Tecnologia de la llum

Transcripción

1 ecologia de la llum despacho.45 (plaa ) Cosula: LUN -3 y 5-7; M 6-8 ; V -3 ) la aualeza de la luz y los feómeos ópicos ) aplicacioes ecológicas: - fuees (aeas, icadescecia, lumiiscecia, láse) - espejos, lees, ejillas de difacció, capas aieflejo - isumeos ópicos (lupa, el ojo, la cámaa, elescopio, micoscopio) -aálisis de image, écicas de micoscopía, visió humaa - semicoducoes y opoelecóica: LD, diodo láse, celdas solaes, foodiodo, paallas, CCD -eoía y aplicacioes del láse (hologafía, DVD, medicia, maeiales ) - fibas ópicas y elecomuicacioes -si queda iempo: u visazo a las aplicacioes fuuas: ópica iegada, plasmóica, cisales foóicos y meamaeiales, ivisibilidad

2 sucua de la asigaua (ª miad) ) oducció: qué es la luz ) La maemáica de las odas - Noació compleja - Odas moocomáicas plaas y esféicas - asfomada de Fouie - efeecia y difacció 3) Fuees de luz - Clasificació de las fuees elecomagéicas -Aeas - Fuees lumiiscees - Fuees icadescees (cuepo ego) 4) Los feómeos ópicos - eacció micoscópica co la maeia: emisió, absoció y espacimieo -Luz e u aislae o coduco, scaeigplasma y Rayleigh, velocidad de fase y de gupo -Reflexió y efacció 5) Ópica geoméica e isumeos ópicos valuació:, vc +, S +, ifome +,4 F 4% % 4%

3 Qué es la luz? (MA ) Siglos XV y XV: 69: Galileo desaolla y usa el elescopio paa mia la lua, Júpie, los asos 8 676: Røme demuesa que la luz se popaga co velocidad fiia ( c. ms ) 69, 74: Coovesia Huyges Newo: luz oda o paículas? 8: expeimeo de la doble edija de Youg (iefeecia) 88: Malus descibe el compoamieo de la polaizació de la luz (oda asvesal) 845: Faaday ecuea que u campo magéico puede vaia la polaizació de la luz que se popaga e u maeial elació luz mageismo? 8 85 y 86: Pimeo Fizeau y luego Foucaul emide c. l º ecuea.98 ms 873: Maxwell descube que sus ecuacioes pedice la exisecia de odas elecomagéicas que se popaga e el vacío

4 c. de Maxwell (e el vacío) Luz : oda elecomagéica Uilizado la ideidad vecoial: cuació de c odas e.m. c D: d y dx c d y d 3D k e y so vecoes: k solució paicula Y Velocidad de popagació: y ( x, ) A si( ω kx +ϕ ) co ω/k λν c, ) Asi( ω k +ϕ ) (, k, las odas e.m. so asvesales la diecció de se llama polaizacióde la luz el módulo de de ua oda e.m. vale /c se obiee la: 8 c 3. ms u medio o coduco semiaspaee (p.ej. aie, vidio) ε ε ε c c v co: ε ( c v) µ ε µ µ µ ε µ ε ídice de efacció ε µ 3 7 ( 8.85 s C m kg )( 4π ) c mkgc -4 v k -,-,-6

5 *Popagació de la luz e u medio lieal e isóopo si cagas libes i coiees (dielécico pefeco) La descipció más simple (y o del odo coeca) de la popagació de ua oda e.m. deo de u maeial se puede hace a avés de la ecuacioes macoscópicas de Maxwell: D Relacioes cosiuivas H j + c D D e u medio lieal e isóopo: µ y µ (co j) D ρ c sa es la ecuació de ua oda que se popaga co velocidad: co ε ídice de efacció oces el efeco del medio se esume e ua edefiició de la velocidad de la oda y de los campos y. Ya que la eegía se coseva, y la eegía de u foó es su fecuecia (a meos de ua cosae, la fecuecia de la luz o vaía básicamee uca Al cambia de medio vaía la velocidad de popagació, peo o la fecuecia cuado vaía el ídice de efacció,iee que vaia la logiud de oda ( ω cos ) L&C j. p. 53 ε se defie e elecosáica como cosae dielécica. Si ε es cosae, ambié lo es, lo que daía ua velocidad de popagació que o depede de la fecuecia. so vale sólo paa odas de fecuecias bajas, mieas que paa fecuecias ópicas es ua fució de ω. c ε ε µ ε c c

6 Luz : eegía elecomagéica Desidad de eegía ( u) asociada a campos o : LUZ campo e.m. oscilae ; e el espacio vacío : /c u m µ e µ c u ε ; um ε µ u e u e. m. ε ( ) ealidad o os ieesa el valo isaáeo: luz visible: λ 5 m ω,ν 5 Hz, o se puede medi el valo isaáeo de, y aú meos el de S!!! Sólo podemos medi valoes pomedios e el iempo de la eegía, que deoamos co < u>. j.: oda moocomáica: ue. m. ε ( ) ε si ( ω) ue. m. ε si ( ω) ε < > pomedio empoal Flujo de eegía po áea uiaia eegía aspoada po uidad de iempo y supeficie : Paa ua oda plaa e el espacio vacío: S k Φu veco de Poyig µ l flujo es e la diecció de k. Vecoialmee puede escibise: La eegía pomedia que fluye po uidad de iempo y supeficiese llama iadiacia ( ), y es igual al valo medio empoal del módulo de. Paa ua oda e.m. moocomáica es: A, l c S c ue. m. ε c -9 c S k V U la c A, u em V c u em Φ S NOA: la luz aspoa o solo eegía, sio ambié momeo lieal y momeo agula u

7 *eoema de la eegía elecomagéica Co la defiició de veco de Poyig, la ecuació aeio se escibe: Muliplicado escalamee po la ecuació de Maxwell, se halla: ε µ ( ) ε µ. Po la ideidad vecoial, se iee : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + µ µ µ µ ε (se ha usado ambié ) µ S S + + µ ε µ ε. Ya que: elécica eegía desidad ε S + + µ ε µ ε magéica eegía desidad µ S u em la vaiació de eegía elecomagéica (e el vacío) es igual al flujo del veco de Poyig S em S dv U Φ foma iegal (iegado sobe el volume) : S k // Ua oda e.m. aspoa eegía e la diecció de popagació eoema de Poyig (cosevació de la eegía e.m. e el vacío) Valo medio del módulo del veco de Poyig iadiacia ( ) flujo de eegía po áea y iempo uiaios. Oda moocomáica : c c S ε µ µ

8 ipos de luz e ieacció luz-maeia 887: Hezgeea y deeca odas e.m.e el laboaoio (aeas) : descubimieo de los ayos X (y luego gamma) 896: iveció de la adio; pimeas foos co ayos X speco elecomagéico velocidad c, odas amóicas: λν c la fecuecia/logiud de oda esá asociadas co el COLOR Siglo XX: descubimieo que la luz emiida po u gas esá fomada de pocos coloes 9: Plack ioduce la cuaizació de la eegía de las odas e.m. paa explica la adiació émica 95: isei explica el efeco fooelécico asociado a la adiació e.m.de fecuecia ν ua eegía hν dode h J s se llama cosae de Plack 9-96: desaollo de la eoía cuáica 96: iveció del láse LUZ campo elecomagéico vaiable e el iempo (oda e.m.), geeado po el movimieo de cagas elécicas, que es emiido o adsobido e paquees disceos de eegía -7, -3-7,-5,-

9 La maemáica de las odas (MA ) Númeos complejos: u juego maemáico muy úil b ± b 4ac Sabemos que la solució de ax + bx + c es x,. sa solució fucioa si a b 4ac, poque si o, o sabemos saca la aíz. P. ej. paa las ecuacioes x x +, o x + 4 o exise solució. Aú así, fomalmee se podía acepa las solucioes simbólicas x, ± e igualmee x + o x ±, ya que p.ej. :, x x ( ) ( ) 4 4 x 4 4 ( + ) + ( ) + ( + ) (así que efecivamee es x ). Se uiliza el símbolo paa idica x + i Si acepamos como válidos úmeos de la foma a + ib a + b, eoces el poblema que co úmeos eales x + o eía solució, ahoa sí la iee: esamos peguado si exise u úmeo a + ib al que ( a + ib) + i (de hecho hay dos, + i y i) U úmeo de la foma z a + ib, co i (o i ) se llama úmeo complejo : Re{ z} { } a pae eal de z z a + ib b m z pae imagiaia de z z se puede epesea como veco D e el plao complejo (al como u úmeo eal se puede epesea como puo de ua eca) ambié se puede pesa y defii z como el pa odeado (a, b)

10 Del (veco o pa odeado) z podemos defii el módulo z a + b y la diecció: z a + ib a b z ˆ + i cosθ + isiθ z a + b a + b a + b Dado el úmeo complejo z a + ib, se defie su cojugado como: z* a ib Dos úmeos complejos se puede suma y muliplica: ( a + ib) + ( c + id ) ( a + c) + i( b + d ) ( a + ib) ( c + id ) ( ac bd ) + i( bc + ad ) ( i ) z a + Podemos eoces ambié eleva a poecia y saca aíces (e ese úlimo caso la opeació o es uívoca (p.ej., exise aíces complejas de -, como exise dos solucioes eales de x 9). Además podemos defii fucioes. La úica que os haá fala es la fució expoecial compleja: z a ib a ib e e + e e a b a ib la epeseació gáfica de z se llama faso Si zes eal (b, za), eso es igual a la expoecial eal. Paa zimagiaio (a, zib) vale la ideidad de ule : e ib cos b + isi b La ideidad de ule es ua elació sopedee ee expoecial (complejo) y fucioes siusoidales. Paa demosala, escibimos q cos b + i si by omamos el difeecial (deivamos): dq ib dq si bdb + i cosbdb i ( cosb + i si b) db iqdb, o sea: idb. egado pues: q e q i z z cosθ + isiθ z e so implica que u úmeo complejo puede escibise como ( ) θ iθ U úmeo complejo de módulo, de la foma z ˆ e, es ua diecció e el plao complejo e Cálculo de cos(ω), - -3,-4,-5

11 Noació compleja. Veamos ahoa la uilidad de la expoecial compleja. mecáica y elecomageismo ecoamos ecuacioes difeeciales lieales de la foma && x + γ x& + ω κ κ κ uscamos solucioes del esilo: x( ) Ae. so da x& ( ) Aκe y &&( x ) Aκ x e κ κ κ Subsiuyedo e la ecuació difeecial: Ae κ + γae κ + ω Ae, y simplificado, obeemos: κ + γκ + ω. Las solucioes paa κ so: κ, γ ± γ ω γ ± β Si γ > : β es eal; se iee la solució sobe-amoiguada : ω Si γ < : β es imagiaio; poiedo β iω ecoamos: ω ( cosω i siω) ( γ iω) γ iω γ x ( ) A e A e e A e + omado la pae eal de esa solució compleja, se obiee γ ua solució oscilaoia ( sub-amoiguada ): x( ) A e cosω x( ) A e + A e ( γ β ) ( γ + β ) x Ae γ Ae γ i Ua veaja de la oació compleja: Ua oda amóica se escibe : ( kx ω ( x, ) Re ) e No hace fala poe explíciamee ua fase iicial, poque se puede eglobala e la ampliud: i( kx ω+ ϕ ) ( ) ~ iϕ i kx ω i( kx ω ) e e e e, dode ~ i e ϕ es la ampliud compleja de la oda Co la oació compleja o sólo podemos ecoa solucioes a ecuacioes de oscilacioes y odas, o escibi odas amóicas, sio hace cálculos de foma secilla co seos y coseos: -6 Calcula la suma : cosθ+ cos(θ+ α). (podía se la iefeecia de dos odas e D) Co la oació compleja, esa caidad es la pae eal de ψ exp(iθ) + exp[i(θ+α)] b Ae κ { } Po ao: cosθ+ cos(θ+ α) Re[ψ] cos(α/)cos(α/ + θ) -7

12 Odas plaas Paa ua oda plaa que se popaga e la diecció kˆ, los fees de oda so plaos (e 3D), o ecas (e D), oogoales a kˆ (dibujo). D u puo P de la oda de coodeadas (x,y) y cualquie oo puo sobe la eca que pasa po P paalela a los fees de oda, iee la misma fase que el puo P, que esá sobe la eca que sale del oige e diecció kˆ. Si φ es la fase e el oige, la fase e P y P es: π ϕ OP + ϕ λ siedo λla logiud de oda. l segmeo OP es la poyecció de sobe kˆ, y puede escibise como poduco escala ee esos dos vecoes. Así: ππ ˆ ϕ k + ϕ k + ϕ λ π Aquí se ha defiido el veco de oda: k kˆ l campo ópico de ua oda plaa es pues (la pae eal de): λ exp[ i( k ω + ( ) )], ϕ Oda plaa La diecció de se llama diecció de polaizació. La oda se popaga co velocidad v f ω k (dicha de fase ), siedo kel módulo del veco de oda -,-5 -,-3 NOAS MPORANS: ) Siedo cos(α) cos( α), la pae eal de ua oda compleja o cambia si el expoee (fase oal) cambia de sigo. Po coveció se poe siempe el sigo delae de ω ) Paa calcula la iadiacia: hay que oma la pae eal de aes de eleva al cuadado, ya que: Re{z } (Re{z})

13 Odas esféicas Ua fuee puual geea ua oda esféica. Cualquie fuee se puede cosidea fomada po u cojuo de fuees puuales las odas esféicas juega u papel impoae e ópica omemos ua fuee puual que oscila de foma amóica, popocioal a i e ω La oda ada u iempo /c paa llega a ua supeficie esféica de adio alededo de la fuee. La fase e odo puo de la supeficie esféica al isae es la misma que la de la fuee al iempo /c, y la iesidad es la misma e cada puo de la esfea. l módulo del campo e cada puo de la esfea es:, ( )exp[ iω( c)] ( )exp[ i( k ω ( ) )] Aquí hemos uilizado el módulo del veco de oda: k ω c π λ Paa deemia el valo de (). Paa ello, cosideemos la poecia Wemiida po la fuee. Po la cosevació de la eegía, la poecia que aaviesa ua esfea alededo de la fuee es idepediee del adio, o sea: W 4π ( ) 4π ε. Po ao ( ) c, siedo el módulo del campo ópico a ua disacia de meo de la fuee. Se obiee así: ( ) exp[ i( k ω + ϕ )] Oda esféica, No hemos especificado la diecció del campo, peo a meudo o hace fala. Ua fuee puual como u filameo pequeño (a disacia suficiee) o iee coheecia empoal: la fase y la polaizació de la luz emiida vaía ápidamee (e u iempo ifeio a 9 s), así que o iee seido habla de ua diecció de polaizació (hay fuees puuales coheees, p. ej. aeas pequeñas, como veemos e dealle más adelae) , 3-7

14 *Seie de Fouie eal y compleja Cualquie oda peiódica se puede escibi como suma de odas amóicas (síesis de Fouie): f ( ) a a + + ( a cos( ω ) + b si( ω ) ) f ( )cos( ω ) d, b π co ω f ( )si( ω ) d P. ej. e el caso de ua oda cuadada, la suma de a sólo los pimeos 3 émios es suficiee paa obee el pefil apoximado de la oda! Se puede hace lo mismo e oació compleja, sólo que apaece peculiaidades maemáicas. La fecuecia o pulsació de ua oda es siempe posiiva. Si embago, e oació compleja ecesiamos ioduci fecuecias auxiliaes egaivas y los coeficiees so e geeal complejos. j.: iω iω iω iω cos( ω) ( e + e ) ; o ambié : si( ω) ( e e ) i Más e geeal, cualquie oda peiódica de peiodo puede expesase como seie de Fouie + compleja: iω π iω f ( ) ce co ω y c f ( ) e d iω (el faco / es de omalizació, como se ve cosideado el caso ( ) f e c ). Las fecuecias que apaece e el desaollo e seie de Fouie de ua fució peiódica foma su especo de fecuecias. Los coeficiees complejos pemie ee e cuea del desfase elaivo ee las compoees amóicas (fase compleja del coeficiee desfase). y :

15 asfomada de Fouie Se puede hace algo paecido a ua suma de Fouie ambié co ua fució o peiódica (peo fiia y limiada): ua al fució esula e geeal de la suma de u cojuo coiuode fecuecias, que o so múliples de ua fecuecia fudameal. La geealizació de la seie de Fouie al caso coiuo es simplemee: l especo de fecuecias es dado po la fució ampliud (compleja) A(ω). epeació: las compoees e fecuecia de ua oda oscila co peíodos disios. Supogamos que la oda sea la suma de compoees de fecuecia ω, ω, ω 3, : iω iω iω3 f ( ) A + e + Ce + De +... Cuado muliplicamos la oda po el faco exp( iω ), la compoee a fecuecia ω (y sólo ella) deja de oscila, de foma que cuado iegamos e el iempo (que es como pomedia e el iempo), sólo esa compoee da ua coibució disia de ceo mieas las demás, que sigue oscilado, da ua coibució pomedia ula. Así, la iegació que defie cada coeficiee c o la ampliud A(ω) es equivalee a seleccioa la compoee de la oda que oscila a ua fecuecia deemiada (la seie de Fouie se puede cosidea como u caso especial de asfomada de Fouie). Se demuesa que si la fució f() es eal, A( ω) A*(ω), y vicevesa. Po lo ao oda la ifomació sobe el especo de fecuecia de u pulso (eal) ya esá coeida e la pae de fecuecias posiivas. La elació ee ua fució f() y su especo e fecuecia F(ν) es, e geeal, dada po los iegales:

16 -8 jemplos de asfomadas de Fouie Puede calculase la asfomada de Fouie de u pulso empoal ( especo de fecuecias empoales ω) o de u pefil espacial ( fecuecias espaciales, idicadas co k). el vacío e D da lo mismo, ya que la oda es e al caso fució dela vaiable cojua Calcula el especo de fecuecias de u pulso g() ecagula dado po: x ± v - (x) U(x)e ax Desello (pulso) co decaimieo expoecial Módulo de F(k) peso elaivo de cada compoee de fecuecia Fase de F(k) desfasamieo elaivo de cada compoee -9,-,-3

17 NRFRNCA : NRFRNCA SPACAL efeecia supeposició de odas suma vecoial de (y ) ) SPACAL misma fecuecia ) MPORAL fecuecia difeee CASO (a): dos odas plaas de igual fecuecia y polaizació, peo disia diecció: exp[ i( k ω)], exp[ i( k ω)] y k k Co el sisema de efeecia dibujado, las compoees xde los vecoes de oda so iguales, y las yopuesas: l campo oal + vale: i( k ω ) i( k ω) i( kx e + e e i( kxx ω ) cos( k y) e coelació ee y La ampliud e yo depede del iempo, y se aula e odos los puos e que: k y y π ( + ). ales puos foma las fajas de iefeecia La exisecia del paó de iefeecia depede de que haya ua compoee aipaalela de los vecoes k k k x ( ) ( ) x ω ) ik y ik y e + e y y k x y -5 k y -k y

18 Odas esacioaias CASO (b): si dos odas de la misma fecuecia se popaga e dieccioes opuesas, se obiee ua oda esacioaia. Si odas de la misma ampliud se popaga ua e la diecció posiiva del eje z (+z), y la oa e z, su suma es: Co la ayuda de la oació compleja, se ecuea que la oda esulae iee la expesió: -6 Mieas las odas iiciales iee ampliud A, su suma (que es ua oda esacioaia y o depede de z v) iee ua ampliud depediee de la posició. Aquí abajo se ve isaáeas de la oda esacioaia, e isaes sepaados po ievalos de iempo de /6 del peiodo: -7, -8 Odas elecomagéicas esacioaias se da ceca de supeficies eflecoas, p. ej. ee dos espejos plaos paalelos. La cofiguació de dos espejo paalelos es a impoae e ópica que iee ombe popio: se le llama cavidad Faby-Peo. Además de ee oas aplicacioes impoaes e iefeomeía y especoscopia, es u elemeo cosiuivo del láse.

19 *Cavidades Faby-Peoy modos de la luz omemos dos espejos plaos paalelos e aie. La luz ee los espejos seá eflejadas muchas veces ae de pede iesidad debido a la aeuació e aie o a la impefecció de los espejos. geeal, paa ua peiodo/fecuecia cualquiea del la oda e.m., la supeposició de odas esas odas de la misma fecuecia peo fase disia seá desuciva: e cada puo llega eflexioes co fase abiaia que se aulaa muuamee. Ua oda de dicha fecuecia simplemee o puede exisi, ee los dos espejos: si po ejemplo colocamos ua fuee puual de al fecuecia ee los espejos, la fuee o puede iadia e la diecció oogoal a los espejos. Si po oo lado la sepaació ee espejos L es igual a u múliplo del peiodo, las odas eflejadas se solapaa pefecamee a la oda iicial; la fecuecia coespodiee sí puede popagase. Paa descibi las popiedades de ua cavidad Faby-Peo de logiud L, cosidéese la solució de las ecuacioes de Maxwell co diecció de popagació oogoal a los espejos meálicos. Sabemos que e al caso los campo y so paalelos a los espejos. Si embago, el campo elécico deo de u meal iee que se ulo; eso implica que es ceo e la supeficie y deo los dos espejos. s deci: paa z y z L. Las úicas odas (esacioaias) amóicas (siusoidales) que cumple esa codició se escibe π L iω ( z, ) si( kz) e, k, ω ck sas odas se llama MODOS de la cavidad

20 efeecia empoal CASO (): suma de odas de disia fecuecia, de pulsació ω + ω y ω ω, ambas de ampliud a. l paoo de iefeecia (suma) es:, cuya pae eal es: La esulae es ua oda de fecuecia ω modulada e ampliud: Ua oda moocomáica de fecuecia se popaga a la velocidad v ω k c. La modulació ipo baidos, o sea la modulació de ampliud v g ω k, o e el límie ω : ω, se mueve co velocidad v g dω dk Velocidad de gupo aidos o Palpiacioes No exise odas amóicas ifiias: las odas eales siempe esá limiadas e el iempo, es deci, iee ua acho de bada o ulo. oda oda e.m. es u paquee de odas de disia fecuecia, que o se popaga a la velocidad de fase v f ω k c, sio co velocidad d d( kv f ) d( v f ) vg ω v f + k dk dk dk el espacio vacío, la velocidad de fase o depede de k la velocidad de gupo es igual a la de fase. (Veemos que e u medio maeial la velocidad de fase sí depede de la fecuecia: odas amóicas de fecuecia disia se popaga co difeee velocidad, y po ao v g v f ) vg

21 Difacció Ocue difacció cuado ua egió del fee de oda se obsuye de algua maea o se alea e foma (ampliud y/o fase). l émio se uiliza e al meos es coexos: () () cuado la oda ieacúa co medios maeiales que bloquea pacialmee su paso. j: olas del ma ceca de ompeolas; soido; odas adio ceca de colias o edificios () cuado ua oda se popaga esachádose (icluso e el espacio vacio) : o se puede focaliza u haz de luz a u puo: exise u amaño míimo de ua oda, dado apoximaivamee po la logiud de oda límie de difacció λ λ () hasa u haz láse se esacha (pesad e la caa vede de u fubolisa cuado los hichas le apua co u pueo láse...) (3) cuado la logiud de oda de la luz es compaable co el amaño de los compoees (áomos/moléculas, peo ambié domiios o gaos) del maeial co que ieacúa (es el equivalee odulaoio de u choque). Difacció de ayos X ifomació esucua/mofología (3)

22 Difacció e iefeecia So los feómeos fudameales de las odas. La difacció (o espacimieo) es de hecho la base de muchos feómeos macoscópicos, como eflexió, efacció y difusió Muchas veces difacció e iefeecia se da juas: difacció de agg y cisalogafía expeimeo de Youg (aualeza odulaoia de la luz) Veemos que paa descibi alguos feómeos como el del expeimeo de Youg, es suficiee calcula ua asfomada de Fouie

23 speco elecomagéico

24 Clasificació : Fuees de luz (MA 3) ) lecomagéicas clásicas (aeas,..) ) Lumiiscees (iempo ípico de decaimieo y mecaismo de exciació) 3) émicas (filameos/maeiales icadescees) y emoucleaes (esellas como el sol) 4) Láse (de emisió esimulada) Popiedades de ua fuee: - especo de fecuecias - gado de coheecia (empoal y espacial) - iadiacia - dieccioalidad -ipo y gado de polaizació iadiacia flujo de eegía po uidad de iempo y supeficie pomedio módulo de Poyig Oda e.m. moocomáica: u e. m. c S µ ε c 3-8, 3-9

25 Fuees de luz coiuas ( clásicas ) Fuees de adiació clásica: coiees, p. ej. la de u dipolo oscilae. Po qué u dipolo elécico oscilae geea ua oda e.m.? Como coiee, geea u campo vaiable e ; como cojuo de cagas que se desplaza, ambié geea u campo vaiable. Oda poducida po ua coiee oscilae Lo más fácil es uiliza el poecial veco A, paa luego saca el campo. Paa halla A, sólo hay que coegi la expesió paa el poecial veco visa e elecomageismo, ioduciedo el iempo que ada el campo e popagase. Las ec. de Maxwell so: De la ª se iee que se puede expesa como. Poiedo esa expesió e la ª se saca : A V A A + + ec. de Gauss + j o ε µ µ ε ρ eemos eoces A V A (la elecció de V y o es uivoca) A scibiedo y e fució de Ay Ve las úlimas ecuacioes de Maxwell se obiee: V c A c j c j A o o + µ µ Uilizado, se halla: ( ) A A A + j V c A A c A o µ ε ρ A V ε ρ A V

26 cuacioes paa el poecial veco eemos ciea libead a la hoa de elegi los poeciales V y A. Sus expesioes se simplifica impoiedo la codició de Loez:. Las ecuacioes de Maxwell da así : A c A A µ j µ dl c (la veaja de escibilas paa V y Aes que las ρ V V ecuacioes paa y so más complicadas) c ε Vemos eoces que A y V so solució de ua ecuació de d Alembe o homogéea. l los casos elecosáico y mageosáico ales ecuacioes se educe a las de Poisso: ρ V y A µ j Ya coocemos la solució de esas ecuacioes. Paa la ª : ε ( ρ ') dv µ j( ') dv V ( ) Aálogamee paa la ª : A( ) 4πε ' 4π ' µ µ La solució de la ec. de Poisso co ua coiee puual es A( ) j() dv dl 4π 4π, (de la que se puede saca p.ej. la ley de io-sava:) dl µ µ d A dl 3 4π 4π µ De foma aáloga, la solució de la ec. de d Alembe esula se A( ), dl, 4 π c que iee seido, pues es la ecuació de ua oda esféica! Paa u dipolo elécico oscilae dq d( qdl ) dp p( ) q( ) dl µ, se iee dl dl y po ao: dp A( ) ( c) d d d 4π d V

27 Dipolo elécico oscilae (heziao) iω µ dp µ iω( c Co p( ) p ke ˆ ) e el oige, A esá dado po A ( c) iω kp ˆ e 4π d 4π apaece veces e A A iee émios : uo dismiuye co la disacia como p, el oo como /. A gades disacias del dipolo oscilae domia el segudo, µ iω( c) µ p iω iω c que esá dado po : ad iω p ( ke ˆ (, ) ) iω e ( kˆ e ) 4π 4π iω c de d df Ya que d ω iω c x, se ha : dx dx f ( ( x) ) i e d dx c ( c ) ω i ω c ω µ p i iω µ (, ) ˆ p e ˆ c e k e ω si( θ ) ˆ φ c 4π 4π c campo de adiació l campo coespodiee se halla de, o sea: c ad c ad θˆ campo de adiació A gades disacias del dipolo oscilae, y dismiuye pues como /, mucho meos ápido que el campo de ua coiee esacioaia (/ ) o el campo elecosáico de u dipolo (/ 3 ). se hecho es e defiiiva lo que pemie la elecomuicació po odas e.m. a gades disacias. ad ˆ φ hp://ocw.mi.edu/as787/8/8./f4/visualizaios/ligh/-dipoleradiaiorevesig/-smpoidipole_3.hml

28 Aeas emisoas de dipolo elécico Campos de adiació de u dipolo elécico oscilae: µ p( c) ω θ ˆ ad si( ) φ La iadiaciavale c c ad ad ad 4πc µ c µ µ ˆ ad cadθ cad ( veco de Poyig: S ˆ ) ad ( ) ad ad µ µ La iadiaciay po ao el flujo de eegía depede del águlo acimual θ: µ p 4 ω si ( c(4π ) µ 4 W da pω π c esfea θ ) 3-5, 3-6 µ π c L ω lóbulo de adiació dipola Cómo se hace u dipolo elécico oscilae? Así : 3-4, 3-7 L Aea de media oda. Hicimos el cálculo paa ua aea puual, y el esulado ecoado vale paa aeas de logiud L << λ. Si eemos e cuea el amaño de la aea, esula que la máxima eficiecia de ua aea de dipolo elécico que emie a la logiud de oda λ se ha cuado: al caso la poecia adiada es: L λ W 36.5

29 Aplicacioes Aeas ecepoas. La aea dipola ambié se usa como aea ecepoa. Si la esisecia de la aea es R, la esió geeada po ua oda e.m. ee sus exemos es V L, siedo Lla logiud de la aea y la compoee del campo de la oda agee a la aea (el campo magéico de la oda iduce ua coiee meospeciable) Radio y elefoía móvil Paa la adio se uiliza modulació de fecuecia (FM) o de ampliud (AM). Paa la AM se usa la llamada bada de oda media ee 535 y 75 khz. Paa la FM se usa las fecuecias ee 87 y 8 MHz hp://es.wikipedia.og/wiki/achivo:amfm3-e-de.gif Los móviles fucioa e dos badas de fecuecia ula-ala (UHF), ua ceca de 8 MHz y oa ceca de 9 MHz. icialmee se usaba e modo FM, ahoa la modulació es digial. Paa pode segui el desplazamieo de la aea de u móvil o de u ca audio, se iee que uiliza u cojuo de aeas disibuidas e odo el espacio, que uiliza fecuecias ligeamee disias Hoo de micoodas Las micoodas iee fecuecias aú más alas, y se uiliza ambié paa elecos. La fecuecia.4 GHz usada e los hoos micoodas povoca la exciació del elace O-H del agua y oas moléculas (.4 GHz es la fecuecia de esoacia del elace O-H : se puede pesa a u pequeño muelle ee los dos áomos); la eegía ciéica luego se disipa como calo.

30 ehmssahlug(fuees de ayos X) Oas fuees clásicas áodo cáodo ayos X Sicoó (ALA) (elecoes elaivisas)

31 *esabilidad del áomo clásico Los cálculos que vimos paa el dipolo oscilae sigifica que cada coiee vaiable (cada caga aceleada) geea adiació: µ q ad (, ) a ( c), co a compoee de a 4π pepedicula a l modelo aómico clásico, co uo o más elecoes que obia alededo del úcleo, o es esable : u elecó e óbia cicula iee ua aceleació ceípea y adiaía, dibujado u movimieo e espial alededo del úcleo, hasa pede oda su eegía ciéica. (l cálculo hecho a pai de lo que hemos viso hasa aquí da u iempo de vida del áomo de hidógeo de s!) Po qué so esables los áomos? Poque paa ellos o vale la física clásica, sio la cuáica: sólo exise uos cuaos valoes posibles de eegía (iveles disceos) paa u elecó e u áomo; cuado esá e el ivel de más baja eegía, ya o puede i a igú oo cuació de Schödige paa u elecó (95): obiales odas de Schödige esacioaias:

32 Fuees de luz disceas (descipció cuáica) Descipció cuáica: asicioes ee iveles disceos de eegía. xise 3 ipos: Niveles disceos ayas de emisió/absoció especoscopia () (3) () dn N () emisió espoaea: A N d τ sp Si luz icidee es el úico poceso posible. La població iicial del ivel decae co u iempo caaceísico A dn d fooes () absoció: γ N d d j: oda de secció uiaia e diecció del eje z : ( U hv) ( c U ) fooes e. m. e. m. z c hv z hv z ley de ee (3) emisió esimulada: αz e, co α γ dn d N γ hvn τ sp d fooes d γ hv z O d + d fooes γ N N O. Paa pequeña d dz coeficiee de absoció fooes ( γ hvno ) omalmee τ 8 s sp N NO úmeo de fooes e u modo especifico

33 misió esimulada ( láse) dn d γ N (3) () misió esimulada (3) luz coheee picipio de fucioamieo del LASR () emisió espoaea e u úico modo (*): () absoció: dn d (3) emisió esimulada: γ N τ sp dn d fooes N γ N τ sp dn d A fooes N N N τ sp ivesió empoal isei 95 Noa hisóica: isei escibió las dos úlimas ecuacioes e fució de la desidad de eegía e luga de la iadiacia, llamado el coespodiee coeficiee de popocioalidad (e vez de γ). Los coeficiees A y se llama e su hoo coeficiees de isei.

34 Fuees lumiiscees Fucioa po emisió espoáea, que ocue después de la exciació de los elecoes del maeial de la fuee. Fluoescecia ( τ sp s) o fosfoescecia ( τ sp ms hoas ) Clasificació segú el mecaismo de exciació: - elecolumiiscecia(elámpago, eó, LD) - quimiolumiiscecia(luciéagas, palios de luz, fuego) eleviso al plasma y paalla LD - foolumiiscecia: maeiales fosfoescees lámpaas fluoescees

35 *Fuees de luz émicas Mecaismo: emisió espoaea debida a la exciació émica. Sea y dos iveles de eegía de la fuee ( > ), y (*) u modo de luz de eegía igual a la difeecia. Si domia las asicioes adiaivas, paa el ivel se ha: dn N N N + fooes fooes d τ sp τ sp τ sp N fooes codicioes esacioaias: dn d N + equilibio emodiámico la població de u ivel elecóico de eegía i es popocioal al N e i hν exp exp k k k i faco de olzma ( empeaua e K ; k cosae de olzma ) N N fooes exp( hν k ) La eegía del modo es disibució de ose-isei hν ε fooeshν exp ( hν k ) La iadiacia e fució de la fecuecia se halla muliplicado ε po la desidad de modos de adiació (que es popocioal a ν ). l especo de adiació esulae se llama especo de cuepo ego 3-5 fooes especo de cuepo ego

36 Fuees émicas: especo de cuepo ego especo de adiació fuee émica: especo de cuepo ego λ max ley de Wie ley de Sefa-olzma W σ A 4 4 m K cosae áea supeficial de Sefa de la fuee Aplicació: emovisió (ifaoja) (e falso colo): 3-3 Logiud de oda (m) Radiació cósmica de fodo (de micoodas).73 K 3-3-4

37 Los feómeos ópicos (MA 4) Popagació (y difacció ) e el vacío ( ec. de oda) esachameo del fee de oda, odas esféicas, casos límie de las odas plaas y ayos efeecia ( ec. de oda: suma de campos y ) (supeposició de odas, baidos, odas esacioaias) eacció co la maeia : - misió (fuees de adiació) - Absoció (especoscopia, deecoes) - spacimieo (scaeig) elásico e ielásico λ > d lásico Feómeos de difusió Popagació e u medio Reflexió (difusa o especula) Refacció y dispesió eflexió, efacció, popagació e u medio maeial, dispesió: odas so maifesacioes macoscópicas del espacimieo e la escala micoscópica difacció(ej: agg) λ d elásico: Compo + efecos o lieales: geeació de hamóicos, Rama, illoui, (aducció de scaeig : espacimieo, dispesió o difacció)

38 eacció luz -maeia: absoció y scaeig Luz: campo (y ) oscilae que ieacúa co las cagas e la maeia, especialmee co las que más se puede move: los elecoes. La ieacció de ua oda elecomagéica co los áomos que cosiuye u medio es de dos ipos, segú la fecuecia de la oda coespode o meos a u ivel de absoció. Si la fecuecia esá po debajo del umbal de absoció, el efeco de la oda es el de geea ua oscilació de los elecoes, si llega a poduci asicioes ee iveles; esa oscilació se paece a la de u dipolo adiae: el elecó es aceleado po el campo ópico, y debido a su aceleació, emie a la vez a la misma fecuecia e ua diecció que puede se disia de la de la oda iicial, pevaleemee e el plao omal al dipolo oscilae. se feómeo se llama espacimieo (scaeig) elásico (o ambié dispesió elásica) de la oda. La iepeació micoscópica de odos los feómeos ópicos e la maeia disios de la emisió o absoció, se basa e el feómeo de scaeig. La disia velocidad de fase e u medio, la eflexió y la efacció, la acividad ópica, los espejismos, odo ello puede explicase a pai del espacimieo elásico de la luz. ipos de scaeig elásico: - Scaeig Rayleigh(áomos y moléculas, aislaes) -Scaeig de plasma(elecoes e u meal o e u plasma) - Scaeig agg (ayos X co áomos/moléculas; UV-VS-R ejillas de difacció) - Scaeig Mie (paículas (esféicas) pequeñas) - Scaeig homso (ayos X co elecoes libes),...

39 Scaeige meales y aislaes U modelo secillo del espacimieo se ha cosideado el movimieo de elecoes e campos amóicos. los meales los elecoes esá libes, e los aislaes esá ligados. iω MAL: x x e, x Ne p ε χ + ε mω ω ω > ω P ω < ωp e d ex e Ne mω α P Nα χε mω mω ω co ω e Paa, es eal; paa, es puamee imagiaio P N m ε fecuecia de plasma ASLAN: es el acho a media alua. so da: ' + i" es e geeal complejo: Si ' y " so pequeños, como es el caso de u gas a baja pesió, eoces se ha apox. : ' " Ne ε ε m ' ( ω ω ) + iω ω "

40 Ídice de efacció complejo ω ω ω ω + i complejo implica u veco de oda complejo: k ' + i " v c c c Susiuyedo e la expesió de ua oda moocomáica: ω exp{ i( k' + ik") x iω} exp{ i( k' x ω) } exp{ k" x}. Defiiedo k, se ha: c ( k x) exp{ i( k x ω )} 4-,4- exp La pae eal de descibe la velocidad de fase e el maeial. Del puo de visa micoscópico, la velocidad disia de la luz se debe a la difusió Rayleigh: las oscilacioes elecóicas iee u easo de fase especo al campo icidee, que hace que la oda espacida po cada molécula ega u easo de fase especo a la luz icidee que se aduce, po espacimieos sucesivos, e ua disia velocidad de fase La pae imagiaia de os da la aeuacióde la oda e el maeial, o sea las pedidas debidas a scaeigy absoció. U ídice puamee imagiaio sigifica que la oda o peea e el maeial, sio que es oalmee eflejada. u maeial muy absobee es muy bue efleco Se defie ua logiud de aeuació : δ k" αx ω La iadiacia dismiuye segú la ley de ee: e, co α k" " δ c sos paámeos esume a la vez el efeco de la absoció y del espacimieo 4-4 x

41 Dos odas de igual ampliud a, ua de pulsació ω dω y la oa ω + dω, da esulae de la foma Medios dispesivos:velocidad de gupo ae iω kx gupo de odas que se desplaza co velocidad : v g i[( dω ) ( dk ) x] i[( dω ) ( dk ) x] iω kx ( e + e ) iae si( ( dω) + ( dk) x) dω dk Velocidad de gupo v g Ua oda pefecamee moocomáica se popaga a la velocidad de fase v f ω k c u medio maeial al velocidad de fase (o, lo que es lo mismo, ) depede de la fecuecia. so hace que la velocidad de gupo v g, que es la velocidad de u gupo de odas o de u pulso, dω d( kv f ) d( v f ) sea disia de v f : vg v f + k v. fució de : f dk dk dk d( v f ) d( c ) d( ) kc d vg v f + k v f + k v f + kc v f v dk dk dk dk π π Dado que k dk dλ, puede escibise ambié: λ λ v λ d v f + dλ g k d, o sea : g v f dk 4-, 4-4-9

42 ScaeigRayleigh(aislaes) l movimieo de u elecó ligado e u campo amóico es aceleació d x a. Los campos y de adiació so popocioales a d p d x ω x e d 4 d d ω la poecia adiada es popocioal a a P ( ω ) ω iγω Muy po debajo de la esoacia ( ω << ω ) el deomiado es básicamee cosae y vale Si la luz icidee iee u especo e fecuecia plao y limiado a la egió ω << ω, sigue que la poecia espacida es: 4-5 P Rayleigh 4 ω 4 ω P es popocioal a la cuaa poecia de la fecuecia, igual que paa ua aea de dipolo elécico (de hecho u elecó aómico oscilae es muy paecido a ua pequeña aea). e iω compaació e u meal x( ) e, po lo que a y P o depede de la fecuecia. mω Cuado la luz del sol aaviesa u gas como el aie, cuyas moléculas (N, O ) o iee iveles de absoció e el visible sio e el ulaviolea, solo puede se espacida y o absobida (dado que ω << ω ). La ampliud de las oscilacioes aumea co la fecuecia; más oscilacioes sigifica más espacimieo, así que la luz violea es espacida mas que la luz azul, ésa más de la luz vede, ec.. l haz asmiido se vuelve cada vez más ojo, mieas que la luz espacida es sobeodo azul (la luz sola o coiee mucho UV). De allí el ojo de las puesas del sol y el azul del cielo, que si scaeig Rayleigh seía ego como el espacio exeio. 4-6 hp:// co 4 ω

43 Feómeos debidos a scaeig Rayleigh + iefeecia: spacimieo e medios muy diluidos u gas a baja pesió la sepaació ee moléculas es mucho mayo que la logiud de oda de la luz, así que las odas espacidas po disias moléculas A y llega a u puo P lejao co fases abiaias. Alguas iefiee de maea cosuciva y oas desuciva: eso aula e pomedio los efecos de iefeecia, y hace que siempe haya ua oda espacida. La úica diecció e que eso o ocue es la del haz, pues e al caso hay ua elació de fase fija ee la adiació emiida po A y, ya que las odas icidee y la espacida ecoe e al caso la misma disacia ee A a. l espacimieo amosféico que deemia el colo azul del cielo se poduce e las capas exeioes (meos desas) de la amósfea. NOA: A ivel del ma la amósfea es odo meos diluida: e u cubo de lado 5 m (logiud de oda ípica de la luz visible) hay 3 milloes de moléculas de aie; las moléculas so a cecaas que adia co fases muy paecidas, co efecos impoaes de iefeecia A U medio diluido co absoció e el UV espace la luz visible; la luz espacida es icoheee P

44 Feómeos debidos a scaeig Rayleigh + iefeecia: Ausecia de espacimieo e medios desos u gas a ala pesió como la amósfea eese a ivel del ma o hay espacimieo, y lo mismo ocue e líquidos y sólidos, que so veces más desos (el vidio y el aie o so azulados). Cómo puede se, si hay muchas más moléculas debido a la ala desidad? Como paa los medios diluidos, hay iefeecia cosuciva e diecció de popagació ya que la luz espacida esá eoces e fase. Si embago, el espacimieo esá ihibido e oas dieccioes debido a la iefeecia desuciva. Cómo ocue eso? Cada molécula difude mayomee e diecció asvesal al haz. Debido a la ala desidad, po cada molécula A que difude la luz, siempe se puede ecoa oa a ua disacia λ/, que adia co fase opuesa a la de A ; e diecció asvesal, la iefeecia es pues oalmee desuciva. Más e geeal, e ua diecció cualquiea fuea del haz llega u úmeo muy alo de odias de iesidad muy pequeña y fase abiaia. La suma de odas ellas es ula o como mucho muy pequeña, así que la poecia espacida es isigificae. e u medio deso y homogéeo o ocue espacimieo λ A λ

45 Luz e dielécicos y meales: descipció e.m. Nigú dielécico es pefeco y siempe hay algua coiee; y e u meal puede ambié habe efecos de polaizació, sobe odo a alas fecuecias. u maeial lieal, la desidad de coiee es popocioal al campo elécico: j σ, dode σ es la coducividad. Paa fecuecias alas, ρ (e u dielécico poque la caga ligada o iee el iempo de acumulase co la coiua ivesió de polaidad, y e el ieio de u meal poque los elecoes apaalla el campo icidee). De las ecuacioes de Maxwell se saca: D j D µ j + µ y µ µ µ σ µ ε ε Oda moocomáica: ( ε paa u meal) ω σ ω c σ k ε k' ik" + i ' + " k ε + i c ε ω c ε ω -pae eal de k (o ) : velocidad de fase -pae imagiaia de k (o ) : aeuació: k k' + ik" x iˆ exp i( k' x ω) exp k" x ' " b { } ( ) σ ε ω k k" c σω ε ω σωµ ' 4-7, 4-8 Paa fecuecias ω pequeñas e u meal o dielécico: δ σ i e ε ω k" iπ logiud de aeuació MAL: ε paa ωsuficieemee ala (ω> σ/ε ), (sólo que σ σ(ω) ) ( compaa co la pedicció del modelo de plasma: u meal es aspaee ω> ω p ) σ ε ω 4-4-, 4- e iπ σ ε ω

46 Reflexió y efacció e ua sepaació plaa Sepaació ee medios: la luz es e pae eflejada (R) y e pae asmiida () (o sea, efacada). l campo (o ) a u lado de la sepaació es la suma de y R, al oo vale Codicioes de foea paa la ópica: cos, // cos Oda icidee moocomáica hay ua elació fija ee los campos e odo puo de la foea. Paa que sea así e odo momeo, las es odas (icidee, eflejada y asmiida) icidee ha de ee igual fase: k ω kr ωr k ω Poiedo el oige e u puo de la foea, se ha allí ω ω ω, o sea: ω ω ω R eflejada θ R θ R asmiida ( cosisee co la defiició de foó y cosevació de la eegía) Paa : R omado coplaaa los vecoes de oda se saca pues: k k es deci: k ley de la eflexió ley de Sell 4-5, 4-6 si θ k siθ R R θ R θ θ k k siθ θ k k k θ so coplaaes (oda icidee y eflejada el mismo medio de ídice de efacció iee mismo módulo de k), R (la oda asmiida se popaga e u medio co la fecuecia es la misma vaía la logiud de oda) k R y k k si θ k R siθ si si R

47 eflexió *epeació basada e el espacimieo spacimieo (elásico) ω cos asmisió desfase ampliud fecuecia θ R θ oda secudaia: easo de fase v c oda icidee oda secudaia

48 *Refacció y elació co la velocidad de fase eflejada asmiida θ R θ θ icidee si θ si θ

49 Reflecividad paa icidecia omal Codicioes de foea paa la ópica: cos, // cos. Paa icidecia omal eso es: Po la Ley de Faaday (3ª ec. de Maxwell): oces: + + R R c v k k ω ω + R R el sigo poviee del cambio de oieació elaiva de y e la oda eflejada (al se k k ) elaiva de y e la oda eflejada (al se k R k ) + + R Resolviedo paa las ampliudes asmiida y eflejada: RFLCVDAD + R R R NOAS MPORANS: Res la misma si la luz icide desde u medio o desde el oo. Sepaació aie/vidio R 4%. ambié se defie ua asmisividad. Po la cosevació de la eegía elecomagéica oal se iee: R 4-8,

50 *Recubimieos aieflejo Codicioes de foea e x : e x a: aie (vidio) Ceo eflecividad Las lees (de vidio,.5) de las cámaas se ecube de ua capa delgada de fluouo de magesio (MgF ), que iee ídice de efacció.38, de modo que se cumpla la codició (sólo apoximadamee). l goso del ecubimieo se elige de foma de uiliza la caidad míima de MgF, co λe el medio del especo visible. l ecubimieo maximiza la caidad de luz asmiida, y es impoae poque de oa foma cada sepaació vidio-aie dismiuye del 4% la iesidad icidee. l mismo cocepo se uiliza co avioes de guea, paa hacelos ivisibles a los adaes

51 Refacció y medios dispesivos:pisma,aco iis hp://

52 ( ) Águlo cíico caso ) < si θ siθ j: luz que icide sobe u maeial desde el aie. l águlo del ayo efaco co la omal es meo que el águlo icidee ( ) caso ) > , 4-33 j: luz icidee sobe la supeficie desde deo el maeial l águlo de efacció es mayo que el de icidecia exise u águlo de icidecia ( águlo cíico ) po el que el águlo de efacció es 9⁰ : si 9 siθ θc acsi l veco de oda asmiido iee compoees: k k cosθ, k siθ k si Uilizado la Ley de Sell, la compoee hoizoal (oogoal a la sepaació) es: Reflexió oal iea ( ) puamee imagiaio,, si k x k θ θ > θ c x la oda asmiida decae ápidamee e la diecció omal oda evaescee, co logiud de aeuació δ c paa águlos θ > θ c se ha eflexió oal iea ( ) ( θ, k siθ ) k, k, x

53 Aplicacioes de la eflexió oal iea FRAS ÓPCAS hp:// PNAPRSMA CÁMARA RFLX ÓPCA NGRADA

54 *cuacioes de Fesel y águlo de ewse θ θ Polaizació R ϕ M cosθ cosϕ cosθ + cosϕ θ θ Polaizació M R ϕ M cosθ cosϕ cosθ + cosϕ R (%) Polaizació M : R paa θ θ ala eflecividad icidecia asae águlo de ewse: aθ

55 Polaizació: filos y gafas polaoid R θ a Polaizació po eflexió: Polaizació po espacimieo: polaizado : (gafas/filo polaoid, gafas de visió 3D)

56 y *Refacció e medios o homogéeos x si θ siθ Cosideemos u medio o homogéeo co ídice de efacció depediee de la alua y. el dibujo se ve u ayo casi hoizoal que foma, a la posició x y alua y, dy u águlo θ co la hoizoal, cuya agee esá dada po a θ. Al pasa la luz a avés dx de u espeso y del medio, el águlo θ(y) vaía al valo θ(y + y) debido a la efacció. Po la d d θ ley de Sell: ( y)cosθ ( y) ( y + y)cosθ ( y + y) ( y) + y cosθ ( y) siθ y dy dy (se ha uilizado la expasió e seie de aylo de y del coseo del águlo). Meospeciado el émio e y d dθ dθ dy dθ dy, se halla aθ. Paa θpequeño se ha: θ aθ dy dy dy dx dx dx dθ d y d la ecuació de la ayecoia de la luz e el medio es: dx dx ( y) dy spejismos Maeiales GRN (Selfoc) hp://