Capítulo III Métodos de identificación de modelos matemáticos

Transcripción

1 Cpílo III Méodos d idificció d odlos áicos 3.. Fdos óricos U lo clv l corol prdicivo bsdo odlos s l odlo iro pri prdcir l coporio fro dl sis sr coroldo [. Exis pricipl dos fors di ls s pd obr odlo áico: por odldo o idificció Modldo Mdi s écic, ls ccios dl odlo s obi prir dl coociio d ls ls físics íics rig l coporio dl sis cosrvció d ri, rgí oo. El rgo d vlid d sos odlos s bs plio por lo so cpcs d xplicr l coporio dl procso disios pos d oprció. Los odlos obidos sl sr copljos, por s ró, s or ilidd rdic l silció l disño d pls, s o lo cocri l disño d siss d corol Idificció E s cso, l odlo s obi prir d dos xprils dl procso si r c ls ls irs, úic obsrvdo los dos d rd slid dl sis. Es écic s l s pl grl cdo l procso s ir corolr xis rl. Los xprios rlidos pr obr los vlors d ls vribls dl sis jg ppl ipor l idificció dl odlo. Al corrio l éodo d odldo, l idificció s úil cdo l objivo s l disño d siss d corol. D ls dos écics xpss, s pl l idificció pr obr l odlo dl procso lo s prd s plr dicho odlo pr l iplció d sis d corol prdicivo bsdo odlos MBPC. Adás, l cor co l silció diáic dl coporio d l col d dsilció, s pd rlir los xprios csrios pri coocr l volció porl d ls vribls d rd slid d irés. 3.. Modologí d l idificció E lgr d crr sr ció l ciso iro dl sis, los éodos d idificció obi iforció dl procso básic d l iforció d rds slids.

2 3 El odlo áico s obi prir d dos xprils d rds slids dl procso. U U Y Y Procso Modlo Figr 3.. Es d idificció d procsos A cs d so, los xprios jg ppl fdl l procso d idificció. Los odlos obidos d s for, i l vj d s pd jsr l procso cl, pro l iso ipo, l rgo d vlid s liido oro l po d lilició. E procso d idificció s sig los sigis psos. Disñr xprio rcogr cojo d dos rd slid dl procso.. Exir plir los dos rovr dcis, sobrslos, filrr dos 3. Slccior cls d odlo CARIMA, rsps iplso sr sdo co odologí d idificció spcífic. 4. Slccior ipo priclr d odlo dro d l cls sir ss práros co l lgorio propido. 5. Vlidr l odlo ss icridbrs. 6. Si l rsps o s sisfcori, h ir los psos prvios odificr l éodo d idificció, l srcr dl odlo o los dos xprils. Coo s v, s odologí o sig scci lil sio drido pso s pd ir los psos prvios pr corrgir posibl rrors s h dcdo. El álisis d dos l filrdo s priclr ipor, por os pri coprr crcrísics vlidr l xprio rlido. Usl l álisis vlv l so d fcios d corrlció sí coo l spcro d poci d ls sñls ivolcrds. El filrdo os pri rovr dos d l iforció o s ds s rfljds l odlo, ls coo ridos d l frcci, ridos d dcis o dsds, c Modlos diáicos Los odlos diáicos os ofrc:

3 3 Mdid ciiv d los fcos d ls rds ls slids lo lrgo dl ipo Db rprsr los spcos scils dl procso Fcilidd d jo S db r c l procso sipr h prss prrbcios Procso p E los odlos discros l slid riors d ipo k j T Figr 3.. Efco d prrbcios d idificció kt kt dpd d ls rds slids iss Orddor A/D Procso kt D/A Figr 3.3. Es d corol d procso digil S cior prir lgr los lils. Cpl los pricipios d lilidd. L slid cl dpd lil d ls rds slids iss d ipo riors b k b k 3. Ls vribls so prrbcios sobr po d lilició. Y Y U U 3. U U Y Y Y U Procso Figr 3.4. ivl d coi l idificció d procso

4 3 El rgo d vlid sá liido oro dl po d oprció. Los odlos diáicos los podos clsificr préricos o préricos. Esos srá dscrios los sigis prdos Modlos lils préricos Fció d rsfrci U odlo fció d rsfrci i l sigi for: A B 3.3 Exis vrios sbodlos r los podos dscr l ARMA. ARIMA, CARMA, CARIMA, c. Algos icl odlos d disrbios. Mosros coició odlo DARMA b b b b Dod: b b B A. Dro d los odlos ipo fció d rsfrci podos disigir dos ipos: Modlo idpdi: l slid cl s bs slids dl odlo. b b 3.4 Modlo d rgrsió: l slid cl s bs slids dl procso b b p p Espcio d sdos U odlo d s ipo i l sigi for C B A x x x 3.6 Dod: x : vcor d vribls d sdo dl sis : vcor d vribls d rd dl sis

5 33 :vcor d vribls d slid dl sis A, B C: rics d órds dcdos Er ss vjs os: S obi d for rl por lilició d los odlos diáicos obidos di blcs, c Dscrib bi l srcr ir dl procso Exsió livribl dirc Tbié pos dsvjs so básic: U úro or d práros Cálclos s copljos L idificció spcios d sdos s bs coplj pr l cso livribl. Exis écics pr s cso, coo lo so los bsdos sbspcios, pro odví sá fs d prfccioio. D los odlos préricos, iliros l odlo fció d rsfrci 3.5. Modlos lils o préricos Rsps iplso El éodo pr hllr odlo d s ipo s bs l dr rd iplso sro procso obsrvr coo volcio l rsps dl sis l ipo. Es éodo s v sido l sigi figr: Figr 3.5. Prb pr rsps iplso Coo s pd vr, s éodo gráfico l los vlors d l gci dl sis odos dr ipo ddo cosiirá l rsps dl sis h j j hj j h... h j h... h j 3.7

6 34 Pos ls vjs d o rrir coocr l srcr dl odlo, pd dscribir diáics o sls l prdicció sipl poco ssibl rrors. Ti si brgo ls sigis dsvjs: liido siss sbls, coi chos práros, siss co srcr poco dfiid Rsps slo Sig odologí siilr l d l rsps iplso, pro ddo coo rd l sis scló. U s d s éodo s v l sigi figr: Figr 3.6. Prb pr rsps scló El odlo s sj l d l rsps iplso: g j j j 3.8 Exis rlció dirc r los coficis g d l rsps slo h d l rsps iplso. Pos ls iss vjs dsvjs dl odlo d rsps iplso. Dro d los odlos o lils, cb cior los bsdos ccios d rsi, rds rols, odlos bsdos ls físico-íics. U for d rprsr procsos livribls di rsps slo, s sdo l ri diáic. Coi ls rspss gráfics r cd rd cd slid. E l figr sigi osros jplo pr procso d rs slids dos rds. Figr 3.7. Mri diáic d procso

7 Méodos d idificció préric Exis vrios cririos pr jsr odlo d idificció. Mosros coició ls ids básics d lgos d sos Erds spcils E l sigi figr vos coprció d ls rspss rd scló, corrspodis l procso l rsps d odlo d prir ord d és. ds K τ s Procso Figr 3.8. Procso odlo dl procso soidos rd scló E s cso xis rgls prdfiids pr fijr los práros dl odlo l l rsps coocid dl odlo pr rd prdfiid s lo ás siilr posibl l rsps dl procso pr l is rd. Dro d s ipo d éodos s cr ls prbs pr rsps slo rsps iplso fro dscris l prdo Méodos d corrlció Or proxició d l idificció d odlos lils sá bsd l so d fcios d corrlció. U fció d ocorrlció d sri d dos d vribl dl procso, d did d l dpdci ir d los vlors d l sri, co ss vlors prvios. E l cso d dos vribls dl procso, l fció d corrlció id l dpdci d los vlors d ls vribls co los vlors prvios d l or sri. A coició osros fórls d ls fcios d ocorrlció R d corrlció R. El vcor rprs ls rds, irs l vcor, ls slids. R k E{ k } i i k i k 3.9 R k E{ k } i i k i k

8 36 Si s i odlo rsps iplso: hi i v. E E j i i h i j v j i { j } E h i j E{ v j } { j } h E{ i j } E{ v j } i E lo biro l rido, rcorddo l dfiició d fcios d corrlció s i : R i i i v s idpdi d ls rds, por lo { v j } i E j h R j i 3. i Coo ls fcios d corrlció pd sr clclds d dos xprils, ddo vlors j,,, s forl, s pd forr cojo d ccios co icógis. E for ricil s i: R R... R R R R... R R R h R h R h Los érios d corrlció ocorrlció s clcl sdo ls fórls dscris l cció 3.9. D s r ls úics icógis so los érios d l rsps iplso: h,,h cofor l odlo dl procso Doiio d l frcci S clcl disios pos d l fció d rsfrci pr difrs vlors d frcci d spcros d rd slid, sdo fórls d spcros d poci, coo s v coició. jω Φ Φ jω jω Dod: Φ jω Φ jω R R jω d jω d Sido R R ls fórls d corrlció dscris 3.9.o so sdos sos éodos por l dificld d iplr rds propids pr sos éodos.

9 Miiició d ídic d rror L id básic cosis clclr los práros dl odlo dl procso iiic ls difrcis r ls rspss dl procso ls dl odlo. U s d l id fdl d éodos bsdos iiició d ídic d rror s sr l sigi figr: Figr 3.9. Es d iiició dl rror El ídic d rror s bsc iiir i l sigi for: I k k k, θ 3. Dod θ so los práros dl odlo s bsc clclr. Si l odlo s fció lil d los práros, l probl i solció xplíci líic. D o sr sí, s i rcrrir lgorios d progrció cdráic El éodo d íios cdrdos LS U d ls écics jor coocids l sició d práros d odlos áicos s l éodo d íios cdrdos ls srs LS. E proxició os l odlo co l sigi srcr. ϕ θ 3. Dod s l slid dl odlo, ϕ s vcor coi iforció d slids rds psds coocids,θ s l vcor d los práros dscoocidos, so s, os odlo lil rspco práros θ. Tos dás cojo d dos xprils,,,,..., } d ls rds slids. sro objivo s sir l vcor θ, d r l slid dl odlo s cr ls slids xprils dl procso. E s éodo θ s scogido d r l s d los cdrdos d los rrors r l cojo d dos xprils odos los iss,,...,, ls slids dl odlo, so s, V [ [ θ ϕ 3.3

10 38 s iiido. o, coo s fció lil d θ, podos obr solció líic dl probl. Pr s objivo, dfios l ri Φ l vcor coo Φ ' ' [ ϕ, ϕ,, ϕ [,,, Eocs, l ídic V pd sr scrio for ricil coo: V Φθ ' Φθ [ ' θ ' Φ' ' Φθ θ ' Φ' Φθ 3.4 Pd sr iiido rlció θ d l sigi for: V θ θ θ [ Φ' Φ' Φ ˆ θ ˆ θ El cl sig l sició d íios cdrdos [ Φ ' Φ Φ ' ˆ θ o l cálclo d s sició rir l ri [ Φ' Φ ϕ ' ϕ 3.5 s o siglr. Pr llo s rir los érios d l sñl d rd o sé corrlciodos r sí d r sigificiv. És s rriio los dos odos dl procso pr s úils pr l idificció Cso rsps iplso Cosidros priro l idificció d odlo rsps iplso odlo FIR l : h j j j 3.6 Dod los coficis d l rsps iplso Dfios: ϕ ' θ ' [,,, [ h, h,, h h, h,, h db sr sidos. 3.7 Dod ϕ i dos d rds psds θ coi los coficis sr sidos, s odlo pd sr scrio l for ϕ θ, d r l fórl d sició pr θ s dirc.

11 39 El rror pd sr rprsdo sáic coo: Figr 3.. Es d iiició dl rror sdo odlo FIR Dod v so disrbios cdo l procso Cso fció d rsfrci Cosidros hor l cso dod l odlo s fció d rsfrci B 3.8 A o s odlo corrspod : b b El cl o s pd jsr l foro ϕ θ por s fció d vlors psdos d si iso. o obs, fi d scribir l odlo l foro rrido, podos ssiir los vlors psdos d l slid dl odlo i por ss corrspodis xprils i, d s for podos obr odlo d rgrsió dod l slid dl odlo l is s clcldo d ls rds slids psds dids. b b Co los isos coficis, l cl i l for ϕ θ co: ϕ θ [,,,, [,,, b,, b 3.9 Coo podos vr, s cso ϕ s vcor d dids psds d rds slids, θ s vcor coido coficis d los polioios A B sr sidos. v podos sr l fórl d sició: θ ˆ [ Φ' Φ Φ' dirc pr rsolvr l probl.

12 4 o, sdo l odlo d rgrsió, l rror vi ddo por: B A b b El cl s lil los práros d los polioios A B. Corrspod l s d l sigi figr. Figr 3.. Es d iiició dl rror sdo odlo d rgrsió E l s rior s difr dl cosidrábos l coio. Figr 3.. Es d iiició dl rror sdo odlo idpdi L iiició s pl d l sigi for: [ B A V 3. o corrspod, grl, l iiició d l slid dl rror A B V 3.

13 4 Es s l prcio s i pgr por l siplicidd d l solció d íios cdrdos cdo idificos odlo fció d rsfrci Míios cdrdos rcrsivos RLS Uo d los probls prs l éodo d íios cdrdos s dscrio s, cs dl ño d ls rics ivolcrds, ciros csos s rir gr cidd d ori, iás l ipo d cálclo o s propido pr idificció o-li. U forlció lriv l écic d idificció prvi s por dio d los lgorios rcrsivos. E lgorio rcrsivo los práros is d ipo ddo so sidos sdo iforció dispoibl l ipo - ás ério d corrcció s fció d ls dids l ipo. Eso s: ˆ θ ˆ θ ério d corrcció, 3. o xis úico éodo d idificció fr d lí, pro l úic r d fcr idificció ipo rl s clir o-li proo coo s obg l v iforció dl procso. Asos os dids dl procso l is d ipo, l : [ Φ ' Φ Φ ' ˆ θ 3.3 Es l corrspodi sició d íios cdrdos l is. A fi d siplificr l oció doos P ls rics d disios x. [ Φ Φ P 3.4 Si llos ˆ θ l sició co los dos dispoibls l ipo -, ocs s posibl ddcir xprsió rcrsiv pr l sició d íios cdrdos ˆ θ P Φ ˆ θ P Φ Tl : 3.5 ˆ θ ˆ θ P Φ P Φ 3.6 Dspés d lgs iplcios áics, obos lo sigi: [ ϕ ˆ θ ˆ θ ˆ θ K ϕ 3.7 [ ϕ P ϕ K P P P K ϕ ϕ P

14 4 S csi vlors iicils d ˆ θ P pr cor l lgorio. o l grdi dl cdrdo dl rror I vi ddo por: [ ϕ ˆ θ grd I ϕ 3.8 Por lo l cálclo d los práros sidos pd sr scrios coo: ˆ θ θˆ K grdi/ 3.9 pd sr irprdo coo lgorio "ipo grdi " pr iiició éric dl ídic d rror I. L for d I dpd d los dos xprils, l l íio srá lcdo co or o or fcilidd d cord co l bodd d los dos. L Mri P Es ri jg ipor rol l lgorio cs d s js l vlocidd d cbio d ˆ θ s sido d l vri. [ ϕ P ϕ K P 3.3 Eso pd sr rscrio coo: P P ϕ ϕ 3.3 Tl P v cro, cdo l ipo s icr sí ocrr co K. Eocs gci d l dpció s pñ ˆ θ s odific lv. Eso s bo si los práros dl sis so coss, pro si ipo rl, los práros d l pl cbi l, s ipor r ciso d dpció. vris lrivs pr s probl. Fcor d olvido E s cso, l fció d coso V s odific pr iclir l fcor d or pso los dos ás rcis los riors. V [ ϕ θ λ 3.3 Sido λ l fcor d olvido, úro or. Co s cbio ls rics P K s covir : K P P [ λ ϕ P ϕ [ P K ϕ ϕ P λ 3.33

15 43 Y l ño d P pd sr jsdo co λ. Es écic pd sr pligros csos d bj xcició l sñl d rd, por si P ϕ ido c : [ P λ P 3.34 P podrí crcr xpocil ls sicios pd disprrs cdo llg v iforció. Er los éodos lrivos os l sñl cos, l cl l sñl d P s id cos cord co ciros cririos, o l fcor d olvido dircciol l cl s s cbido d r los práros so clidos sol cdo llg v iforció sigificiv Cso d siss livribls E l prácic chos procsos i chs rds slids. o obs sdo ciros odlos s posibl xdr ls ids prsds rrib l cso MIMO. Usdo l odlo: Figr 3.3. Es d sis livribl A... B B C ξ A... B B C ξ l cl cd slid s cobició lil d cojo d fcios d rsfrci co coú doidor, ocs podos fcr l idificció d odlos MIMO coo cojo d probls d idificció, os coo slids h, dod cd o dbr sr scrio foro MISO Dod: i ϕ i θi 3.36 ϕ θ [,,,,,,,... [,,, b,, b, b,, b,... i i i i i i i i 3.37 E l los éodos ciodos prvi pd sr plicdos dirc.

16 Méodo d rror d prdicció PEM Uo d los icovis prs l lgorio d íios cdrdos s o s si l odlo dl disrbio, l cl pd sr rrido l disño dl coroldor [3. Si ros sir l odlo dl disrbio, csios ñdir s l odlo h sido sdo s. M do odlo socásico l coo rido blco d di cro filrdo por fció d rsfrci s sdo pr s propósio. E s éodo los práros dl odlo so lgidos l l s d los cdrdos dl rror d prdicció s íi. D crdo so, l fció d rror sr iiid pd sr xprsd coo: [ ˆ ˆ θ θ V 3.38 Co l filidd d obr xprsió pr l prdicció ˆ θ siros l procso pd sr rprsdo xc por: o 3.39 Dod o o so fcios d rsfrci coo ls dscribios coició: A B o A C o Sdo rsdo l sgdo ibro d l cció 3.39 l ério obos: [ o 3.4 Y coo [ coi sol iforció psd podos dspjr d l cció 3.39 [ Rpldo l cció 3.39 obos: [ [ [

17 45 L jor prdicció vi dd por: { } ˆ E θ Si sro odlo i l sigi srcr: Podos sr los rsldos prvios pr prdcir l vlor d por dio d: ˆ θ 3.4 Dod θ icl odos los coficis dl polioio o coocidos d. Lgo podos clclr l rror d prdicció coo: ˆ ˆ θ θ [ ˆ θ 3.4 Por lo o, rpldo l cció s obi: [ i V Coo l rror d prdicció s o lil los práros θ, solció líic pr iiir V o xis l solció dbr sr cord éric sdo lgorios d opiició propid l coo l ss-wo dpdo l odlo sos sdo Algorio d idificció spcios d sdos 4SID E s cso l dfiició d l srcr dl odlo idificr rir d solo práro: l ord dl sis. E co l probl d idificció, s cosis drir ls rics A, B, C D dl odlo: k k k k k k D Cx B Ax x 3.43 Dod: : vcor d rd d disió

18 46 : vcor d slid d disió l x : vcor d sdo dl sis d disió L fili d lgorios d idificció bsdos sbspcios proporcio éodos pr obr odlos lils ipo discro l spcio d sdos prir d igrso slid. Todos sos éodos sá bsdos sobr proxició d ipo goérico plic l orí d sbspcios fils /o cols d rics opors cosrids bs dos d igrso slid. El po d prid d los lgorios bsdos sbspcios s l cció sigi: Y ΓX U 3.44 Dod: Y U so rics d kl fords co ls sñls d slid d igrso: k k... k j k k... k j Y li, j k i k i... k i j k k... k j k k... k j U i, j k i k i... k i j X s l scci d sdos dfiid por: [ x x x X Λ 3.47 k, j k k k j Γ s l ri xs d obsrvbilidd. C CA Γ l i, Λ i CA 3.48 s ri d Topli ford co los práros d Mrkov dl odlo:

19 47 D CB li, i CAB Λ CA i B Λ D CB Λ CA i3 B Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ D 3.49 A rvés d l cció 3.43 l or pr d los lgorios sbspcios si l scci d sdos d los dos d igrso slid. U v l scci d sdo s clcld, ls rics A, B, C, D s obi coo l solció probl d íios cdrdos. 3.. Ídics d prfoc U did ciiv d l clidd dl odlo obido por idificció pd sr obid sdo los ídics RMS di cdráic rliv MSE rror cdráico dio [4. RMS MSE r s ki ki k r ki k r s ki ki k Dod r : sñls rls s : sñls silds k : is srdo : úro ol d iss srdos i : úro d sñl Los ídics riors pd sr sdos pr coprr los odlos obidos di vrios lgorios d idificció. El ídic RMS idic did d los rrors rspco los vlors rls d l slid xprio, s dcir, si dr xprio s obi RMS or.7, s pd dcir l odlo obido s bo. El ídic MSE idic vri d los rrors bsolos lo lrgo d xprio. Es ídic pd sr pldo pr clclr rror prodio. Dpdido dl rgo d rbjo s cr i vribl d slid, s pd xrr d c bo s l odlo.