RENTAS FINANCIERAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ECONÓMICA, FINANCIERA Y ACTUARIAL. División de Ciencias Jurídicas, Económicas y Sociales

Transcripción

1 RENTAS FNANCERAS Cae Badía, Hotèsia Fotaals, Meche Galisteo, José Mª Lecia, Mª Agels Pos, Teesa Peixes, Dídac Raíez, F. Javie Saasí y Aa Mª Sucaats DEPARTAMENTO DE MATEMÁTCA ECONÓMCA, FNANCERA Y ACTUARAL Divisió de Ciecias Juídicas, Ecoóicas y Sociales Uivesidad de Baceloa

2 Retas Fiacieas 3. RENTAS FNANCERAS 3.. DEFNCÓN Y CLASFCACÓN Ua eta fiaciea es u cojuto de capitales fiacieos que peseta peiodicidad e sus difeiietos y se epeseta po: { ( C,T) },2,..., T T P 2,3,..., co dode: C es el téio -ésio de la eta. T es el difeiieto, expesado e años, asociado al téio -ésio de la eta. P es el peiodo de la eta y, al igual que el difeiieto, está expesado e años. La codició paa que u cojuto de capitales costituya ua eta fiaciea es que la difeecia ete dos difeiietos cosecutivos sea siepe la isa: T T P 2,3,...,. El difeiieto T se puede expesa coo: T T + ( ) P,2,..., de odo que el esquea tepoal de ua eta fiaciea, siedo el oige de la opeació fiaciea, o la fecha de aálisis, es: C C 2... C C +... C - C T T +P... T +(-)P T +P... T +(-2)P T +(-)P años P P P

3 2 toducció a la Mateática Fiaciea Las etas fiacieas puede clasificase e fució de difeetes citeios: a. Segú la peiodicidad. E fució del peiodo, P, ua eta puede se: aual seestal tiestal esual etc. Peiodo (P) Fecuecia () b. Segú la localizació del téio deto del peiodo. Si se asue que cada téio está asociado a u peiodo, e fució de la localizació del téio deto del peiodo, la eta puede se: b.. ecida o pospagable si el téio se hace efectivo al fial de cada peiodo. b.2. Aticipada o pepagable si el téio se hace efectivo al iicio de cada peiodo. c. Segú el oige de la eta co especto al oige de la opeació. El oige de la eta puede coicidi o o co el oige de la opeació de aea que la eta puede se: c.. ediata si el oige de la eta y el de la opeació coicide. El esquea tepoal de ua eta iediata y vecida, teiedo e cueta que, e este caso T P, es: C C 2 C 3... C - C... C - C P 2P 3P... (-)P P... (-)P P años Si la eta es iediata y aticipada se cuple que T y su esquea tepoal es:

4 Retas Fiacieas 3 C C 2 C 3 C 4... C C +... C P 2P 3P... (-)P P... (-)P P años c.2. Difeida si el oige de la eta es posteio al de la opeació. La difeecia ete los dos oígees se deoia difeiieto y se siboliza po d. El difeiieto se expesaá e peiodos de la eta. Si la eta es difeida y vecida se cuple que T (d+ ) P y su esquea tepoal es: C C 2... C - C... C - C dp (d+)p (d+2)p... (d+(-))p (d+)p... (d+(-))p (d+)p años Si la eta es difeida y aticipada se cuple que T d P y su esquea tepoal es: C C 2 C 3... C C +... C dp (d+)p (d+2)p... (d+(-))p (d+)p... (d+(-))p (d+)p años d. Segú el úeo de téios de la eta. La eta puede se: d.. Tepoal si la eta tiee u úeo () fiito de téios. d.2. Pepetua si el fial de eta o está defiido. E este caso se cosidea que el úeo de téios de la eta tiede a ifiito ( ). e. Segú la atualeza del téio. E fució del téio de la eta, C, la eta puede se: e.. Costate si todos los téios so iguales: C C Ν

5 4 toducció a la Mateática Fiaciea e.2. aiable si todos los téios so distitos. Po su utilizació cabe destaca dos tipos de etas vaiables: e.2.. Reta de vaiació geoética cuado los téios de la eta cuple la elació: C C q Ν siedo q la azó de la pogesió geoética. e.2.2. Reta de vaiació lieal cuado los téios de dicha eta cuple la elació: C C + h ( ) Ν siedo h la difeecia de la pogesió aitética ALORACÓN DE UNA RENTA: ALOR ACTUAL Y ALOR FNAL aloa ua eta e el difeiieto T cosiste e halla la sua del valo fiacieo, e dicho difeiieto, de cada uo de los capitales que copoe la eta. Si se valoa la eta e el oige de la opeació dicho valo ecibe el obe de valo actual y se siboliza po, ietas que si la valoació se ealiza al fial de la opeació etoces se deoia valo fial y se siboliza po f. Dado que existe divesos tipos de etas que suge de la cobiació de los distitos citeios de clasificació detallados e el apatado ateio, paa sisteatiza la valoació de las etas se toaá coo efeecia ua eta vecida, iediata y tepoal y se obtedá su valo actual y fial. Los esultados obteidos se aplicaá e la valoació de cualquie oto tipo de eta, aplicado las coespodietes coeccioes. E picipio se cosidea que la eta toada coo odelo tiee peiodicidad P, esto es co fecuecia, y que sus téios puede se costates o vaiables. E posteioes P apatados se obtedá expesioes paticulaes paa los casos e que los téios sea costates, de vaiació lieal o de vaiació geoética. La valoació se ealizaá e égie fiacieo de iteés copuesto a tato costate cuya expesió caacteística es: C C (+ ) utilizado u tipo de iteés, cuya fecuecia sea la isa que la de la eta, es deci,. P t

6 Retas Fiacieas alo actual Halla el valo actual cosiste e sua e el oige de la opeació, T, el valo fiacieo de todos los capitales que costituye la eta. El valo actual de la eta ( ) es la cuatía del capital fiacieo situado e el oige de la opeació, T, que es equivalete al cojuto de capitales fiacieos que costituye la eta. Sibólicaete esta equivalecia se expesa coo: { ( C,T ) },2,..., { (, ) } Reta vecida, iediata y tepoal Gáficaete el valo actual de ua eta vecida, iediata y tepoal se coespode co el siguiete esquea tepoal: C C 2... C... C P 2P... P... P años Paa halla el valo actual, debe teese e cueta que la actualizació, e égie fiacieo de iteés copuesto, de cada uo de los capitales que costituye la eta esulta de: +,2,..., C C ( ) dode C es el valo fiacieo e de la cuatía C.

7 6 toducció a la Mateática Fiaciea Po lo tato, el valo actual de la eta,, se obtiee de: ( ) ( ) ( ) ( ) C C... C... C ( + ) C Cabe destaca que al efectua el suatoio C ( + ) se obtiee el valo de la eta u peiodo ates de dode se halla situada la piea de las cuatías, y que e el caso de que la eta sea vecida e iediata dicho peiodo coicide co el oige de la opeació Reta aticipada, iediata y tepoal. Paa halla el valo e el oige de la opeació de ua eta aticipada, iediata y tepoal debe teese e cueta el siguiete esquea: C C 2... C C +... C -P P... (-) P P... (-) P P años -P Si se aplica el suatoio C ( + ) e la valoació de esta eta el valo se obtiee u peiodo ates de dode se ecueta situada la piea cuatía de la eta, es deci, e P. Paa obtee el valo e el oige de la opeació se debe capitaliza el valo, P, que se coespode co la cuatía de u capital fiacieo situado e P, hasta T, esto es, hay que capitaliza P u peiodo.

8 Retas Fiacieas 7 P ( + ) C ( + ) ( + ) P E defiitiva, si ua eta es aticipada e iediata se valoa coo si se tataa de ua eta vecida e iediata capitalizado el esultado obteido u peiodo Reta vecida, difeida y tepoal E este caso el esquea de la opeació es: C C 2... C... C dp (d+)p (d+2)p... (d+)p... (d+)p años d Si se aplica el suatoio C ( + ) e la valoació de esta eta el valo se obtiee u peiodo ates de dode se ecueta la piea cuatía de la eta, es deci, e dp. Paa obtee el valo e el oige de la opeació,, debeá actualizase el valo e dp, d (cuatía de u capital situado e dp) hasta T, lo cual iplica actualiza dicha cuatía d peiodos de la eta. ( ) d d + C ( + ) ( + ) d d

9 8 toducció a la Mateática Fiaciea Reta aticipada, difeida y tepoal E este caso, el esquea de la opeació es: C C 2... C... C (d-)p dp (d+)p... (d+(-))p... (d+(-))p (d+)p años d- Si se aplica el suatoio C ( + ) e la valoació de esta eta el valo se obtiee u peiodo ates de dode se ecueta la piea cuatía de la eta, es deci, e ( d ) P. Paa obtee el valo e el oige de la opeació,, se debe actualiza el valo e ( d ) P, d- (cuatía de u capital situado e ( d ) P) hasta T. Es deci, debe actualizase dicha cuatía d peiodos de la eta: ( ) ( d ) d + ( ) ( ) ( d ) C + + d Reta vecida, iediata y pepetua Si la eta es pepetua, vecida y tepoal su valo actual,, se obtiee calculado el líite cuado del valo actual de la eta vecida, iediata y tepoal: lí E el caso que la eta pepetua tega otas caacteísticas distitas se aplicaá las isas coeccioes que paa las etas tepoales.

10 Retas Fiacieas alo fial de ua eta vecida, iediata y tepoal El valo fial de ua eta vecida, iediata y tepoal es la sua del valo fiacieo de todos los capitales de la eta e T. El valo fial, f, es la cuatía del capital fiacieo situado e T capitales fiacieos que costituye la eta:, equivalete al cojuto de { ( C, T) },2,..., { (,T f ) } Gáficaete el valo fial de esta eta se coespode co el siguiete esquea: C C 2... C... C P 2P... P... P años f Aplicado égie fiacieo de iteés copuesto, el valo fial de la eta, f, se deteia del siguiete odo: ( ) ( ) ( ) 2 f C C... C... C f ( + ) C Po ota pate, el valo fial se puede expesa e fució del valo actual: ( ) f + ( + ) ( + ) C C ( ) + f

11 toducció a la Mateática Fiaciea Este esultado puede hacese extesivo a cualquie oto tipo de eta teiedo e cueta sus popias paticulaidades. Ua vez que se ha obteido el valo actual, el valo fiacieo e cualquie oto difeiieto se obtiee capitalizado hasta dicho difeiieto el valo actual. Las etas pepetuas, al o tee u fial coocido, o tiee valo fial. Todos los suatoios que se ha obteido se coviete e fóulas de fácil aplicació cuado se cosidea etas cuyo téio es costate, vaiable geoéticaete o liealete tal coo se expoe e los siguietes apatados RENTA CONSTANTE A cotiuació se obtedá las expesioes coespodietes al valo actual y fial de ua eta vecida, iediata, tepoal y costate. E el caso que la eta costate cosideada pesete uas caacteísticas distitas a las citadas se aplicaá a las expesioes obteidas las coeccioes expuestas e el apatado ateio. Paa halla el valo actual de ua eta costate, vecida, iediata y tepoal basta sustitui C C Ν e la expesió geeal del valo actual de la eta odelo: C ( ) C ( ) C ( ) El suatoio ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 (+ ) es la sua de los téios de ua pogesió geoética de azó ( ) del siguiete odo: + y se obtiee dode: a a q Sua q

12 Retas Fiacieas ( ) a + es el pie téio de la pogesió geoética ( ) a + es el últio téio de la pogesió ( ) q + es la azó de la pogesió de odo que, ( + ) a a q (+ ) (+ ) (+ ) (+ ) ( ) q ( ) ( + ) ( + ) + ( ) ( ) ( ) ( ) (+ ) (+ ) + Teiedo e cueta la últia expesió, el valo actual de ua eta costate, vecida, iediata y tepoal es: C (+ ) (+ ) C C a siedo (+ ) a el valo actual de ua eta uitaia (C u..), vecida, iediata y tepoal, valoada al tato. C a Si la eta es costate, vecida, iediata y pepetua, el valo actual de la eta es: lí líc a (+ ) C lí C C a

13 2 toducció a la Mateática Fiaciea siedo a el valo actual de ua eta uitaia, vecida, iediata y pepetua, valoada al tato. C a El valo fial de la eta costate, vecida, iediata y tepoal se obtiee a pati de ( ) f + sustituyedo po la expesió paticula de la eta costate: C a ( ) f + (+ ) C ( + ) C ( ) + C s siedo (+ ) s el valo fial de ua eta uitaia, vecida, iediata y tepoal, valoada al tato. f C s Ejeplo Sea ua eta de 6 téios esuales de 6 cada uo de ellos. Si el égie fiacieo aplicado es el de iteés copuesto y el tipo de iteés u 5,7% aual capitalizable esualete, halla el valo actual de la eta si ésta fuese: a. ecida e iediata El esquea asociado a esta eta es:

14 Retas Fiacieas /2 2/2 3/ /2 6/2 años Paa halla el valo actual e T de esta eta se aplica la fóula deducida ateioete paa la eta odelo costate: C a (+ ) C teiedo e cueta los siguietes datos: C 6 i2 2,475. Debe teese e cueta que la fecuecia asociada al tato efectivo 2 utilizado e la valoació de la eta debe coicidi co la fecuecia de la eta, de ahí que se utilice u tato efectivo esual. 6 Teiedo e cueta que de la aplicació de la fóula se obtiee el valo de la eta u peiodo ates de dode se localiza el pie téio de la eta, dicho valo se obtiee ya e el oeto T. 6,475 6 a ,4 6 2,475 b. Aticipada e iediata El esquea asociado a la eta es:

15 4 toducció a la Mateática Fiaciea /2 /2 2/ /2 6/2 años -/2 E este caso, el esultado de aplica la fóula de la eta costate, 6 a popocioa 6 2 la cuatía de u capital situado u peiodo ates de dode se ecueta localizado el pie téio de la eta, es deci, e T 2: 6 a 3.26,4 /2 6 2 Po tato, paa obtee el valo e T debeá capitalizase el esultado ateio u peiodo de la eta, u es: a /2 ( ) , RENTA DE ARACÓN GEOMÉTRCA Esta eta se caacteiza poque el cociete ete dos téios cosecutivos es siepe el iso: C+ q Ν C Al se u cociete de cuatías y se éstas siepe estictaete positivas, q debe se siepe u úeo eal positivo, q > : Si los téios de la eta so cecietes, etoces C+ > C Ν y e este caso q >. Si los téios de la eta so dececietes, etoces C + < C Ν y e este caso < q<.

16 Retas Fiacieas 5 Los téios de ua eta de vaiació geoética se ajusta a la siguiete vaiació: C C q Ν Paa obtee el valo actual de ua eta de vaiació geoética que adeás es vecida, iediata y tepoal basta sustitui actual de la eta odelo: C C q Ν e la expesió geeal del valo + C q ( + ) C ( ) ( ) C q q ( + ) Paa deduci la expesió que peite obtee diectaete el valo actual de la eta de vaiació geoética, vecida, iediata y tepoal, es ecesaio distigui dos casos: a. + q ( q ( + ) ) es la sua de téios de ua pogesió geoética de azó ( ) q q +, esto es, ( q ( ) ) + a a q q + q + q + ( ) ( ) ( ) q ( + ) q ( ) ( ) ( ) ( ) q + q + q + + q q + q de dode ( ( ) ) ( ) ( ) q + q q + q C q q C q q C ( ) q + C + q

17 6 toducció a la Mateática Fiaciea b. + q ( ) E este caso ( ) q + y, po tato, se obtiee que: ( ( ) ) C ( ) + + C q q C q ( ) C + Si la eta geoética es vecida, iediata y pepetua, el valo actual sólo está defiido cuado ( ) < q + < y es: ( ) q + lí lí C + q C + q C + q Paa obtee el valo fial de la eta geoética, vecida, iediata y tepoal se aplicaá la expesió geeal deducida e el apatado Ejeplo Sea ua eta de 48 téios tiestales y cecietes e u 2% tiestal acuulativo. Si el pie téio es de. y la valoació se efectúa e égie fiacieo de iteés copuesto a u tipo de iteés del 2,% seestal, halla el valo actual, e el oige de la opeació, de la eta si ésta fuese: a. ecida y difeida 3 tiestes El esquea tepoal de esta eta es,

18 Retas Fiacieas 7 C C 2... C 47 C 48 /4 2/4 3/4 4/4 5/4... 5/4 5/4 años 3 Paa halla el valo de esta eta e T ( ) se aplicaá la fóula del valo actual de la eta odelo de vaiació geoética añadiedo la coecció ecesaia paa cotepla la existecia del difeiieto. Los datos de la eta so los siguietes: C. q,2 4,~ 2,2. Se copueba que + 4 q. 48 d 3 tiestes Al aplica la fóula ( ) q + C + q se obtiee el valo de la eta u tieste ates del oeto e que se localiza el pie téio, es deci, se obtiee e T 3 4. Po tato, debeá actualizase el esultado obteido, 3, 3 tiestes paa pode obtee el valo e el oige de la opeació: ,2,., +,, ,44 euos b. Aticipada y difeida 3 tiestes El esquea tepoal de esta eta es,

19 8 toducció a la Mateática Fiaciea C C 2... C 47 C 48 /4 2/4 3/4 4/ /4 5/4 5/4 años 2 E este caso, al aplica la fóula del valo actual de la eta odelo de vaiació geoética se obtiee el valo de la eta u tieste ates del oeto e que se localiza el pie ( ) téio de la eta, es deci, e T Po tato, paa halla el valo e el oige de la opeació,, debeá actualizase el esultado obteido, 2, 2 tiestes: 48 48,2, 2., +,, , RENTA DE ARACÓN LNEAL Esta eta se caacteiza poque la difeecia ete dos téios cosecutivos es siepe la isa: C C h + Ν Si los téios de la eta so cecietes, etoces C+ > C Ν y e este casoh >. Si los téios de la eta so dececietes, etoces C + < C Ν y e este caso h <. Los téios de ua eta de vaiació lieal se ajusta a la ley: ( ) C C + h Ν

20 Retas Fiacieas 9 Paa obtee el valo actual de ua eta de vaiació lieal vecida, iediata y tepoal se toa coo puto de patida la defiició geeal del valo actual paa la eta odelo: C (+ ) y se sustituye C po ( ) C C + h Ν: ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) C ( ) C h C h h Teiedo e cueta que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 h + h h h h + ( ) ( ) ( ) ( ) h + + h + + h h la ateio expesió de es: ( + ) + ( + ) + ( + ) + + ( + ) 2 3 C h h... h () (2) (3) () es la sua del valo actual de etas costates cuyos esqueas tepoales so los siguietes:... h () h h... h h (3) h h h... h h (2) C C C C... C C () P 2P 3P 4P (-2)P (-)P P años E fució de este esquea, es:

21 2 toducció a la Mateática Fiaciea ( ) ( ) ( ) ( ) 2 C a + h a + + h a h a + 2 ( ) ( 2) ( 3) ( ) s a a ( ) a ( ) ( s ) ( ) + s C + h + C + h + s s s h h C C s s a ( ) ( ) ( ) ( ) a s s s h s h h C a + ( ) ( ) C ( ) + + a + a + s s ( ) ( ) a a a a a h + h h C + + h C + + h De esta últia expesió se obtiee: h h C + + h a E el caso de que la eta lieal sea vecida, iediata y pepetua, el valo actual es: lí Si se sustituye po la expesió señalada co (*) e la deostació ateio, se obtiee h h lí lí C a + a ( + ) h h C h C + lía lí + 2 ( + ) puesto que se cuple que

22 Retas Fiacieas 2 lí a lí lí + + l + ( ) ( ) ( ) E defiitiva, se obtiee que C h + 2 Paa obtee el valo fial de la eta lieal, vecida, iediata y tepoal se aplicaá la expesió geeal deducida e el apatado Ejeplo Sea ua eta de 72 téios esuales y cecietes e 2 cada es. Si el pie téio es de 5 y la valoació se efectúa e égie fiacieo de iteés copuesto a u tipo de iteés del,4% esual, halla el valo fial de la eta si se cosidea vecida e iediata. El esquea asociado a esta eta es: C C 2 C 3 C 4... C 7 C 72 /2 2/2 3/2 4/2... 7/2 72/2 años f Paa halla el valo fial de esta eta debe teese e cueta los siguietes datos:

23 22 toducció a la Mateática Fiaciea C 5 h 2 2,4 72 De la aplicació iediata de la fóula del valo actual de la eta lieal, vecida, iediata y tepoal se obtiee el valo de la eta e el oige de la opeació, es deci, e T ( ). Po tato, paa obtee el valo al fial de la opeació basta capitaliza el esultado obteido 72 eses: ,4,4,4 72 f + + a 72, , RENTA FRACCONADA Ua eta faccioada se caacteiza poque su fecuecia o coicide co la fecuecia de vaiació del téio de dicha eta. Las caacteísticas de la eta faccioada so las siguietes: Peiodo de la eta: P (Fecuecia de la eta: /P). Peiodo de la vaiació del téio: P (Fecuecia de la vaiació del téio: M/P ). Núeo de téios de la eta:. Núeo de téios de cuatía difeete e el plazo de la eta: N. El téio geeal de la eta faccioada es sólo cabia N veces de cuatía. C, dode,2,...,n puesto que el téio Núeo de téios de igual cuatía deto de cada peiodo de vaiació: k. P Se cuple que k. M P N El esquea tepoal de ua eta faccioada, vecida, iediata y tepoal, es el siguiete:

24 Retas Fiacieas 23 C C... C C 2 C 2... C 2... C N P 2P... kp (k+)p (k+2)p... 2kP... P años Coo se despede del esquea ateio, el téio de la eta o vaía cada peiodo sio que lo hace cada k peiodos. Así, duate los k pieos peiodos el téio es el iso y se siboliza po C,, duate los k segudos peiodos el téio tabié es el iso y se siboliza po C 2, auque distito a los pieos k peiodos y así sucesivaete. Ua eta faccioada se puede cosidea coo u cojuto de N etas costates. Paa halla el valo actual de la eta faccioada se sustituye, e pie luga, cada ua de las N etas costates po su valo fial: C C... C C 2 C 2... C 2... C N P 2P... kp (k+)p (k+2)p... 2kP... P años 2... N El valo fial de ua eta de k téios de cuatía costate C y de fecuecia es: C s,2,...,n k Así, la eta oigial puede sustituise po ota eta de N téios de cuatía vaiable,,2,...,n y de peiodicidad P', esto es de fecuecia M, cuyo esquea tepoal es: 2... N P 2P... P kp (k+)p (k+2)p... 2P 2kP... NP P años

25 24 toducció a la Mateática Fiaciea El valo actual de la eta faccioada, f, se obtiee del siguiete odo: 2... N P 2P... NP años f E defiitiva, N N f ( + M) s ( + M) k k ( + ) N N M C ( + M) C ( + M) N N M M im im auxilia k C ( + M) C' ( + M) i i auxilia C i f M auxilia i auxilia es el valo actual de ua eta, deoiada auxilia, cuyas caacteísticas so las siguietes: Su fecuecia es igual a la fecuecia de vaiació de la eta faccioada: M. El úeo de téios (y, po tato, el úeo de peiodos) coicide co el úeo de téios de cuatía difeete e todo el plazo de la eta faccioada: N. El téio de la eta es C k C (,2,...,N) y cada uo de ellos se sitúa dode está el últio téio de cuatía C. Así, po ejeplo, el pie téio de la eta auxilia C k C se sitúa dode está el últio téio de cuatía C. El esquea de la eta auxilia asociada al de la eta faccioada es el siguiete:

26 Retas Fiacieas 25 Reta faccioada C C... C C 2 C 2... C 2... C N P 2P... kp (k+)p (k+2)p... 2kP... P años Reta auxilia C k C C 2 k C 2... C N k C N P kp 2P 2kP... NP kp años La eta auxilia es ua eta vaiable, vecida, iediata y tepoal y, po tato, su valo actual se obtiee aplicado las fóulas de las etas de vaiació geoética o lieal ateioete vistas e los apatados 3.4. y 3.5. espectivaete. i El cociete M i es el deoiado facto coecto, que peite coveti el valo actual de la eta auxilia e el valo actual de la eta faccioada, vecida, iediata y tepoal. Dicho facto coecto es el cociete ete el tato oial de iteés asociado a la fecuecia de la vaiació y el tato oial de iteés asociado a la fecuecia de la eta faccioada. Ejeplo Sea ua eta de 2 téios esuales y vecidos, vaiables a azó de u 5% aual acuulativo. Halla su valo actual si el tipo de iteés es el 6% efectivo aual y duate el pie año cada téio esual es de 3.. Las caacteísticas de la eta faccioada so: Peiodo de la eta: P 2 2 Peiodo de la vaiació: P M Núeo de téios de la eta: 2 Núeo de téios de cuatía difeete: N

27 26 toducció a la Mateática Fiaciea Duate el pie año, el téio esual es de 3. ( C 3. ). Duate el segudo año se iceetaá dicho téio u 5% co especto al del año ateio. Así, C2,5 C 3.5. E defiitiva, se cupliá que C C,5,2,3,... Núeo de téios de igual cuatía deto de cada peiodo de vaiació: 2 2 K 2 M N La eta es vecida, iediata y tepoal Y las caacteísticas de la eta auxilia so: Peiodo de la eta: P M Núeo de téios: N El pie téio es C k C 2 C 36. y está situado al fial del pie año de la eta, que es pecisaete dode está situado el últio téio de cuatía C. El segudo téio es C 2 k C 2 2 C 2 2,5 C,5 2 C,5 C. Coo puede apeciase, la vaiació del téio de la eta auxilia es la isa que la de la eta faccioada. Este esultado puede geealizase al esto de los téios y ello peite expesa el téio geeal coo C C,5 2 C,5 co,2,3,...,. Así, la eta auxilia es ua eta de vaiació geoética a la cual se aplicaá la fóula obteida e el apatado 3.4. de este capítulo. Los esqueas tepoales coespodietes a las etas faccioada y auxilia asociadas a la eta descita e el ejeplo so los siguietes: Reta faccioada C C... C C 2 C 2... C 2... C /2 2/2... 2/2 3/2 4/ /2... 2/2 años Reta auxilia C 2 C C 22 C 2... C 2 C 2... años

28 Retas Fiacieas 27 i ' C f,6,5, ,25,584, 6, 5 i 2 auxilia Reta faccioada aticipada, iediata y tepoal Si la eta faccioada es aticipada, iediata y tepoal la valoació debe hacese teiedo e cueta el siguiete esquea: Reta faccioada C C... C C 2 C 2... C 2... C N P... (k-)p kp (k+)p... (2k-)P... (-)P P años Reta auxilia C k C C 2 k C 2... C N k C N -P (k-)p (2k-) P... (-)P años P (k-)p E el caso de que la eta sea aticipada, el valo actual de la eta auxilia se obtiee u peiodo, P, ates del oige de la eta. Po tato, paa tee el valo e el oige de la opeació debeá capitalizase el esultado obteido u peiodo de la eta faccioada: i ( ) f M auxilia P + i Ejeplo Halla el valo actual de ua eta de iguales caacteísticas a la del ejeplo ateio peo aticipada. Los esqueas coespodietes a las etas faccioada y auxilia so los siguietes:

29 28 toducció a la Mateática Fiaciea Reta faccioada C C... C C 2 C 2... C 2... C /2... /2 2/2 3/ /2... 9/2 2/2 años Reta auxilia C 2 C C 2 2 C 2... C 2 C -/2 /2 +/ /2 años /2 años Coo la eta faccioada es esual y aticipada, el valo de la eta auxilia se obtiee u es ates del oige de la eta siedo ecesaio capitaliza el esultado u es paa pode tee el valo de la eta faccioada e el oige de la opeació. i f,6,5,6 36., ,6,584,6,5 + 2 i auxilia 2 2 auxilia

30 Retas Fiacieas 29 Cuado esue de las fóulas que peite obtee el valo actual de las etas fiacieas: RENTA TEMPORAL PERPETUA C C Ν (+ ) C C a C C a C C q Ν + q q ( ) q + C + q + ( ) C + C + q ( ) < q + < h C C + h ( ) Ν C + + h a h C h + 2