de la caga eléctica de los cuepos putifomes y espectivamete. = - es el vecto que va desde el puto dode se ubica la caga q hasta la caga q. v k veso que se expesa a tavés de costate de popocioalidad que depede del sistema de uidades utilizado. z F +q +q F y x Figua.. Ley de Coulomb. Repesetació gáfica. Sistemáticamete, itecambiado ídices, puede escibise: F = k q q N siedo v = - v, y el esto ua magitud escala, compaado co [] se obseva que: F = - F lo cual obviamete se coespode co el picipio de acció y eacció (ve Figua..). Pág.

4 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo Utilizado el Sistema Iteacioal de Uidades (SI), la fueza se expesa e Newto [N], las cagas e Coulomb [C], las distacias e metos [m], y la costate k esulta: k = m F 4 πε dode ε se deomia pemitividad del vacío, siedo: ε = 8,854 - F m. La ley de Coulomb se aplica a cagas putuales. E el setido macoscópico ua caga putual es aquélla cuyas dimesioes espaciales so muy pequeñas e compaació co cualquie ota logitud petiete al poblema e cosideació. La ecuació [] es ua ley expeimetal; si embago, hay evidecia teóica y expeimetal paa idica que la ley del iveso de los cuadados es exacta, es deci, que el expoete de es exactamete.... Picipio de supeposició Po ota pate puede veificase expeimetalmete que las iteaccioes elécticas, además de cumpli co la Ley de Coulomb, espode al picipio de supeposició. Esto sigifica que la iteacció eléctica ete u pa cualquiea de cagas o está iflueciada po la pesecia de otas cagas. De esto suge que la fueza total Fp sobe ua caga putual q p e pesecia de u sistema de otas cagas putuales (q, q,..., q ), que actúa simultáeamete, es igual a la suma vectoial de las fuezas Fp i ejecidas po cada ua de las cagas cosideadas idepedietemete, lo cual se expesa mediate: F p = F = pi i= i= qpq k pi i pi [N] []... Fucioes de desidad de caga El aálisis de la iteacció eléctica debe cosidea además de las cagas putuales, el efecto de aquellas cagas que puede supoese distibuidas e foma cotiua ya sea sobe ua líea, ua supeficie o u volume. Es impotate examia aquí el sigificado de ua distibució cotiua de caga. Es bie sabido que la caga eléctica se ecueta e múltiplos de la caga básica, la del electó. E otas palabas, si se examia ua caga co detalle, se veá que su magitud es u múltiplo eteo de la caga electóica. Desde u puto de vista macoscópico, que la caga sea disceta o ocasioa dificultades, simplemete poque la caga electóica tiee ua magitud de,69-9 C, que es extemadamete pequeña. La pequeñez de la uidad básica sigifica que las cagas macoscópicas está compuestas ivaiablemete po u úmeo muy gade de cagas electóicas; esto a su vez sigifica que e ua distibució de caga macoscópica cualquie elemeto pequeño de volume cotiee u ga úmeo de electoes. Se puede descibi etoces cualquie distibució de caga e témios de ua fució de desidad de caga, defiida como el límite de la caga po uidad de volume (desidad volumética) a medida que el volume se vuelve ifiitesimal. Si embago debe teese cuidado al aplica esta clase de descipció a poblemas atómicos, puesto que, e estos casos, sólo iteviee u úmeo pequeño de electoes, y el pocedimieto de toma el límite o tiee setido. Dejado a u lado estos casos atómicos, se puede supoe que u segmeto de caga puede subdividise idefiidamete, y descibi la distibució de caga po medio de fucioes putuales de desidad lieal, supeficial, o volumética de caga, defiidas de la siguiete maea: lim λ = l lim σ = s lim ρ= v q l q s q v C m [3] C m [4] C m 3 [5] dode q es la caga coteida e el elemeto de volume v, e el elemeto de supeficie s, o e el elemeto de líea l... Campo eléctico La expesió [] puede eescibise de la siguiete foma: Pág.

5 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo F p = q p i= k q pi i pi [N] [6] La expesió [6] sugiee que si se toma ua caga putual q p que se deomia caga de pueba, el efecto e iteacció co el sistema de cagas putuales puede se descipto como el poducto de q p po u facto que o depede de q p. Este facto, idicado ete paétesis e [6], es ua fució vectoial que depede de las cagas (q, q,..., q ) y de la posició elativa de éstas y del puto dode se ubique q p. Así el facto ete paétesis epeseta el efecto de iteacció que poduce el sistema de cagas putuales sobe ua uidad de caga ubicada e la posició de la caga de pueba q p. Esto puede expesase como: F p co: p ( ) = q E p [N] [7] qi ( p) = pi [ N C] E dode: k i= pi= p i pi Siedo p, el vecto de posició del puto p dode se ubica q p (coodeadas del campo). A la fució vectoial E( p ) se la deomia campo eléctico e el puto p, o más pecisamete, teiedo e cueta que se cosidea cagas estáticas, campo electostático. De esta foma la acció ete cuepos cagados puede se expesada utilizado el cocepto de campo de fuezas. Se puede cosidea al campo E e u puto como el esposable de la fueza F que se ejece sobe ua caga ubicada e dicho puto. Si se etia la caga, e el puto sigue existiedo potecialmete el efecto de la iteacció, ya que si se vuelve a coloca la caga volveía a apaece la fueza. Esta popiedad potecial e cada uo de los putos del espacio es la que se descibe po medio del cocepto de campo. Así es posible cosidea que las cagas so fuetes que poduce u campo e el espacio que las odea. Si itetamos ua detemiació expeimetal del campo midiedo la fueza F p que actúa sobe ua caga de pueba q p, ésta debe se putual de maea que sus dimesioes sea despeciables especto al esto de las dimesioes ivolucadas y además debe teese e cueta que al itoduci q p o se modifique el estado de las cagas, que so fuetes del campo. Paa esto es ecesaio que la caga de pueba sea de magitud despeciable paa o modifica el campo de fueza que se quiee detemia. La defiició iguosa del campo eléctico esulta así: lim E = q p F q p p N C [9] Siedo el campo eléctico e el puto geéico p, la fueza que actúa sobe la uidad de caga situada e dicho puto. El iteés de itoduci el cocepto de campo se basa e el hecho de que po su itemedio es posible descibi las accioes elécticas locales si que sea ecesaio cooce la fuete de tal acció. Es deci, el cocepto de campo esulta alteativo del cocepto de acció a distacia. Paa el estudio de los campos esulta de ga ayuda su epesetació gáfica. El método más utilizado es el de las líeas de campo, el cual cosiste e la gaficació de líeas que, e cada puto del espacio, so tagetes al vecto campo eléctico coespodiete a ese puto. E la Figua. se muesta ejemplos de epesetació gáfica. Debe obsevase que la epesetació del campo po las líeas de campo o pemite obtee diectamete la itesidad del campo e cada puto. Sí es posible itepeta que el campo es más iteso dode las líeas está más cocetadas y vicevesa. Los campos elécticos cuyas fuetes so distibucioes de cagas como las idicadas ateiomete, puede esolvese teiedo e cueta la validez del picipio de supeposició, po las siguietes expesioes: E = k ρ dv N C [] [8] Pág. 3

6 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo E k = S σ ds λ E = k dl l N C [] N C [] Resulta así que el cálculo del campo electostático poducido po distitas distibucioes de cagas, cosiste e esolve itegales vectoiales de fácil plateo peo e la ga mayoía de los casos, de difícil solució. +q -q (a) Cagas de sigos opuestos. +q +q (b) Cagas de sigos iguales. Figua.. Repesetació gáfica del campo eléctico E paa cagas putuales. Pág. 4

7 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo. Difeecia de potecial, potecial electostático y campo eléctico... Difeecia de potecial La dificultad plateada po las itegacioes vectoiales paa aaliza las iteaccioes elécticas puede e geeal se simplificadas tasfomado el poblema al esolve las ecuacioes difeeciales. Puesto de ota foma, puede esulta coveiete fomula o esolve poblemas e fució de la eegía e luga de hacelo po medio de los campos. La azó de dicha coveiecia es que la eegía, po se ua magitud escala, se suma aitméticamete, mietas que los campos debe sumase vectoialmete. Resulta etoces coveiete itoduci los coceptos de difeecia de potecial y de potecial electostático. Paa ello cosideaemos el tabajo ealizado sobe ua caga de pueba positiva q paa llevala desde u puto A hasta u puto B e el seo de u campo eléctico E (ve Figua.3.). B dl F = q E A E Figua.3. Tabajo ealizado paa desplaza ua caga. La fueza F ejecida po el campo E sobe la caga q esulta: F= qe de modo que el tabajo ealizado cota las fuezas elécticas paa taspota la caga es: B B W = F dl = q E dl A A [3] El facto ete paétesis de la expesió Eo!No se ecueta el oige de la efeecia. da el tabajo ecesaio paa lleva ua uidad de caga desde A hasta B y es lo que se defie como difeecia de potecial BA. Es deci: BA B = E dl A [4] E la expesió [4] el campo E vaía puto a puto segú la tayectoia que se siga paa lleva la caga desde A hasta B, peo es posible demosta que la itegal solo depede de la posició de los putos A y B, y o de la tayectoia. E geeal el campo E tedá como fuete u sistema complejo de cagas, peo teiedo e cueta el picipio de supeposició basta co aaliza la itegal de la expesió [4] paa el caso de ua caga putual, extediedo luego su esultado al caso geeal. Supógase que el campo E tiee como fuete ua caga putual positiva q f, que los putos A y B está a distacias A y B espectivamete de la caga q f, y que se elige u camio abitaio ete A y B tal como se muesta e la Figua.4. E la misma figua se muesta que es posible descompoe dicho camio e pequeños acos de cicufeecias ifiitesimales de logitud dθ (de diecció pepedicula al adio, segú q ), y e tamos ectos de logitud d (de diecció adial, segú ). Recoiedo tal camio el valo del itegado E dl de la [4] está fomado po dos témios: E q dθ + E d ( ) ( ) Pág. 5

8 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo B d B A θdθ dθ A +q f Figua.4. Tabajo eléctico segú la tayectoia. dado que E solo tiee compoete e la diecció, el pime témio de la expesió ateio esulta ulo, y eemplazado e [4], se tiee: BA B q q = f f = d 4πε 4πε B A A [5] esultado así que la itegal depede solamete de las distacias de los extemos del camio a la caga putual, y o del tayecto ecoido ete ambos putos. Esta codició de la difeecia de potecial es cosecuecia diecta de la simetía esféica del campo E. Ahoa bie, dado que como se ha visto las iteaccioes elécticas espode al picipio de supeposició, el campo eléctico de vaias cagas puede expesase como la suma de los campos de cada ua de las cagas. Etoces, la expesió [4] puede escibise como ua suma de itegales, cada ua de las cuales seá la difeecia de potecial debida a las cagas idividuales. De esta foma la idepedecia de la difeecia de potecial ete dos putos, y el camio ecoido paa ui esos putos, demostada paa ua caga putual, puede extedese a cualquie sistema de cagas. E foma geéica se puede coclui que la difeecia de potecial ete dos putos mide el tabajo ealizado cota la fueza del campo eléctico paa taslada la uidad de caga ete ambos putos, si impota la tayectoia utilizada. E caso de que la tayectoia sea ceada, es deci que el ecoido comieza y temia e el mismo puto, la difeecia de potecial es ula, ya que coicide los límites de la itegal de la expesió [4]. Esta es ua popiedad esecial de u campo electostático: la itegal de líea sobe ua tayectoia ceada es ula: E dl = [6].. Potecial electostático Retomado la expesió [4], se ota que si se cosidea u puto cualquiea e el espacio que deomiamos puto de efeecia P ef y calculamos la difeecia de potecial ete los putos A y B co especto al de efeecia, se tiee, espectivamete: BPef B = E d l Pef y APef A = E d l Pef Como paa calcula la difeecia de potecial BA se puede cosidea ua tayectoia cualquiea, si ésta pasa po el puto P ef se expesaá: BA B Pef = = + B E d l E dl E dl A A Pef Pág. 6

9 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo esto es: BA = BP ef AP ef [7] De esto suge que, elegido u puto de efeecia cualquiea P ef, puede expesase la difeecia de potecial ete u pa de putos A y B como difeecia de potecial de B especto a P ef y de A co especto a P ef. Es evidete que este cocepto se puede geealiza asigado a cada puto geéico P del espacio u úmeo p que se deomia potecial electostático tal que: P = PP = d ef E l P Pef [8] Así, el valo del potecial e el puto esulta defiido a meos de ua costate que depede de la elecció de P ef. Dado que esta elecció es abitaia, e cietos casos esulta coveiete elegi P ef e el ifiito, esultado: P P = E d l Este potecial es llamado co fecuecia potecial absoluto del puto P y es el tabajo ecesaio paa tae ua uidad de caga desde el ifiito a dicho puto. Si cosideamos uevamete el campo E como el poducido po ua caga putual q f y se quiee detemia el potecial absoluto de u puto A ubicado a ua distacia A de q f, se tiee: qf A = A = 4πε A [9] Como, etoces esulta: A qf = 4 πε A [] Esto equivale a asigale al puto e el ifiito u potecial ulo, esultado el potecial absoluto del puto A, debido a la caga q f, ivesamete popocioal a la distacia desde q f hasta dicho puto. Obsévese e la expesió [] que el potecial eléctico debido a ua caga putual es ua fució lieal co especto al valo de caga; así el potecial e u puto debido a cualquie úmeo de cagas putuales es la suma aitmética del potecial coespodiete a cada ua de ellas. E geeal, el potecial eléctico de u puto es la suma algebaica de las compoetes idividuales del potecial e ese puto. Cosideado las distibucioes de caga ρ, σ y λ como fuetes de campo, el potecial puede esolvese po las siguietes expesioes: k = σ k S = λ k = l ρ dv dl ds [ ] [] [] [3] Co las expesioes [], [] y [3] puede calculase el potecial e cualquie puto del espacio.. 3. El campo eléctico como gadiete de potecial Es ecesaio a cotiuació dispoe de ua elació que os pemita, coocido, obtee el valo de E. Paa ello cosideemos que e la expesió [4] los putos A y B está sepaados po ua distacia ifiitesimal dl, así tedemos: Pág. 7

10 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo d = E dl [4] Cosideado que: = ( x, y, z) dl = dx i + dy j + dz k d = dx + dy + dz x y z pudiedo escibise como: d = i + j + k ( dx i + dy j + dz k ) [5] x y z d siedo: = dl = + + x i y j z k Y po compaació ete [4] y [6] esulta: [6] E = [7] de esta foma el campo puede expesase como el gadiete cambiado de sigo de la fució escala. Coceptualmete, el gadiete de ua fució es u vecto, cuyo módulo y diecció so el valo y la diecció de la máxima vaiació de la fució e el puto, y su setido es el del icemeto de la fució.. 4. Iotacioalidad del campo electostático Que el campo eléctico E pueda expesase po medio de u gadiete de ua fució escala [7], pemite deiva ua popiedad fudametal del campo, esto es que el campo electostático es iotacioal. Esto se obtiee e vitud de que el oto de u gadiete es siempe ulo, po lo cual: = es deci: E = [8] siedo, e coodeadas catesiaas: E E E E E z y x z y Ex E = i + j + k y z z x x y m A igual coclusió puede aibase e base a la aplicació del teoema de Stokes e la expesió [6], esto es: S E ds = E dl = teiedo e cueta que la supeficie sobe la cual se itega el oto es abitaia co la úica codició de que tega como cotoo la cuva ceada sobe la que se itega E, se cofima tambié po este camio que la [8] es válida. Es impotate destaca que la popiedad putual o difeecial expesada po [8] es equivalete a la popiedad global o itegal expesada po: E dl = [6] y ambas so cosecuecia diecta de la simetía esféica del campo eléctico poducido po ua caga putual, idicada po la Ley de Coulomb. Además, debe otase que ambas popiedades so idicativas de que el campo electostático es cosevativo, es deci que o se ealiza tabajo si ua caga de pueba se mueve e el campo sobe ua tayectoia ceada. Pág. 8

11 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo. 5. Supeficies y líeas equipoteciales Resulta paticulamete útil itoduci el cocepto de equipotecialidad. Se deomia supeficie (o líea) equipotecial al luga geomético de los putos del espacio de igual potecial, lo cual puede se expesado po la elació = cte. Cosidéese u desplazamieto dl sobe ua líea coteida e ua supeficie equipotecial. Dado que a lo lago de dicha líea = cte, de la expesió [6], se tiee: d = dl = y po [4]: E dl = lo que muesta, po se y d l, que las líeas de campo electostático so siempe pepediculaes a las supeficies equipoteciales. E la Figua.5 se muesta el campo eléctico E (e líeas cotiuas ) y las líeas equipoteciales (e líeas de tazos) que coespode a dos cagas +q y -q, sobe u plao que cotiee ambas cagas. E la misma figua se obseva la otogoalidad ete las líeas de campo y las líeas equipoteciales. Debe otase además que cuato más cecaas está ete sí las líeas equipoteciales (lo que equivale a u mayo gadiete), más iteso es el campo. Po ota pate, el setido de las líeas de campo, iveso al de las del gadiete, es el que coespode al dececimieto del potecial. +q -q Figua.5. Líeas de campo y equipoteciales.. 6. Coductoes y aislates Teiedo e cueta el compotamieto eléctico de los mateiales, los mismos puede dividise e dos categoías: coductoes de electicidad y aislates (dielécticos). Los coductoes so sustacias, como los metales, que esecialmete cotiee u ga úmeo de potadoes de caga libe. Estos potadoes de caga (electoes, e la mayoía de los casos) que tiee la libetad de movese po el mateial coducto, espode a campos elécticos casi ifiitesimales y cotiúa moviédose mietas expeimete u campo. Estos potadoes libes lleva la coiete eléctica cuado se matiee u campo eléctico e el coducto po medio de ua fuete extea de eegía. Los dielécticos so sustacias e las que todas las patículas cagadas está ligadas muy fuetemete a moléculas costituyetes. Las patículas cagadas puede cambia sus posicioes ligeamete como espuesta a u campo eléctico, peo o se aleja de la vecidad de sus moléculas. Estictamete hablado, esta defiició se aplica a u dieléctico ideal, uo que o muesta coductividad e pesecia de u campo eléctico que se matiee exteiomete. Los dielécticos físicos eales puede mosta ua débil coductividad, peo e u dieléctico típico la coductividad es veces meo que la de u bue coducto. Como es u facto eome, po lo geeal es suficiete deci que los dielécticos so o coductoes. Alguos mateiales (semicoductoes, electólitos) tiee popiedades elécticas itemedias ete las de los coductoes y los dielécticos. E lo que especta a su compotamieto e u campo eléctico estático, estos mateiales se compota casi como los coductoes. Si embago, su espuesta tasitoia es algo más leta; es deci, estos mateiales ecesita más tiempo paa alcaza el equilibio e u campo estático. E este capítulo tataemos co los mateiales e campos electostáticos, peo po ahoa se pospodá paa otos capítulos el tatamieto de la polaizació dieléctica. E cambio, los coductoes puede estudiase co bastate facilidad e témios de los coceptos expuestos hasta aquí. Pág. 9

12 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo Dado que e u coducto la caga puede movese libemete, aú bajo la ifluecia de campos elécticos muy pequeños, los potadoes de caga (electoes o ioes) se mueve hasta que halla posicioes e las que o expeimeta fueza eta. Cuado llega al eposo, el iteio del coducto debe se ua egió despovista de u campo eléctico; esto debe se así poque la població de potadoes de caga e el iteio, de igú modo se agota, y si pesistiea el campo, los potadoes cotiuaía moviédose. Es deci, e codicioes estáticas, el campo eléctico e el iteio de u coducto, se aula. Además, puesto que E= e el seo de u coducto, el potecial eléctico es el mismo e todos los putos del mateial coducto. E otas palabas, e codicioes estáticas, cada coducto costituye ua egió equipotecial del espacio. Pág.

13 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo 3. ecto Desplazamieto o desidad de flujo eléctico. Ley de Gauss. 3.. ecto Desplazamieto o Desidad de flujo eléctico D E cietos casos que se aaliza posteiomete, esulta coveiete itoduci u vecto D popocioal a E, que paa el espacio vacío, se defie como: D = ε E C m dode: D vecto desplazamieto [C /m ] [9] ε E pemitividad del vacío [F /m] itesidad de campo eléctico [ /m] Paa el caso de ua caga putual se tedá: q D = 4 π [ C m ] [3] 3.. Ley de Gauss Si se itega el vecto D sobe ua supeficie esféica co ceto e la caga putual q (ve Figua.6), esulta: SC q D ds = ds 4π SC C [3] Lo cual idica que la itegal de D sobe ua supeficie ceada es igual a la caga eceada po esa supeficie. La expesió [3] puede geealizase po el teoema de Gauss, el cual demuesta que la itegació de D sobe cualquie tipo de supeficie ceada es igual a la caga eta eceada po esa supeficie, cualquiea sea la distibució espacial de esa caga, así: SC D ds = ρdv = q C [3] D +q Figua.6. Campo D de ua caga putual positiva. Si se cosidea la itegal de D sobe cualquie supeficie ceada o abieta, es posible defii el flujo eléctico ψ como: ψ = D S ds C [33] paa el caso paticula de ua supeficie ceada se tiee, combiado [3] y [33]: ψ = D ds = ρdv = q C [34] SC Pág.

14 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo lo cual pemite expesa la Ley de Gauss como: el flujo eléctico a tavés de cualquie supeficie ceada es igual a la caga eta eceada po tal supeficie. Basado e la defiició expesada po la [33] al vecto D se lo deomia desidad de flujo eléctico. La Ley de Coulomb idica que el campo eléctico poducido po ua caga putual es adial, tiee simetía esféica y vaía co la ivesa del cuadado del adio. La Ley de Gauss se satisface co la codició de que el campo veifica su depedecia co (/ ), ya que solo así puede compesase el aumeto de la supeficie co el adio. Puesto e otos témios, la Ley de Gauss cotiee solo pacialmete la ifomació que bida la Ley de Coulomb, ya que ada dice sobe la simetía cetal (esféica) que debe cumplise paa el campo poducido po ua caga putual. Po ello, la detemiació del campo e u puto del espacio e base a la Ley de Gauss, solo es posible cuado se tata de u poblema que tega implícita esta simetía Divegecia de D y E La popiedad itegal del campo expesada po la Ley de Gauss tiee su coespodiete popiedad putual o difeecial. Aplicado el teoema de la divegecia se tiee: SC D ds = D dv [ C ] [35] dode D D D D = + + x y z x y z [ C m ] 3 dado que SC D ds = ρ dv = q [ C] y teiedo e cueta que las itegales de los segudos miembos de las igualdades ateioes se extiede sobe el mismo volume, se cocluye que: D= ρ C 3 m Si se cosidea la defiició de D paa el medio vacío dada po [9], se obtiee: ρ E = ε m [36] [37] Las expesioes [36] ó [37] alteativamete, descibe ua popiedad putual del campo eléctico equivalete a la popiedad itegal idicada po la Ley de Gauss, que es cosecuecia diecta de la Ley de Coulomb, e paticula debido a la depedecia del campo de ua caga putual co la ivesa del cuadado de la distacia. Po ello ambas expesioes puede cosidease como la foma difeecial de la ley de Gauss Aplicació de la ley de Gauss Las expesioes [36] ó [37] o, más adecuadamete, sus fomas modificadas que se deduciá al tata co dielécticos, so uas de las ecuacioes difeeciales básicas de electicidad y magetismo. Esta sola cuestió ya es impotate, po supuesto; peo la ley de Gauss tambié tiee utilidad páctica. Lo páctico de la ley eside picipalmete e popocioa ua foma muy fácil paa calcula los campos elécticos e situacioes suficietemete siméticas. E otas palabas, e alguas situacioes altamete siméticas de cosideable iteés físico, el campo eléctico puede calculase empleado la ley de Gauss e luga de utiliza los pocedimietos de itegació a pati de la ley de Coulomb. Cuado puede hacese esto, se ahoa esfuezo. Paa que la ley de Gauss sea útil al calcula el campo eléctico, debe se posible elegi ua supeficie ceada tal que el campo eléctico tega e todo puto de dicha supeficie, la misma diecció co especto a la omal, y que el valo absoluto sea el mismo e cada puto de la supeficie. Oto esultado impotate de la ley de Gauss es que la caga (caga libe eta) de u coducto cagado, eside e su supeficie. E efecto, se vio e el apatado.6. que el campo eléctico deto de u coducto se aula. Cualquie supeficie gaussiaa que se cosidee e el iteio del coducto, po la ley de Gauss, eceaá ua caga eta igual a ceo. El úico luga e que puede esta la caga, paa que o se cotadiga la ley de Gauss, es sobe la supeficie del coducto. Pág.

15 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo El campo eléctico e el exteio imediato de u coducto cagado, debe se omal a la supeficie del coducto. Esto es teiedo e cueta la expesió [7] y que la supeficie es ua equipotecial (apatado.5.). Si la caga de u coducto está dada po la fució de desidad supeficial σ, cosideado ua supeficie gaussiaa cilídica co las bases S paalelas a la supeficie del coducto (ua de ellas u ifiitésimo deto del coducto y la ota u ifiitésimo afuea), etoces aplicado la ley de Gauss esulta: E S = S ε σ po lo tato el campo eléctico que está e el exteio imediato de u coducto esulta: E = σ ε [38] Pág. 3

16 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo 4. Ecuacioes de Poisso y Laplace. Uicidad de la solució 4.. Ecuació de Poisso Combiado las ecuacioes [7] y [37], obtedemos: ρ ( ) = ε m Teiedo e cueta que la divegecia del gadiete es el laplaciao ( ), la ecuació ateio esulta: ρ = m [39] ε Nótese que el laplaciao es u opeado difeecial escala puo, y la [39] es ua ecuació difeecial. Ésta es la ecuació de Poisso. El opeado implica la deivació co especto a más de ua vaiable; e cosecuecia, la ecuació de Poisso es ua ecuació difeecial pacial que elacioa e cada puto la foma de vaiació del potecial co la desidad de caga pesete e él. Su esolució os pemite obtee el potecial (x, y, z) e cualquie puto del espacio, paa lo cual es ecesaio cooce la depedecia fucioal de la distibució de caga ρ(x, y, z) y las codicioes de fotea de dicho espacio. Debe otase que la ecuació de Poisso, deivada como combiació de la [7] y la [37], tiee implícita las popiedades de iotacioalidad y de la Ley de Gauss, lo cual implica que cotiee la ifomació completa de la electostática equivalete a la Ley de Coulomb. 4.. Ecuació de Laplace Paa el caso e que e cada puto de la egió cosideada la distibució de caga sea ula, la [39] se educe a: = m [4] A esta expesió se la deomia ecuació de Laplace y es de ga impotacia e el estudio de los campos. Su esolució os pemite detemia el potecial (x, y, z) e ua egió del espacio si cagas, siedo ecesaio cooce las codicioes de fotea de esa egió. Esta ecuació eviste fudametal iteés e la electostática, e paticula cuado debe hallase el campo e ua egió dode existe coductoes imesos e u medio vacío. Supoiedo que se tiee u cojuto de coductoes dode la caga está distibuida supeficialmete, el poblema cosiste e ecota el campo o el potecial e el espacio limitado po esos coductoes. E dicho espacio al o existi cagas se veifica la ecuació de Laplace y su solució co las codicioes de límite impuestas po el potecial de los coductoes os pemite halla el valo del potecial e cada puto. Ua popiedad impotate de las fucioes que so solucioes de la ecuació de Laplace, paa el caso electostático del potecial (x, y, z), es que si se defie ua esfea cualquiea situada completamete e la egió e que la ecuació es satisfecha, el valo medio del potecial e la supeficie de la esfea es igual al valo del potecial e el ceto de la misma. Así, el potecial o puede tee i máximos i míimos e el iteio de la egió cosideada. Estos valoes extemos solo puede ocui e los límites de la egió. Si (x, y, z) es solució de la ecuació de Laplace y es costate sobe ua supeficie ceada cualquiea, el potecial es costate e todo el volume eceado po tal supeficie Uicidad de la solució. Teoema de Uicidad La solució de u poblema electostático e ua egió si cagas, estaá dada po ua fució (x, y, z) que además de cumpli co la ecuació de Laplace e todos los putos iteioes de la egió, debe satisface los valoes de potecial e el límite de dicha egió. Cabe etoces fomulase la peguta: es posible que exista más de ua fució (x, y, z) que cumpla co tales codicioes? La espuesta la da el deomiado teoema de Uicidad que pemite establece que existe ua úica fució (x, y, z) que satisface simultáeamete la ecuació de Laplace, y ua detemiada distibució de potecial e el límite de ua dada egió. Ota foma de eucialo seía: dos solucioes a la ecuació de Laplace que satisface las mismas codicioes e la fotea difiee cuado mucho e ua costate aditiva. Paa demosta el teoema cosideemos u poblema electostático geeal tal como se muesta e la Figua.7. Se tata de u volume v, limitado po las supeficies S, S, S, S 3,...S. Pág. 4

17 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo o S S S3 S S Figua.7. Poblema geeal electostático. Supogamos que exista dos solucioes difeetes paa el potecial, sea las fucioes y. Esto equivale a deci que se veifica: = y = [4] y además ambas fucioes tedá iguales codicioes de fotea, esto es: ( S) = ( S) ( S ) = ( S ) ( S ) = ( S ) ( S ) = ( S ) ; ; ;... ; [4] Se defie ua fució ϕ, tal que: ϕ = [43] po lo tato: ϕ = e todo el volume v. Además: ϕ S = ( S) ( S) ( ) ( ) ϕ S = S S... ( ) ( ) ϕ S = S S Si sobe el poducto ϕ ϕ se aplica el teoema de la divegecia, se obtiee: = ds ( ϕ ϕ) dv ( ϕ ϕ) S+ S + S S [44] dado que ϕ= sobe las supeficies, la itegal del segudo miembo se aula y po ede seá ula la del pime miembo. Si e el itegado de esta última itegal se eemplaza la igualdad: ϕ ϕ = ϕ ϕ + ( ϕ ) ( ) y cosideado que ϕ =, se tiee: ( ϕ ) dv = dado que el itegado o puede se egativo, la igualdad ateio implica que, e todo el volume v : Pág. 5

18 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo ϕ = la ulidad del gadiete implica que la fució o puede vaia e el volume, po lo tato: ϕ = = Cte. [45] El valo de la costate puede se evaluado e los límites y dado que sobe las supeficies límites ϕ=, esulta Cte.=. De esta foma ϕ es ceo e todo el volume v y sobe las supeficies que limite ese volume. Así se veifica que si y so solucioes de la ecuació de Laplace y satisface las codicioes de potecial e el límite, = y la solució es úica. La itegal del segudo miembo de la expesió [44] tambié es ceo e el caso de que la compoete omal del gadiete se aule sobe las supeficies límites de v, o sea que: ϕ = Po lo que siguiedo igual azoamieto que e el caso ateio puede idicase que si y so solucioes de la ecuació de Laplace y satisface las codicioes de la compoete omal del gadiete sobe las supeficies límites, = + Cte. y la solució es úica a meos de ua costate. Si bie el teoema de uicidad se demostó co la ecuació de Laplace, es igualmete válido paa la ecuació de Poisso, ya que e tal caso: y po lo cual ρ = ε ρ = ε ( ) = y se cotiúa la demostació de igual foma que e el caso ateio. La impotacia del teoema de uicidad eside e el hecho de que se justifica iteta cualquie método de solució del poblema electostático, e la seguidad de que si se ecueta ua solució, esa es úica y el poblema está esuelto Imágees electostáticas Paa u cojuto dado de codicioes e la fotea, la solució a la ecuació de Laplace es úica, de modo que si se obtiee ua solució U(x, y, z) po cualquie medio, y si esta U satisface todas las codicioes e la fotea, etoces se ha efectuado ua solució completa al poblema. El método de las imágees es u pocedimieto paa loga este esultado si esolve específicamete ua ecuació difeecial. No se aplica uivesalmete a todos los tipos de poblemas electostáticos, peo bastates poblemas iteesates cae deto de esta categoía. Supógase que el potecial pueda expesase e la siguiete foma: U ( ) = U( ) + 4πε S σ( ) da [46] dode U es ya sea ua fució específica o fácilmete calculable, y la itegal epeseta la cotibució al potecial, de la caga supeficial, sobe todos los coductoes que apaece e el poblema. No se cooce la fució σ. Puede sucede, y ésta es la esecia del método de las cagas imágees, que el último témio e la ecuació ateio, se sustituya po u potecial U que se deba a ua distibució de caga vitual especificada. Peo esto es posible siempe y cuado las supeficies de todos los coductoes coicida co supeficies equipoteciales de los U + U combiados. Las cagas vituales especificadas que poduce el potecial U se deomia cagas image. Po supuesto que o existe ealmete. Su posició apaete está deto de los divesos coductoes, y el potecial U = U + U es ua solució válida al poblema sólo e la egió exteio. Pág. 6

19 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo Como ejemplo de este método, se esolveá el poblema de ua caga putual q colocada ceca de u plao coducto de extesió ifiita. Paa fomula el poblema matemáticamete, sea el plao coducto tal que coicida co el plao yz, y supógase que la caga putual está e el eje x a ua distacia x=d (Figua.8a.). Figua.8. Poblema de ua caga putual y u plao coducto. El potecial se ajusta al idicado po [46], siedo: U q,, = = 4πε 4πε ( x y z) q ( ) x d + y + z [47] Cosidéese ahoa u poblema difeete, el de dos cagas putuales (q y -q) sepaadas po ua distacia d, como el de la Figua.8b. El potecial de estas dos cagas, q q U ( x, y, z) = = 4πε 4πε [48] o sólo satisface la ecuació de Laplace e todos los putos exteioes a las cagas, sio que tambié se educe a ua costate (es deci, ceo) sobe el plao que biseca pepediculamete al segmeto que ue las dos cagas. Así pues [48] satisface las codicioes e la fotea del poblema oigial. Debido a que las solucioes de la ecuació de Laplace so úicas, [48] es el potecial coecto e todo el semiespacio exteio al plao coducto. La caga -q que da oige al potecial U q,, = = 4πε 4πε ( x y z) q ( x d) + y + z se llama la image de la caga putual q. Natualmete, la image o existe e ealidad, y [47] o da coectamete el potecial e el exteio i a la izquieda del plao coducto, e la Figua.8a. El campo eléctico E e la egió exteio puede obteese como el gadiete egativo de [48]. Como la supeficie del plao coducto epeseta ua iteface que elacioa dos solucioes de la ecuació de Laplace, es deci, U= y [48], la discotiuidad e el campo eléctico se acomoda po ua desidad de caga supeficial σ sobe el plao: σ q d, = εe x = x = / π ( y z) ( d + y + z ) 3 Las líeas de fueza y las supeficies equipoteciales adecuadas al poblema oigial se ilusta e la Figua.8c. Estas so las mismas líeas de fueza y supeficies equipoteciales adecuadas al poblema de dos cagas putuales de la Figua.8b. excepto que Pág. 7 [49] [5]

20 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo e el último caso, las líeas de flujo cotiuaía e la mitad izquieda del plao. Es evidete, de la figua, que todas las líeas de flujo eléctico que omalmete covege e la caga image so iteceptadas po el plao e la Figua.8c. E cosecuecia, la caga total sobe el plao es igual a la de la caga image -q. Este mismo esultado puede obteese matemáticamete itegado [5] sobe toda la supeficie. Es evidete que la caga putual q ejece ua fueza atactiva sobe el plao, debido a que la caga supeficial iducida es de sigo cotaio. Po la ley de Newto de acció y eacció, esta fueza es igual e magitud a la fueza ejecida sobe q po el plao. Como la caga putual o expeimeta igua fueza debida a su popio campo, F = q U [5] que es exactamete la fueza ejecida sobe él po la caga image. Oto poblema que podía esolvese simplemete e fució de las imágees es el de detemia el campo eléctico de ua caga putual q e la vecidad de la itesecció de u águlo ecto fomado po dos plaos coductoes (Figua.9a.). Las posicioes de las cagas image ecesaias se ilusta e la Figua.9b. Como puede obsevase los dos plaos, epesetados e esta figua e líea de putos, so supeficies de potecial ceo, debido a los poteciales combiados de q y de las tes cagas image. Figua.9. Caga putual e ua esquia que foma águlo ecto. Pág. 8

21 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo 5. Distibució de los poteciales y de las cagas e u sistema de cuepos coductoes. Hasta aquí se ha cosideado el campo eléctico de uo o dos cuepos cagados. Peo e la páctica de la igeieía esulta fecuete ecota sistemas compuestos po ua seie de cuepos coductoes sometidos e geeal a difeetes poteciales y co distitas catidades de caga. Cosidéese u sistema de coductoes que posee espectivamete cagas q, q,, q, co los cosiguietes poteciales ϕ, ϕ,, ϕ, como se muesta e la Figua.. Se desea ecota u método paa evalua las Q e fució de los ϕ y vicevesa. Tales elacioes se deduce e los apatados siguietes. C C3 Figua Coeficietes de capacidad Cosidéese que el pime coducto se ecueta cagado, a u potecial ϕ, co todos los demás coductoes puestos a tiea. La caga e el pime coducto seá: β ϕ ; la caga iducida e el segudo coducto seá: β ϕ y la iducida e el -ésimo coducto seá β ϕ. Si el segudo coducto se ecotaa cagado al potecial ϕ y todos los coductoes estates estuviea al potecial de tiea, etoces la caga e el segudo coducto estaía dada po β ϕ y la caga iducida e el -ésimo coducto seía β ϕ. Si ahoa los coductoes estuviese cagados a poteciales ϕ, ϕ,, ϕ, espectivamete, etoces la caga esultate sobe cada coducto esulta de la supeposició de las cagas esultates obteidas segú se acaba de mecioa. Estas cagas esultates se deomia q, q,, q y está elacioadas co los poteciales a tavés del siguiete juego de expesioes: q = β ϕ + β ϕ + + β ϕ..., q = β ϕ + β ϕ + + β ϕ.., q = β ϕ + β ϕ β ϕ que plateadas maticialmete puede escibise como: [ q ] = [ β] [ ϕ] siedo [β ] la matiz de coeficietes de capacidad...., [5] Los coeficietes β so costates que depede de la foma, dimesioes elativas, pemitividades dielécticas del espacio ete los coductoes, y de la disposició de los coductoes. Esto es, los coeficietes β so fucioes de la geometía de la cofiguació y de las popiedades dielécticas del medio. Paa alguos autoes, los coeficietes βij se deomia coeficietes de capacidad. Paa otos, los témios de la diagoal del aeglo: β, β,..., β, so los deomiados coeficietes de capacidad, y los otos factoes: β, β3,..., etc. (co βij = βji) so los deomiados coeficietes de iducció (debido a que tiee e cueta la caga que se iduce e uo de los coductoes, debido a la pesecia de caga eléctica oto). El hecho de que βij = βji se expesa diciedo paa los coeficietes β es válido el picipio de ecipocidad. Tal como se destacó ates, los coeficietes β so tales que βij es la catidad de caga eléctica del i-ésimo coducto, que cagaá al coducto j-ésimo a u potecial uitaio, co todos los estates coductoes puestos a tiea. Pág. 9

22 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo Esta cosecuecia suge diectamete del sistema de ecuacioes [5]. Si embago, se debe ota que, paa cualquie cofiguació de u sistema de coductoes, la capacidad total ete paes de coductoes o está idetificada diectamete co iguo de los coeficietes de capacidad o de iducció. 5.. Capacidades paciales Las capacidades paciales, so las capacidades físicas existetes e u sistema de coductoes, que vicula a todos los coductoes del sistema, tomados de a dos. Paa ecota las elacioes ete dichas capacidades y los coeficietes de capacidad β, es coveiete eescibi el cojuto de expesioes [5], de maea tal que su itepetació esulte más diecta. Específicamete, la pimea de las ecuacioes puede eescibise de la siguiete foma: ( β β β ) ϕ β ( ϕ ϕ ) β ( ϕ ϕ ) q = que tambié puede expesase como: [53] ( ) ( ) q = C ϕ + C ϕ ϕ C ϕ ϕ [54] siedo: C = β + β β, C = β,, [55] C = β Nótese que C ϕ es la caga eléctica e la capacidad C existete ete los putos y tiea, ete los cuales existe ua difeecia de potecial ϕ. Similamete, C (ϕ - ϕ) es la caga eléctica e la capacidad C existete ete los putos y, a tavés de los cuales existe ua difeecia de potecial ϕ - ϕ. Ua itepetació simila puede hacese paa los témios estates. E témios geeales, las expesioes de las cagas del sistema de coductoes esulta: siedo: ϕ ( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ ) ϕ ( ϕ ϕ ) q = C + C C, q = C + C C,.., [56] ( ) q = C ϕ ϕ + C ϕ C ϕ C ii = β i + β i + + β ii + + β i C ik......, = β ik, paa i k La elació ete esta discusió y el sistema de coductoes ilustado e la Figua.., esulta evidete Coeficietes poteciales o coeficietes de potecial E base al picipio de supeposició, el potecial del sistema de coductoes cagados e u puto cualquiea A se puede epeseta como la suma de los poteciales debidos a las cagas del pimeo, segudo, teceo, etc. coducto, de la siguiete maea: ϕa = ϕa + ϕa ϕa [57] Además, cada compoete es diectamete popocioal a la caga coespodiete, es deci: ϕ = q α ϕ = q α ϕ = q α [58] A A A A A A Los coeficietes αa, αa, αa3, depede tato de la posició del puto A como de la geometía de todos los coductoes potadoes de cagas y de las popiedades dielécticas del medio. Uificado las expesioes [57] y [58], se puede escibi: ϕa = αa q + αa q αa q [59] Supoiedo que el puto A al picipio se halla sobe el coducto, luego sobe el, etc., se obtiee el siguiete sistema de ecuacioes: ϕ = α q + α q α q, Pág.

23 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo ϕ = α q + α q α q, [6].. ϕ = α q + α q + + α q... dode ϕ es el potecial del pime coducto, ϕ es el potecial del segudo coducto, etc. E foma maticial, el cojuto de ecuacioes [6] puede escibise: [ ϕ ] = [ α] [ q] Los coeficietes αik se llama coeficietes poteciales o coeficietes de potecial y [α ] es la matiz de coeficietes de potecial. El sistema de ecuacioes co los coeficietes poteciales pemite esolve diectamete el poblema aceca de la distibució de los poteciales e u sistema de coductoes cuado se cooce la distibució de sus espectivas cagas elécticas Picipio de ecipocidad E el sistema cosideado de cuepos coductoes cagados elécticamete, se cumple el picipio de ecipocidad, cuya expesió so las igualdades: α β ik ik = α = β ki ki La igualdad Eo!No se ecueta el oige de la efeecia. coicide co la igualdad evidete de las capacidades paciales: C ik = C ki dado que C ik y C ki epeseta sólo las difeetes otacioes de la misma capacidad ete los coductoes i y k. Como cosecuecia diecta de la igualdad [6] esulta [6]. Aalizado el sistema de ecuacioes [6], es fácil da ua fomulació vebal del picipio de ecipocidad: el potecial del pime coducto, e pesecia de ua caga peteeciete úicamete al segudo coducto, es igual al potecial del segudo coducto e pesecia de ua caga peteeciete sólo al pime coducto Relació ete los coeficietes de potecial y los coeficietes de capacidad. Aalizado la solució del sistema de ecuacioes [6], esulta secillo halla el vículo que existe ete los coeficietes de potecial y los coeficietes de capacidad: q q A A A = ϕ + ϕ ϕ, D D D A A A = ϕ + ϕ ϕ, D D D.. [64] q A A A = ϕ + ϕ ϕ D D D siedo A ki los complemetos algebaicos y D el detemiate del sistema [6]. Compaado los sistemas [58] y [64] se ecueta que: β ki Aki = D [6] [6] [63] Pág.

24 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo 6. Eegía electostática. Desidad de eegía 6.. Tabajo de agupació de cagas putuales Cosideemos el caso de dos cagas putuales q y q ubicadas e dos putos del espacio, sepaadas po ua distacia. La eegía potecial de este simple sistema, supoiedo las cagas peviamete ceadas e el ifiito, estaá dada po el tabajo equeido paa lleva las cagas a su posició fial. Teiedo e cueta que el potecial es el tabajo ealizado paa taslada la uidad de caga desde el ifiito al puto, el tabajo paa ubica q a ua distacia de q es: W = q [J] dode es el potecial e el puto (dode se ubica q ) debido a q. Si a la cofiguació ateio agegamos ua tecea caga q 3 situada a ua distacia 3 de q, y 3 de q, la eegía potecial del sistema de 3 cagas puede obteese adicioado al tabajo ates calculado el que coespode al desplazamieto de q 3 hasta su posició fial, así paa la cofiguació de las tes cagas se tiee: W = q + q q 3 3 ya que e geeal puede escibise que: q m m = q m esulta: W = q + q + q ( + ) ( + ) 3 ( + ) [ J] expesió que puede escibise como: ' ' W = q + q + q3 ' 3 [ J] dode ', ' y ' 3 so los poteciales e los putos, y 3 espectivamete, debidos a todas las cagas excepto la caga ubicada e el puto cosideado. Extediedo la expesió ateio a u sistema de cagas putuales, se obtiee: ' i i [ J ] [65] W = q i= dode ' i es el potecial e i debido a todas las cagas excepto la i-ésima. 6.. Eegía total de u sistema de cagas putuales La fómula [65] da la eegía potecial W de agupamieto de cagas elécticas putuales desde el puto de vista de la acció a distacia ete las cagas. Natualmete, tambié puede adoptase el puto de vista del campo de fueza ceado po las cagas. Ecotaemos la expesió de W e ese caso. Cosideemos el teoema de la divegecia y la Ley de Gauss, aplicados al caso de ua caga putifome geéica q i e el vacío; se tedá: [ i ] E ( ) dv = E ( ) ds ε ε v i dode: S i i v i es u volume cualquiea que eciea (cotiee) el puto i e el que está situada la caga q i. S i es la supeficie (ceada) límite del volume v i. E i () es el campo eléctico asociado a q i. [66] Pág.

25 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo es el vecto de posició de u puto geéico iteio a v i. Sea ' i () la fució potecial que deiva de: E ( ) = ( ) i i [67] Se puede expesa los ' i () de la expesió [65] e la foma: ' i = j j= ( j i) ( ) i [68] Siedo i el vecto de posició del puto i, dode está la caga q i. Así, co [66] y [68] e [65] se tiee: ε W = i j E ( ) dv i= v j= ( j i ) ( ) La expesió [69] es ua suma de (-) témios de la foma geéica: ( ) E ( ) j i i v i dv i [69] [7] La E ( ) i bajo el sigo itegal es ula e casi todo el volume v i, excepto justo e el puto i, dode está q i, la úica caga E seá ulo e casi todo el volume vi, excepto e i, dode = i y j = j ( i ). Po cosideada. Así tambié el poducto ( j i ) eso esulta e este caso: E ( ) dv = E ( ) dv [7] ( ) ( ) j i i j i i v i v i El segudo miembo de [7] es igual a [7]. Po ota pate el pime miembo de [7] puede tasfomase mediate ua itegació po pates utilizado la siguiete idetidad del aálisis vectoial: [ ( ) ] ( ) ( ) E ( ) = E ( ) + E ( ) [7] de la cual j i i j i i j i i ( ) ( ) ( ) E ( ) = E ( ) E ( ) [73] j i i j i i j i i Co la [73] y teiedo e cueta la [67], el pime miembo de [7] se coviete e: { [ ( ) ] + ( ) j i i j i } E ( ) E E ( ) dv [74] v i La itegal del pime témio de [74] puede a su vez tasfomase, aplicado el teoema de la divegecia, así: [ ( ) ] ( ) dv = j i E i ( ) j i E i ( ) ds [75] v i S i Como cada v i puede se cualquie volume co la úica codició de cotee la caga q i, se puede elegi u úico volume v = v i tal que paa todo i el volume v cotega todas las cagas q i. Además puede hacese v ta gade como sea ecesaio (v ) de modo que las itegales de supeficie del tipo de la [75] se aule. E efecto, cuado v cece idefiidamete, la supeficie límite S vaía co, mietas que i vaía co - y E i lo hace co - (siedo =, el módulo del vecto de posició de u puto geéico situado sobe la supeficie S). Teiedo e cueta esta codició, la foma itegal dada po [7] se educe al segudo témio deto de la itegal de [74]; eemplazado e [69] y eodeado las sumas, teemos: Pág. 3

26 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo W = ε i= j= ( j i) v ( E j( ) Ei( )) dv [76] o, lo que es igual, ε W = j i v i= j= ( j i) ( E ( ) E ( )) Teiedo e cueta que el campo eléctico total E() ceado po las cagas es: dv [77] E( ) E ( ) = i i= [78] esulta: ( j i ) ( j i ) E ( ) = E ( ) E ( ) = E ( ) E ( ) + E ( ) de dode: i= j= i= j= ( j i ) i= i E ( ) E ( ) E ( ) = Ei ( ) i ( j i ) i= j= ( j i) = [79] Fialmete, co [79] e [77] obteemos: ε ε W = E E i ( ) dv - ( ) dv [8] v El pime témio de [8] i= v U ε v E ( ) dv [8] es la eegía total del campo eléctico, mietas que: U Si ε E i v ( ) dv [8] es la autoeegía, o eegía de codesació, de la i-ésima caga. Cosecuetemete: U = S i= U Si [83] es la autoeegía de las cagas del sistema cosideado Eegía de ua distibució cotiua de cagas Se tata de ecota ahoa ua expesió de la eegía electostática paa ua distibució cualquiea de caga e el cotiuo, caacteizada po ua desidad ρ(x, y, z), co la salvedad de que ρ es fiita e todo puto (x, y, z). Paa ello supogamos que se desplaza pequeños elemetos de caga desde el ifiito a su ubicació fial de modo de i icemetado su desidad de caga e cada puto hasta alcaza el valo fial ρ(x, y, z). Dado que el tabajo ecesaio paa costui la distibució es idepediete de la modalidad co que se costuya, puede cosidease que el taspote de los pequeños elemetos de caga se ealiza de foma de que e cada istate la desidad de caga ρ i e cada puto es la misma facció f de la desidad fial ρ de ese puto. ρ = f ρ i C 3 m co f vaiado ete y, así el icemeto de desidad de caga es: dρ= ρ df C 3 m Pág. 4

27 Campos y Odas Electostática e el vacío Pime Módulo A medida que va vaiado la distibució de caga, va modificádose el potecial de cada puto, de foma tal que e cada istate se tiee u potecial i coespodiete a la desidad ρ i, siedo el valo fial coespodiete a ρ, el valo de i es: i = f [ ] E base al modelo adoptado el icemeto de tabajo a medida que se va taspotado elemetos de caga, es: dw = ( f ) df ( ρ dv ) J y el tabajo total es: W f df ρ dv = v J de dode: W = v ρ dv J [84] La ecuació [84] expesa la eegía potecial paa el caso de ua distibució de caga abitaia ρ (co ρ fiito e todo puto del espacio), y es equivalete a la expesió [65] paa cagas putuales. Si embago, debe otase que e Eo!No se ecueta el oige de la efeecia. el valo del potecial es el geeado po toda la distibució de caga ρ, mietas que e [65] el potecial es el debido a todas las cagas excepto la del puto. Paa los casos de distibucioes de cagas supeficiales (σ) y lieales (λ), la [84] se expesa como: W y W = S L σ ds J [85] = λ dl [ J ] [86] Eegía e témios de campo Se tata ahoa de expesa la eegía solo e témios de campo, itoduciedo e la expesió [65] la igualdad: D = ρ C m 3 esulta: W = ( D ) dv [ J ] [87] v Utilizado la igualdad del aálisis vectoial c F = c F + F c ( ) siedo c es u escala y F u vecto, la [87] se tasfoma e: W = dv dv v ( D) D [ J] v aplicado el teoema de la divegecia al pime témio del miembo deecho de la ateio ecuació, se tiee: W = D ds D dv [ J ] [88] S v La supeficie sobe la cual debe efectuase la itegació de la pimea itegal del segudo miembo de la [88] debe cotee la distibució de caga, cumplida tal codició S puede elegise abitaiamete. Si se elige S como ua supeficie ceada e el ifiito, debe calculase la itegal paa. E tal codició, paa ua distibució de caga fiita, el potecial tiede a ceo co -, el campo tiede a ceo co - y la supeficie tiede a ifiito co, po lo cual la itegal tiede a ceo paa. Si además se eemplaza e la [67] la igualdad: [36] Pág. 5